XII信號處理的短時傅里葉變換分析綜述傅里葉變換可以把一個信號從時域變換到頻域，它的形式為：（3-4）傅里葉變換還存在系數，為了保證經過一次正變換和反變換之后，得到的信號與原信號幅值相同，必須需要滿足正變換系數乘上逆變換系數等于。根據歐拉公式：（3-5）也就是說傅里葉變換的本質就是將原始信號乘上一組三角函數，然后在整個時間域上進行積分。這里有一個信號：圖3-1當我們將這個信號與他本身相乘時可以得到下圖：圖3-2我們可以發現，由于乘上了自己，任何時間內的幅值都大于等于0了，不再滿足周期內積分值為0了，那么，當我們對這個新信號在整個負無窮到正無窮上進行積分，就會得到一個非常大的數字。所以這個數字就可以告訴我們哪些信號和你乘的這個信號是同頻率的，這就可以知道信號中具有哪些頻率成分了。我們已經知道將一個信號乘上一個特定頻率的函數并且在整個負無窮到正無窮的區間上進行積分可以篩選出同頻率的部分。那么原則上講，只要乘上所有頻率的函數并積分就可以知道所有頻率成分，但是這樣是算不出來的，所以將所乘的函數的頻率作為變量來進行積分：（3-6）對這個式子進行計算后，想知道特定的頻率代入就可以立馬得到積分的值，也就能知道是否含有這一頻率的部分了。傅里葉變換的式子代入歐拉公式就可以得到：（3-7）由此可得傅里葉變換的原理就是乘上帶有符號變量的函數并且積分，就可以知道原始信號中的所有頻率成分了。最后對進行傅里葉變換，使用的Matlab的FFT：圖3-3可以看到在的時候出現的波峰，說明這個信號含有的頻率成分。這里有兩個信號：圖3-4圖3-5兩個信號都包含相同的頻率成分，只不過兩種頻率出現的先后不同，再對這兩個信號同時做傅里葉變換，如下圖： 圖3-6圖3-7可以很清楚的看到雖然這兩個信號不同，但是得到的頻譜圖確是相同的，圖中所表達的信息都為有和的頻率部分，于是我們可以知道傅里葉變換的缺點就是只能提供頻域信息而會完全丟失時域信息。不管某一頻率的信號出現的時間是早還是晚，傅里葉變換都是一視同仁地將信號乘上傅里葉變換的基函數，然后在整個時間區間進行加和。因此它無法提供某一頻率信號出現的時間，所以我們需要用到短時傅里葉變換，也就是對信號進行加窗分析。短時傅里葉變換的原理可以理解為一個窗子在這個信號上從左到右滑動，每次只能看到窗子里的那一部分，這個長度稱為窗長width。可以定義一個窗長函數：，下圖即是一個窗長為10的方窗函數：圖3-8定義了方窗函數之后，我們只需要將方窗函數進行平移，再與原信號相乘，這種操作被稱為分窗。那么，將方窗函數向右平移了，再與原信號相乘，因為方窗函數除了中心的width部分是1外，其他部分都是0，這就相當于提取出了原信號在處，寬度為width的部分，分窗的操作就可以寫成：。接下來將與相乘，就相當于取出來了中的（20,30）的一段，如下圖所示：圖3-9那么就可以對這個信號中被提取出來的這一段進行傅里葉變換，可以寫成：（3-8），變換后的代表原信號在處，寬度為width的部分的傅里葉變換，也就可以提取出來原信號在處，寬度為width部分包含各個頻率部分的多少，代入不同的也就可以理解為隨著窗子的滑動，就可以知道不同時間段內的頻率的成分。于是我們采用width=10的方窗函數進行STFT，如下圖：首先，方窗位于處，與原始信號相乘，選擇出（0,10）的信號進行FT圖3-10圖3-11之后，方窗開始向右移動，當移動到時，選擇時間區間為（20,30），這一部分包含了兩種頻率成分，如下圖：圖3-12圖3-13總的來看，我們可以將方窗函數選擇的不同時間區間信號的FT結果拼合起來組成一張三維圖，大概如下：圖3-14實際來講，原則上是可以得到任一對應的頻率成分，但是是連續的，并不意味著可以知道每個時刻的頻率成分，我們所知道的還只是窗內的頻率信息，所以一般不需要計算所有的，只用計算每個窗里的。STFT的本質就是將方窗函數并入基函