高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市蓉城聯盟2024-2025學年高二下學期期中考試數學試題注意事項：1．答題前，考生務必在答題卡上將自己的姓名、座位號、準考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區”.2．選擇題使用鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應區域內作答，超出答題區域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.3．考試結束后由監考老師將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在等差數列中，，，則（）A.0 B.5 C.10 D.15【答案】A【解析】，又，，成等差數列，，.故選：A2.已知函數，則（）A.1 B.－1 C.－2 D.0【答案】B【解析】由導數定義可知，由得，所以.故選：B．3.已知數列是等比數列，，，則（）A.24 B.－24 C. D.4【答案】C【解析】由于是等比數列，故，因此，故選：C4.下列導數運算錯誤的是（）A.，則 B.，則C.，則 D.，則【答案】B【解析】因為，故A正確；因為，故B錯誤；因為，故C正確；因為，故D正確.故選：B5.可導函數的導函數的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.函數在區間上單調遞增B.函數在區間上單調遞減C.函數在區間上單調遞增D.函數在區間上單調遞減【答案】C【解析】由圖象可知，在上，在上，所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，所以在，，上不單調，故A，B，D錯誤，在上單調遞增，故C正確.故選：C．6.兩個等差數列和，其前項和分別為，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差數列的性質可得，，故選：C．7.已知函數在處取得極小值，則的值為（）A.－1或－3 B.－1 C.或1 D.－3【答案】B【解析】由，又函數在處取得極小值，則，解得或，當時，，令，則或，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，則在處取得極小值，故符合；當時，，令，則或，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，則在處取得極大值，故不符合，.故選：B8.數列滿足：，若，，則（）A.1 B.－1 C.5 D.－5【答案】D【解析】由題意可得，用代替可得：，兩式相加，得，，是以6為周期的數列，，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數的導函數的圖象如圖所示，則函數的圖象不可能是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由的圖象知，當時，，所以的圖象在上單調遞增，且在區間上增長的速度越來越快，在區間上增長的速度越來越慢.對于A，函數在區間上增長的速度越來越慢，在區間上增長的速度越來越快，故A不可能；對于B，函數在區間上增長的速度越來越快，在區間上增長的速度越來越慢，故B可能；對于C，函數在區間上增長的速度越來越快，故C不可能；對于D，函數在區間上增長的速度越來越慢，故D不可能.故選：ACD．10.在2015年蘇州世乒賽期間，某景點用乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，就一個球；第2，3，4，…堆最底層（第一層）分別按圖中所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球．記第堆最底層（第一層）的乒乓球數為，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】觀察圖形，，，，，故A正確；又，，，，，故B錯誤；當時，，也滿足，，故C正確；，，故D正確，故選：ACD．11.數列通項公式的本質是定義域為正整數集（或其有限子集）的特殊函數解析式，數列的圖象是函數上的離散點．已知，，記數列的前項和為，則（）A.圖象可以由向右平移個單位，再向上平移個單位得到B.，使得C.當時，取得最小值D.數列的最大項的值為【答案】ABD【解析】對于A，，故可以看作是由向右平移個單位，再向上平移個單位而得，故A正確；作出圖象如圖1，則數列的圖象為雙曲線上的一系列點，標記如圖2，對于B，觀察圖象可知，當時，數列單調遞減，當時，數列也單調遞減，但，所以當時，，故B正確；對于C，觀察圖象可知，當時，數列單調遞減，從第3項起為負，當時，數列也單調遞減，但，當時，取得最小值，故C錯誤；對于D，由題意得，因為，當時，雖然取最小值－1，但是，當或時，，且當或時，取最小值3，此時取到最大值，綜上，所以數列的最大項的值為，故D正確．故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點處的切線方程為_____．【答案】【解析】因為，所以曲線在點處的切線斜率為，所以過點的直線方程為，即切線方程為.故答案為：.13.已知函數，若關于的方程有3個實數解，則實數的取值范圍為_____．【答案】【解析】．可知在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，當時，有極小值．作出函數的圖象如圖，令，則方程，化成，即，解得或，顯然有1個實數解，應該有2個實數解，，實數的取值范圍為．故答案為：.14.角谷猜想又稱冰雹猜想，是指任取一個正整數，如果它是奇數，就將它乘以3再加1；如果它是偶數，則將它除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈．若取正整數，根據上述運算法則得出，共需要經過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”），已知數列滿足：（為正整數），①若，則使得至少需要_____步“雹程”，②若，則所有可能取值的和為_____．【答案】11；190【解析】①：當時，根據上述運算法得出：，此時共3步，結合題干可知后續還需要8步，故當時，使得需要11步“雹程”；②：若，用倒推法羅列有：則，，則或.①當時，，：i），；ii），；②當時，，或：i），或；ii），或；，所有可能的取值集合為，所有可能取值的和為：；故答案為：11；190．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數．（1）若，求函數的單調區間；（2）若，不等式在上恒成立，求的取值范圍．解：（1）的定義域為，，當時，則，令，解得或，和把函數定義域劃分成三個區間，在各區間上的正負及的單調性如表：單調遞增單調遞減單調遞增函數的增區間為，，減區間為；（2）當時，，，在區間上，當時，，當時，，當時，函數在上有極小值也是最小值，并且最小值為，在區間上恒成立，，故的取值范圍為．16.已知在數列中，首項，且滿足，數列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）證明是等差數列，并求其通項公式；（3）令，記的前項和為，求．解：（1），，是首項為2，公比為2的等比數列，，即；（2）由，當時，，當時，，也滿足，，當時，，數列是以1為首項，2為公差的等差數列；（3），，①，②，①－②可得，即，．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，棱，且底面，點，．（1）證明：平面；（2）若點，且，證明：平面；（3）求平面與平面的夾角的大小．解：（1）在四棱錐中，，底面，，，由底面是正方形，得，以為原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，，，，，，，，，，，設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為得，，而平面，平面；（2）由（1）知，，由，得，又，則，且，，平面，平面；（3）由（1）知，，且，，設平面的法向量為，則，取，則，所以平面的一個法向量為，，，而，則，，即，，則平面的一個法向量為，，設平面與平面的夾角為，則，，，平面與平面的夾角為．18.在平面直角坐標系中，曲線上任意一點滿足．（1）求曲線的方程；（2）直線與曲線交于，兩點，（i）當時，求弦的長度；（ii）當時，用含的表達式表示三角形的面積，并求的最大值．解：（1）表示點到兩點，距離和等于4，大于，兩點間的距離，由橢圓的定義可知，曲線是以，為焦點，4為長軸長的橢圓，即，，所以，所以曲線的方程為；（2）（i）當時，直線，聯立，解得或，不妨令，，則，（ii）聯立，整理可得，所以，即，設，，則，，所以，原點到的距離，所以三角形面積，因為，當且僅當，即時取等號，所以當時，取最大值．19.設函數．（1）討論函數的極值點；（2）證明：對任意，恒成立；（3）令，若的前項和為，證明：．解：（1），的定義域為，，當時，，在上單調遞增，無極值點，當時，令，，，隨的變化情況如下表：+0－單調遞增極大值單調遞減從上表可以看出：有唯一的極大值點，無極小值點，綜上，當時，無極值點，當時，有唯一的極大值點；（2）由（1）知，當時，在處取得極大值，，當時，有，即，當且僅當時取等號，（3）由（2）知，，，故結論成立．

四川省成都市蓉城聯盟2024-2025學年高二下學期期中考試數學試題注意事項：1．答題前，考生務必在答題卡上將自己的姓名、座位號、準考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區”.2．選擇題使用鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應區域內作答，超出答題區域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.3．考試結束后由監考老師將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在等差數列中，，，則（）A.0 B.5 C.10 D.15【答案】A【解析】，又，，成等差數列，，.故選：A2.已知函數，則（）A.1 B.－1 C.－2 D.0【答案】B【解析】由導數定義可知，由得，所以.故選：B．3.已知數列是等比數列，，，則（）A.24 B.－24 C. D.4【答案】C【解析】由于是等比數列，故，因此，故選：C4.下列導數運算錯誤的是（）A.，則 B.，則C.，則 D.，則【答案】B【解析】因為，故A正確；因為，故B錯誤；因為，故C正確；因為，故D正確.故選：B5.可導函數的導函數的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.函數在區間上單調遞增B.函數在區間上單調遞減C.函數在區間上單調遞增D.函數在區間上單調遞減【答案】C【解析】由圖象可知，在上，在上，所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，所以在，，上不單調，故A，B，D錯誤，在上單調遞增，故C正確.故選：C．6.兩個等差數列和，其前項和分別為，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差數列的性質可得，，故選：C．7.已知函數在處取得極小值，則的值為（）A.－1或－3 B.－1 C.或1 D.－3【答案】B【解析】由，又函數在處取得極小值，則，解得或，當時，，令，則或，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，則在處取得極小值，故符合；當時，，令，則或，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，則在處取得極大值，故不符合，.故選：B8.數列滿足：，若，，則（）A.1 B.－1 C.5 D.－5【答案】D【解析】由題意可得，用代替可得：，兩式相加，得，，是以6為周期的數列，，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數的導函數的圖象如圖所示，則函數的圖象不可能是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由的圖象知，當時，，所以的圖象在上單調遞增，且在區間上增長的速度越來越快，在區間上增長的速度越來越慢.對于A，函數在區間上增長的速度越來越慢，在區間上增長的速度越來越快，故A不可能；對于B，函數在區間上增長的速度越來越快，在區間上增長的速度越來越慢，故B可能；對于C，函數在區間上增長的速度越來越快，故C不可能；對于D，函數在區間上增長的速度越來越慢，故D不可能.故選：ACD．10.在2015年蘇州世乒賽期間，某景點用乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，就一個球；第2，3，4，…堆最底層（第一層）分別按圖中所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球．記第堆最底層（第一層）的乒乓球數為，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】觀察圖形，，，，，故A正確；又，，，，，故B錯誤；當時，，也滿足，，故C正確；，，故D正確，故選：ACD．11.數列通項公式的本質是定義域為正整數集（或其有限子集）的特殊函數解析式，數列的圖象是函數上的離散點．已知，，記數列的前項和為，則（）A.圖象可以由向右平移個單位，再向上平移個單位得到B.，使得C.當時，取得最小值D.數列的最大項的值為【答案】ABD【解析】對于A，，故可以看作是由向右平移個單位，再向上平移個單位而得，故A正確；作出圖象如圖1，則數列的圖象為雙曲線上的一系列點，標記如圖2，對于B，觀察圖象可知，當時，數列單調遞減，當時，數列也單調遞減，但，所以當時，，故B正確；對于C，觀察圖象可知，當時，數列單調遞減，從第3項起為負，當時，數列也單調遞減，但，當時，取得最小值，故C錯誤；對于D，由題意得，因為，當時，雖然取最小值－1，但是，當或時，，且當或時，取最小值3，此時取到最大值，綜上，所以數列的最大項的值為，故D正確．故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點處的切線方程為_____．【答案】【解析】因為，所以曲線在點處的切線斜率為，所以過點的直線方程為，即切線方程為.故答案為：.13.已知函數，若關于的方程有3個實數解，則實數的取值范圍為_____．【答案】【解析】．可知在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，當時，有極小值．作出函數的圖象如圖，令，則方程，化成，即，解得或，顯然有1個實數解，應該有2個實數解，，實數的取值范圍為．故答案為：.14.角谷猜想又稱冰雹猜想，是指任取一個正整數，如果它是奇數，就將它乘以3再加1；如果它是偶數，則將它除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈．若取正整數，根據上述運算法則得出，共需要經過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”），已知數列滿足：（為正整數），①若，則使得至少需要_____步“雹程”，②若，則所有可能取值的和為_____．【答案】11；190【解析】①：當時，根據上述運算法得出：，此時共3步，結合題干可知后續還需要8步，故當時，使得需要11步“雹程”；②：若，用倒推法羅列有：則，，則或.①當時，，：i），；ii），；②當時，，或：i），或；ii），或；，所有可能的取值集合為，所有可能取值的和為：；故答案為：11；190．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數．（1）若，求函數的單調區間；（2）若，不等式在上恒成立，求的取值范圍．解：（1）的定義域為，，當時，則，令，解得或，和把函數定義域劃分成三個區間，在各區間上的正負及的單調性如表：單調遞增單調遞減單調遞增函數的增區間為，，減區間為；（2）當時，，，在區間上，當時，，當時，，當時，函數在上有極小值也是最小值，并且最小值為，在區間上恒成立，，故的取值范圍為．16.已知在數列中，首項，且滿足，數列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）證明是等差數列，并求其通項公式；（3）令，記的前項和為，求．解：（1），，是首項為2，公比為2的等比數列，，即；（2）由，當時，，當時，，也滿足，，當時，，數列是以1為首項，2為公差的等差數列；（3），，①，②，①－②可得，即，．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，棱，且底面，點，．（1）證明：平面；（2）若點，且，