第31頁（共31頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷常考題之隨機(jī)事件與概率一．選擇題（共7小題）1．（2025?河北模擬）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則向上的數(shù)字之和是4的倍數(shù)的概率為（）A．13 B．14 C．15 2．（2025春?商丘期中）某人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，最多投籃4次，命中一次就停止投籃，記投籃次數(shù)為X，則{X＝4}表示的試驗(yàn)結(jié)果是（）A．第4次投籃命中 B．第4次投籃未命中 C．前3次投籃均未命中 D．投籃命中4次3．（2025春?溫州期中）如圖所示，5顆串珠用一根細(xì)線串起．現(xiàn)將它們依次取出（只允許從兩邊取出），一次取一顆，兩顆合☆☆串珠被連續(xù)取出的概率是（）A．14 B．716 C．12 4．（2025春?惠山區(qū)校級(jí)期中）數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測(cè)，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是（）A．15 B．25 C．35 5．（2025春?南岸區(qū)期中）某網(wǎng)紅奶茶店“ChillTea”在市中心有三個(gè)分店：A店、B店、C店．根據(jù)平臺(tái)數(shù)據(jù)，顧客選擇A、B、C店的概率分別為30%、50%、20%．已知各分店高峰期制作時(shí)間超過15分鐘的概率分別為：A店20%、B店40%、C店30%．若小明隨機(jī)選擇一個(gè)分店下單，他等待超過15分鐘的概率是（）A．28% B．32% C．35% D．40%6．（2025春?龍巖期中）給定事件A，B，C，且P（C）＞0，現(xiàn)有下列結(jié)論：①若P（A）＞0，P（B）＞0且A，B互斥，則A，B不可能相互獨(dú)立；②若P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），則A，B，C兩兩獨(dú)立；③若P(AB)=P④若P（A|C）+P（B|C）＝1，則A，B互為對(duì)立事件．其中正確的結(jié)論有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)7．（2025春?石家莊期中）今年春節(jié)，《哪吒2》、《唐探1900》、《熊出沒之重啟未來》和《射雕英雄傳：俠之大者》這四部影片引爆了電影市場(chǎng)．小明和他的同學(xué)一行四人決定去看電影，若小明要看《哪吒2》，其他同學(xué)任選一部，則恰有兩人看同一部影片的概率為（）A．964 B．1932 C．916 二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025春?邢臺(tái)期中）某興趣小組調(diào)查了某校100名學(xué)生100米短跑成績(jī)的情況，其中有60名學(xué)生的短跑成績(jī)合格．這100名學(xué)生中有45名學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)，60名短跑成績(jī)合格的學(xué)生中有35名學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)．現(xiàn)對(duì)短跑成績(jī)不合格的學(xué)生進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)，已知每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績(jī)合格的概率為56，每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績(jī)合格的概率為34，用頻率代替概率，從短跑成績(jī)不合格的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生（記為甲）進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)，依據(jù)小概率α＝0.005的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，零假設(shè)為H等參考公式與數(shù)據(jù)：χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.010.0050.001xα6.6357.87910.828A．可以推斷H0成立，即認(rèn)為學(xué)生短跑成績(jī)合格與每周鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)無關(guān) B．可以推斷H0不成立，即認(rèn)為學(xué)生短跑成績(jī)合格與每周鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)有關(guān) C．學(xué)生甲參加培訓(xùn)后短跑成績(jī)合格的概率為3748D．在學(xué)生甲參加培訓(xùn)后短跑成績(jī)合格的情況下，學(xué)生甲每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)的概率為27（多選）9．（2025?重慶模擬）某班在一次模擬測(cè)試后，隨機(jī)抽取9名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，這9名學(xué)生的成績(jī)分別為66，70，75，78，80，82，85，90，94，則下列說法正確的是（）A．估計(jì)這次該班的測(cè)試成績(jī)的平均分為80 B．樣本的平均數(shù)和中位數(shù)相同 C．從樣本中任取兩人的成績(jī)，這兩人的成績(jī)均大于平均分的概率為112D．當(dāng)樣本中加入80形成新樣本時(shí)，新樣本的方差比原樣本的方差小（多選）10．（2025?渭南三模）甲、乙兩個(gè)體育社團(tuán)小組成員的某次立定跳遠(yuǎn)成績(jī)（單位：厘米）如下：甲組：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252乙組：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263則下列說法正確的是（）A．甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是249 B．乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是251 C．從甲、乙兩組各隨機(jī)選取一個(gè)成員，兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)均在250厘米以上的概率是760D．乙組中存在這樣的成員，將他調(diào)派到甲組后，甲、乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績(jī)都有提高三．填空題（共3小題）11．（2025?安徽模擬）已知數(shù)集A＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{1，2，3，4，5，6}，現(xiàn)隨機(jī)從A和B中各抽取3個(gè)不同的數(shù)分別構(gòu)成最大的三位數(shù)X和Y，則事件“X＞Y”的概率為．12．（2025春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）從1～6個(gè)6個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)，這兩個(gè)數(shù)字和為偶數(shù)的概率為．13．（2025?裕華區(qū)校級(jí)模擬）甲、乙、丙3人做傳球游戲，游戲規(guī)則為：一人隨機(jī)將球傳到另外兩人中的一人手里，接到球的一人再將球隨機(jī)傳到另外兩人中的一人手里，如此循環(huán)傳遞下去，如果由甲先傳球，則連續(xù)傳球五次后，球在甲手里的概率為．四．解答題（共2小題）14．（2025?石家莊模擬）有三臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)，分別對(duì)自然數(shù)對(duì)進(jìn)行運(yùn)算：第Ⅰ臺(tái)：輸入（a，b），則輸出（a+1，b+1）；第Ⅱ臺(tái)：輸入（a，b），則輸出(a2，b2第Ⅲ臺(tái)：輸入（a，b），（b，c），則輸出（a，c）．若輸入一組自然數(shù)對(duì)，運(yùn)算過程中不再輸入其它自然數(shù)對(duì)，但運(yùn)算中輸出的所有自然數(shù)對(duì)均可重復(fù)使用．例如：若輸入（2，5），通過第Ⅰ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)依次可以得到（3，6），（4，7），（5，8）；通過第Ⅲ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)輸入（2，5），（5，8）可以得到（2，8）；通過第Ⅱ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)輸入（2，8）可以得到（1，4）．運(yùn)算過程簡(jiǎn)單表示為：(2，5)→(3，6)→(4，通過上述運(yùn)算可以將自然數(shù)對(duì)中的第一個(gè)數(shù)字變?yōu)?．根據(jù)上述運(yùn)算回答下面問題：（1）若輸入（3，17），輸出（1，8），試列舉一個(gè)完整運(yùn)算過程；（2）若輸入（5，19），能否得到（1，100），并說明理由；（3）若輸入（a，b），其中1≤a＜b≤5n+1（n∈N*），通過上面三臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)運(yùn)算可以得到自然數(shù)對(duì)（1，1+5k）（k∈N*）的概率為Pn，證明：Pn15．（2025?涼山州模擬）在國務(wù)院新聞辦公室舉行的“推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展”系列主題新聞發(fā)布會(huì)上，教育部相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，要在關(guān)鍵環(huán)節(jié)方面，讓“健康第一”落細(xì)落地．實(shí)施學(xué)生體質(zhì)強(qiáng)健計(jì)劃、心理健康促進(jìn)行動(dòng)等，保障中小學(xué)生每天綜合體育活動(dòng)時(shí)間不低于2小時(shí)，全面培育學(xué)生積極心理品質(zhì)，要讓孩子們動(dòng)起來，互動(dòng)起來，多見陽光，多呼吸新鮮空氣．（1）為了解喜愛排球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，某統(tǒng)計(jì)部門在某地隨機(jī)抽取了男性和女性各100名進(jìn)行調(diào)查、得到2×2列聯(lián)表如下：喜愛排球運(yùn)動(dòng)不喜愛排球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男性6040100女性4555100合計(jì)10595200依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛排球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？（2）某校排球隊(duì)的甲、乙、丙、丁四名球員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，甲等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，乙也等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地隨機(jī)傳向甲、乙中的1人，第1次由甲將球傳出，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記第n次傳球之后球在丙或丁手上的概率為an．（i）計(jì)算a1，a2，并求{an}的通項(xiàng)公式；（ii）記第n次傳球之后球在乙手上的概率為bn，求{bn}的通項(xiàng)公式．附：χ2α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷常考題之隨機(jī)事件與概率參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號(hào)1234567答案BCDDBCC二．多選題（共3小題）題號(hào)8910答案BCDABDBCD一．選擇題（共7小題）1．（2025?河北模擬）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則向上的數(shù)字之和是4的倍數(shù)的概率為（）A．13 B．14 C．15 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】先求出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子的不同結(jié)果數(shù)，再列舉出向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)的結(jié)果數(shù)，應(yīng)用古典概率的求法求概率．【解答】解：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子共有6×6＝36種不同的結(jié)果，向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)有：（1，3），（2，2），（2，6），（3，1），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（6，6），共9種情況，由古典概型的概率公式可知，所求概率為P=9故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025春?商丘期中）某人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，最多投籃4次，命中一次就停止投籃，記投籃次數(shù)為X，則{X＝4}表示的試驗(yàn)結(jié)果是（）A．第4次投籃命中 B．第4次投籃未命中 C．前3次投籃均未命中 D．投籃命中4次【考點(diǎn)】隨機(jī)事件．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)抽象．【答案】C【分析】根據(jù)變量的意義進(jìn)行判斷．【解答】解：根據(jù)題意，某人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，最多投籃4次，命中一次就停止投籃，X表示籃次數(shù)，則{X＝4}即投籃次數(shù)為4次，表示前3次投籃均未命中．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)變量的定義，涉及隨機(jī)事件的表示，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025春?溫州期中）如圖所示，5顆串珠用一根細(xì)線串起．現(xiàn)將它們依次取出（只允許從兩邊取出），一次取一顆，兩顆合☆☆串珠被連續(xù)取出的概率是（）A．14 B．716 C．12 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】利用兩個(gè)原理及古典概率公式求解即可．【解答】解：依題意，前4次取珠，每次可取左或取右兩種選擇，最后1次取只有1種情況，因此不同取法種數(shù)為24，第1，2次取“☆☆”，再取另3顆珠有4種方法；第2，3次取“☆☆”，則第1次取右起第一顆，共有2種方法；第3，4次取“☆☆”，則第1，2次取右起兩顆，有1種取法；第4，5次取“☆☆”，則第1，2，3次取右起三顆，有2種取法，因此兩顆☆☆串珠被連續(xù)取出的方法種數(shù)是4+2+1+2＝9，所以所求概率為P=故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題．4．（2025春?惠山區(qū)校級(jí)期中）數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測(cè)，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是（）A．15 B．25 C．35 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】由超幾何分布的概率公式結(jié)合排列組合即可求得．【解答】解：由超幾何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：P(故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查超幾何分布的概率公式、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（2025春?南岸區(qū)期中）某網(wǎng)紅奶茶店“ChillTea”在市中心有三個(gè)分店：A店、B店、C店．根據(jù)平臺(tái)數(shù)據(jù)，顧客選擇A、B、C店的概率分別為30%、50%、20%．已知各分店高峰期制作時(shí)間超過15分鐘的概率分別為：A店20%、B店40%、C店30%．若小明隨機(jī)選擇一個(gè)分店下單，他等待超過15分鐘的概率是（）A．28% B．32% C．35% D．40%【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；全概率公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由全概率公式即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，顧客選擇A、B、C店的概率分別為30%、50%、20%，且等待超過15分鐘的概率依次為：20%、40%、30%．則選擇A店并超時(shí)的概率為：30%×20%＝6%；選擇B店并超時(shí)的概率為：50%×40%＝20%；選擇C店并超時(shí)的概率為：20%×30%＝6%；所以等待超過15分鐘的概率為6%+20%+6%＝32%，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全概率公式，涉及條件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．6．（2025春?龍巖期中）給定事件A，B，C，且P（C）＞0，現(xiàn)有下列結(jié)論：①若P（A）＞0，P（B）＞0且A，B互斥，則A，B不可能相互獨(dú)立；②若P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），則A，B，C兩兩獨(dú)立；③若P(AB)=P④若P（A|C）+P（B|C）＝1，則A，B互為對(duì)立事件．其中正確的結(jié)論有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；條件概率．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的定義分析①，由相互獨(dú)立事件的性質(zhì)分析②和③，舉出反例可得④錯(cuò)誤，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次4個(gè)結(jié)論：對(duì)于①，若P（A）＞0，P（B）＞0，且A，B互斥，則P（AB）＝0，而P（A）P（B）＞0，則A，B不可能相互獨(dú)立，①正確；對(duì)于②，若A，B，C兩兩獨(dú)立，由獨(dú)立事件的乘法公式得，P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），無法確定P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若P（AB）＝P（A）﹣P（A）P（B），而P（AB）＝P（A）﹣P（AB），則有P（AB）＝P（A）P（B），A，B相互獨(dú)立，③正確；對(duì)于④，當(dāng)A＝B且P（A|C）=12時(shí)，滿足P（A|C）+P（B|C）＝1，但A、B不是對(duì)立事件，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的判斷，涉及對(duì)立事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．（2025春?石家莊期中）今年春節(jié)，《哪吒2》、《唐探1900》、《熊出沒之重啟未來》和《射雕英雄傳：俠之大者》這四部影片引爆了電影市場(chǎng)．小明和他的同學(xué)一行四人決定去看電影，若小明要看《哪吒2》，其他同學(xué)任選一部，則恰有兩人看同一部影片的概率為（）A．964 B．1932 C．916 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用排列組合知識(shí)，結(jié)合古典概型的概率公式求解．【解答】解：分以下兩種情況討論：（1）觀看《哪吒2》只有小明一人，只需將剩余三人分為兩組，再將這兩組人分配給兩部電影，此時(shí)所求概率為C3（2）小明和其中一人同時(shí)看《哪吒2》，另外兩人看剩余三部電影中的兩部，此時(shí)所求概率為C3綜上所述，恰有兩人看同一部影片的概率為932故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率的求解，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025春?邢臺(tái)期中）某興趣小組調(diào)查了某校100名學(xué)生100米短跑成績(jī)的情況，其中有60名學(xué)生的短跑成績(jī)合格．這100名學(xué)生中有45名學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)，60名短跑成績(jī)合格的學(xué)生中有35名學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)．現(xiàn)對(duì)短跑成績(jī)不合格的學(xué)生進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)，已知每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績(jī)合格的概率為56，每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績(jī)合格的概率為34，用頻率代替概率，從短跑成績(jī)不合格的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生（記為甲）進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)，依據(jù)小概率α＝0.005的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，零假設(shè)為H等參考公式與數(shù)據(jù)：χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.010.0050.001xα6.6357.87910.828A．可以推斷H0成立，即認(rèn)為學(xué)生短跑成績(jī)合格與每周鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)無關(guān) B．可以推斷H0不成立，即認(rèn)為學(xué)生短跑成績(jī)合格與每周鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)有關(guān) C．學(xué)生甲參加培訓(xùn)后短跑成績(jī)合格的概率為3748D．在學(xué)生甲參加培訓(xùn)后短跑成績(jī)合格的情況下，學(xué)生甲每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)的概率為27【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；求解條件概率；獨(dú)立性檢驗(yàn)．【專題】應(yīng)用題；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】由題可得如下表格根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷H0不成立，即A錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)圖表計(jì)算概率即可判斷CD．【解答】解：由題可得如下表格：?jiǎn)挝唬喝嗣恐苠憻挄r(shí)間短跑成績(jī)合計(jì)合格不合格每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)351045每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)253055合計(jì)6040100根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得χ2=100×(35×30-25×10)260×40×45×55=根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷H0不成立，即認(rèn)為學(xué)生短跑成績(jī)合格與每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)有關(guān)，即A錯(cuò)誤，B正確；設(shè)事件A＝“學(xué)生甲參加跑步技巧培訓(xùn)后短跑成績(jī)合格”，事件B1＝“學(xué)生甲每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)，短跑成績(jī)不合格”，B2＝“學(xué)生甲每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)，短跑成績(jī)不合格”，則P(B1P(A|所以P（A）=P(B所以從短跑成績(jī)不合格的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生（記為甲）進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生甲短跑成績(jī)合格的概率為3748學(xué)生甲每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)的概率為P(B2故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）9．（2025?重慶模擬）某班在一次模擬測(cè)試后，隨機(jī)抽取9名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，這9名學(xué)生的成績(jī)分別為66，70，75，78，80，82，85，90，94，則下列說法正確的是（）A．估計(jì)這次該班的測(cè)試成績(jī)的平均分為80 B．樣本的平均數(shù)和中位數(shù)相同 C．從樣本中任取兩人的成績(jī)，這兩人的成績(jī)均大于平均分的概率為112D．當(dāng)樣本中加入80形成新樣本時(shí)，新樣本的方差比原樣本的方差小【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；平均數(shù)；中位數(shù)．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和方差的定義可判斷ABD，根據(jù)古典概型的概率公式可判斷C．【解答】解：對(duì)于A，這9名學(xué)生的成績(jī)的平均數(shù)為66+70+75+78+80+82+85+90+949=用樣本估計(jì)總體，估計(jì)這次該班的測(cè)試成績(jī)的平均分為80分，故A正確；對(duì)于B，這9名學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)為80，所以樣本的平均數(shù)和中位數(shù)相同，故B正確；對(duì)于C，9名學(xué)生中成績(jī)均大于平均分的有4名，所以從樣本中任取兩人的成績(jī)，這兩人的成績(jī)均大于平均分的概率為P=C42對(duì)于D，設(shè)原樣本的方差為s2，樣本中加入80形成新樣本時(shí)，平均數(shù)不變，還是80，則新樣本的方差為9s所以新樣本的方差比原樣本的方差小，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)和方差的定義，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2025?渭南三模）甲、乙兩個(gè)體育社團(tuán)小組成員的某次立定跳遠(yuǎn)成績(jī)（單位：厘米）如下：甲組：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252乙組：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263則下列說法正確的是（）A．甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是249 B．乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是251 C．從甲、乙兩組各隨機(jī)選取一個(gè)成員，兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)均在250厘米以上的概率是760D．乙組中存在這樣的成員，將他調(diào)派到甲組后，甲、乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績(jī)都有提高【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；平均數(shù)；中位數(shù)；百分位數(shù)．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】利用百分位數(shù)計(jì)算公式即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)中位數(shù)定義即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)古典概型概率公式和獨(dú)立事件的乘法公式即可判斷選項(xiàng)C；求出兩者平均數(shù)并比較即可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)?0×0.8＝8，所以甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是249+2512=250，故對(duì)于B，乙組數(shù)據(jù)共有12個(gè)數(shù)字，所以乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是251+2512=251，故對(duì)于C，設(shè)“從甲組抽取的人跳遠(yuǎn)成績(jī)?cè)?50厘米以上”為事件A，因?yàn)榧捉M中跳遠(yuǎn)成績(jī)?cè)?50厘米以上的有2人，所以P(設(shè)“從乙組抽取的人跳遠(yuǎn)成績(jī)?cè)?50厘米以上”為事件B，因?yàn)橐医M中跳遠(yuǎn)成績(jī)?cè)?50厘米以上的有7人，所以P(而從甲，乙兩組各隨機(jī)選取一個(gè)成員，則事件A，事件B相互獨(dú)立，所以“兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)均在250厘米以上”概率為P(AB)=對(duì)于D，甲組的跳遠(yuǎn)平均成績(jī)?yōu)?39+241+243+245+245+247+248+249+251+25210乙組的跳遠(yuǎn)平均成績(jī)?yōu)?44+245+245+246+248+251+251+253+254+255+257+26312則將乙組中跳遠(yuǎn)成績(jī)?yōu)?48厘米的成員調(diào)派到甲組后，甲，乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績(jī)都有提高，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了百分位數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義，考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題．三．填空題（共3小題）11．（2025?安徽模擬）已知數(shù)集A＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{1，2，3，4，5，6}，現(xiàn)隨機(jī)從A和B中各抽取3個(gè)不同的數(shù)分別構(gòu)成最大的三位數(shù)X和Y，則事件“X＞Y”的概率為710【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；其他組合形式及計(jì)算．【專題】分類討論；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】710【分析】由古典概型的概率公式結(jié)合相互獨(dú)立事件概率的乘法公式求解可得答案．【解答】解：因?yàn)锳＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{1，2，3，4，5，6}，所以X＞Y可分為兩類：X中有7時(shí)X＞Y和X中無7時(shí)X＞Y，由題意可得：P（X中有7）=C62C73=37若X中含7，則X＞Y；若X中無7的情況下：P(此時(shí)P(所以P(故答案為：710【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型及事件的關(guān)系問題，屬于中檔題．12．（2025春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）從1～6個(gè)6個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)，這兩個(gè)數(shù)字和為偶數(shù)的概率為25【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】25【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概型的概率公式，結(jié)合組合數(shù)公式算出答案．【解答】解：從1～6的6個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)，有C62其中取出的兩個(gè)數(shù)字和為奇數(shù)的基本事件有C31所以這兩個(gè)數(shù)字和為奇數(shù)的概率為P1=915=35，可知兩個(gè)數(shù)字和為偶數(shù)的概率P2＝1故答案為：25【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合數(shù)公式、古典概型的概率公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．13．（2025?裕華區(qū)校級(jí)模擬）甲、乙、丙3人做傳球游戲，游戲規(guī)則為：一人隨機(jī)將球傳到另外兩人中的一人手里，接到球的一人再將球隨機(jī)傳到另外兩人中的一人手里，如此循環(huán)傳遞下去，如果由甲先傳球，則連續(xù)傳球五次后，球在甲手里的概率為516【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】516【分析】求出五次傳球總的傳球結(jié)果數(shù)，然后分析如何傳球才能使得滿足題意，分別求出其可能的結(jié)果數(shù)，然后求和．最后利用古典概型求出概率即可．【解答】解：甲、乙、丙3人做傳球游戲，每次傳球都有兩種選擇，所以5次傳球共有25＝32種傳球結(jié)果．因?yàn)閺募组_始，最后回到甲手上，所以第一次傳球后不可能是甲接到球，第四次傳球后不可能是甲接到球．如果第二次傳球不是甲接到球，第三次傳球后也不是甲接到球，則有2×1×1×1×1＝2種傳球結(jié)果；如果第二次傳球不是甲接到球，第三次傳球后是甲接到球，則有2×1×1×2×1＝4種傳球結(jié)果；如果第二次傳球是甲接到球，則第三次傳球后不是甲接到球，所以共有2×1×2×1×1＝4種傳球結(jié)果；所以甲先傳球，則連續(xù)傳球五次后，球在甲手里共有4+2+4＝10種傳球的結(jié)果，所以甲先傳球，則連續(xù)傳球五次后，球在甲手里得概率為1032故答案為：516【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．四．解答題（共2小題）14．（2025?石家莊模擬）有三臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)，分別對(duì)自然數(shù)對(duì)進(jìn)行運(yùn)算：第Ⅰ臺(tái)：輸入（a，b），則輸出（a+1，b+1）；第Ⅱ臺(tái)：輸入（a，b），則輸出(a2，b2第Ⅲ臺(tái)：輸入（a，b），（b，c），則輸出（a，c）．若輸入一組自然數(shù)對(duì)，運(yùn)算過程中不再輸入其它自然數(shù)對(duì)，但運(yùn)算中輸出的所有自然數(shù)對(duì)均可重復(fù)使用．例如：若輸入（2，5），通過第Ⅰ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)依次可以得到（3，6），（4，7），（5，8）；通過第Ⅲ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)輸入（2，5），（5，8）可以得到（2，8）；通過第Ⅱ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)輸入（2，8）可以得到（1，4）．運(yùn)算過程簡(jiǎn)單表示為：(2，5)→(3，6)→(4，通過上述運(yùn)算可以將自然數(shù)對(duì)中的第一個(gè)數(shù)字變?yōu)?．根據(jù)上述運(yùn)算回答下面問題：（1）若輸入（3，17），輸出（1，8），試列舉一個(gè)完整運(yùn)算過程；（2）若輸入（5，19），能否得到（1，100），并說明理由；（3）若輸入（a，b），其中1≤a＜b≤5n+1（n∈N*），通過上面三臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)運(yùn)算可以得到自然數(shù)對(duì)（1，1+5k）（k∈N*）的概率為Pn，證明：Pn【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）過程見解析；（2）理由見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題目說明寫出計(jì)算過程即可；（2）因?yàn)檩斎氲模?，19）兩數(shù)之差是7的倍數(shù)，第Ⅰ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)運(yùn)算，兩個(gè)數(shù)都加1，運(yùn)算后兩數(shù)之差仍是7的倍數(shù)，同理第Ⅱ臺(tái)第Ⅲ臺(tái)都是7的倍數(shù)，所以（a，c）也是7的倍數(shù)，而100﹣1＝99不能被7整除，所以不能得到（1，100）；（3）因?yàn)?≤a＜b≤5n+1，所以An=C5n+12=5n?(5n+1)2=25n2+5n2，由（2）可知只有當(dāng)b﹣a是5的倍數(shù)時(shí)符合題意，即證明1≤m＜m【解答】解：（1）若輸入（3，17），則（3，17）→（4，18）→（2，9）→……→（9，16），再輸入（2，9），（9，16）得（2，16）→（1，8）；（2）不能得到（1，100），輸入的（5，19）兩數(shù)之差是7的倍數(shù)，第Ⅰ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)運(yùn)算，兩個(gè)數(shù)都加1，運(yùn)算后兩數(shù)之差仍是7的倍數(shù)；第Ⅱ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)僅當(dāng)兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)時(shí)才能運(yùn)算，所以運(yùn)算后兩數(shù)之差也是7的倍數(shù)，第Ⅲ臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)輸入的兩組數(shù)對(duì)（a，b），（b，c）的差都是7的倍數(shù)，所以（a，c）也是7的倍數(shù)，綜上，通過三臺(tái)自動(dòng)打印機(jī)運(yùn)算得到的兩數(shù)之差都是7的倍數(shù)，而100﹣1＝99不能被7整除，所以不能得到（1，100）；（3）證明：設(shè)An為（a，b）的所有情況數(shù)，因?yàn)?≤a＜b≤5n+1，所以An由（2）可知只有當(dāng)b﹣a是5的倍數(shù)時(shí)符合題意，下面證明：假設(shè)1≤m＜m+5k≤5n+1，m，k∈N*輸入（m，m+5k），則（m，m+5k）→（m+1，m+1+5k）→（m+2，m+2+5k）→…→（m+5k，m+10k）再輸入（m，m+5k），（m+5k，m+10k）得（m，m+10k），因?yàn)閙，m+10k的奇偶性相同，所以一定可以得到(m2，因?yàn)閙∈N*，所以m2＜m重復(fù)上面的運(yùn)算就可以得到（1，1+5k）（k∈N”），設(shè)通過上面運(yùn)算可以得到（1，1+5k）（k∈N”）的所有情況數(shù)為Bn由上述證明可知：若輸入（a，b），其中1≤a＜b≤5n+1（n∈N”），可以得到（1，1+5k）（k∈N”），則b﹣a是5的倍數(shù)，所以當(dāng)a＝1時(shí)，b可以取6，11，…，5n+1，共有n中取法，當(dāng)a＝2時(shí)，b可以取7，12，…，5n﹣3，共有n﹣1中取法，當(dāng)a＝3時(shí)，b可以取8，13，…，5n﹣2，共有n﹣1中取法，當(dāng)a＝4時(shí)，b可以取9，14，…，5n﹣1，共有n﹣1中取法，當(dāng)a＝5時(shí)，b可以取10，15，…，5n，共有n﹣1中取法，當(dāng)a＝6時(shí)，b可以取11，16，…，5n+1，共有n﹣1中取法，當(dāng)a＝7時(shí)，b可以取12，17，…，5n﹣3，共有n﹣2中取法，…當(dāng)a＝5n﹣4時(shí)，b可以取5n+1，共有1中取法，所以Bn所以Pn=B【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的應(yīng)用，屬于難題．15．（2025?涼山州模擬）在國務(wù)院新聞辦公室舉行的“推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展”系列主題新聞發(fā)布會(huì)上，教育部相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，要在關(guān)鍵環(huán)節(jié)方面，讓“健康第一”落細(xì)落地．實(shí)施學(xué)生體質(zhì)強(qiáng)健計(jì)劃、心理健康促進(jìn)行動(dòng)等，保障中小學(xué)生每天綜合體育活動(dòng)時(shí)間不低于2小時(shí)，全面培育學(xué)生積極心理品質(zhì)，要讓孩子們動(dòng)起來，互動(dòng)起來，多見陽光，多呼吸新鮮空氣．（1）為了解喜愛排球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，某統(tǒng)計(jì)部門在某地隨機(jī)抽取了男性和女性各100名進(jìn)行調(diào)查、得到2×2列聯(lián)表如下：喜愛排球運(yùn)動(dòng)不喜愛排球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男性6040100女性4555100合計(jì)10595200依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛排球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？（2）某校排球隊(duì)的甲、乙、丙、丁四名球員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，甲等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，乙也等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地隨機(jī)傳向甲、乙中的1人，第1次由甲將球傳出，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記第n次傳球之后球在丙或丁手上的概率為an．（i）計(jì)算a1，a2，并求{an}的通項(xiàng)公式；（ii）記第n次傳球之后球在乙手上的概率為bn，求{bn}的通項(xiàng)公式．附：χ2α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；獨(dú)立性檢驗(yàn)；數(shù)列遞推式．【專題】應(yīng)用題；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）喜愛排球運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)；（2）（i）23，2（ii）bn【分析】（1）首先計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量并與臨界值比較，再判斷是否拒絕原假設(shè)（性別與喜愛排球無關(guān)）；（2）（i）通過題目信息直接計(jì)算a1，a2，再寫出遞推式n≥2時(shí)，an（ii）根據(jù)題目寫出遞推式化簡(jiǎn)即可求出．【解答】解：（1）假設(shè)H0喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別獨(dú)立，即喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得χ2依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別獨(dú)立，即喜愛排球運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)；（2）（i）由題意，a1=2且n≥2時(shí)，an所以an又a1所以{an-25所以an即an（ⅱ）由題意，b1=13且bn所以bn又b1所以{bn-15則bn即bn【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．?dāng)?shù)列遞推式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an﹣1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an=s在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點(diǎn)撥】數(shù)列的通項(xiàng)的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1n≥2s（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an=（6）已知遞推關(guān)系求an，有時(shí)也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an=a（7）求通項(xiàng)公式，也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．2．隨機(jī)事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件．（或“偶然性事件”）2．特點(diǎn)：（1）隨機(jī)事件可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）每個(gè)試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先預(yù)測(cè)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．3．注意：（1）隨機(jī)事件發(fā)生與否，事先是不能確定的；（2）必然事件發(fā)生的機(jī)會(huì)是1；不可能事件發(fā)生的機(jī)會(huì)是0；隨機(jī)事件發(fā)生的機(jī)會(huì)在0﹣1之間，0和1可以取到．（3）要判斷一個(gè)事件是必然事件、隨機(jī)事件、還是不可能事件，要從定義出發(fā)．3．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．4．概率的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】概率相關(guān)知識(shí)梳理：一、古典概型與互斥事件1．頻率與概率：頻率是事件發(fā)生的概率的估計(jì)值．2．古典概率計(jì)算公式：P（A）＝．集合的觀點(diǎn)：設(shè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)構(gòu)成集合I，事件A包含的事件數(shù)構(gòu)成集合A，則．3．古典概型的特征：（1）每次試驗(yàn)的結(jié)果只有一個(gè)基本事件出現(xiàn)；（2）試驗(yàn)結(jié)果具有有限性；（3）試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)等可能性．4．互斥事件概率（1）互斥事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A，B稱為互斥事件．（2）互為事件概率計(jì)算公式：若事件A，B互斥，則P（A+B）＝P（A）+P（B）．（3）對(duì)立事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中兩個(gè)事件A，B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)事件發(fā)生，這樣的兩個(gè)事件稱為對(duì)立事件．記作：B=A，由對(duì)立事件定義知：P（A）＝1﹣P（A（4）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立必互斥，互斥未必對(duì)立．用集合的觀點(diǎn)分析對(duì)立事件與互斥事件：設(shè)兩個(gè)互斥事件A，B包含的所有結(jié)果構(gòu)成集合A，B，則A∩B＝?（如圖所示）設(shè)兩個(gè)對(duì)立事件A，A包含的所有結(jié)果構(gòu)成的集合為A，A，A∩A=?，A∪A=則注：若A1，A2，…，An任意兩個(gè)事件互斥，則：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）二、幾何概型幾何概型定義：向平面有限區(qū)域（集合）G內(nèi)投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1?G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān)，我們就稱這種概型為幾何概型．幾何概型計(jì)算公式：幾何概型的特征：（1）試驗(yàn)的結(jié)果有無限個(gè)（無限性）；（2）試驗(yàn)的結(jié)果出現(xiàn)等可能性．注：幾何概型中的區(qū)域可以是長(zhǎng)度、面積、體積等．三、條件概率與獨(dú)立事件1．條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A，B，在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為事件B發(fā)生時(shí)事件A發(fā)生的條件概率，記為P（A|B）．類似的還可定義為事件A發(fā)生時(shí)事件B發(fā)生的條件概率，記為P（B|A）．2．把事件A，B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A，B的交（或積），記為：A∩B＝D或D＝AB．3．條件概率計(jì)算公式：P（A|B）=P(AB)P(B)（P（B）＞0），P（B|A）注：（1）事件A在“事件B發(fā)生的條件下”的概率與沒有事件B發(fā)生時(shí)的概率是不同的．（2）對(duì)于兩個(gè)事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）則表明事件B的發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率．此時(shí)事件A，B是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件，即有P（A|B）＝P（A）=P(AB)P(B)（P（B）＞0?P（AB）＝故當(dāng)兩個(gè)事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），則事件A，B相互獨(dú)立，同時(shí)A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立．四、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布1．二項(xiàng)分布：（1）n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念：在相同的條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征：①每次試驗(yàn)的條件相同，某一事件發(fā)生的概率不變；②各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，且每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果發(fā)生或不發(fā)生．（2）二項(xiàng)分步概率計(jì)算公式：一般地，在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為，若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)n，p的二項(xiàng)分布，記作：X～B（n，p）．2．超幾何分布超幾何分布定義：一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中含有M件次品（M≤N），從N件產(chǎn)品中任取n件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中含有的次品的個(gè)數(shù)，則，（k為非負(fù)整數(shù)），若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)N，M，k的超幾何分布，記作X～H（N，M，n）注：超幾何分布是概率分布的另一種形式，要注意公式中N，M，k的含義．隨機(jī)變量X取某一個(gè)值的概率就是求這一事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的商．3．正態(tài)分布：（1）正態(tài)曲線：函數(shù)f（x）=12πσe-(x（2）若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則E（X）＝μ，D（X）＝σ2．五、離散型隨機(jī)變量的分布列，期望，方差．1、概念：（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．4、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．5、離散型隨機(jī)變量的方差；方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的EξDξ是隨機(jī)變量ξ的期望．標(biāo)準(zhǔn)差：Dξ的算術(shù)平方根Dξ叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．方差的性質(zhì)：．方差的意義：（1）隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；（2）隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；（3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛．【解題方法點(diǎn)撥】概率和離散型隨機(jī)變量知識(shí)是新課標(biāo)高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，重點(diǎn)考查古典概率、幾何概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)等內(nèi)容，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)考查以選擇題、填空題為主．考查的內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，即掌握住基礎(chǔ)知識(shí)就能解決此類問題．對(duì)于綜合性知識(shí)的考查主要是把概率、隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)、離散型隨機(jī)變量的均值、方差等內(nèi)容綜合在一起解決實(shí)際問題，多以大題的形式出現(xiàn)．題目的難度在中等以上水平，解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解離散型隨機(jī)變量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二項(xiàng)分布、超幾何分布等），便于求出分布列，進(jìn)而求出均值與方差．利用均值、方差的含義去分析問題，這也是新課標(biāo)高考命題的方向．【命題方向】題型一：概率的計(jì)算典例1：已知函數(shù)y=x（0≤x≤4）的值域?yàn)锳，不等式x2﹣x≤0的解集為B，若a是從集合A中任取的一個(gè)數(shù)，b是從集合B中任取一個(gè)數(shù)，則a＞bA．14B．13C．12解：由題意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，則圍成的區(qū)域面積為2，使得a＞b的區(qū)域面積為2-12=故選D題型二：離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差典例2：在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過程中，武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐．已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是23（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ．求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）解：（I）設(shè)命中油罐的次數(shù)為X，則當(dāng)X＝0或X＝1時(shí)，油罐不能被引爆．P(P(∴油罐被引爆的概率（II）射擊次數(shù)ξ的取值為2，3，4，5．P(P(P(P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）=1-因此，ξ的分布列為：ξ2345P4982742719∴Eξ5．相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣對(duì)于相互獨(dú)立事件A和B，P(【解題方法點(diǎn)撥】﹣應(yīng)用乘法公式計(jì)算獨(dú)立事件的聯(lián)合概率，確保事件的獨(dú)立性．【命題方向】﹣重點(diǎn)考察獨(dú)立事件的概率計(jì)算及獨(dú)立性證明．6．條件概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P（B|A）來表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）=【解題方法點(diǎn)撥】典例1：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是29解：由題意得，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，基本事件的總個(gè)數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個(gè)