2.7角的和與差

第二章

幾何圖形的初步認識【2024新教材】冀教版數學

七年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********2.6角大小的比較教案一、教學目標（一）知識與技能掌握角大小比較的三種方法：觀察法、度量法和疊合法，并能根據不同情境選擇合適的方法。理解角的和、差概念，能進行角的和、差運算，會用幾何語言描述角之間的關系。認識角平分線的概念，掌握角平分線的性質，能運用角平分線的定義解決簡單問題。（二）過程與方法通過觀察、操作、比較等活動，培養學生的動手能力和空間想象能力。經歷探索角大小比較方法的過程，體會從具體到抽象的數學思維方法，發展邏輯推理能力。（三）情感態度與價值觀感受角的大小比較在生活中的應用，激發學習幾何的興趣，體會數學的實用價值。在合作交流中培養學生的團隊意識，在動手操作中培養嚴謹的學習態度。二、教學重難點（一）教學重點角大小比較的方法，角的和、差運算，角平分線的概念及性質。（二）教學難點疊合法比較角大小的操作，角的和、差運算中角的位置關系，角平分線性質的應用。三、教學方法觀察操作法、合作探究法、講練結合法，輔以多媒體課件和教具（如三角板、量角器、活動角、透明紙等）。四、教學過程線，所以∠AOC=1/2∠AOB=60°；又因為OD是∠AOC的平分線，所以∠AOD=1/2∠AOC=30°。（三）鞏固練習1.基礎練習比較下列各組角的大小：用量角器測量∠ABC=50°，∠DEF=65°，則∠ABC<∠DEF。通過疊合法比較兩個角的大小，已知∠1的一邊與∠2的一邊重合，∠1的另一邊落在∠2的內部，則∠1<∠2。計算：已知∠1=25°，∠2=35°，則∠1+∠2=60°。已知∠AOC=80°，∠BOC=30°，則∠AOB=50°

或110°（分點B在∠AOC內部和外部兩種情況）。如圖，OC是∠AOB的平分線，∠AOC=25°，求∠AOB的度數。（50°）2.拓展練習如圖，已知∠AOB=90°，OC是∠AOB的平分線，OD將∠BOC分成∠BOD:∠COD=2:1，求∠BOD的度數。解：因為OC是∠AOB的平分線，所以∠BOC=45°；設∠COD=x°，則∠BOD=2x°，由x+2x=45，解得x=15，所以∠BOD=30°。利用一副三角板，可以畫出哪些度數的角？（15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°）思考：如何用尺規作一個角等于已知角的一半？（提示：作角的平分線，為下節課尺規作角平分線做鋪墊）（四）課堂小結角大小比較的方法有哪些？各自的適用條件是什么？如何進行角的和、差運算？在運算中需要注意什么？什么是角平分線？角平分線有哪些性質？（五）作業布置課本習題2.6第1、2、3題。用硬紙板制作兩個不同大小的角，用疊合法比較它們的大小，并寫出比較過程。思考題：已知∠A和∠B，且∠A>∠B，如何用尺規作一個角等于∠A-∠B？五、板書設計2.6角大小的比較角大小比較方法：觀察法：直觀判斷，適用于大小差異明顯的角。度量法：用量角器測量度數比較。疊合法：頂點和一邊重合，比較另一邊位置。角的和與差：和：∠AOC=∠AOB+∠BOC（如圖1）。差：∠BOC=∠AOC-∠AOB（如圖2）。角平分線：定義：平分角的射線。性質：∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB。六、教學反思通過生活中的實例引入角大小比較，符合學生的認知規律，激發了學生的學習興趣。在角大小比較的教學中，讓學生動手操作進行度量和疊合比較，培養了學生的實踐能力和空間觀念。學生在進行角的和、差運算時，容易忽略角的位置關系，需要在教學中強調分情況討論的重要性。下次教學時，可以增加一些數學史的內容，如角平分線的發現和應用，拓展學生的數學視野。這份教案從多個方面設計了角大小比較的教學內容。你可以提出對教案的看法，比如是否要調整例題難度，或者增加一些有趣的數學活動。互逆命題、互逆定理教案一、教學目標知識與技能目標理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。過程與方法目標通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。情感態度與價值觀目標培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。二、教學重難點重點互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。能正確寫出一個命題的逆命題。難點判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。用邏輯推理的方法證明命題的真假。三、教學方法講授法、討論法、練習法相結合四、教學過程（一）導入新課（5分鐘）展示一些簡單的命題，如“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”，“如果a=b，那么a2=b2”。引導學生分析這些命題的題設和結論。提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題——互逆命題、互逆定理。（二）講授新課（25分鐘）互逆命題給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。舉例說明：如原命題“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”。讓學生進一步理解互逆命題的概念。組織學生進行小組討論，每個小組寫出3-5個命題，并交換寫出它們的逆命題。命題真假的判斷引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”是真命題，而它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。互逆定理給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。舉例說明：如“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。（三）例題講解（15分鐘）例1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的對應角相等。（3）等腰三角形的兩個底角相等。分析：（1）逆命題為“如果ab=0，那么a=0”，這是假命題，因為當b=0時，ab=0，a不一定為0。（2）逆命題為“對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命題為“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。例2：證明命題“如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”是真命題。分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC。證明：作∠BAC的平分線AD，交BC于點D。因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共邊），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）課堂練習（10分鐘）寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）如果x=2，那么x2=4。（2）直角三角形的兩個銳角互余。（3）對頂角相等。判斷下列說法是否正確：（1）每個命題都有逆命題。（2）每個定理都有逆定理。（3）真命題的逆命題一定是真命題。（4）假命題的逆命題一定是假命題。（五）課堂小結（5分鐘）與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。（六）布置作業（5分鐘）課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。五、教學反思在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解線段可以比較長短，可以進行線段的和差運算；類似地，角可以比較大小，也可以進行角的和差運算，那么如何進行和差運算呢？你們能用手中三角板拼出哪些角度的角？如何拼的？拼出的角如何表示？小組合作完成，匯報展示.學生活動一【三角板拼角】如圖，在∠AOB的內部做射線OC，思考下列問題：（1）如圖，圖中都有哪些角？（2）這些角之間有怎樣的關系？學生活動二【角的和與差】在∠AOB的內部做射線，有沒有特殊的線？特殊的原因？角的平分線定義：從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的平分線．學生活動三【角的平分線】

拿出半透明紙，在紙上畫出一個角，你能不能折出這個角的平分線？（實際操作，并說一說你是怎樣折的？）(1)在半透明紙上畫出∠AOB.(2)折紙時,過頂點,使角的兩邊重合.(3)把紙展開,以O為端點,沿折痕畫射線OP,如圖所示.1.如果∠AOC=∠DOB，那么∠AOD與∠COB相等嗎？說明理由.學生活動四【探究角的基本模型】2.如圖：已知OP是∠AOC的平分線，OQ是∠COB的平分線。（1）已知∠POC=21°，求∠AOC的度數。（2）已知∠BOC=40°，求∠COQ的度數。（3）∠AOB=82°請指明∠POQ的度數，并說明理由

如圖，已知∠1＝103°24′28"，∠2＝30°54"，求∠1+∠2和∠1－∠2的度數.學生活動五【角的和與差的計算】∠1+∠2＝103°24′28"＋30°54".103°24′28"＋30°54"133°24′82"所以∠1+∠2＝133°25′22".(82"＝

1′22")解：∠1－∠2＝103°24′28"＋30°54".103°24′28"－30°54"73°23′34"所以∠1-∠2＝

73°23′34"(24′28"＝23′88")解：

解：∠1+∠2=22°17′+∠2=90°∠3+∠4=124°15′+55°45′=180°計算：（1）若∠1=22°17′，∠2=67°43′，求∠1+∠2？（2）若∠3=124°15′，∠4=55°45′，求∠3+∠4？學生活動六【余角與補角】如果兩個角的和等于90°，那么就說這兩個角互為余角，簡稱互余．其中一個角叫做另一個角的余角．如果兩個角的和等于180°，那么就說這兩個角互為補角，簡稱互補．其中一個角叫做另一個角的補角．∵∠α+∠β=90°∴∠α與∠β互為余角∵∠α+∠β=180°∴∠α與∠β互為補角數學語言：在圖（1）中，∠AOB=90°；在圖⑵中，∠DSE=180°．寫出互為余角、互為補角的角。解:∠AOC與∠BOC互為余角,∠DSF與∠ESF互為補角.一起探究1．如果∠1和∠2都是∠α的余角，那么∠1和∠2相等嗎?試著說說理由．2．如果∠3和∠4都是∠β的補角，那么∠3和∠4相等嗎?試著說說理由．性質：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的補角相等1.如圖,已知∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,請寫出∠1,∠2,∠3,∠4中的等量