南京一模數學試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.函數\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\)D.\((-\infty,1]\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，則\(m=\)（）A.-4B.4C.-1D.14.直線\(y=x+1\)的斜率為（）A.0B.1C.-1D.不存在5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)6.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5=\)（）A.9B.8C.7D.67.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((0,1)\)B.\((0,-1)\)C.\((1,0)\)D.\((-1,0)\)8.函數\(f(x)=x^3-3x\)的極小值點為（）A.-1B.1C.0D.29.已知\(\log_2x=3\)，則\(x=\)（）A.6B.8C.16D.3210.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)這\(4\)個數字中任取\(2\)個數字，則取出的\(2\)個數字之和為偶數的概率是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{1}{4}\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是奇函數（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)2.下列關于直線與平面的位置關系，正確的是（）A.若直線\(a\parallel\)平面\(\alpha\)，直線\(b\subset\alpha\)，則\(a\parallelb\)B.若直線\(a\perp\)平面\(\alpha\)，直線\(b\parallel\alpha\)，則\(a\perpb\)C.若直線\(a\)與平面\(\alpha\)相交，直線\(b\subset\alpha\)，則\(a\)與\(b\)相交D.若直線\(a\parallel\)平面\(\alpha\)，直線\(b\parallel\alpha\)，則\(a\)與\(b\)可能平行、相交或異面3.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}\)4.對于函數\(y=\cos(2x-\frac{\pi}{3})\)，以下說法正確的是（）A.最小正周期是\(\pi\)B.圖象關于直線\(x=\frac{\pi}{6}\)對稱C.在區間\([-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]\)上單調遞增D.圖象關于點\((\frac{5\pi}{12},0)\)對稱5.下列曲線中，離心率為\(\sqrt{2}\)的是（）A.\(x^2-y^2=1\)B.\(y^2-x^2=1\)C.\(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1\)D.\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\)6.已知\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）是復數，則（）A.\(z\)的共軛復數\(\overline{z}=a-bi\)B.若\(|z|=1\)，則\(a^2+b^2=1\)C.\(z^2=(a^2-b^2)+2abi\)D.復數\(z\)對應的點\((a,b)\)在復平面內7.已知函數\(f(x)\)是定義在\(R\)上的周期函數，周期為\(2\)，且\(f(x)\)是偶函數，當\(x\in[0,1]\)時，\(f(x)=x\)，則（）A.\(f(-1)=1\)B.\(f(2.5)=0.5\)C.\(f(-0.5)=0.5\)D.\(f(3)=1\)8.下列關于導數的說法正確的是（）A.函數\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處的導數\(f^\prime(x_0)\)表示函數在\(x=x_0\)處的切線斜率B.若\(f^\prime(x)\gt0\)在區間\((a,b)\)上恒成立，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調遞增C.函數\(y=f(x)\)的導數\(f^\prime(x)\)的零點就是函數\(f(x)\)的極值點D.求函數\(y=f(x)\)的最值時，需先求其極值點和端點值進行比較9.已知圓\(C\)：\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)，直線\(l\)：\(mx-y+1-m=0\)，則（）A.直線\(l\)恒過定點\((1,1)\)B.直線\(l\)與圓\(C\)可能相離C.直線\(l\)被圓\(C\)截得的弦長最短時，直線\(l\)的方程為\(x-y=0\)D.直線\(l\)被圓\(C\)截得的弦長最長時，直線\(l\)的方程為\(x+y-2=0\)10.已知\(a,b,c\)分別為\(\triangleABC\)內角\(A,B,C\)的對邊，\(\sinA\sinB\sinC=\frac{1}{8}\)，\(\triangleABC\)的面積為\(S\)，則（）A.\(abc=1\)B.當\(A=\frac{\pi}{3}\)時，\(S=\frac{\sqrt{3}}{4}bc\)C.若\(a=1\)，則\(S\leqslant\frac{\sqrt{3}}{16}\)D.若\(a=1\)，則\(S\leqslant\frac{\sqrt{3}}{4}\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函數\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內是單調遞減函數。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）4.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同時為\(0\)）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）5.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)。（）6.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c^2=a^2-b^2\)。（）7.函數\(y=\sin^2x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）8.若函數\(y=f(x)\)在區間\([a,b]\)上的圖象是連續不斷的，且\(f(a)f(b)\lt0\)，則函數\(y=f(x)\)在區間\((a,b)\)內至少有一個零點。（）9.兩個平面垂直，過一個平面內一點垂直于另一個平面的直線在第一個平面內。（）10.若數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=2n^2+3n\)，則\(a_n=4n+1\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的單調遞增區間。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，解得\(k\pi-\frac{\pi}{3}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{6}\)，\(k\inZ\)，所以單調遞增區間是\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}]\)，\(k\inZ\)。2.已知等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_5=25\)，求\(a_n\)。答案：設公差為\(d\)，由\(a_3=5\)得\(a_1+2d=5\)，由\(S_5=25\)得\(5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25\)，即\(a_1+2d=5\)。聯立解得\(a_1=1\)，\(d=2\)，所以\(a_n=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)垂直的直線方程。答案：直線\(2x-y+1=0\)斜率為\(2\)，與其垂直直線斜率為\(-\frac{1}{2}\)。由點斜式可得\(y-2=-\frac{1}{2}(x-1)\)，整理得\(x+2y-5=0\)。4.已知\(a,b,c\)為\(\triangleABC\)三邊，\(a=2\)，\(b=3\)，\(\cosC=\frac{1}{3}\)，求\(c\)的值。答案：根據余弦定理\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)，將\(a=2\)，\(b=3\)，\(\cosC=\frac{1}{3}\)代入，得\(c^2=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{3}=9\)，所以\(c=3\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數\(y=x^3-3x^2+2\)的單調性與極值情況。答案：對函數求導得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime\gt0\)，得\(x\lt0\)或\(x\gt2\)，函數遞增；令\(y^\prime\lt0\)，得\(0\ltx\lt2\)，函數遞減。\(x=0\)取極大值\(2\)，\(x=2\)取極小值\(-2\)。2.討論直線\(y=kx+1\)與圓\(x^2+y^2=4\)的位置關系。答案：圓\(x^2+y^2=4\)圓心\((0,0)\)，半徑\(r=2\)。根據點到直線距離公式，圓心到直線\(y=kx+1\)（即\(kx-y+1=0\)）距離\(d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\)。當\(d\ltr\)即\(\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\lt2\)，\(k\inR\)時相交；\(d=r\)即\(k=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)時相切；\(d\gtr\)不存在這種情況。3.討論在數列中，如何判斷一個數列是等差數列還是等比數列。答案：判斷等差數列，可驗證\(a_{n+1}-a_n\)是否為常數，若為常數則是等差數列；也可看\(2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}\)是否成立。判斷等比數列，驗證\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)是否為非零常數，或者\(a_{n+1}^2=a_n\cdota_{n+2}\)（\(a_n\neq0\)）是否成立。4.討論如何運用均值不等式求函數\(y=x+\frac{4}{x