1第九章

導(dǎo)熱

HeatConduction2作業(yè)教材9－1，9－4，9－5，9－7補(bǔ)充已知兩表面的溫度分別為tw1、tw2，（1）用對(duì)傅氏定律直接積分的方法求空心球壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度分布、熱流量。（2）由傅氏定律直接積分推導(dǎo)任意形狀物體一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度分布、熱流量。假設(shè)橫斷面積隨x的變化已知，為A(x)=f(x)。39-1導(dǎo)熱的基本概念、基本定律研究方法由連續(xù)介質(zhì)假設(shè)出發(fā)、從宏觀的角度來(lái)討論導(dǎo)熱熱流量與物體溫度分布及其他影響因素之間的關(guān)系及導(dǎo)熱的計(jì)算方法。(分子、自由電子、聲子)平均自由程與物體的宏觀尺寸相比不能忽略的情形不在本章研究范疇之內(nèi)。4一、導(dǎo)熱的基本概念

1、溫度場(chǎng)(temperaturefield)

某一時(shí)刻

，物體內(nèi)所有各點(diǎn)的溫度分布稱(chēng)為該物體在時(shí)刻的溫度場(chǎng)。

溫度場(chǎng)是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中，溫度場(chǎng)可表示為

t表示溫度，x,y,z為空間直角坐標(biāo)。5當(dāng)溫度場(chǎng)與時(shí)間有關(guān)時(shí)，稱(chēng)為非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)。穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度場(chǎng)稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)。

根據(jù)在空間的變化情況溫度場(chǎng)可分為:一維溫度場(chǎng)二維溫度場(chǎng)三維溫度場(chǎng)

非穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)62、等溫面與等溫線(xiàn)

同一時(shí)刻溫度場(chǎng)中溫度相同的點(diǎn)所連成的曲面稱(chēng)為等溫面。任何一個(gè)二維截面上，等溫面表現(xiàn)為等溫線(xiàn)。溫度場(chǎng)可用等溫面或等溫線(xiàn)來(lái)表示。等溫面和等溫線(xiàn)的特征：同一時(shí)刻，等溫面或等溫線(xiàn)不相交；連續(xù)介質(zhì)假設(shè)下，等溫面（或等溫線(xiàn)）或者在物體中構(gòu)成封閉的曲面（或曲線(xiàn)），或者終止于物體的邊界，不可能在物體中中斷。

為什么？72、等溫面與等溫線(xiàn)8定義：等溫面法線(xiàn)方向的溫度變化

—等溫面法線(xiàn)方向溫度變化率；

n—等溫面法線(xiàn)方向的單位矢量。溫度梯度是矢量,其方向沿等溫面的法線(xiàn)指向溫度增加的方向

3、溫度梯度(temperaturegradient)9溫度梯度是矢量，指向溫度增加的方向。直角坐標(biāo)系中，溫度梯度可表示為

分別為x、y、z方向的偏導(dǎo)數(shù)；

i、j、k為x、y、z方向的單位矢量。

10

4、熱流密度(heatflux)

垂直通過(guò)等溫面t上的微元面積dA的熱流量為d

，則dA上的熱流密度為：

熱流密度的大小和方向可以用熱流密度矢量q

表示：

在直角坐標(biāo)系中,熱流密度矢量可以表示為ngradt11二、導(dǎo)熱基本定律

1、均質(zhì)各向同性材料導(dǎo)熱的Fourier定律

標(biāo)量形式的Fourier定律表達(dá)式為:

熱流密度的大小與溫度梯度的絕對(duì)值成正比，其方向與溫度梯度的方向相反；要計(jì)算通過(guò)物體的導(dǎo)熱熱流量,除了物體材料的導(dǎo)熱系數(shù)之外,還必須知道溫度場(chǎng)。所以,求解溫度場(chǎng)是導(dǎo)熱分析的主要任務(wù)。

12Fourier定律的適用條件適用于均質(zhì)連續(xù)介質(zhì)，工程上許多材料不滿(mǎn)足此條件，但所取微元體內(nèi)的性質(zhì)基本均勻一致時(shí)亦可用，如磚、混凝土等；各向同性材料，導(dǎo)熱系數(shù)與方向無(wú)關(guān)。此時(shí)，由傅氏定律知：q與gradt共線(xiàn)、反向，均垂直于等溫面（線(xiàn)）；傅氏定律假定熱擾動(dòng)以無(wú)限大的速度傳播，當(dāng)傳播速度有限時(shí)a：熱擴(kuò)散率；c：熱傳播速度132、各向異性介質(zhì)的導(dǎo)熱各向異性介質(zhì)：

導(dǎo)熱系數(shù)隨方向變化。如木材、石英、沉積巖、經(jīng)過(guò)冷沖壓處理的金屬、層壓板、強(qiáng)化纖維板等。熱流密度矢量的方向不僅與溫度梯度有關(guān),還與導(dǎo)熱系數(shù)的方向性有關(guān),因此熱流密度矢量與溫度梯度不一定在同一條直線(xiàn)上。導(dǎo)熱系數(shù)矩陣：

一般，各向異性材料的導(dǎo)熱系數(shù)是二階張量，寫(xiě)成矩陣形式為：14各向異性介質(zhì)的導(dǎo)熱定律

本課程不涉及各向異性介質(zhì)材料導(dǎo)熱的具體分析計(jì)算過(guò)程。15三、導(dǎo)熱系數(shù)(ThermalConductivity)

導(dǎo)熱系數(shù)是物質(zhì)的重要熱物性參數(shù),表示該物質(zhì)導(dǎo)熱能力的大小。根據(jù)傅里葉定律,有： 絕大多數(shù)材料的導(dǎo)熱系數(shù)值都根據(jù)上式通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得。 材料的導(dǎo)熱系數(shù)差別很大。16幾種典型材料的導(dǎo)熱系數(shù)171、物質(zhì)的導(dǎo)熱機(jī)理氣體：分子的相互作用或碰撞；無(wú)機(jī)非金屬固體：晶格點(diǎn)陣和晶格的振動(dòng)，振動(dòng)的能量子稱(chēng)為“聲子”；金屬固體：主要靠自由電子，聲子也有微小貢獻(xiàn)；液體：目前的認(rèn)識(shí)尚不很清楚，有兩種代表性說(shuō)法：(1)稠密氣體；(2)瀕臨瓦解的固體。目前以后一種說(shuō)法為較多人認(rèn)同；高溫固體或有缺陷、空隙的固體：輻射影響不可忽略，熱載體為光子。182、導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)學(xué)描述

由以上分析知：物質(zhì)的導(dǎo)熱可歸結(jié)為自由電子、聲子、分子（原子）以及光子四種載體的運(yùn)動(dòng)和相互作用。研究表明：每一載體單獨(dú)作用時(shí)：載體的體積熱容載體的平均速度平均自由程兩種或兩種以上載體同時(shí)存在時(shí)：19(1)同一種物質(zhì)的固態(tài)導(dǎo)熱系數(shù)最大,氣態(tài)導(dǎo)熱系數(shù)最??；(2)金屬導(dǎo)熱系數(shù)大于非金屬的導(dǎo)熱系數(shù)(相差1～2個(gè)數(shù)量級(jí))；(3)導(dǎo)電性能好的金屬,導(dǎo)熱性能也好（Wiedemann-Franz定律）。銀是最好的導(dǎo)電體,也是最好的導(dǎo)熱體;(4)合金中雜質(zhì)(或其他金屬)破壞了晶格的結(jié)構(gòu),純金屬的導(dǎo)熱系數(shù)大于它的合金。(5)各向異性物體的導(dǎo)熱系數(shù)與方向有關(guān)；(6)同一種物質(zhì),晶體的導(dǎo)熱系數(shù)大于非晶體的。3、物質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)的特點(diǎn)204、影響導(dǎo)熱系數(shù)的因素(1)溫度氣體的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的增大而增加；液體的導(dǎo)熱系數(shù)一般隨溫度的增大而減小，但有特例，如水；固體因結(jié)構(gòu)的不同會(huì)表現(xiàn)出不同規(guī)律。固體晶體非晶體液體少數(shù)液體氣體21(2)壓力氣體：隨壓力增加而增大。稀薄氣體(P<100Pa)導(dǎo)熱系數(shù)與壓力近似成正比；低壓氣體(100Pa--1MPa)壓力影響可忽略不計(jì)；高壓氣體壓力影響明顯，尤其是臨界區(qū)。液體：壓力影響可忽略不計(jì)。固體晶體：壓力達(dá)到足以使晶格變形時(shí)，導(dǎo)熱系數(shù)隨壓力增大而減?。环蔷w：壓力增大促使導(dǎo)熱系數(shù)增大。22(3)化學(xué)成分與雜質(zhì)

第二種組分或雜質(zhì)的介入，或固溶體的形成，都破壞了晶體的完整性，引起晶格的扭曲、畸變和錯(cuò)位，引起導(dǎo)熱系數(shù)的減小。組分共晶體固溶體(4)其他影響晶體結(jié)構(gòu)、缺陷、尺寸效應(yīng)23對(duì)特定物質(zhì)作導(dǎo)熱分析計(jì)算時(shí)，通常只需考慮溫度對(duì)導(dǎo)熱系數(shù)的影響。所研究的溫度范圍較小時(shí)，材料的導(dǎo)熱系數(shù)可以近似認(rèn)為隨溫度線(xiàn)性變化:

0為按上式計(jì)算0℃下的導(dǎo)熱系數(shù)值，并非材料在0℃下的導(dǎo)熱系數(shù)真實(shí)值，如圖所示；b為由實(shí)驗(yàn)確定的實(shí)常數(shù)，與物質(zhì)的種類(lèi)有關(guān)。245、多孔材料的導(dǎo)熱系數(shù)

絕大多數(shù)建筑材料和絕熱材料都具有多孔或纖維結(jié)構(gòu)(如磚、混凝土、石棉、爐渣等),不是均勻介質(zhì)。應(yīng)用傅里葉定律的條件：孔隙大小與物體總體幾何尺寸相比非常小，近似看作均勻介質(zhì)。

多孔材料的導(dǎo)熱系數(shù)是指它的表觀（有效）導(dǎo)熱系數(shù),或稱(chēng)作折算導(dǎo)熱系數(shù)，它相當(dāng)于和多孔材料物體具有相同的形狀、尺寸和邊界溫度,且通過(guò)的導(dǎo)熱熱流量也相同的某種均質(zhì)物體的導(dǎo)熱系數(shù)。最簡(jiǎn)單的表觀導(dǎo)熱系數(shù)的計(jì)算式為：

effectivethermalconductivity

porosity25多孔材料的導(dǎo)熱系數(shù)的特點(diǎn)多孔材料的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的升高而增大孔隙中氣體的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的升高而增大；孔隙內(nèi)壁面間的輻射傳熱加強(qiáng)；

多孔材料導(dǎo)熱系數(shù)與密度關(guān)系一般密度愈小,多孔材料的空隙率愈大,導(dǎo)熱系數(shù)愈??；密度小到一定程度后,由于孔隙較大,空隙中的空氣出現(xiàn)宏觀流動(dòng),由于對(duì)流換熱的作用反而使多孔材料的表觀導(dǎo)熱系數(shù)增大；26多孔材料導(dǎo)熱系數(shù)的特點(diǎn)多孔材料的導(dǎo)熱系數(shù)受濕度的影響較大

例如：干磚導(dǎo)熱系數(shù)0.35W/(m

K),水的導(dǎo)熱系數(shù)0.60W/(m

K)，濕磚導(dǎo)熱系數(shù)1.0W/(m

K)多孔介質(zhì)是典型的保溫材料（或絕熱材料） 膨脹塑料、膨脹珍珠巖、礦渣綿，……我國(guó)國(guó)標(biāo)規(guī)定，<0.12W/m.K(t<350oC)的材料為保溫材料。為什么？27固體與液體導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的變化固體液體28氣體導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的變化討論：導(dǎo)熱系數(shù)是物性參數(shù)，對(duì)一定的物質(zhì)，只取決于熱力學(xué)狀態(tài)。29典型材料導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)值范圍純金屬

50--415W/m·K合金

12--120W/m·K非金屬固體

1--40W/m·K液體(非金屬)0.17--0.7W/m·K絕熱材料

0.03--0.12W/m·K氣體

0.007--0.17W/m·K30四、導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

（數(shù)學(xué)模型）

導(dǎo)熱微分方程式+單值性條件建立數(shù)學(xué)模型的目的：求解溫度場(chǎng)導(dǎo)熱數(shù)學(xué)模型的組成：31導(dǎo)熱微分方程式的導(dǎo)出假設(shè)：1）物體由各向同性的連續(xù)介質(zhì)組成；

2）有內(nèi)熱源，強(qiáng)度為，表示單位時(shí)間、單位體積內(nèi)的生成熱，單位為W/m3

。1）根據(jù)物體的形狀選擇坐標(biāo)系,選取物體中的微元體作為研究對(duì)象；步驟：2）根據(jù)能量守恒,建立微元體的熱平衡方程式；3）根據(jù)傅里葉定律及已知條件,對(duì)熱平衡方程進(jìn)行歸納、整理。32導(dǎo)熱過(guò)程中微元體的熱平衡：

單位時(shí)間內(nèi)，凈導(dǎo)入微元體的熱流量

與微元體內(nèi)熱源的生成熱

V之和等于微元體熱力學(xué)能的增加dU,即

+

V=dU

=

lx+

ly+

lz

lx=

x－

x+dx

=qx

dydz

－

qx+dx

dydz

33同理可得從y和z方向凈導(dǎo)入微元體的熱流量分別為于是,在單位時(shí)間內(nèi)凈導(dǎo)入微元體的熱流量為單位時(shí)間內(nèi)微元體內(nèi)熱源的生成熱：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)微元內(nèi)能的增加：根據(jù)微元體的熱平衡表達(dá)式

+

V=dU

可得導(dǎo)熱微分方程式34

導(dǎo)熱微分方程式建立了導(dǎo)熱過(guò)程中物體的溫度隨時(shí)間和空間變化的函數(shù)關(guān)系。當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)

為常數(shù)時(shí),導(dǎo)熱微分方程式可簡(jiǎn)化為

式中，35例9-1

無(wú)內(nèi)熱源、常物性二維導(dǎo)熱物體在某一瞬時(shí)的溫度分布為

，試分析該物體在x=0,y=1處溫度隨時(shí)間的變化趨勢(shì)。xytcos22=解：所以，該點(diǎn)溫度隨時(shí)間增加而升高。36熱擴(kuò)散率(導(dǎo)溫系數(shù),thermaldiffusivity)

是對(duì)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程有重要影響的熱物性參數(shù)，其大小反映瞬態(tài)加熱或冷卻時(shí)物體內(nèi)溫度變化的快慢。表征物體內(nèi)溫度趨于一致的能力。熱擴(kuò)散率愈大，對(duì)突然加熱與冷卻，物體內(nèi)達(dá)到熱平衡愈快。單位為m2/s。

例：木材熱擴(kuò)散率約為a=1.5×10-7m2/s,純銅熱擴(kuò)散率約為a=5.33×10-5,是木材的355倍。物質(zhì)的儲(chǔ)熱能力37導(dǎo)熱微分方程式的簡(jiǎn)化

(1)物體無(wú)內(nèi)熱源：(2)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：(3)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱、無(wú)內(nèi)熱源：

2t=0，即

38如果

為常數(shù)：圓柱坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程式

39球坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程式

為常數(shù)時(shí)，40導(dǎo)熱微分方程式的單值性條件導(dǎo)熱微分方程式適用于無(wú)窮多個(gè)導(dǎo)熱過(guò)程,有無(wú)窮多個(gè)解。完整的描寫(xiě)具體導(dǎo)熱過(guò)程，必須說(shuō)明導(dǎo)熱過(guò)程的具體特點(diǎn),即給出導(dǎo)熱微分方程的單值性條件（或稱(chēng)定解條件），使導(dǎo)熱微分方程式具有唯一解。導(dǎo)熱微分方程式與單值性條件一起構(gòu)成具體導(dǎo)熱過(guò)程完整的數(shù)學(xué)描述。單值性條件一般包括：幾何條件、物理?xiàng)l件、時(shí)間條件、邊界條件。411.幾何條件

說(shuō)明參與導(dǎo)熱物體的幾何形狀及尺寸。幾何條件決定溫度場(chǎng)的空間分布特點(diǎn)和分析時(shí)所采用的坐標(biāo)系。2.物理?xiàng)l件

說(shuō)明導(dǎo)熱物體的物理性質(zhì),例如物體有無(wú)內(nèi)熱源以及內(nèi)熱源的分布規(guī)律，給出熱物性參數(shù)(

、

、c、a等)的數(shù)值及其特點(diǎn)等。3.時(shí)間條件

說(shuō)明導(dǎo)熱過(guò)程時(shí)間上的特點(diǎn),是穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱還是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,應(yīng)該給出過(guò)程開(kāi)始時(shí)物體內(nèi)部的溫度分布規(guī)律（稱(chēng)為初始條件）：424.邊界條件

說(shuō)明導(dǎo)熱物體邊界上的熱狀態(tài)以及與周?chē)h(huán)境之間的相互作用,例如,邊界上的溫度、熱流密度分布以及邊界與周?chē)h(huán)境之間的熱量交換情況等。

常見(jiàn)的邊界條件分為以下三類(lèi):(1)第一類(lèi)邊界條件

給出邊界上的溫度分布及其隨時(shí)間的變化規(guī)律：(2)第二類(lèi)邊界條件

給出邊界上的熱流密度分布及其隨時(shí)間的變化規(guī)律：43(3)第三類(lèi)邊界條件

給出了與物體表面進(jìn)行對(duì)流換熱的流體的溫度tf及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h

。

如果物體的某一表面是絕熱的,即qw=0,則物體內(nèi)部的等溫面或等溫線(xiàn)與該絕熱表面垂直相交。

根據(jù)邊界面的熱平衡，由傅里葉定律和牛頓冷卻公式可得

第三類(lèi)邊界條件建立了物體內(nèi)部溫度在邊界處的變化率與邊界處對(duì)流換熱之間的關(guān)系，也稱(chēng)為對(duì)流換熱邊界條件。44

上式描述的第三類(lèi)邊界條件為線(xiàn)性邊界條件，反映了導(dǎo)熱問(wèn)題的大部分實(shí)際情況。

如果導(dǎo)熱物體的邊界處除了對(duì)流換熱還存在與周?chē)h(huán)境之間的輻射換熱,邊界面的熱平衡表達(dá)式為

qr

為物體邊界面與周?chē)h(huán)境之間的凈輻射換熱熱流密度。這種對(duì)流換熱與輻射換熱疊加的復(fù)合換熱邊界條件是非線(xiàn)性的邊界條件。45

具體導(dǎo)熱過(guò)程完整的數(shù)學(xué)描述（數(shù)學(xué)模型）應(yīng)該包括(1)導(dǎo)熱微分方程式;(2)單值性條件。

對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解,就可以得到物體的溫度場(chǎng),進(jìn)而根據(jù)傅里葉定律就可以確定相應(yīng)的熱流分布。

建立合理的數(shù)學(xué)模型,是求解導(dǎo)熱問(wèn)題的第一步,也是最重要的一步。

目前應(yīng)用最廣泛的求解導(dǎo)熱問(wèn)題的方法:(1)分析解法;(2)數(shù)值解法;(3)實(shí)驗(yàn)方法。這也是求解所有傳熱學(xué)問(wèn)題的三種基本方法。469-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

Steady-StateConduction溫度只在一個(gè)空間方向變化的導(dǎo)熱問(wèn)題無(wú)限大平壁導(dǎo)熱圓筒壁導(dǎo)熱同心球壁導(dǎo)熱任意形狀、周邊絕熱的導(dǎo)熱問(wèn)題肋壁的導(dǎo)熱（一維處理，2-4）47一、通過(guò)平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

當(dāng)平壁的兩表面分別維持均勻恒定的溫度時(shí)，平壁的導(dǎo)熱為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。假設(shè)：

表面面積為A、厚度為

、

為常數(shù)、無(wú)內(nèi)熱源，兩側(cè)表面分別維持均勻恒定的溫度tw1、tw2，且tw1

>tw2

。

選取坐標(biāo)軸x與壁面垂直,如圖。1、通過(guò)單層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

48數(shù)學(xué)模型

x=0,t=tw1

x=

,t=tw2

求解結(jié)果：

可見(jiàn)，當(dāng)

為常數(shù)時(shí),平壁內(nèi)溫度分布曲線(xiàn)為直線(xiàn)，其斜率為

由傅立葉定律可得通過(guò)整個(gè)平壁的熱流量為492、多層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱以三層平壁為例，假設(shè)：

（1）各層厚度分別為

1、

2、

3，各層材料的導(dǎo)熱系數(shù)分別為

1、

2、

3,且分別為常數(shù)；

（2）各層之間接觸緊密,相互接觸的表面具有相同的溫度；

（3）平壁兩側(cè)外表面分別保持均勻恒定的溫度tw1、tw4。

通過(guò)此三層平壁的導(dǎo)熱為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,各層的熱流量相同。

50

總導(dǎo)熱熱阻為各層導(dǎo)熱熱阻之和，由單層平壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的計(jì)算公式可得三層平壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的熱阻網(wǎng)絡(luò)n層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

利用熱阻的概念,可以很容易求得通過(guò)多層平壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的熱流量,進(jìn)而求出各層間接觸面的溫度。

51例9-2

如圖所示的雙層平板中，導(dǎo)熱系數(shù)

1、

2為定值，假定過(guò)程為穩(wěn)態(tài)，試分析圖中溫度分布曲線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的

1、

2的相對(duì)大小。解：由于為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，三種情況熱流量分別為常數(shù)，即52

3、有內(nèi)熱源平壁的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

如果平壁兩側(cè)表面分別保持均勻恒定的溫度tw1、tw2，平壁內(nèi)具有均勻分布的內(nèi)熱源,強(qiáng)度為,平壁材料的導(dǎo)熱系數(shù)

為常數(shù),則平壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)模型為

可見(jiàn),壁內(nèi)的溫度分布為拋物線(xiàn)。

x=0,t=tw1

x=

,t=tw253

通常

，所以溫度分布曲線(xiàn)向上彎曲,并且愈大,彎曲得愈厲害,當(dāng)大于一定數(shù)值后,溫度分布曲線(xiàn)在壁內(nèi)某處xmax具有最大值tmax

,壁內(nèi)熱流的方向從xmax處指向兩側(cè)壁面。

根據(jù)傅立葉定律，可見(jiàn)，熱流密度不再像無(wú)內(nèi)熱源那樣等于常數(shù),而是x的函數(shù),并且熱流的方向不一定指向一個(gè)方向,這取決于壁面溫差(tw1—tw2)

以及內(nèi)熱源強(qiáng)度的大小。

如果tw1＝

tw2，？544、變導(dǎo)熱系數(shù)問(wèn)題類(lèi)似于前述方法，可求解此問(wèn)題。也可采用對(duì)Fourier定律直接積分的方法：55

分離變量積分：在x處(0<x<):56

可見(jiàn),當(dāng)平壁材料的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度線(xiàn)性變化時(shí),平壁內(nèi)的溫度分布為二次曲線(xiàn)。

由于，所以：整理可得：57根據(jù)傅氏定律判斷平板內(nèi)溫度分布特點(diǎn)對(duì)大平板內(nèi)一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱所以，溫度分布呈上凸曲線(xiàn)。

同理可得，b=0時(shí)為直線(xiàn)；b<0時(shí)為下凹的曲線(xiàn)。58變導(dǎo)熱系數(shù)平壁的熱流密度

為平壁的算術(shù)平均溫度；為平壁算術(shù)平均溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)。

當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度線(xiàn)性變化時(shí),將導(dǎo)熱系數(shù)取為平壁算術(shù)平均溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)

m，熱流量可用導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)的公式計(jì)算。

式中對(duì)照59討論平板導(dǎo)熱的溫度分布

b>0為上凸曲線(xiàn);b=0=c為直線(xiàn);b<0為下凹曲線(xiàn)。穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱求解方法：

(1)微分方程的邊值問(wèn)題；

(2)傅氏定律直接積分。60二、通過(guò)圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱1、單層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱長(zhǎng)圓筒壁，長(zhǎng)度為l，導(dǎo)熱系數(shù)

為常數(shù)，無(wú)內(nèi)熱源（

v=0），內(nèi)、外壁面維持均勻恒定的溫度tw1，tw2,且

tw1

>tw2。

為什么是下凹的曲線(xiàn)？61導(dǎo)熱微分方程式為：

第一類(lèi)邊界條件:

r=r1

:t=tw1

r=r2:t=tw2進(jìn)行兩次積分,可得導(dǎo)熱微分方程式的通解為：代入BC得：62溫度沿r

方向的變化率為：

根據(jù)傅立葉定律,沿圓筒壁r

方向的熱流密度為：

可見(jiàn),徑向熱流密度不等于常數(shù),而是r的函數(shù),

隨著r的增加,熱流密度逐漸減小。63對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,通過(guò)整個(gè)圓筒壁的熱流量不變。R

為整個(gè)圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻,K/W。

單位長(zhǎng)度圓筒壁的熱流量：

式中R

l為單位長(zhǎng)度圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻，單位：m

K/W。

64

2、多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

以三層圓筒壁為例，無(wú)內(nèi)熱源，各層的

1、

2、

3分別為常數(shù)，內(nèi)、外壁面維持均勻恒定的溫度tw1、tw2。通過(guò)各層圓筒壁的熱流量相等，總導(dǎo)熱熱阻等于各層導(dǎo)熱熱阻之和，65對(duì)于n層不同材料組成的多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，顯然有

66三、肋片的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

Steady-stateConductionthroughFins根據(jù)牛頓冷卻公式：

=A

h(

tw－tf)

增大對(duì)流換熱量有三條途徑：

1.加裝肋片，增加換熱面積A；

2.加大對(duì)流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h；

3.加大換熱溫差(

tw－tf)。傳熱過(guò)程中，當(dāng)兩側(cè)流體換熱能力不匹配時(shí)，有必要強(qiáng)化換熱能力較差一側(cè)流體的換熱，最終實(shí)現(xiàn)傳熱過(guò)程的強(qiáng)化。67三、肋片的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

Steady-stateConductionthroughFins當(dāng)兩側(cè)流體對(duì)流換熱系數(shù)相差較多時(shí)，換熱表面加裝肋片是強(qiáng)化傳熱的主要措施之一。典型的肋片形式見(jiàn)下圖：681、等截面直肋的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

肋高度為H厚度為

寬度為l與高度方向垂直的橫截面積為A=l

橫截面的周長(zhǎng)P=2(l+

)2l一維近似，近似程度與導(dǎo)熱系數(shù)

有關(guān)。69

假設(shè)：

肋片材料均勻，導(dǎo)熱系數(shù)

為常數(shù)；肋根部與肋基接觸良好，溫度一致；肋的導(dǎo)熱熱阻與肋表面對(duì)流換熱熱阻相比很小，可以忽略。肋片的溫度只沿高度方向發(fā)生變化,即可以近似為一維導(dǎo)熱；肋表面各處與流體之間對(duì)流換熱系數(shù)h都相同；忽略肋片端面的散熱量，即認(rèn)為肋端面絕熱。

熱量從肋基導(dǎo)入肋片，然后從肋根導(dǎo)向肋端，沿途不斷有熱量從肋的側(cè)面以對(duì)流換熱的方式散給周?chē)牧黧w，這種情況可以當(dāng)作肋片具有負(fù)內(nèi)熱源（熱沉）來(lái)處理（將微元體表面的對(duì)流換熱等效為微元體的熱沉，見(jiàn)教材）。

70

導(dǎo)熱微分方程邊界條件為:

x=0,

t=t0

x=H,71令

稱(chēng)為過(guò)余溫度。

數(shù)學(xué)模型變?yōu)?/p>

x=0，=0雙曲余弦函數(shù)

72肋片的過(guò)余溫度從肋根開(kāi)始沿高度方向按雙曲余玄函數(shù)的規(guī)律變化。

肋片的過(guò)余溫度沿高度方向逐漸降低，mH較小時(shí)，溫度降低緩慢；mH較大時(shí)，溫度降低較快。一般取0.7<mH

<2

mH=1.x/H73肋端，x=H，肋端的過(guò)余溫度

肋端過(guò)余溫度隨mH增加而降低。

在穩(wěn)態(tài)情況下,肋片散熱量應(yīng)該等于從肋根導(dǎo)入的熱量隨著mH增大，散熱量增加，開(kāi)始增加迅速，后來(lái)越來(lái)越緩慢，逐漸趨于一漸近值（增加肋高的經(jīng)濟(jì)性）742、肋片效率：

定義：肋片的實(shí)際散熱量

與假設(shè)整個(gè)肋片都具有肋基溫度時(shí)的理想散熱量

0之比式中tm、

m分別為肋面的平均溫度和平均過(guò)余溫度，t0、

0分別為肋基溫度與肋基過(guò)余溫度。由于

m<

0

，所以肋片效率

f

小于1。求解過(guò)程設(shè)肋表面各處h都相等，等截面直肋的平均過(guò)余溫度可按下式計(jì)算：可見(jiàn)，肋片效率是mH的函數(shù)。75矩形和三角形肋片效率隨mH的變化規(guī)律如圖。影響肋片效率的因素：（1）肋片材料的熱導(dǎo)率

，（2）肋片高度H，（3）肋片厚度

，（4）肋片與周?chē)黧w間對(duì)流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h，可見(jiàn)，mH愈大，肋片效率愈低。mHHH7677

（1）上述分析結(jié)果同樣適用于其它形狀的等截面直肋，如圓柱、圓管形肋的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題；

（2）如果必須考慮肋端面的散熱，可以將肋端面面積折算到側(cè)面上去，相當(dāng)于肋加高為H+H，其中對(duì)于矩形肋,幾點(diǎn)說(shuō)明：

（4）對(duì)于肋片厚度方向的導(dǎo)熱熱阻

/與表面的對(duì)流換熱熱阻1/h相比不可忽略的情況，肋片的導(dǎo)熱不能認(rèn)為是一維的，上述公式不再適用；

（5）上述推導(dǎo)沒(méi)有考慮輻射換熱的影響，對(duì)一些溫差較大或表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)較小的場(chǎng)合，必須加以考慮。

（3）上述分析結(jié)果既適用于肋片被加熱的情況，也適用于肋片被冷卻的情況；78矩形環(huán)肋肋效率79變截面肋片在一定散熱量條件下，什么幾何形狀肋的材料消耗量最少？理論分析證明，在一定散熱量的條件下，的具有凹拋物線(xiàn)剖面的肋片最省材料。工程上常采用工藝簡(jiǎn)單、性能接近凹拋物線(xiàn)型肋片的三角肋或者梯形肋。工程上常采用工藝簡(jiǎn)單、性能接近凹拋物線(xiàn)型肋片的三角肋或者梯形肋。80例9-3

套管導(dǎo)熱對(duì)熱電偶測(cè)溫精度的影響

熱電偶測(cè)量的是測(cè)溫套管端部的溫度tH。

在穩(wěn)態(tài)情況下，套管端部溫度不等于空氣的溫度，測(cè)溫誤差就是套管端部的過(guò)余溫度。

忽略套管橫截面上的溫度變化，并認(rèn)為端部絕熱，則套管導(dǎo)熱可以看成是等截面直肋的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題。如何減小測(cè)溫誤差？HH81例9-4

兩幾何尺寸相同的等截面直肋，在相同的對(duì)流環(huán)境下，沿肋高方向的溫度分布曲線(xiàn)如圖，請(qǐng)判斷兩種材料導(dǎo)熱系數(shù)的大小及肋效率的高低。解：對(duì)一維肋，導(dǎo)熱系數(shù)越高，沿肋方向的熱阻越小，因而沿肋高方向的溫度變化越小。因此，曲線(xiàn)1對(duì)應(yīng)的是導(dǎo)熱系數(shù)大的材料，曲線(xiàn)2對(duì)應(yīng)導(dǎo)熱系數(shù)小的材料。由肋效率的定義，由于1平均溫度高，故肋效率高于曲線(xiàn)2對(duì)應(yīng)的肋效率。H82

四、接觸熱阻

定義：由于固體表面之間不能完全接觸而對(duì)兩個(gè)固體間的導(dǎo)熱過(guò)程產(chǎn)生的熱阻，用Rc表示。由于存在接觸熱阻，使兩個(gè)接觸表面之間出現(xiàn)溫差接觸熱阻的主要影響因素：

(1)相互接觸的物體表面的粗糙度；

(2)相互接觸的物體表面的硬度；

(3)相互接觸的物體表面之間的壓力等。減小接觸熱阻的措施：拋光、加壓、添加薄膜等。839-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

TransientConduction學(xué)習(xí)要點(diǎn)：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中溫度場(chǎng)變化規(guī)律；熱流量計(jì)算主要內(nèi)容:一維瞬態(tài)導(dǎo)熱分析解法及求解結(jié)果；求解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的集總參數(shù)法。84一、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的特點(diǎn)(1)周期性問(wèn)題

周期性時(shí)間條件下，物體內(nèi)溫度變化呈周期性。如：內(nèi)燃機(jī)汽缸壁、壓縮機(jī)氣缸壁的導(dǎo)熱；建筑維護(hù)結(jié)構(gòu)（墻體）的導(dǎo)熱。

(2)瞬態(tài)問(wèn)題--非周期性不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

在瞬間變化的邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過(guò)程，物體內(nèi)某一點(diǎn)的溫度是時(shí)間的某個(gè)非線(xiàn)性函數(shù)，隨時(shí)間的推移溫度不斷降低或升高，逐漸趨于定值。如工件的加熱或冷卻等。85一、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的特點(diǎn)例：開(kāi)始供暖時(shí)墻體的導(dǎo)熱

c

c86瞬態(tài)導(dǎo)熱三個(gè)階段<c

初始階段(非正規(guī)階段)溫度變化的界面逐漸由邊界深入到物體內(nèi)部，但尚未到達(dá)另一壁面，溫度分布受初始條件影響；

c<

<

ｓ正規(guī)階段初始條件的影響消失(物體內(nèi)任一點(diǎn)均不處于初始溫度)，瞬態(tài)導(dǎo)熱的主要階段；>

ｓ新穩(wěn)態(tài)階段當(dāng)整體加熱或冷卻時(shí)，物體與環(huán)境達(dá)到熱平衡。87二、一維瞬態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的分析解1、大平壁冷卻/加熱問(wèn)題的分析解簡(jiǎn)介

常物性平壁；無(wú)內(nèi)熱源；初始溫度為

。突然將兩側(cè)流體溫度降低為，并保持不變；對(duì)流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為常數(shù)。

88由于溫度場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)性，選取坐標(biāo)系如圖，僅需討論半個(gè)平壁的導(dǎo)熱問(wèn)題。一維瞬態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，其導(dǎo)熱微分方程式為:

初始條件：邊界條件：

絕熱邊界（對(duì)稱(chēng)性）xt089引進(jìn)過(guò)余溫度: 導(dǎo)熱微分方程式和單值性條件變?yōu)?初始條件：邊界條件：

xt090引進(jìn)無(wú)量綱溫度: 無(wú)量綱坐標(biāo): 可將上式及單值性條件無(wú)量綱化為:

初始條件：邊界條件：

FouriernumberBiotnumber無(wú)量綱數(shù)，稱(chēng)為特征數(shù)，習(xí)慣上也稱(chēng)為準(zhǔn)則數(shù)。xt091由無(wú)量綱數(shù)學(xué)模型可知，

是Fo、Bi、X三個(gè)無(wú)量綱參數(shù)的函數(shù)

確定此函數(shù)關(guān)系是求解該問(wèn)題的主要任務(wù)。

92采用分離變量法，求解結(jié)果為：

求解結(jié)果解的函數(shù)形式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，式中是下面超越方程的根

932、對(duì)分析解的討論（1）Fo的物理意義及其對(duì)溫度分布的影響Fo的物理意義：無(wú)量綱時(shí)間

熱擾動(dòng)傳播時(shí)間Fo

表征了溫度在物體內(nèi)變化的深度，因而是區(qū)分初始階段與正規(guī)階段的判據(jù)。94初始階段與正規(guī)階段的區(qū)分Fo

0.2時(shí)，瞬態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)階段，此時(shí)，取級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)產(chǎn)生的誤差很小，對(duì)工程計(jì)算已足夠精確。

將上式左、右兩邊取對(duì)數(shù)：式中：

95

為超越方程的第一個(gè)根，只與Bi有關(guān)，即只取決于邊界條件、平壁的物性、幾何尺寸。所以，當(dāng)平壁及其邊界條件給定之后，m為一常數(shù)，與時(shí)間、地點(diǎn)無(wú)關(guān)。式右邊的第二項(xiàng)只與Bi、 有關(guān)，與時(shí)間無(wú)關(guān)。于是上式可改為：兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得：m的物理意義：過(guò)余溫度對(duì)時(shí)間的相對(duì)變化率，；稱(chēng)為冷卻率（或加熱率）。96

上式說(shuō)明，當(dāng) ，即 平壁內(nèi)所有各點(diǎn)過(guò)余溫度的對(duì)數(shù)都隨時(shí)間線(xiàn)性變化。

進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，所有各點(diǎn)的冷卻率或加熱率m都相同，且不隨時(shí)間而變化，這是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱正規(guī)狀況階段的特點(diǎn)之一。97如果用表示平壁中心的過(guò)余溫度，則：

于是：可見(jiàn)，當(dāng)Fo

0.2，即非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)狀況階段以后，任一位置過(guò)余溫度與中心過(guò)余溫度之比與時(shí)間無(wú)關(guān)，只取決于畢渥數(shù)與幾何位置，這是正規(guī)狀況階段的另一重要特點(diǎn)。

98工程技術(shù)中的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱絕大部分時(shí)間都處于正規(guī)狀況階段，認(rèn)識(shí)正規(guī)狀況階段的溫度變化規(guī)律對(duì)工程計(jì)算具有重要的實(shí)際意義。有關(guān)文獻(xiàn)已證明，當(dāng)Fo

0.2時(shí)，其它形狀物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱也進(jìn)入正規(guī)狀況階段，表現(xiàn)出

所表示的溫度變化規(guī)律，只是m的數(shù)值不同而已。99（2）Bi的物理意義及其對(duì)溫度分布的影響

Bi的物理意義：因此，Bi為無(wú)量綱熱阻，決定著物體內(nèi)部溫度分布的特征。100Bi對(duì)溫度分布的影響幾何意義：

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中平壁內(nèi)過(guò)余溫度分布曲線(xiàn)在邊界處的切線(xiàn)都通過(guò)點(diǎn)0’，該點(diǎn)稱(chēng)為第三類(lèi)邊界條件的定向點(diǎn)，與平壁邊界面距離 1011)

表明對(duì)流換熱熱阻趨于零，平壁表面與流體之間的溫差趨于零，意味著平壁內(nèi)的溫度變化完全取決于平壁的導(dǎo)熱熱阻。定向點(diǎn)位于平壁表面上，給定第三類(lèi)BC實(shí)際上實(shí)際相當(dāng)于給定第一類(lèi)BC。2)意味著平壁的導(dǎo)熱熱阻趨于零，平壁內(nèi)溫度在任一時(shí)刻都趨于均勻一致，只隨時(shí)間而變，變化的快慢完全取決于平壁表面的對(duì)流換熱強(qiáng)度。定向點(diǎn)在距平壁無(wú)窮遠(yuǎn)處，一般認(rèn)為 集總參數(shù)法。

1023)

平壁的溫度變化既取決于平壁內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻，也取決于平壁外部的對(duì)流換熱熱阻。1033、諾模圖

(Nomographicchart)

如上所述，當(dāng)Fo

0.2時(shí)，

繪制成線(xiàn)算圖（1）

繪制成線(xiàn)算圖（2）104平壁與周?chē)黧w之間的換熱量

在平壁內(nèi)x處平行于壁面取一厚度為dx的微元薄層，在時(shí)間內(nèi)，單位面積微元薄層放出的熱量等于其內(nèi)能的變化，即:

單位面積平壁所放出的熱量為:

=0xdx0

0

105令 為單位面積平壁從溫度冷卻到所放出的熱量，于是：

同樣可繪制成線(xiàn)算圖。

將代入上式，得:

106幾點(diǎn)說(shuō)明：1）上述分析針對(duì)平壁被冷卻的情況進(jìn)行，分析結(jié)果對(duì)平壁被加熱的情況同樣適用；2）上述結(jié)果也適用于一側(cè)絕熱、另一側(cè)具有第三類(lèi)邊界條件且厚度為

的平壁；3）線(xiàn)算圖只適用于Fo

0.2的情況，當(dāng)Fo

<0.2時(shí)，溫度分布和換熱量須用未簡(jiǎn)化公式計(jì)算。107二維、三維規(guī)則幾何體瞬態(tài)導(dǎo)熱108三、集總參數(shù)法

(GeneralLumpedCapacitanceMethod)當(dāng) 時(shí)，物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻遠(yuǎn)小于其表面的對(duì)流換熱熱阻，物體的溫度只是時(shí)間的函數(shù)，與坐標(biāo)無(wú)關(guān)。這種情況下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，只須求出溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律以及在溫度變化過(guò)程中物體放出或吸收的熱量。

這種忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻，將物體看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)化分析方法稱(chēng)為集總參數(shù)法。

1、模型及求解109

假設(shè)：一個(gè)任意形狀的物體，體積為V，表面面積為A，密度

、比熱容c及導(dǎo)熱系數(shù)

為常數(shù)，無(wú)內(nèi)熱源，初始溫度為t0。突然將該物體放入溫度tf

恒定的流體中，物體表面和流體之間對(duì)流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為常數(shù)。110

假設(shè)該問(wèn)題滿(mǎn)足的條件，根據(jù)能量守恒，單位時(shí)間物體內(nèi)能的變化量等于物體表面與流體之間的對(duì)流換熱量，即

引進(jìn)過(guò)余溫度 ，上式可改寫(xiě)為

111初始條件為：將上式積分可得:112注意到:

特征長(zhǎng)度：

注意，式中畢渥數(shù)與傅里葉數(shù)的下角標(biāo)V表示以為特征長(zhǎng)度。113

時(shí)間內(nèi)物體和周?chē)h(huán)境之間交換的熱量

表示物體溫度從變化到周?chē)黧w溫度所放出或吸收的總熱量，上式可改寫(xiě)成無(wú)量綱形式：

求解結(jié)果既適用于物體被加熱的情況，也適用于物體被冷卻的情況。

114

結(jié)果表明，對(duì)于形狀如平板、柱體或球這樣的物體，只要滿(mǎn)足，按集總熱容求解過(guò)余溫度之間偏差小于5%，可以使用集總參數(shù)法計(jì)算。M為與幾何形狀有關(guān)的無(wú)量剛量：2、集總參數(shù)法的適用條件115物理意義：反映物體對(duì)周?chē)h(huán)境溫度變化的響應(yīng)，時(shí)間常數(shù)越小，物體的溫度變化越快，越能迅速地接近周?chē)黧w的溫度。

時(shí)間常數(shù)稱(chēng)為時(shí)間常數(shù)，當(dāng)116影響時(shí)間常數(shù)的主要因素：物體的熱容量；物體表面的對(duì)流換熱條件。

物體的熱容量愈小，表面的對(duì)流換熱愈強(qiáng)，物體的時(shí)間常數(shù)愈小。利用熱電偶測(cè)量流體溫度，時(shí)間常數(shù)越小，熱電偶越能迅速地反映被測(cè)流體的溫度變化，所以，測(cè)瞬態(tài)溫度場(chǎng)時(shí)，熱電偶的接點(diǎn)總是做得很小。

117用同一種材料制成的體積相同的圓球、長(zhǎng)度等于直徑的圓柱與正方體，三者的表面面積之比為：

A圓球:A圓柱:A正方體=1:1.146:1.242正方體的表面面積最大，時(shí)間常數(shù)最小

直徑為2R的球體、長(zhǎng)度等于直徑2R的圓柱體與邊長(zhǎng)為2R的正方體相比，三者單位體積的表面積相同，時(shí)間常數(shù)相同，在相同條件下的冷卻（或加熱）速度也相同。單位體積的表面面積越大的物體，時(shí)間常數(shù)越小，在初始溫度相同的情況下放在溫度相同的流體中被冷卻（或加熱）的速度越快。

作業(yè)：9－10，9－12,9-14118分析解法的優(yōu)點(diǎn)(1)求解過(guò)程所依據(jù)的分析過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn);(2)物理概念和邏輯推理清晰;(3)求解結(jié)果以函數(shù)的形式表示,能清楚地顯示各種因素對(duì)溫度分布的影響。

數(shù)值解的必要性

對(duì)復(fù)雜導(dǎo)熱問(wèn)題，分析解法無(wú)能為力。隨著計(jì)算機(jī)容量、計(jì)算速度的迅速提高,數(shù)值解法的應(yīng)用范圍、規(guī)模、解題速度和精確度都有很大的進(jìn)展，已成為求解復(fù)雜傳熱問(wèn)題有效手段。9-4導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法基礎(chǔ)119一、概述

1.基本思想：用導(dǎo)熱問(wèn)題所涉及的空間和時(shí)間區(qū)域內(nèi)有限個(gè)離散點(diǎn)(節(jié)點(diǎn))的溫度近似值代替物體內(nèi)實(shí)際連續(xù)的溫度分布，將連續(xù)溫度分布函數(shù)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為各節(jié)點(diǎn)溫度值的求解問(wèn)題，將導(dǎo)熱微分方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)溫度代數(shù)方程組求解問(wèn)題。

2.

基本步驟:

（1）對(duì)實(shí)際導(dǎo)熱問(wèn)題進(jìn)行分析，做必要、合理的簡(jiǎn)化，建立符合實(shí)際的物理模型；

（2）根據(jù)物理模型建立完整的數(shù)學(xué)模型，即給出導(dǎo)熱微分方程和單值性條件；

(1)、(2)是導(dǎo)熱問(wèn)題所有求解方法的基礎(chǔ)。120

（3）求解域離散化：空間和時(shí)間區(qū)域劃分成有限個(gè)子區(qū)域，網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)代表以它為中心的子區(qū)域（控制容積），節(jié)點(diǎn)溫度就代表子區(qū)域的溫度；

（4）建立節(jié)點(diǎn)溫度代數(shù)方程組；

（5）求解節(jié)點(diǎn)溫度代數(shù)方程組；

（6）對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，若不符合實(shí)際情況，則修正上述步驟，重復(fù)進(jìn)行計(jì)算，直到滿(mǎn)意為止。目前常用的數(shù)值解法主要有：有限差分法、有限元法、邊界元法等。本章將主要介紹有限差分法。121二、穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的有限差分解用有限差分近似微分，用有限差商近似微商。偏微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程。以常物性、無(wú)內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例

122

差分方程的建立

1.

求解域離散

1)子區(qū)域劃分

選擇網(wǎng)格寬度

x、y（步長(zhǎng)），劃分子區(qū)域。步長(zhǎng)大小根據(jù)問(wèn)題的需要而定。

2)節(jié)點(diǎn)選擇

選擇網(wǎng)線(xiàn)和網(wǎng)線(xiàn)及網(wǎng)線(xiàn)與物體邊界的交點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，標(biāo)定節(jié)點(diǎn)位置，如(m,n)、(m+1,n)

等。123

2.

節(jié)點(diǎn)差分方程建立

1)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)節(jié)點(diǎn)（m+1,n）和（m-1,n）分別寫(xiě)出t

在(m,n)節(jié)點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式：兩式相加，略去高階項(xiàng)，得中心差分格式124同樣可得y方向得二階偏導(dǎo)數(shù)對(duì)于無(wú)內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，導(dǎo)熱微分方程為將上兩式代入，得取

x=

y，得125根據(jù)節(jié)點(diǎn)所代表的子區(qū)域在導(dǎo)熱過(guò)程中能量守恒建立節(jié)點(diǎn)溫度差分方程。(1)

內(nèi)部節(jié)點(diǎn)對(duì)于無(wú)內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)(m,n

)所代表的子區(qū)域在導(dǎo)熱過(guò)程中熱平衡關(guān)系為對(duì)于垂直于畫(huà)面方向單位寬度，選擇

x=y

2)

熱平衡法126物體內(nèi)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度都等于相鄰4個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度的算術(shù)平均值。

(2)

邊界節(jié)點(diǎn)

對(duì)第三類(lèi)邊界條件的邊界節(jié)點(diǎn)(m,n)所代表的子區(qū)域，節(jié)點(diǎn)熱平衡關(guān)系為

選擇步長(zhǎng)

x=y127令稱(chēng)為網(wǎng)格畢渥數(shù)。

整理得：第三類(lèi)邊界條件下的外拐角邊界節(jié)點(diǎn)：128第三類(lèi)邊界條件下的內(nèi)拐角邊界節(jié)點(diǎn)絕熱邊界節(jié)點(diǎn)：

運(yùn)用有限差分方法可以建立導(dǎo)熱物體所有內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)溫度的差分方程。求解這些差分方程構(gòu)成一個(gè)線(xiàn)性代數(shù)方程組就可以得節(jié)點(diǎn)溫度。129差分方程組求解

線(xiàn)性代數(shù)方程組的求解方法有消元法、矩陣求逆法、迭代法等，導(dǎo)熱數(shù)值計(jì)算中常用的迭代法中的兩種：簡(jiǎn)單迭代法任意假定一組節(jié)點(diǎn)溫度，作為初值。代入方程求出新的節(jié)點(diǎn)溫度值；直到兩次迭代求出之值間的差值滿(mǎn)足控制誤差要求。(2)高斯-塞德?tīng)柕?Gause-SeidelIteration)

簡(jiǎn)單迭代法的改進(jìn)，每次迭代都采用最新值。

1301簡(jiǎn)單迭代

其中aij、bi為常數(shù)，且aii0。改寫(xiě)為顯函數(shù)形式：

假設(shè)1312

高斯-塞德?tīng)柕?/p>

高斯-塞德?tīng)柕ǎ涸诤?jiǎn)單迭代法的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，與簡(jiǎn)單迭代法的主要區(qū)別是在迭代運(yùn)算過(guò)程中總使用最新算出的數(shù)據(jù)。

高斯-塞德?tīng)柕ū群?jiǎn)單迭代法收斂快。1