第二十四章圖形的相似（B卷-拔高卷）注意事項：本試卷滿分100分，試題共23題，選擇10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．答題時間：60分鐘一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022·上海·測試·編輯教研五八年級期末）如圖，已知，求作，則下列作圖正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先在射線上依次截取，，在射線上截取，連接，過作CE∥BD，交于，則即，再根據(jù)，即可得出結論．【詳解】如圖，需要在射線上依次截取，，在射線上截取，連接，過作CE∥BD，交于，則，即，所以；因為，所以DE=x即即為所求．故選：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的基本作圖，熟練掌握定理是解題的關鍵．2．（2022·重慶南開中學八年級期末）若且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用分式的基本性質(zhì)得到，然后根據(jù)等比性質(zhì)解決問題．【詳解】解：∵，∴，又，∴故選B【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握比例的系數(shù)是解題的關鍵．3．（2022·安徽·合肥市五十中學東校九年級階段練習）如圖，點E是正方形ABCD的邊AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，S1表示AE為邊長的正方形面積，S2表示以BC為長，BE為寬的矩形面積，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面積，S3：S2的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設AB＝a，根據(jù)黃金比值用a表示出AE、BE，根據(jù)矩形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：設AB＝a，∵點E是邊AB邊上的黃金分割點，AE＞EB，∴AEABa，則BE＝AB﹣AE＝aaa，∴S3：S2，故選：C．【點睛】本題考查是黃金分割的概念、黃金比值，熟記黃金比值為是解題的關鍵．4．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)石門實驗學校三模）如圖，在中，，，將沿著點到點的方向平移到的位置，圖中陰影部分面積為，則平移的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理求出是直角三角形，求出的面積，根據(jù)平移的性質(zhì)得出，的面積的面積，再根據(jù)面積比等于相似比的平方得出即可．【詳解】解：，，，，是直角三角形，，將沿著點到點的方向平移到的位置，∴，的面積的面積，，圖中陰影部分面積為，，∴，解得：，即平移的距離是，故選：．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形的面積和相似三角形的性質(zhì)等知識點，能求出的面積是解此題的關鍵．5．（2022·廣東·模擬預測）兩張全等的矩形（非正方形）紙片按如圖呈中心對稱方式放置在一個大正方形內(nèi)，記重疊部分為①，不重疊部分為②和③；若已知正方形面積，且圖形①和圖形③相似，則下列可求的是（

）A．矩形的面積 B．矩形的周長 C．圖形①的面積 D．圖形②的面積【答案】B【分析】設正方形的邊長為c，矩形的長、寬分別為a、b，得到，進而求解．【詳解】解：設正方形的邊長為c，矩形的長、寬分別為a、b，則，化簡后得到，，，，即矩形的周長為．故選：B．【點睛】本題考查了中心對稱，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)．理解相關知識是解答關鍵．6．（2022·江蘇揚州·九年級階段練習）如圖，在中，平分，于點，為的中點，連接延長交于點若，，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，然后證明，根據(jù)平行線分線段成比例可得，再根據(jù)三角形中位線定理求出即可．【詳解】解：，，，為中點，，，又平分，，，∴，∴，，，，故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，平行線分線段成比例定理以及三角形中位線定理等知識，證明是解答本題的關鍵．7．（2022·山東淄博·八年級期末）如圖，三個頂點的坐標分別為，，，以原點為位似中心，把這個三角形放大為原來的倍，得到，則點的對應點的坐標是(

)A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：以原點為位似中心，把放大為原來的倍，得到，，點的對應點的坐標是或，即或．故選：C．【點睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或．8．（2022·河北·石家莊市第四十四中學三模）如圖，為矩形的中心，將直角的直角頂點與重合，一條直角邊與重合，使三角板沿逆時針方向繞點旋轉，兩條直角邊始終與邊、相交，交點分別為、．若，，，，則與之間的函數(shù)圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】過點分別作于，于，易證明，利用相似比作為相等關系即可得到關于，的方程，整理即可得到函數(shù)關系式從而判斷圖象．【詳解】解：過點分別作于，于，即易得四邊形是矩形，則有：，，，∵為矩形的中心，于，于，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選：．【點睛】解決有關動點問題的函數(shù)圖象類習題時，關鍵是要根據(jù)條件找到所給的兩個變量之間的函數(shù)關系，尤其是在幾何問題中，更要注意基本性質(zhì)的掌握和靈活運用．9．（2022·上?！ど贤飧街芯拍昙夒A段練習）平面直角坐標系中有一直線，先將其向右平移3個單位得到，再將作關于x軸的對稱圖形，最后將繞與y軸的交點逆時針旋轉得到，則直線的解析式為___________.A． B． C． D．【答案】A【分析】直線，先將其向右平移3個單位得到，取兩點（0，11），（1，9），求得其關于x軸的對稱點(0，-11)，(1，-9)，待定系數(shù)法確定的解析式為y=2x-11，確定與y軸交點（0，-11），根據(jù)與垂直，利用相似和待定系數(shù)法確定的系數(shù)為，從而得到解析式．【詳解】根據(jù)直線，先將其向右平移3個單位得到，取兩點（0，11），（1，9），所以關于x軸的對稱點(0，-11)，(1，-9)，設解析式為y=kx+b，所以，解得，所以解析式為y=2x-11，所以與y軸交點A（0，-11），與x軸交點B（，0），設與x軸的交點為C，所以OA=11，OB=，因為繞與y軸的交點逆時針旋轉得到，所以∠OAC+∠OAB=90°，因為∠OBA+∠OAB=90°，所以∠OBA=∠OAC，因為∠BOA=∠AOC=90°，所以△BOA∽△AOC，所以，所以，解得OC=22，所以點C（-22，0）因為過點（0，-11），所以的解析式為y=kx-11，所以22k-11=0,解得k=，所以解析式．故選A．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法，軸對稱，平移，旋轉，熟練掌握待定系數(shù)法，理解旋轉的性質(zhì)和意義是解題的關鍵．10．（2022·山東·濟南育秀中學九年級階段練習）如圖，在菱形中，交的延長線于點E．連結交于點F，交于點G，于點H，連結．有下列結論：①；②；③；④．其中正確結論有（）A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)菱形的對稱軸即可判斷①，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷②，設，根據(jù)已知條件，結合含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進而可得，證明，可得，設，則，根據(jù)，求得，進而即可判斷③，根據(jù)，分別求得，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴對角線所在直線是菱形的對稱軸，A與C關于對稱，，，故①正確，，，，又，，，，，故②正確，菱形中，，，，，設，，，Rt中，，，，，，設，則，∴，又，，，，，故③正確，中，，∴，中，，，，中，，中，，，，，，故④正確，故正確的為∶①②③④．故選∶D【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2022·江蘇·宜興市桃溪中學九年級階段練習）在比例尺為的地圖上，測得A、B兩地間的圖上距離為2.5厘米，則其實際距離為______米．【答案】500【分析】設A，B兩地間的實際距離為，根據(jù)比例尺為的地圖上，測得A，B兩地間的圖上距離為，得：，求出x再轉換單位即可．【詳解】解：設A，B兩地間的實際距離為，根據(jù)題意列方程得，，解得，，∴A、B兩地的實際距離為500米，故答案為：500．【點睛】本題考查了比例線段，比較簡單，解題的關鍵是理解題意，根據(jù)題意列方程，注意統(tǒng)一單位．12．（2022·吉林吉林·九年級期末）如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，則AE的長為____．【答案】7【詳解】試題分析：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC．∴CD=BC－BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC．又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE．∴，即．∴．13．（2022·遼寧·沈陽市第一三四中學九年級階段練習）如圖，將一張矩形紙片沿它的長邊對折（EF為折痕），得到兩個全等的小矩形．如果小矩形長邊與短邊的比等于原來矩形長邊與短邊的比，那么原來矩形的長邊與短邊的比值是______．【答案】【分析】先根據(jù)題意得到，再代入變形得到，然后求解．【詳解】根據(jù)題意，得．將代入，得，開平方得（舍去）．故答案為：．【點睛】本題考查相似多邊形對應邊成比例的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形對應邊成比例是解題的關鍵．14．（2022·安徽合肥·八年級期末）如圖，AD是ABC的中線，M是AD的中點，延長BM交AC于點N，若AC=4，則AN=______．【答案】##【分析】作DEBN交AC于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到NE＝EC和AN＝NE，即可得到答案．【詳解】解：如圖，作DEBN交AC于E，∵AD是ABC的中線，∴BD＝DC，又∵DEBN，∴，∴NE＝EC，∵DE∥BN，AM＝MD，∴，∴AN＝NE，∴AN＝NE＝EC，∴．故答案為：．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正確運用平行線分線段成比例定理、找準對應關系得到相關的比例是解題的關鍵．15．（2022·湖北·武漢二中廣雅中學九年級階段練習）將圖1中的矩形和正方形紙片沿圖2中的虛線剪成5塊，再用這5塊拼接成如圖3所示矩形，其中陰影部分為空余部分，若AB=2AD，則的值為________.【答案】【分析】如圖，設FH=EJ=AK=x，則PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，首先證明x=3b-2a，利用相似三角形的性質(zhì)構建關系式，即可解決問題．【詳解】解：如圖，設FH=EJ=AK=x，則PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，∵JR=DQ=5a-x，AB=2CD，∴CD=2a-b，∵KQ=PF，∴x+2a-b+5a-x=5a+2b-x，∴x=3b-2a，∵∠EHF=∠P=∠EFT=90°，∴∠HFE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°，∴∠EFH=∠FTP，∴△EHF∽△FPT，∴，∴，整理得，3b2-15ab+14a2=0，∴b=a，∵4a-2b＞0，∴＜2，∴=．故答案為：．【點睛】本題考查圖形拼剪，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．16．（2022·浙江金華·一模）將一本高為（即）的詞典放入高（AB）為的收納盒中（如圖1）．恰好能蓋上盒蓋時，測得底部F離收納盒最左端B處，若此時將詞典無滑動向右倒，書角的對應點恰為CD中點．（1）收納盒的長_______；（2）現(xiàn)將若干本同樣的詞典放入此有蓋的收納盒中，如圖2放置，則最多有________本書可與邊BC有公共點．【答案】

cm

7【分析】（1）由圖知，已知，根據(jù)得到，在Rt中根據(jù)勾股定理得到，從而得到結論；（2）延長交BC于G'，如圖2所示，由（1）知在Rt中，，根據(jù)，得到，由得到最多有7本書可與邊BC有公共點．【詳解】解：（1）如圖所示：在Rt中，，，，則，，，連接，如圖所示：恰好能蓋上盒蓋，，詞典是長方體，，即，在Rt中，，，，，即，解得，將詞典無滑動向右倒，，書角的對應點恰為CD中點，，在Rt中，，，，則，，收納盒的長cm，故答案為：cm；（2）延長交BC于G'，如圖2所示：由（1）知，，，由（1）知，，，由（1）知在Rt中，，，，則，，解得，由（1）知，，最多有7本書可與邊BC有公共點．【點睛】本題考查利用勾股定理及相似的實際運用，涉及到勾股定理求線段長及三角形相似的判定與性質(zhì)，讀懂題意，根據(jù)圖形作出輔助線，找到直角三角形靈活運用勾股定理及相似求線段長是解決問題的關鍵．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2022·江蘇連云港·九年級期末）如圖，一個矩形廣場的長米，寬米，廣場內(nèi)兩條縱向的小路寬為a米，橫向的兩條小路寬為b米，矩形矩形EFGH．(1)求的值；(2)若，求矩形EFGH的面積．【答案】(1)a：b＝2：1(2)6272米2【分析】（1）根據(jù)題意可得HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，根據(jù)矩形ABCD∽矩形EFGH．可得，進而可以解決問題；（2）由（1）得2b＝a，根據(jù)矩形EFGH的面積＝EF?HE，即可解決問題．（1）根據(jù)題意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，∵矩形ABCD∽矩形EFGH．∴，∴，整理，得2b＝a，∴a：b＝2：1；（2）∵a＝4，2b＝a，∴b＝2，∴矩形EFGH的面積＝EF?HE＝（120﹣2a）?（60﹣2b）＝（120﹣8）（60﹣4）＝112×56＝6272（米2）．答：矩形EFGH的面積為6272米2．【點睛】本題考查了相似多邊形的應用，列代數(shù)式，解決本題的關鍵是掌握相似多邊形的性質(zhì)．18．（2022·山西省運城市運康中學校九年級階段練習）如圖，在8×11網(wǎng)格圖中，與是位似圖形.(1)若在網(wǎng)格上建立平面直角坐標系，使得點A的坐標為（-1，6），點的坐標為（2，3），則點B的坐標為___________；(2)以點A為位似中心，在網(wǎng)格圖中作，使和位似，且位似比為1：2；(3)在圖上標出與的位似中心P，并寫出點P的坐標為___________，計算四邊形ABCP的周長為___________．【答案】(1)(2)見解析(3)，【分析】（1）利用點A和的坐標畫出直角坐標系，然后寫出B點坐標；（2）利用網(wǎng)格特點，根據(jù)位似的性質(zhì)取AB的中點和AC的中點，則和位似，且位似比為1：2；（3）連接、、，它們相交于點P，再寫出P點坐標，然后利用勾股定理計算AB、BC、PC和AP的長，從而可得到四邊形ABCP的周長．（1）解：如圖，點B的坐標為（?5，2）；故答案為：；（2）如圖，為所作；（3）如圖，點P為所作，P點坐標為（1，2），，，，，所以四邊形ABCP的周長．故答案為：（1，2），．【點睛】本題考查了作圖?位似變換：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；然后根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；最后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．19．（2022·全國·九年級專題練習）李懿菲放學回家途經(jīng)過一個足球場，如圖，足球場邊有一路燈P，在燈下足球門橫梁AB在地面上的影子為CD，經(jīng)測量得知CD=9.8米，已知足球門橫梁AB=7.3米，高AE=BF=2.4米，試求路燈P距地面的高度．【答案】路燈P距地面的高度為9.408m．【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出，進而得出答案．【詳解】∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，∴，∴，∵AE∥PG，∴，∴，∴PG=9.408（m），答：路燈P距地面的高度為9.408m．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應用，正確得出相似三角形是解題關鍵．20．（2022·上海市康健外國語實驗中學九年級階段練習）已知：如圖，梯形中，AD//BC，是對角線上一點，(1)求證：(2)求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先由得到，然后由得證；（2）先由得到，再由得到，從而得到，再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案．（1）解：∵，∴，又∵，∴．（2）∵梯形中，，∴

又∵，∴，∵，∴，∴∴【點睛】本題考查了梯形的性質(zhì)、等腰梯形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練應用等量代換得證．21．（2022·上?！ば聟^(qū)川沙新鎮(zhèn)江鎮(zhèn)中學九年級階段練習）如圖，已知點A、C、E和點B、F、D分別是∠O兩邊上的點，且，，、交于點M，、交于點N．(1)求證：；(2)若，，求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理，由得到，由得到，所以，即＝，于是可判斷；（2）先利用得到＝，則可設，再由得到，，所以，接著由得到，于是可設，則，然后證明四邊形為平行四邊形得到，最后利用得到，求出a從而得到的長．（1）證明：∵，∴，即，∵，∴，即，∴，即，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，設，則，∵，∴，，∴，∵，∴，設，則，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，即，解得，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理．平行線分線段成比例定理指的是兩條直線被一組平行線所截，截得的對應線段的長度成比例．22．（2022·山東煙臺·八年級期末）閱讀與思考如圖是兩位同學對一道習題的交流，請認真閱讀下列對話并完成相應的任務．解決問題：(1)寫出正確的比例式及后續(xù)解答．(2)指出另一個錯誤，并給出正確解答．拓展延伸：(3)如圖，已知矩形ABCD的邊長AB＝3cm，BC＝6cm．某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)＝，解答見解析(2)沒有進行分類討論，見解析(3)存在，t＝或t＝【分析】（1）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得＝，再進行計算即可；（2）根據(jù)題意可知另一個錯誤是沒有進行分類討論，進行解答即可；（3）根據(jù)題意可知有兩種情況分別是和，然后列出方程進行計算即可．（1）由題意得∵∴正確比例式是：＝，∴DE＝＝＝＝；（2）另一個錯誤是沒有進行分類討論，如圖，過點D作∠ADE＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，則△ADE∽△ACB，∴＝，∴DE＝＝＝，綜合以上可得：DE為或．（3）由題意可知，有兩種情況，第一種：當時，設AM=t，則AN=6-2t，則由得，解得：t=；第二種：當時，則由，，解得：t=，綜上所述，當t＝或t＝時以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解決此題的關鍵是要學會分類討論．23．（2022·全國·九年級課時練習）（1）觀察猜想：如圖1，在中，，點D，E分別在邊，上，，，將繞點A逆時針旋轉到如圖2所示的位置，連接，交于點G，連接交于點F，則值為______，的度數(shù)為_____．（2）類比探究：如圖3，當，時，請求出的值及的度數(shù)．（3）拓展應用：如圖4，在四邊形中，，，．若，，請直接寫出A，D兩點之間的距離．【答案】（1），45°；（2），30°；（3）2【分析】（1）由題意得△ABC和△ADE為等腰直