第05講：空間立體幾何高頻考點突破【考點梳理】考點一：空間幾何體結構（1）多面體多面體定義圖形及表示相關概念特殊情形棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱記作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底)：兩個互相平行的面側面：其余各面側棱：相鄰側面的公共邊頂點：側面與底面的公共頂點直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐記作：棱錐S－ABCD底面(底)：多邊形面側面：有公共頂點的各個三角形面側棱：相鄰側面的公共邊頂點：各側面的公共頂點正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐棱臺用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺記作：棱臺ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面側面：其余各面側棱：相鄰側面的公共邊頂點：側面與上(下)底面的公共頂點（3）圓柱、圓錐、圓臺、球旋轉體結構特征圖形表示圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱.旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側面的母線圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓柱記作圓柱O′O圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐圓錐也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓錐記作圓錐SO圓臺用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺圓臺也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓臺記作圓臺O′O球半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球.半圓的圓心叫做球的球心，連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點并且經過球心的線段叫做球的直徑球常用表示球心的字母來表示，左圖可表示為球O考點二：空間幾何體的直觀圖1、用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟2、斜二測畫法的步驟：①平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；②平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變3、原圖與直觀圖的關系：S直=S原；S原=S直考點三：簡單幾何體的表面積與體積1、空間幾何體的表面積（1）棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和（2）圓柱的表面積 （3）圓錐的表面積（4）圓臺的表面積 （5）球的表面積2、空間幾何體的體積（1）柱體的體積 （2）錐體的體積（3）臺體的體積 （4）球體的體積3、球的組合體（1）球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.（2）球與正方體的組合體：正方體的內切球的直徑是正方體的棱長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長（a）.（3）球與正四面體的組合體：棱長為的正四面體的內切球的半徑為，外接球的半徑為.考點四：空間直線、平面的平行1．線面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a?α,l?α))?l∥α性質定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b2．面面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β性質定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b考點五．直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．(2)判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是0°的角．(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．平面與平面垂直(1)二面角的有關概念①二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(3)平面與平面垂直的判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質定理兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α【題型梳理】題型一：空間幾何體的結構1．（2023春·福建南平·高一校考期末）下列命題中正確的是（

）A．正方形的直觀圖是正方形B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺2．（2023春·四川宜賓·高一宜賓市敘州區第一中學校校考期末）下列命題中，正確的是()A．經過正方體任意兩條面對角線，有且只有一個平面B．經過正方體任意兩條體對角線，有且只有一個平面C．經過正方體任意兩條棱，有且只有一個平面D．經過正方體任意一條體對角線與任意一條面對角線，有且只有一個平面3．（2023春·黑龍江大慶·高一鐵人中學校考期中）給出下列說法：①有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；③有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱④一個圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成7塊其中正確說法的個數是（

）A． B． C． D．題型二：直觀圖4．（2023春·四川成都·高一成都外國語學校校考期末）如圖，一個水平放置的平面圖形OABC的斜二測直觀圖是平行四邊形，且，，，則平面圖形OABC的面積為（

）

A．16 B．8 C．4 D．25．（2023春·云南昆明·高一昆明一中校考期中）已知是一平面圖形的直觀圖，斜邊，則這個平面圖形的面積是（

）

A． B．1 C． D．6．（2023春·廣東茂名·高一統考期中）如圖，水平放置的的斜二測直觀圖為，已知，則的周長為（

）

A． B．C． D．題型三：空間幾何體的表面積和體積7．（2023春·江蘇常州·高一常州市第一中學校考期末）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發現的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結構圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．8．（2023春·江蘇鎮江·高一揚中市第二高級中學校考期末）三棱錐的所有頂點都在球的球面上.棱錐的各棱長為：，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．9．（2023春·浙江金華·高一浙江金華第一中學校考期末）“辛普森（Simpson）公式”給出了求幾何體體積的一種估算方法：幾何體的體積V等于其上底面的面積S、中截面（過高的中點且平行于底面的截面）的面積的4倍、下底面的面積之和乘以高h的六分之一，即.我們把所有頂點都在兩個平行平面內的多面體稱為擬柱體.在這兩個平行平面內的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側面.中國古代名詞“芻童”（原來是草堆的意思）就是指上下底面皆為矩形的擬柱體.已知某“芻童”尺寸如圖所示，且體積為，則它的高為（

）

A． B． C． D．4題型四：內接球和外接球表面積和體積10．（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學校聯考期末）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內切球表面積為（

）A． B． C． D．11．（2023春·江蘇蘇州·高一統考期末）蹴鞠，又名蹴球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質文化遺產經國務院批準列入第一批國家非物質文化遺產名錄.已知某鞠的表面上有四個點，，，恰好構成三棱錐，若，，且，，，，則該鞠的表面積為（

）A． B． C． D．12．（2023春·江蘇鎮江·高一揚中市第二高級中學校考期末）已知三棱錐中，，，三點在以為球心的球面上，若，，且三棱錐的體積為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．題型五：點線面的位置關系13．（2023春·江蘇連云港·高一校考期末）下列表述中正確的是（

）A．若直線平面，直線，則B．若直線平面，直線，且，則C．若平面內有三個不共線的點到平面的距離相等，則D．若平面滿足，，，則14．（2023春·江蘇蘇州·高一統考期末）設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列結論不正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，，與相交，則15．（2023春·江蘇鎮江·高一揚中市第二高級中學校考期末）已知直線、，平面、，給出下列命題：①若，，且，則②若，，則③若，，且，則④若，，且，則其中正確的命題是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．③④題型六：線面的平行和性質16．（2023春·湖南邵陽·高一邵陽市第二中學校考期末）如圖，在四棱錐中，平面是的中點.

(1)證明：面(2)證明：平面平面；(3)求三棱錐的體積.17．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學校考期末）如圖：在正方體中，為的中點.(1)求三棱錐的體積；(2)求證：平面；(3)若為的中點，求證：平面平面.18．（2023春·四川宜賓·高一校考期末）如圖，四棱錐中，底面，底面為菱形，點F為側棱上一點．(1)若，求證：平面；(2)若，求證：平面平面．題型七：線面的垂直和性質19．（2023春·江蘇蘇州·高一統考期末）如圖，在直三棱柱中，，，，為棱的中點.

(1)求證：平面平面；(2)若，求點到平面的距離.20．（2023春·河南·高一校聯考期末）如圖，三棱柱中，為等邊三角形，，，．

(1)證明：平面平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值．21．（2023春·福建南平·高一校考期末）如圖所示，已知在三棱錐中，，M為的中點，D為的中點，且為正三角形．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）若，求三棱錐的體積．題型八：距離和線面角平面角問題22．（2023春·江蘇南通·高一校考期末）如圖，是圓的直徑，是圓上異于、一點，直線平面，，.

(1)求點到平面的距離；(2)求二面角的正切值.23．（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學校聯考期末）已知邊長為6的菱形，，把沿著翻折至的位置，構成三棱錐，且，，.

(1)證明：；(2)求二面角的大小；(3)求與平面所成角的正弦值.24．（2023春·江蘇鎮江·高一揚中市第二高級中學校考期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PB＝PD，PA⊥PC，M，N分別為PA，BC的中點底面四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠DAB＝60°，AC交BD于點O．(1)求證：MN∥平面PCD；(2)二面角B－PC－D的平面角為θ，若．①求PA與底面ABCD所成角的大小；②求點N到平面CDP的距離．【專題突破】一、單選題25．（2023春·江蘇無錫·高一輔仁高中校考期末）四棱臺中，其上、下底面均為正方形，若，且每條側棱與底面所成角的正切值均為，則該棱臺的體積為（）A．224 B．448 C． D．14726．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學校考期末）已知圓錐PO，其軸截面（過圓錐旋轉軸的截面）是底邊長為6m，頂角為的等腰三角形，該圓錐的側面積為（

）A． B． C． D．27．（2023春·湖南邵陽·高一邵陽市第二中學校考期末）在《九章算術》中，底面為矩形的棱臺被稱為“芻童”．已知棱臺是一個側棱相等、高為1的“芻童”，其中，，則該“芻童”外接球的表面積為（

）A． B． C． D．28．（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學校聯考期末）如圖，在棱長均為的直三棱柱中，是的中點，過、、三點的平面將該三棱柱截成兩部分，則頂點所在部分的體積為（

）

A． B． C． D．29．（2023春·江蘇連云港·高一江蘇省海頭高級中學校考期末）已知，，是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列結論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則30．（2023春·江蘇常州·高一常州市第一中學校考期末）已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則31．（2023春·江蘇常州·高一常州市第一中學校考期末）如圖，平面四邊形ABCD中，，為正三角形，以AC為折痕將折起，使D點達到P點位置，且二面角的余弦值為，當三棱錐的體積取得最大值，且最大值為時，三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．32．（2023春·福建南平·高一期末）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，為的中點，則異面直線與所成的角的正弦值為（

）

A． B． C． D．33．（2023春·河南南陽·高一統考期末）如圖是正方體的平面展開圖．關于這個正方體，有以下判斷：①與所成的角為②∥平面③④平面∥平面其中正確判斷的序號是（

）．A．①③ B．②③ C．①②④ D．②③④二、多選題34．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學校考期末）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側面積為C． D．的面積為35．（2023春·湖南株洲·高一統考期末）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面ABCD中，，且，下列說法正確的是（

）

A．該圓臺軸截面面積為B．該圓臺的體積為C．該圓臺的表面積為D．沿著該圓臺表面，從點到中點的最短距離為36．（2023春·江蘇蘇州·高一統考期末）如圖，在正方體中，點在線段上運動，下列判斷中正確的是（

）

A．平面平面B．C．D．異面直線與所成角的取值范圍是37．（2023春·浙江寧波·高一統考期末）已知正四棱柱的底面邊長為1，側棱長為2，點M為側棱上的動點（包括端點），平面．下列說法正確的有（

）A．異面直線AM與可能垂直B．直線BC與平面可能垂直C．AB與平面所成角的正弦值的范圍為D．若且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為三、填空題38．（2023春·河南周口·高一校聯考期末）已知圓錐的母線長為1，底面半徑為r，若圓錐的側面展開圖的面積為扇形所在圓的面積的，則＝____________．39．（2023春·江蘇南京·高一南京市中華中學校考期末）已知三棱錐中，平面，，異面直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為______．40．（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學校聯考期末）杭州第19屆亞運會會徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯網及太陽六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊.在中國歷史上，歷代書畫家都喜歡在扇面上繪畫或書寫以抒情達意.一幅扇面書法作品如圖所示，經測量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12的兩個同心圓上的弧（長度單位為cm），側邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心，且圓心角為.若某空間幾何體的側面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為______.

41．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學校考期末）如圖，在棱長為1的正方體中，點A到平面距離是______．

42．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學校考期末）已知如圖（1）