PAGE6西南交通大學第二屆“新秀杯”數學建模競賽2011年題目：A（填寫A、B或C題）參賽隊員1參賽隊員2參賽隊員3姓名柳寧王碩朱杰學號201111742011372720112403學院機械工程數學學院信息科學與技術專業車輛工程應用數學計算機科學與技術電話182156033831821560338918215603391Email599021610@qq.COM381011928@1165192979@西南交通大學教務處西南交通大學實驗室及設備管理處西南交通大學數學建模創新實踐基地個人合理投資組合的預測模型摘要本文建立了個人合理投資組合的預測模型，從總體上就中國近來的經濟運行各方面的數據，對現今房價和存貸款利率的走勢及最佳投資方案作出了合理的討論，運用多元線性回歸方程擬合所得數據，建立了計量經濟模型，對房價及存貸款利率的走勢作出了較為準確而具體的預測。，并找出一個合理的投資組合。在經濟周期變化前提下，對房價和存貸款利率的變化趨勢進行預測。最后，對模型做出分析、評價和改進。對于問題一本文建立了模型Ⅰ數據計量經濟模型。先根據2010年18個地區的和房價有關的6個方面的數據①，確定房價是如何計算產生的，利用EViews5計量經濟學軟件【1】處理多元線性回歸方程[2]最終擬和、分析得出，房價主要是由土地購置費、人口密度、人均可支配收入決定的。再次擬合，得出了房價與這三個因素之間的三元一次關系式。然后，根據土地購置費、人口密度、人均可支配收入這些因素近期的變化，通過Excel進行擬合，預測未來土地購置費、人口密度、人均可支配收入的走勢，并通過這些結果預測出未來房價的走勢。對于問題二本文建立了模型Ⅱ層次分析結構模型。先根據小王現有經濟、社會背景，對三年后購房資金來源分為三部分：每月工資收入、資金投資及收入、公積金貸款。主要是對現有資金進行合理投資組合，根據現有數據求出銀行存款、保險、股票投資的權重系數[3]，使得在風險較小的情況下，得到資金利益最大化，此時即可得出合理投資方案。關鍵字：房價存貸款利率線性回歸EViews5投資組合權重造價，房屋的造價直接影響了商品住房的成本，因此，理論上該變量和商品住房的價格呈正相關。（5）.土地購置費（X5）。土地資源的稀缺性導致土地購置費不斷上漲，而土地購置費在相當大的程度上影響了房屋的售價。隨著開發的商品房不斷增加，土地也越來越稀缺，房屋價格也會隨著上漲，兩者存在正相關性。（6）.地區變量（X6）。我國東部沿海城市和中西部城市在經濟、社會觀念和政策等方面存在較大差別，前者房價應明顯高于后者。本文以地區數據為樣本，分析在全國范圍內影響房價的因素，所以該指標代表的是宏觀區位因素。該變量為虛擬變量，中西部取0，東部沿海取1(7).隨機誤差項（u）。對房價的影響因素還有很多，這里就把其他的影響因素納入隨機誤差項u。根據以上分析，設定計量經濟模型如下：Yi=C+++++++u其中，Y為各地區的商品住房平均價格（元/平方米）；X1為地區人均GDP（元）；X2為人均可支配收入（元）；X3為人口密度（人/平方公里）；X4為房屋造價（元/平方米）；X5為土地購置費（元/平方米）；X6為虛擬變量，中西部取0，東部沿海取1；u為隨機誤差項。3、數據收集本文獲取了我國18個地區在2010年平均一季度的數據如表1所示。表1：我國18個地區在2010年平均一季度的數據4、模型的估計與檢驗利用EViews5計量經濟學軟件對模型進行估計，結果如表2表2回歸方程為：Y=-8711.29+0.007X1+0.88X2+4.08X3+(-0.86X4)+1.81X5+362.72X6T統計量(0.094776)(4.061206)(2.566391)(-0.959852)(2.504818)(0.37944)P值(0.9262)(0.0019)(0.0262)(0.3578)(0.0293)(0.7116)對于給定的=0.05，對方程中各個變量的T統計量和P值進行檢驗，可以看出X1、X4、X6的P值超出了給定的允許誤差范圍，說明在檢驗中不能拒絕原假設H0：=0，也就是說地區人均GDP（X1）、房屋造價（X4）、地區變量（X6）對商品房的價格的影響很小，可以忽略。從模型中去掉以上三個變量，再進行方程的擬合，結果如表3。表3回歸方程為：Y=-9762.398+0.872711X2+3.397667X3+1.541341X5T統計量(9.021021)(5.047646)(2.481374)P值(0)(0.0002)(0.0264)對于給定的=0.05，對方程中各個變量的T統計量和P值進行檢驗，所有變量都通過檢驗，再對模型進行多重共線性檢驗、異方差檢驗、自相關性檢驗，都通過檢驗。方的擬合優度R2=0.952386，修正后的擬合優度R2=0.942183，從數據上可以說明解釋變量對被解釋變量的擬合很好，可信性很高。而且人均可支配收入（X2）、人口密度（X3）、土地購置費（X5）前的系數都為正數，說明三個變量與房屋價格呈現出正相關的關系，這與我們理論得出的結論相符，也符合經濟意義。5、相關數據的模擬與求解為簡化運算，特將時間化為數值，其中2000年為元年，1個月為年。人均可支配收入（X2）模擬與求解：表4各年人均可支配收入（X2）年份代年份（T）人均可支配收入（X2）2000062802001168602002277032003384722004494222005510493200661175920077137862008815781200991717520101019109模擬與求解如下圖圖1即人均可支配收入X2=84.445T2+451.95T+6315.6(2)土地購置費（X5）模擬與求解表5土地購置費（X5）年份代年份（T）土地購置費（X5）元/m220033195120044208220055226420066230020077232420088242520099252520101026372011112798模擬與求解如下圖圖2即土地購置費X5=0.961T2+81.545T+1743(3)人口密度(X3)模擬與求解由于中國人口分別很不均勻，所以，為了更好得反映實際情況，在此，只挑選了十多個東北表6東部大城市人口密度(X3)年份代年份（T）人口密度人/平方公里20101061020099603200885992007759620066592200555892004458620033582200225802001157720000574模擬與求解如下圖圖3即人口密度X3=0.1177T2+2.2319T+574.345、最終模擬結果：由4中結果知：房價Y=-9762.398+0.872711X2+3.397667X3+1.541341X5=-9762.398+0.872711（84.445T2+451.95T+6315.6）+3.397667（0.1177T2+2.2319T+574.34）+1.541341（0.961T2+81.545T+1743）=75.6T2+527.7T+387.1將數據輸入excel進行計算，得出了如下結果：表6房價的擬合與預測代年份T年份房價Y(=75.6T2+527.7T+387.1)320032650.6420043707.5520054915.6620066274.9720077785.4820089447.1920091126010201013224.111201115339.412201217605.913201320023.614201422592.515201525312.616201628183.9圖4結論：由圖可知，近期房價呈增長趨勢，并可預測近三年房價分別為15000、17000、2000元/平方米，從以上14組數據可以判斷，預測結果基本符合實際情況。但要注意的是：①由于本模型多采用東部大城市的數據，所以此結果具有鮮明的地域特點，更適用于東部大城市房價的預測。②由于沒有考慮政府的宏觀調控，所以實際增長速度可能會有所放緩；③由于考慮因素有限，所以此模型只對近期房價走勢預測有效。6、存貸款利率的變化趨勢存貸款利率的變化是經濟周期變化的體現，所以同經濟周期變化的周期性一樣，存貸款利率的變化也具有周期性。下表為近年來利率調整的詳細數據。表7近年存貸款利率的變化表7年份.月份代年份

6月以內一年3至5年1至3年5年以上2.022.175.045.315.495.585.764.14.835.225.585.755.856.126.046.335.405.856.036.126.3906.08

6.665.586.126.306.486.8407.03

7.255.676.396.576.757.117.057.425.586.576.756.937.007.077.586.036.847.027.207.387.087.666.217.027.297.387.567.097.756.487.297.477.657.83

7.128.006.57

7.477.567.747.83

8.098.756.126.937.027.297.478.18.836.036.666.777.027.208.118.925.045.585.675.946.128.129.004.865.315.405.765.9410.110.835.105.565.605.966.1410.1211.005.355.815.856.226.4011.0211.175.606.066.106.456.60活期存款三個月半年一年二年三年五年0.721.711.891.982.252.252.790.721.712.072.252.703.243.600.721.712.072.252.703.243.600.721.802.352.523.063.694.140.721.892.432.973.333.964.410.722.072.613.063.694.414.950.812.342.883.333.964.685.220.812.613.153.604.234.955.490.812.883.423.784.505.225.760.723.333.784.144.685.405.850.723.153.513.874.415.135.580.722.883.243.604.144.775.130.361.982.252.523.063.603.870.361.711.982.252.973.333.600.412.202.402.653.454.675.050.502.853.053.254.154.755.250.503.103.303.504.405.005.50根據上表數據，用excel得出下圖：上圖顯示出波谷出現在T=2、6、10處；波峰出現在T=4、8、12處所以由上圖顯然可知T=4由此可知，存貸款利率的變化趨勢為2010年利率最低，2011及2012年利率一直保持上升趨勢，到2012年到達波峰，然后再次降低。二、問題二的分析與求解三年后購房，資金來源可分為三部分：每月工資收入、資金投資及收入、公積金貸款。每月3000元收入可活期存入銀行，以備家庭不時之需；對現有資金80000元進行合理投資組合，建立模型Ⅱ公積金貸款彌補購房資金缺口模型Ⅱ層次分析結構模型（1）建立模型目標層目標層標準層方案層最優投資方案回報率投資風險銀行存款股票投資保險投資（2）在假設的基礎上，先用EXCEL把股票和保險投資的信息放在一起，對案例重新標號1—24。根據所給的數據進行處理，通過EXCEL得到各個投資案例的回報率結果如下：兩種投資的平均收益率的總和如下表：名稱存款保險投資股票投資回報率總和3.615937.45831599平均收益率0.0560.099040.1864579根據大量數據的原則把投資沒有的得到回報的（回報率為負數的）概率作為投資風險的權重。投資保險的回報率為負數的概率：P1=0.2投資股票的回報率為負數的概率：P2=0.23根據投資回報率為負數的概率可以推測出在樣本空間里方差的比值為0.23／0.2=1.1.銀行存款的風險最小得到合理的投資風險權值。標準成對內標準層的對比較矩陣為A=（3）計算權向量比作一致性檢驗對矩陣的秩為1，A的唯一解為N=2.一致性的檢驗指標是，說明了比較矩陣為一致陣。解得權重向量是：（4）計算組合權向量B1是方案層對標準層回報率的對比較矩陣：B2是方案層對標準層投資風險的對比矩陣：對比較陣B1、B2的秩為1，B1、B2的唯一解為N=3。一致性的檢驗指標是S,說明了對比較陣為一致陣。方案層的三種方案P1、P2、P3對回報率的權重：方案層的三種方案P1、P2、P3對風險率的權重：模型的解法與結果根據層次分析模型三種方案得到組合的權重：方案為：銀行存款的權重：P1=0.1588，投資保險的權重：P2=0.2980，投資股票的權重：P3=0.5432第一年：銀行存款的投資總額為80000*0.1588=12704元，得到的最大回報為2089.8元；投資保險的總額是80000*0.2980=23840元，得到的最大回報為6913.6元；投資股票的總額為80000*0.5432=43456元，得到的最大回報為23705元。三種總投資80000元，得到32708.7元。第二年銀行存款的投資總額為112708*0.1588=17898元，得到的最大回報為2944元；投資保險的總額是112708*0.2980=33587元，得到的最大回報為9740元；投資股票的總額為112708*0.5432=61223元，得到的最大回報為33397元。三種總投資112708元，得到46081元。第三年銀行存款的投資總額為158790*0.1588=25216元，得到的最大回報為4148元；投資保險的總額是158790*0.2980=47319元，得到的最大回報為17322元；投資股票的總額為158790*0.5432=86255元，得到的最大回報為47052元。三種總投資158790元，得到64922元。以此投資組合，三年后資金為223713.3元。二每月活期存款利息可不計，共得3000*12*3=108000元三已知房價400000元，再利用公積金貸款100000元得出投資方案：①將80000元按銀行存款的權重：P1=0.1588，投資保險的權重：P2=0.2980，投資股票的權重：P3=0.5432進行連續三年的投資；②將每月的300