2025年運籌學與決策科學考試題及答案一、線性規劃

要求：運用線性規劃方法解決實際問題，并分析求解過程。

1.已知線性規劃問題：

目標函數：Z=3x1+2x2

約束條件：

\[

\begin{cases}

x1+2x2\leq4\\

2x1+x2\leq6\\

x1,x2\geq0

\end{cases}

\]

請繪制約束條件圖形，并求解該線性規劃問題。

2.某工廠生產A、B兩種產品，生產A產品每臺需要原材料A、B、C各1單位，生產B產品每臺需要原材料A、B、C各2單位。原材料A、B、C的供應量分別為100、80、60單位。A、B產品的利潤分別為200元、150元。請列出該問題的線性規劃模型，并求解最優解。

3.某工廠生產兩種產品X、Y，生產X產品每臺需要原材料A、B、C各2單位，生產Y產品每臺需要原材料A、B、C各3單位。原材料A、B、C的供應量分別為100、80、60單位。X、Y產品的利潤分別為300元、200元。請列出該問題的線性規劃模型，并求解最優解。

4.某工廠生產兩種產品A、B，生產A產品每臺需要原材料X、Y、Z各1單位，生產B產品每臺需要原材料X、Y、Z各2單位。原材料X、Y、Z的供應量分別為100、80、60單位。A、B產品的利潤分別為200元、150元。請列出該問題的線性規劃模型，并求解最優解。

二、網絡流

要求：運用網絡流方法解決實際問題，并分析求解過程。

1.某城市供水系統由兩個水源地、兩個供水區域和三條管道組成。水源地1和水源地2分別向供水區域1和供水區域2供水。管道1的容量為20，管道2的容量為30，管道3的容量為40。請繪制該問題的網絡流圖，并求解最優解。

2.某物流公司有四個倉庫、四個配送中心和若干條運輸路線。倉庫1、倉庫2、倉庫3、倉庫4的容量分別為100、80、60、40單位。配送中心1、配送中心2、配送中心3、配送中心4的需求量分別為120、100、80、60單位。請列出該問題的網絡流模型，并求解最優解。

3.某電力系統由兩個發電廠、兩個變電站和三條輸電線路組成。發電廠1和發電廠2分別向變電站1和變電站2供電。輸電線路1的容量為100，輸電線路2的容量為120，輸電線路3的容量為140。請繪制該問題的網絡流圖，并求解最優解。

4.某通信公司有四個數據中心、四個交換中心和若干條通信線路。數據中心1、數據中心2、數據中心3、數據中心4的容量分別為100、80、60、40單位。交換中心1、交換中心2、交換中心3、交換中心4的需求量分別為120、100、80、60單位。請列出該問題的網絡流模型，并求解最優解。

三、非線性規劃

要求：運用非線性規劃方法解決實際問題，并分析求解過程。

1.某工廠生產A、B兩種產品，生產A產品每臺需要原材料X、Y、Z各1單位，生產B產品每臺需要原材料X、Y、Z各2單位。原材料X、Y、Z的供應量分別為100、80、60單位。A、B產品的利潤分別為200元、150元。請列出該問題的非線性規劃模型，并求解最優解。

2.某工廠生產兩種產品X、Y，生產X產品每臺需要原材料A、B、C各2單位，生產Y產品每臺需要原材料A、B、C各3單位。原材料A、B、C的供應量分別為100、80、60單位。X、Y產品的利潤分別為300元、200元。請列出該問題的非線性規劃模型，并求解最優解。

3.某工廠生產A、B兩種產品，生產A產品每臺需要原材料X、Y、Z各1單位，生產B產品每臺需要原材料X、Y、Z各2單位。原材料X、Y、Z的供應量分別為100、80、60單位。A、B產品的利潤分別為200元、150元。請列出該問題的非線性規劃模型，并求解最優解。

4.某工廠生產兩種產品X、Y，生產X產品每臺需要原材料A、B、C各2單位，生產Y產品每臺需要原材料A、B、C各3單位。原材料A、B、C的供應量分別為100、80、60單位。X、Y產品的利潤分別為300元、200元。請列出該問題的非線性規劃模型，并求解最優解。

四、多目標規劃

要求：運用多目標規劃方法解決實際問題，并分析求解過程。

1.某工廠生產A、B兩種產品，生產A產品每臺需要原材料X、Y、Z各1單位，生產B產品每臺需要原材料X、Y、Z各2單位。原材料X、Y、Z的供應量分別為100、80、60單位。A、B產品的利潤分別為200元、150元。請列出該問題的多目標規劃模型，并求解最優解。

2.某工廠生產兩種產品X、Y，生產X產品每臺需要原材料A、B、C各2單位，生產Y產品每臺需要原材料A、B、C各3單位。原材料A、B、C的供應量分別為100、80、60單位。X、Y產品的利潤分別為300元、200元。請列出該問題的多目標規劃模型，并求解最優解。

3.某工廠生產A、B兩種產品，生產A產品每臺需要原材料X、Y、Z各1單位，生產B產品每臺需要原材料X、Y、Z各2單位。原材料X、Y、Z的供應量分別為100、80、60單位。A、B產品的利潤分別為200元、150元。請列出該問題的多目標規劃模型，并求解最優解。

4.某工廠生產兩種產品X、Y，生產X產品每臺需要原材料A、B、C各2單位，生產Y產品每臺需要原材料A、B、C各3單位。原材料A、B、C的供應量分別為100、80、60單位。X、Y產品的利潤分別為300元、200元。請列出該問題的多目標規劃模型，并求解最優解。

本次試卷答案如下：

一、線性規劃

1.解析：

-繪制約束條件圖形，可得一個四邊形區域，表示可行域。

-利用線性規劃的單純形法或圖解法求解，得到最優解為x1=1，x2=1，最大利潤Z=5。

2.解析：

-列出線性規劃模型：

目標函數：Z=200x1+150x2

約束條件：

\[

\begin{cases}

x1+2x2\leq100\\

2x1+x2\leq80\\

x1,x2\geq0

\end{cases}

\]

-利用單純形法或圖解法求解，得到最優解為x1=40，x2=20，最大利潤Z=10000。

3.解析：

-列出線性規劃模型：

目標函數：Z=300x1+200x2

約束條件：

\[

\begin{cases}

2x1+3x2\leq100\\

x1,x2\geq0

\end{cases}

\]

-利用單純形法或圖解法求解，得到最優解為x1=25，x2=10，最大利潤Z=7500。

4.解析：

-列出線性規劃模型：

目標函數：Z=200x1+150x2

約束條件：

\[

\begin{cases}

x1+2x2\leq100\\

2x1+x2\leq80\\

x1,x2\geq0

\end{cases}

\]

-利用單純形法或圖解法求解，得到最優解為x1=40，x2=20，最大利潤Z=10000。

二、網絡流

1.解析：

-繪制網絡流圖，可得水源地1、水源地2分別向供水區域1、供水區域2供水，管道容量分別為20、30、40。

-利用最大流最小割定理求解，得到最大流為100，最優路徑為水源地1-供水區域1-管道1-供水區域2-管道2。

2.解析：

-列出網絡流模型：

目標函數：Z=120x1+100x2+80x3+60x4

約束條件：

\[

\begin{cases}

x1+2x2\leq100\\

2x1+x2\leq80\\

x1,x2,x3,x4\geq0

\end{cases}

\]

-利用最大流最小割定理求解，得到最大流為180，最優路徑為倉庫1-配送中心1-倉庫2-配送中心2-倉庫3-配送中心3-倉庫4-配送中心4。

3.解析：

-繪制網絡流圖，可得發電廠1、發電廠2分別向變電站1、變電站2供電，輸電線路容量分別為100、120、140。

-利用最大流最小割定理求解，得到最大流為240，最優路徑為發電廠1-變電站1-輸電線路1-變電站2-輸電線路2。

4.解析：

-列出網絡流模型：

目標函數：Z=120x1+100x2+80x3+60x4

約束條件：

\[

\begin{cases}

x1+2x2\leq100\\

2x1+x2\leq80\\

x1,x2,x3,x4\geq0

\end{cases}

\]

-利用最大流最小割定理求解，得到最大流為180，最優路徑為數據中心1-交換中心1-數據中心2-交換中心2-數據中心3-交換中心3-數據中心4-交換中心4。

三、非線性規劃

1.解析：

-列出非線性規劃模型：

目標函數：Z=200x1+150x2

約束條件：

\[

\begin{cases}

x1+2x2\leq100\\

2x1+x2\leq80\\

x1,x2\geq0

\end{cases}

\]

-利用非線性規劃方法，如梯度下降法、牛頓法等求解，得到最優解為x1=40，x2=20，最大利潤Z=10000。

2.解析：

-列出非線性規劃模型：

目標函數：Z=300x1+200x2

約束條件：

\[

\begin{cases}

2x1+3x2\leq100\\

x1,x2\geq0

\end{cases}

\]

-利用非線性規劃方法，如梯度下降法、牛頓法等求解，得到最優解為x1=25，x2=10，最大利潤Z=7500。

3.解析：

-列出非線性規劃模型：

目標函數：Z=200x1+150x2

約束條件：

\[

\begin{cases}

x1+2x2\leq100\\

2x1+x2\leq80\\

x1,x2\geq0

\end{cases}

\]

-利用非線性規劃方法，如梯度下降法、牛頓法等求解，得到最優解為x1=40，x2=20，最大利潤Z=10000。

4.解析：

-列出非線性規劃模型：

目標函數：Z=300x1+200x2

約束條件：

\[

\begin{cases}

2x1+3x2\leq100\\

x1,x2\geq0

\end{cases}

\]

-利用非線性規劃方法，如梯度下降法、牛頓法等求解，得到最優解為x1=25，x2=10，最大利潤Z=7500。

四、多目標規劃

1.解析：

-列出多目標規劃模型：

目標函數：

\[

\begin{cases}

Z1=200x1+150x2\\

Z2=300x1+200x2

\end{cases}

\]

約束條件：

\[

\begin{cases}

x1+2x2\leq100\\

2x1+x2\leq80\\

x1,x2\geq0

\end{cases}

\]

-利用多目標規劃方法，如Pareto最優解法、加權法等求解，得到最優解為x1=40，x2=20，最大利潤Z1=10000，最大利潤Z2=10000。

2.解析：

-列出多目標規劃模型：

目標函數：

\[

\begin{cases}

Z1=300x1+200x2\\

Z2=200x1+150x2

\end{cases}

\]

約束條件：

\[

\begin{cases}

2x1+3x2\leq100\\

x1,x2\geq0

\end{cases}

\]

-利用多目標規劃方法，如Pareto最優解法、加權法等求解，得到最優解為x1=25，x2=10，最大利潤Z1=7500，最大利潤Z2=10000。

3.解析：

-列出多目標規劃模型：

目標函數：

\[

\begin{cases}

Z1=200x1+150x2\\

Z2=300x1+200x2

\end{cases}

\]

約束條件：

\[

\begin{cases}

x1+2x2\leq100\\

2x1+x2\leq80\\

x1,x2\geq0

\end{cases}

\]

-利用多目標規劃方法，如Pareto最優解法、加權法等求解，得到最優解為x1=40，x2=20，最大利潤Z1=1