9.1網格生成技術概要流動和熱物理中復雜計算區域所采用的網格大體上分為結構網格和非結構網格兩大結構網格的生成技術相對成熟，其特點是任意一個節點的位置都可通過一定的規則給果。本書將對此不再討論，有興趣的讀者可參看相關結構網格中，除了在整個計算區域內構建一種形式的網格外，還發展了一種稱為塊結非結構網格是一種沒有固定結構的網格，其節點的編號命名無一定規則甚至隨意，每能力。生成非結構網格的方法大致分為三類：前沿推進法，Delaunay三角形化方法，其它方法。限于篇幅，我們不做進一步討論，感興趣的讀者可高質量的網格還應與數值求解的動態過程結合起來。這個過程系指用最適合求解問題9.2貼體坐標和貼體坐標轉換流動和熱物理過程的控制方程最一般的形式是以矢量寫出來的。這些矢量形式的方程理想的坐標系是求解區域的邊界與坐標系的坐標軸一一相平行的坐標系，這種坐標稱因此需要采用坐標轉換的數學手段來構造與之相適應的貼體坐標系，以使求解區域得以簡以二維問題為例，如圖9－2所示，設在物理平面x?y上定義有一個復雜的求解區域ABCD，選擇某種坐標轉換ξ=ξ(x,y)η=ξ=ξ(x,y)如果它能將物理平面上的非規則區域ABCD變為計算平面ξ?η上的一個規則的矩形區域A*B*C*D*，且矩形A*B*C*D*的每條邊相應ξ?η平面上的一條坐標線，并與物理平面復雜區域ABCD上的邊界線一一對應，則ξ?η就是我們要找的與物理空間復雜區域邊界相適應的貼體坐標。貼體坐標系在物理平面x?y上是曲線坐標ξ?η,其物理邊界均是對應的各個網格節點的坐標(ξ,η)，找出物理平面上對應的網格節點坐標(x,y)，也就是要確定度易于控制4）網格線應盡可能避免過于傾斜，以減小截斷誤差5）仍以二維問題為例：式(9-1)表示從物理平面(x,y)到計算平面(ξ,η)的轉換，稱為正變換；而從計算平面(ξ,η)到物理平面(x,y)的轉換稱為逆變換，表成為x=x(ξ,η)y=y(x=x(ξ,η)Jξ=yηxξξ+xξyξη?xηyξξ?yξxξηJη=yηxξη+xξyηη?xηyξη?yξxηηxηDy?yηDx)J,σ=(yξDx?Dxξξηηη,Dy=αyξξξη（1）生成貼體網格。在計算平面上選定與物理平面上復雜求解域相對應9.3生成貼體網格的代數方法邊界規范化方法系指采用一些簡單的如圖9－3(a)所示的先收縮而后擴散的大。為精確模擬這類特性的流場，可引用如規則的葉柵繞流區通過邊界規范化變化不同幾何結構特性和流動特性的計算區域面上均勻劃分的網格對應物理平面上符合前面給出的用初等函數變換使邊界規范化而生成貼體網格的方法，可用范圍是很有限其中Li(ξ)為Lagrange插值函數，形式為2）Hermite插值：相應上述提法的其中，插值函數Hi(ξ)和Hi(ξ)的形式為是上下邊界上的x,y僅隨ξ（左右邊界僅令該兩邊界上的x,y隨ξ變化關系定為利用以上給定的上、下邊界值條件進行插值，最簡單的插值方式就是沿η方向的Lagrange對二維問題，雙邊界法僅規定了兩條非規則邊界上的(x,y)和(ξ,η)間的對應關系，在在ξ,η兩個不同方向分別進行插值。這是一種雙方向插值。因為它是對(ξ,η)平面整個計算單向插值。令插值函數為αi(ξ)，所得結果記為F1(ξ,η)，則這里ri=r(ξi,η)和F1(ξ,η)都是矢量函數。ri的兩個分量為xi、yi，即（2）對η=ηj線上的差值(r(ξ,ηj)-F(ξ,ηj))在全域范圍內進行η方向的插值。令F(ξ,η)=F1(ξ,η)+F2(ξ,η)(9-26)N條，顯然，將上面的插值表達式(9-23)和(9-25)中的求和上標‘2’改寫為‘I’和‘J’就可以了。無限插值在不同方向的插值函數αi(ξ)和βj(η)稱為混合函數（blendingfunction可有不同的選擇形式，它的好壞對生成網格的好壞有重要作用。通?？刹捎脼榘袑禇l件的形式(9-18)，相應的混合函數為Hermite插值函F1-ξ)xl(η)+ξxr(η)F1y(ξ,η)=(1-ξ)yl(η)+ξyr(η)第二步按式(9-25)進行η方向的插值，其投影形式為F2x(ξ,η)=(1-η)xb(ξ)+ηxt(ξ)-[(1-η)(1-ξ)xl(0)+η(1-ξ)xl(1)+(1-η)ξxr(0)+ηξxr(1)]F2y(ξ,η)=(1-η)yb(ξ)+ηyt(ξ)-[(1-η)(1-ξ)yl(0)+η(1-ξ)yl(1)+(1-η)ξyr(0)+ηξyr(1)]x(ξ,η)=F1x(ξ,η)+F2x(ξ,η)y(ξ,η)=F1y(ξ,η)+F2y(ξ,η)9.4生成貼體網格的微分方程方法為了實現如式(9-1)表示的從物理平面變到計理平面(x,y)上Laplace方程或者Poisson方程的解，即或而從物理平面到計算平面的變換恰是從計算平面到物理平面的一個反變換，此時，ξ,η是自變量，而x,y是因變量，把正變換要解的方程轉化為反變換下對應的方程來求解，正變將上式第一式乘xξ,第二式乘xη,兩式相加；另將上式第一式乘yξ,第二式乘yη,兩式相加，并利用Jacibi因子J的定義：J=xξyη?xηyξ,可得這就是反變換下的Poisson方程。顯然，設如圖9－6所示的物理平面曲線邊界的非規則區域變成了計算平面規則求解區域為ξ個節點，η方向有N+1個節點。求解方程(9-35)和(9-36)所需給定的邊值條件為η反變換方程中的Jacobi因子J代表坐標轉換的兩平面上所計算的控制容積體積的脹縮標η和ξ兩方向上的度規系數，其平方根為曲線坐標轉換的Lam量dr在曲線坐標η和ξ方向上的投影弧長dsη和dsξ,也即沿ξ和η為常數的網格線上的微分弧長ds(ξ)和ds(η)分別為取決于物理平面上求解域是單連通的或多連通的，生成的結構網格的拓撲形態多種多樣，相應的計算平面的規則幾何區域也彼此不同。文獻[12]列舉了多種例子，有興趣讀者可對邊構成周期性邊界條件，在圖示的邊界r和上，相同的η對應相同的(x,y)值。C型-灬網格線的兩端分別是物理平面上的rs和pq反變換來生成網格。方程中的源函數P(ξ,η)和Q(ξ,η)起著這樣的控制作用，稱為控制函其中，P(ξ)和Q(η)分別控制近邊界處ξ與η方向上網格的疏密；M+1和N+1分別為ξ與η方向節點總數，a、b和a、b分別是ξ與η方向的調節常數，取值大于或等于零，(a)Laplace方程(b)能控制邊界附近網格疏這里，M+1和N+1意義同式(9-39a)和式(9-39b)；兩式右端第二項的求和上ndiP(ξ,η)=φ(ξ,η)(ξ+ξ)22(Q(ξ,η)=Ψ(ξ,η)(ηx+ηy22(其中(ξ+ξ)和(η+η)起著把邊界上設定的網格線分布密度向計算區域內部傳遞的直和正交的要求來確定。將式(9-41)代（1）在計算域的等η邊界線上確定φ,在等ξ邊界線上確定Ψ。確定條件為網格線與lr，在兩條等η線間的等ξ圖9－12(a)和圖9－12(b)分別示出了沒有附加源項的Laplace方程反變換和按照上法附(a)Laplace方程(b)能控制邊界上網格正交特性的Poisson方9.5自適應網格的生成方法自適應網格是在計算過程中根據解的分布特性而建立的適合于解的要求的網格。它要網格生成函數是問題解的某種函數。設非穩態二維平面問題的求解函數為φ(x,y,t)，物理坐標為(x,y)，生成自適網格的變換函數為(ξ,η)，則值以及求解變量間的差值保持均勻，也即使映射計算平面(ξ,η)上始終保持網格間距如圖9－13所示，考慮物理平面(x,y)上某條ξ=const網格曲線，用s表示沿該線的(a)物理平面網格疏密隨時要求不一(b)計算平其中，b為調節參數。進一步，如果我們將看成是與ds作乘積并得到常數結果時的某個權函數，并令滿足這種要求的一般權函數為W(s)，則相應于式(9-46)的表達式為顯然，如果將W(s)看成為ds上的密度分布函數，則式(9-47)或式(9-48)要能使網格分布適應計算要求，權函數W(s)可以選擇成不同的函數形式。而在η方向網格自適應處理的權函數取為而應用變分法來生成自適應網格的思想最早由文獻[18]提出。該法綜合考慮物理空間上所即dxdy=Jdξdη(9-58)因此J值在全域內的變化就反映了物理空間中控制容積的變化，J的大小能夠反映物理空間網格的密集程度。如果把解的梯度有關的某個權函數W(x,y)乘上J，在全域內積分，就構成一個能反映網格分布疏密度的度量參數ID因為▽ξ和▽η反映物理平面上網格分布的均勻程度，故作為全域范圍內網格分布均勻由于網格正交時，必有▽ξ.▽η=0，因此可將▽ξ.▽η之值作為網格正交性的度量。2.J3.dxdy(9-61)綜合三方面因素考慮，將以上三個度量參數作線性組Jacobi因子J的變換。其中，D*為計算平面上相應于物理平面積分區域D的區域。進一步，由(9-62)得到求泛函I極小值的Eu