2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共12頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題

共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出.故選：D.【答案】B【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式即可求出．故選：B.A. B. C. D.【答案】B【解析】故選：B．A.橫坐標(biāo)變成原來(lái)倍，縱坐標(biāo)不變 B.橫坐標(biāo)變成原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變C.縱坐標(biāo)變成原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變 D.縱坐標(biāo)變成原來(lái)的3倍，橫坐標(biāo)不變【答案】A【解析】故選：A.A. B. C.16 D.18【答案】C【解析】【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運(yùn)算即可求解.故選：C.【答案】C【解析】【分析】由基本不等式結(jié)合特例即可判斷.故選：C.A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)值域的概念結(jié)合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.故選：A.A.8 B.6 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】由輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的最小正周期與零點(diǎn)即可求解.綜上，的最小值為4.故選：C.A.2 B.4 C.20 D.40【答案】B【解析】【分析】由題給條件列出不同訓(xùn)練數(shù)據(jù)量時(shí)所需的時(shí)間，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.故選：B.【答案】D【解析】故選：D.第二部分（非選擇題

共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可求的值.故答案：.【答案】①.②.【解析】故答案為：.【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)角的三角函數(shù)的關(guān)系可得角的等量關(guān)系，從而可得滿足條件的一組解.故答案為：，（答案不唯一）【答案】【解析】下面回歸問(wèn)題.故答案為：.【答案】②③【解析】【分析】利用反證法可判斷①④的正誤，構(gòu)造函數(shù)并驗(yàn)證后可判斷②③的正誤.故該函數(shù)符合，故②正確；故③正確；故答案為：②③三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.（1）求c；【答案】（1）6（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由平方關(guān)系、正弦定理即可求解；【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】【答案】（1）證明過(guò)程見解析（2）【解析】（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線AB的方向向量與面PCD的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】取PA的中點(diǎn)N，PB的中點(diǎn)M，連接FN、MN，∴四邊形FGMN為平行四邊形，【小問(wèn)2詳解】設(shè)AB與面PCD成的角為即AB與平面PCD成角的正弦值為.18.有一道選擇題考查了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校各隨機(jī)抽取100人，甲校有80人答對(duì)，乙校有75人答對(duì)，用頻率估計(jì)概率．（1）從甲校隨機(jī)抽取1人，求這個(gè)人做對(duì)該題目的概率．（2）從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為做對(duì)的人數(shù)，求恰有1人做對(duì)的概率以及X的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）【解析】【分析】（1）用頻率估計(jì)概率后可得從甲校隨機(jī)抽取1人做對(duì)該題目的概率；（2）利用獨(dú)立事件可求恰有1人做對(duì)的概率及的分布列，從而可求其期望；【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】故的分布列如下表：【小問(wèn)3詳解】設(shè)為“甲校掌握該知識(shí)的學(xué)生”，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，（1）求橢圓方程；【解析】【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】【答案】（1）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值；【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】【小問(wèn)3詳解】（3）證明：M中所有元素都不構(gòu)成k列．（2）不能，理由見解析（3）證明過(guò)程見解析【解析】分析】（1）根據(jù)新定義即可得解；（3）假設(shè)全體元素構(gòu)成一個(gè)列，通過(guò)構(gòu)造導(dǎo)出矛盾，從而得到要證明的結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】這導(dǎo)致矛盾，所以二者不能同時(shí)出現(xiàn)在中.【小問(wèn)3詳解】橫、縱坐標(biāo)不能同時(shí)相差4，這樣下一項(xiàng)只能有12個(gè)點(diǎn)，綜上，M中所有元素都無(wú)法構(gòu)成列．則和都包含個(gè)元素，且中元素的相鄰項(xiàng)