專題11三角恒等變換及應用（八大題型+模擬精練）目錄：01兩角和與差的三角函數02二倍角公式03半角公式04輔助角公式及應用05降冪公式06萬能公式07積化和差與和差化積公式08三角恒等變換的應用01兩角和與差的三角函數1．（23-24高三上·廣東肇慶·階段練習）（

）A． B． C． D．2．（2023·福建廈門·模擬預測）已知，則（

）A．0 B． C． D．3．（23-24高三上·廣東江門·階段練習）如圖，，是九個相同的正方形拼接而成的九宮格中的兩個角，則（

）

A． B． C． D．4．（2023·四川宜賓·二模）已知，則（

）A．1 B． C． D．5．（2024·廣西·模擬預測）已知，若，則（

）A． B． C． D．02二倍角公式6．（21-22高三上·陜西漢中·階段練習）已知，，則（

）A．0 B．2 C．0.5 D．0或27．（20-21高三上·吉林松原·期末）若，則（

）A． B． C． D．8．（23-24高三上·福建寧德·期中）已知是第一象限角，，則（

）A． B． C． D．9．（2024·江西·模擬預測）若，則（

）A． B．1 C． D．10．（2024·遼寧·一模）若，則（

）A．或2 B．或 C．2 D．11．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（

）A． B． C． D．03半角公式12．（2024·全國·模擬預測）已知角是第二象限角，且終邊經過點，則（

）A． B． C． D．或13．（23-24高三下·云南·階段練習）已知角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．14．（2023·全國·高考真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．15．（22-23高三上·河北石家莊·期末）已知，則.04輔助角公式及應用16．（23-24高三下·四川綿陽·階段練習）已知，則．17．（2024·新疆喀什·二模）已知函數，其中，滿足，則．18．（2024·全國·模擬預測）設，則函數的最大值為．19．（2024·河南新鄉·三模）已知函數，若存在，使得，則的最小值為.05降冪公式20．（2022·云南·模擬預測）（

）A． B． C． D．221．（22-23高三下·安徽·開學考試）已知，則（

）A． B． C． D．22．（2021·四川巴中·模擬預測）已知，則（

）A．1 B．2 C．3 D．23．（22-23高三上·廣西柳州·階段練習）已知的數（），若對任意的實數t，在區間上的值域均為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．06萬能公式24．（20-21高一下·陜西西安·期末）若，則（

）A． B． C． D．25．（2022·全國·模擬預測）已知第二象限角滿足，則（

）A． B． C． D．26．（2021·河北邯鄲·一模）已知，則（

）A． B． C． D．07積化和差與和差化積公式27．（2021高三·全國·專題練習）求cos+cos-2sincos的值；28．（22-23高三上·廣東汕頭·期末）設銳角三角形ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知．(1)求證：B＝2A；(2)求的取值范圍．08三角恒等變換的應用29．（2024·山東·二模）已知函數，則下列結論正確的是（

）．A．函數的最大值是B．函數在上單調遞增C．該函數的最小正周期是D．該函數向左平移個單位后圖象關于原點對稱30．（2024·四川·模擬預測）已知函數在上有且僅有4個零點．則圖象的一條對稱軸可能的直線方程為（

）A． B．C． D．31．（22-23高三上·寧夏銀川·階段練習）已知函數.(1)求的最小正周期和單調遞減區間；(2)若，且，求的值.32．（2024高三下·全國·專題練習）已知函數，若，則直線與的圖象的交點個數為（

）A．3 B．4 C．5 D．633．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習）的內角的對邊分別為，且.(1)判斷的形狀；(2)若為銳角三角形，，求的最大值.一、單選題1．（2024·福建廈門·三模）已知，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·河北保定·二模）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2024·貴州·模擬預測）已知，，則（

）A．3 B． C． D．4．（2024·河南·二模）已知，則（

）A． B． C． D．5．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知是單位圓上不同的兩點，其中在第一象限，在第二象限，直線的傾斜角分別為，若點的橫坐標分別為，則（

）A． B．C． D．6．（2024·江蘇揚州·模擬預測）若，且，，則（

）A． B． C． D．7．（2024·全國·三模）當時，的最大值是（

）A．2 B． C．0 D．8．（2024·陜西榆林·三模）已知，若當時，關于的不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國·模擬預測）若，，則（

）A． B． C． D．10．（2023·浙江·二模）已知函數為奇函數，則參數的可能值為（

）A． B． C． D．11．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知，下列判斷正確的是（

）A．若，且，則B．時，直線為圖象的一條對稱軸C．時，將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱D．若在上恰有9個零點，則的取值范圍為三、填空題12．（2024·全國·二模）已知，則.13．（2024·湖北·三模）設函數對任意的均滿足，則14．（2024·全國·模擬預測）已知銳角三角形的內角的對邊分別為，若，則的取值范圍是.四、解答題15．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，且函數在上的最大值為．(1)求常數的值；(2)求函數的單調遞減區間．16．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知在中，三邊所對的角分別為，已知．(1)求；(2)若外接圓的直徑為4，求的面積．17．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知的內角所對的邊分別為，且．(1)證明：；(2)若的面積為，判斷是否為等腰三角形，并說明理由．18．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知函數．(1)若，求函數的單調遞減區間；(2)當時函數的最小值為2，求實數的值．19．（2024·安徽·二模）在平面直角坐標系中，利用公式①（其中，，，為常數），將點變換為點的坐標，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示．(1)在平面直角坐標系中，將點繞原點按逆時針旋轉得到點（到原點距離不變），求點的坐標；(2)如圖，在平面直角坐標系中，將點繞原點按逆時針旋轉角得到點（到原點距離不變），求坐標變換公式及對應的二階矩陣；(3)向量（稱為行向量形式），也可以寫成，這種形式的向量稱為列向量，線性變換坐標公式①可以表示為：，則稱是二階矩陣與向量的乘積，設是一個二階矩陣，，是平面上的任意兩個向量，求證：．專題11三角恒等變換及應用（八大題型+模擬精練）目錄：01兩角和與差的三角函數02二倍角公式03半角公式04輔助角公式及應用05降冪公式06萬能公式07積化和差與和差化積公式08三角恒等變換的應用01兩角和與差的三角函數1．（23-24高三上·廣東肇慶·階段練習）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函數的誘導公式與和差公式即可得解.【解析】.

故選：C.2．（2023·福建廈門·模擬預測）已知，則（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角和差的正弦公式將題給條件化簡，得到關于的方程，解之即可求得的值.【解析】，，又，則，則故選：A3．（23-24高三上·廣東江門·階段練習）如圖，，是九個相同的正方形拼接而成的九宮格中的兩個角，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的正切值，即可得出的正切值，進而求出的度數.【解析】由題意及圖得，，，∴．∵，，∴．故選：B.4．（2023·四川宜賓·二模）已知，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據正切的和差角公式即可代入求解.【解析】，故選：C5．（2024·廣西·模擬預測）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦兩角和公式和正弦函數的性質求出，代入即可求解.【解析】因為，所以，所以，所以，或，，又，所以，所以，故選：A02二倍角公式6．（21-22高三上·陜西漢中·階段練習）已知，，則（

）A．0 B．2 C．0.5 D．0或2【答案】C【分析】由正弦的二倍角公式求解即可.【解析】因為，所以，所以由得，故選：C7．（20-21高三上·吉林松原·期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用和角的余弦公式展開，再平方即得解.【解析】解：由題得，兩邊平方得.故選：C8．（23-24高三上·福建寧德·期中）已知是第一象限角，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由同角三角函數關系式及二倍角公式化簡求值.【解析】因為是第一象限角，，所以，所以，故選：B.9．（2024·江西·模擬預測）若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據兩角和的正切公式求出，再由二倍角公式公式及同角三角函數的基本關系將弦化切，再代入計算可得.【解析】因為，即，則．故選：A10．（2024·遼寧·一模）若，則（

）A．或2 B．或 C．2 D．【答案】C【分析】根據已知條件，利用正切的二倍角公式求出tanα，再利用正余弦二倍角公式和同角三角函數的商數關系化簡要求值的式子，帶值計算即可得到答案.【解析】或，代入tanα求得值均為：2.故選：C.11．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用誘導公式和差角公式求出正切值，再利用齊次式可求答案.【解析】因為，所以，又，所以，所以，即，解得或，因為，所以，所以．故選：D03半角公式12．（2024·全國·模擬預測）已知角是第二象限角，且終邊經過點，則（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據已知條件求出和的值，再利用求解即可.【解析】∵角是第二象限角，且終邊經過點，∴，，∴.故選：C．13．（23-24高三下·云南·階段練習）已知角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角函數定義求出正弦和余弦，結合半角公式求出答案.【解析】由三角函數定義得所以.故選：A.14．（2023·全國·高考真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【解析】因為，而為銳角，解得：．故選：D．15．（22-23高三上·河北石家莊·期末）已知，則.【答案】【分析】利用半角公式即可求解.【解析】因為，且，所以，故答案為：.04輔助角公式及應用16．（23-24高三下·四川綿陽·階段練習）已知，則．【答案】【分析】借助輔助角公式與同角三角函數基本關系計算即可得.【解析】，故，由，則，故，.故答案為：.17．（2024·新疆喀什·二模）已知函數，其中，滿足，則．【答案】【分析】根據代入計算，化簡可得關于的方程，解方程即可.【解析】因為，，所以，所以，即，所以，又因為，所以，即.故答案為：.18．（2024·全國·模擬預測）設，則函數的最大值為．【答案】【分析】平方后，設，得到，，根據函數單調性得到最值，得到答案.【解析】設，，兩邊平方得．設，兩邊平方得，則，由于，，則，，又由于在區間上單調遞增，所以當時,的最大值為，則在區間上的最大值為．故答案為：19．（2024·河南新鄉·三模）已知函數，若存在，使得，則的最小值為.【答案】/【分析】利用輔助角公式化簡函數，求出相位的范圍，再利用正弦函數的性質求解即得.【解析】函數，由，得，由存在，使得，得，解得，所以的最小值為.故答案為：05降冪公式20．（2022·云南·模擬預測）（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】利用誘導公式和降冪公式化簡即得解.【解析】解：由題得.故選：C21．（22-23高三下·安徽·開學考試）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用降冪公式，再利用二倍角公式化簡即得解.【解析】由已知，化簡得．平方得，所以．故選：A．22．（2021·四川巴中·模擬預測）已知，則（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【解析】根據降冪公式和二倍角的正弦公式化簡等式左邊即可得解.【解析】因為，所以，所以，所以.故選：B【點睛】本題考查了降冪公式，考查了二倍角的正弦公式，屬于基礎題.23．（22-23高三上·廣西柳州·階段練習）已知的數（），若對任意的實數t，在區間上的值域均為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對運用倍角公式作恒等變換求出周期，則其周期，據此可以求解.【解析】，其周期為，由題意有：.故選：D.06萬能公式24．（20-21高一下·陜西西安·期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值.【解析】.故選：A.25．（2022·全國·模擬預測）已知第二象限角滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由結合正切和角公式化簡，求得，利用萬能公式即可求解.【解析】∵，∴，解得或（舍去），所以.故選：D26．（2021·河北邯鄲·一模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運用誘導公式及齊次化即可或解.【解析】由，得，所以，從而故選：B07積化和差與和差化積公式27．（2021高三·全國·專題練習）求cos+cos-2sincos的值；【答案】0【分析】利用和差化積進行化簡求值即可得解.【解析】cos+cos-2sincos=coscos=2coscoscos=coscos=0.28．（22-23高三上·廣東汕頭·期末）設銳角三角形ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知．(1)求證：B＝2A；(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明過程見解析.(2)【分析】（1）利用正弦定理及積化和差得到，結合角的范圍，得到；（2）利用正弦定理得到，根據三角形為銳角三角形，得到，，從而求出取值范圍.【解析】（1），由正弦定理得：，由積化和差公式可得：，因為，所以，因為三角形ABC為銳角三角形，故，所以，故，即；（2）由（1）知：，由正弦定理得：，其中，因為，所以，由得：，由，解得：，結合可得：，，故在上單調遞增，所以，即.08三角恒等變換的應用29．（2024·山東·二模）已知函數，則下列結論正確的是（

）．A．函數的最大值是B．函數在上單調遞增C．該函數的最小正周期是D．該函數向左平移個單位后圖象關于原點對稱【答案】B【分析】根據題意，化簡函數，結合三角函數的圖象與性質，逐項判定，即可求解.【解析】由函數，可得最大值是2，最小正周期是，所以選項A，C錯誤；當，可得，根據正弦函數的性質，可得函數在上單調遞增，所以B正確；將函數圖象向左平移得到函數，此時函數的圖象不關于原點對稱，所以D錯誤.故選：B．30．（2024·四川·模擬預測）已知函數在上有且僅有4個零點．則圖象的一條對稱軸可能的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】化簡，由零點個數整體思想求出，并求出對稱軸判斷其范圍，結合賦值法判斷各選項.【解析】，令，得，因為，所以，若在上有且僅有4個零點，則，解得，令，得，因為，所以．當，當，當，只有D符合.故選：D．31．（22-23高三上·寧夏銀川·階段練習）已知函數.(1)求的最小正周期和單調遞減區間；(2)若，且，求的值.【答案】(1)最小正周期為，單調遞減區間為(2)【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式化簡得到，根據正弦型函數最小正周期和單調區間的求法可直接求得結果；（2）由可求得，進而得到，利用兩角和差余弦公式可求得結果.【解析】（1），的最小正周期；令，解得：，的單調遞減區間為.（2）由（1）得：，，，，.32．（2024高三下·全國·專題練習）已知函數，若，則直線與的圖象的交點個數為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先將函數化簡得，再結合以及的任意性求出的值，從而求出的解析式，再數形結合探究即可得出結果.【解析】由題，由知，所以，解得，所以.對于，令，得；令，得，故直線經過點與點.易知的圖象也過點與點，在同一平面直角坐標系中作出函數的圖象與直線，如圖所示：結合圖象可知的圖象與直線恰有5個交點，故選：C.33．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習）的內角的對邊分別為，且.(1)判斷的形狀；(2)若為銳角三角形，，求的最大值.【答案】(1)為直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形(2)【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡后分別討論各項為0時的情況即可；（2）先根據（1）中的結論判斷此時為等腰三角形，再利用正弦定理將邊化為角，構造關于角B的三角函數求值域，注意角B在銳角三角形中的范圍即可.【解析】（1）由題意：，整理得，故或，當時，，為直角三角形，當時，，為等腰三角形，當且時，，，為等腰直角三角形.所以為直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.（2）由（1）知，若為銳角三角形，則一定為等腰三角形，，由正弦定理得，，，因為為銳角三角形，所以，解得，當時，即時取最大值，最大值為.綜上，最大值為一、單選題1．（2024·福建廈門·三模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得，再利用整體思想結合誘導公式與二倍角公式計算即可得.【解析】由，則，則，，則，由，故.故選：C.2．（2024·河北保定·二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函數的關系，解出，再結合二倍角公式即可求解.【解析】因為，所以，解得或（舍去），所以．故選：B.3．（2024·貴州·模擬預測）已知，，則（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函數的平方關系及求出和，再根據二倍角的正弦公式及降冪公式化簡，代入計算即可．【解析】由題設有，即，解得或，因為，所以，則，則，故選：A．4．（2024·河南·二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對已知等式兩邊平方結合平方關系、二倍角公式以及誘導公式即可運算求解.【解析】.故選：D.5．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知是單位圓上不同的兩點，其中在第一象限，在第二象限，直線的傾斜角分別為，若點的橫坐標分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據三角函數的定義，可得，，即可利用和差角公式求解.【解析】單位圓的方程為，將點的橫坐標分別代入單位圓的方程，可求得，根據三角函數的定義知，，因此．故選:D．6．（2024·江蘇揚州·模擬預測）若，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用切化弦可得，再由兩角和差公式先求，最后由同角基本關系式求解.【解析】因為，則，則，所以，而，則，所以.故選：C7．（2024·全國·三模）當時，的最大值是（

）A．2 B． C．0 D．【答案】D【分析】利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數，再利用正弦函數的性質求解即得.【解析】原式，其中銳角由確定，由，得，所以.故選：D8．（2024·陜西榆林·三模）已知，若當時，關于的不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，易得的對稱軸為，則，進而可得出答案.【解析】令，由題意可得，則，又因為，所以，函數的對稱軸為，則，即，即，結合，解得.故選：A.二、多選題9．（2023·全國·模擬預測）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用同角三角函數的基本關系式、二倍角公式等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【解析】選項A：由，，可知為銳角，且，解得，且，所以，故A錯誤；選項B：因為，，因此，故B正確；選項C：因為且．所以，所以C正確；選項D：因為，，所以，，所以，所以D正確．故選：BCD10．（2023·浙江·二模）已知函數為奇函數，則參數的可能值為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據奇函數，運用排除法，再驗算即可.【解析】是奇函數，并在時有意義，，對于A，，又；，是奇函數，正確；對于B，，錯誤；對于C，，又；，是奇函數，正確；對于D，，錯誤；故選：AC.11．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知，下列判斷正確的是（

）A．若，且，則B．時，直線為圖象的一條對稱軸C．時，將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱D．若在上恰有9個零點，則的取值范圍為【答案】BD【分析】利用二倍角公式化簡，利用余弦函數的圖象和性質依次判斷選項即可.【解析】，對于，根據條件，可得，故A錯誤；對于，當時，，所以直線為的一條對稱軸，故B正確；對于，當時，，將向左平移個單位長度后可得，為非奇非偶函數，故C錯誤；對于D，由題意，則，因為在上恰有9個零，所以，解得，故D正確.故選：BD.三、填空題12．（2024·全國·二模）已知，則.【答案】/0.28【分析】切化弦，然后整理可得，再利用倍角公式計算即可.【解析】，得，解得或（舍）所以.故答案為：.13．（2024·湖北·三模）設函數對任意的均滿足，則【答案】1【分析】由兩角和的正弦公式先進行化簡，再利用條件可得為偶函數，可求得的值，代入求解即可.【解析】因為，又因為，所以函數為偶函數，即，，，所以.故答案為：14．（2024·全國·模擬預測）已知銳角三角形的內角的對邊分別為，若，則的取值范圍是.【答案】【分析】由二倍角公式可得，利用正弦定理邊化角，結合和差公式整理可得，可得，根據三角形為銳角三角形求出角B的范圍，然后利用正弦定理和二倍角公式可得，可得范圍.【解析】因為，所以，所以，由正弦定理得，即，所以，所以，即，所以或（舍去），因為三角形為銳角三角形，所以，又，解得，所以.因為，所以的取值范圍為.故答案為：四、解答題15．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，且函數在上的最大值為．(1)求常數的值；(2)求函數的單調遞減區間．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據向量數量積運算、二倍角和輔助角公式可化簡，根據正弦型函數最大值可構造方程求得的值；（2）采用整體代換的方式，構造不等式，解不等式即可求得單調遞減區間.【解析】（1），，，解得：.（2）由（1）知：，令，解得：，的單調遞減區間為.16．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知在中，三邊所對的角分別為，已知．(1)求；(2)若外接圓的直徑為4，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用三角形中三內角的三角函數關系消去角，解三角方程即得；（2）由正弦定理求得邊，再由余弦定理求出邊，利用面積公式即得.【解析】（1）因為，由正弦定理得，，因為，所以，因為．所以，又，則，因為，所以．（2）由正弦定理，，則，由余弦定理，，解得或（舍去），故的面積．17．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知的內角所對的邊分別為，且．(1)證明：；(2)若的面積為，判斷是否為等腰三角形，并說明理由．【答