高中數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊第一章綜合檢測卷（培優(yōu)B卷）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．若，E為空間中不在直線CD上的任意一點，則直線AB與平面CDE的位置關系是（

）A．相交 B．平行 C．在平面內 D．平行或在平面內【答案】D【分析】由給定條件可得直線AB與直線CD平行或重合，再分情況討論作答.【詳解】因，則有直線AB與直線CD平行或重合，而點E不在直線CD上，即點E、直線CD確定平面CDE，若直線AB與直線CD平行，當點E在直線AB上時，直線AB在平面CDE內，當點E不在直線AB上時，平面CDE，平面CDE，于是得平面CDE，若直線AB與直線CD重合，則直線AB在平面CDE內，所以直線AB與平面CDE的位置關系是平行或在平面內.故選：D2．邊長為2的正方形ABCD沿對角線AC折疊，使平面ACD垂直于底面ABC．則（

）．A．-2 B．2 C．-6 D．6【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，寫出的坐標，利用空間向量的數(shù)量積進行運算即可.【詳解】設中點為，易知，是等腰直角三角形，所以，，又平面垂直于底面，平面底面，平面則底面，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，∴，，∴．故選：B．3．已知平面的一個法向量，點在內，則平面外一點到的距離為（

）A．10 B．3 C． D．【答案】C【分析】首先求出，再根據(jù)點到的距離計算可得.【詳解】解：因為、，所以，又平面的一個法向量，所以點到的距離.故選：C4．如圖，為正方體，下列錯誤的是（

）A．平面 B．平面平面．C．與共面 D．異面直線與所成的角為90度【答案】C【分析】由線面平行的判定定理可判斷A；由面面垂直的判定定理可判斷B，由異面直線的定義可判斷C；以為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系，可得，可判斷D.【詳解】對于A，由正方體的性質知：，平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，由正方體的性質知：平面，平面，平面，所以，又因為，平面，所以平面，平面，則平面平面，故B正確；對于C，平面，因為平面，平面，平面，由異面直線的判定定理知與是異面直線，故C不正確；對于D，以為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系，設正方體的邊長為2，，，，，，，所以異面直線與所成的角為90度，故D正確.故選：C.5．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，，分別為，上的點，且，，（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件選定基底向量，并表示出，再利用向量運算即可得解.【詳解】在四棱錐中，底面為平行四邊形，連接AC，如圖，，，則，又，，，則，，因此，.故選：B6．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，設平面PAB和平面PBC的一個法向量分別為，則下列結論中正確的是（

）A．點P的坐標為（0，0，2） B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間直角坐標系，寫出點坐標，，，，分別計算即可求值.【詳解】建立空間直角坐標系如圖：由題意可得，，，，所以，.設，則，取，可得.因為，，所以平面PAB，所以平面平面PAB，所以，所以.綜上所述，A，B，C錯，D正確.故選：D7．如圖，在長方體中，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為，CD的中點，直線BE與平面所成角為，給出下列結論：①平面；

②；③異面直線BE與所成角為；

④三棱錐的體積為長方體體積的．其中，所有正確結論的序號是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】取中點為，可證明平面平面，根據(jù)面面平行的性質即可判斷①；可證明平面，即可判斷②；可證明四邊形是平行四邊形，即可得到，進而可得即等于所求角，求出該角即可判斷③；以為底，即可求出三棱錐的體積，進而判斷④.【詳解】取中點為，連結.對于①，因為分別是的中點，所以，，因為平面，平面，所以平面，同理，平面.因為，平面，平面，，所以平面平面，又平面，所以平面，所以①正確；對于②，由已知可得四邊形是正方形，，又平面，平面，所以，因為平面，平面，，所以平面，又平面，所以，故②正確；對于③，取中點為，連結.因為，，，，所以，所以且，所以四邊形是平行四邊形，則，所以異面直線BE與所成角即等于直線與所成角，因為直線BE與平面所成角為，平面，所以，所以，設，則，則，所以為等邊三角形，所以，故③正確；對于④，設長方體體積為，則.因為平面，則，故④正確.故①②③④正確.故選：D.8．在平行四邊形中，角，將三角形沿翻折到三角形，使平面平面.記線段的中點為，那么直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理，則，，，以為原點建立空間直角坐標系，利用向量法解決線面角問題.【詳解】，由余弦定理，，則，，，平面平面，，，以為原點，所在直線為軸，平面內垂直于的直線為軸，垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設平面的一個法向量為，則有，令，有，，即，，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．已知非零空間向量，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C． D．若，則不共面【答案】AB【分析】根據(jù)向量共線定理判斷A；利用數(shù)量積的定義判斷B；根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運算律判斷C；利用平面向量基本定理判斷D【詳解】對于A，因為，，是非零向量，且滿足，，故存在實數(shù)使得，故，所以，故正確；對于B，因為，，是非零向量，所以，故正確；對于C，，，與未必共線，故不正確；對于D，由平面向量基本定理可得若，則共面，故不正確故選：AB10．已知空間中三點，，，則（

）．A． B．C． D．A，B，C三點共線【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的模的坐標表示即可判斷A；判斷是否成立即可判斷B；根據(jù)即可判斷C；判斷向量是否共線即可判斷D.【詳解】解：，則，故A正確；，則，所以，故B正確；，則，故C正確；因為，，，所以向量不共線，則A，B，C三點不共線，故D錯誤.故選：ABC.11．已知平行六面體如圖所示，其中，，，線段AC，BD交于點O，點E是線段上靠近的三等分點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由向量的線性運算和數(shù)量積的定義，化簡求值.【詳解】依題意，，，，，故A正確；，故B錯誤；，則，故C錯誤；，故D正確；故選：AD.12．在直三棱柱中，平面，且，為中點，則下列說法正確的是（

）A．無論為何值時，均有平面成立B．當時，平面C．當時，與所成角的余弦值為D．當時，點到平面的距離為【答案】ABC【分析】對于A，連接，連接，利用中位線的性質可得，結合線面平行的判定定理即可判斷；對于B、C、D，建立空間直角坐標系，用向量法進行計算判斷即可.【詳解】對于A，連接，連接.因為四邊形是平行四邊形，所以是的中點，又為中點，所以，又平面，平面，所以平面，A正確；對于B，如圖，建立空間直角坐標系，當時，，則,所以，，即，又EC1、AE交于E點，且平面，所以平面，B正確；對于C，當時，,則，所以，故與所成角的余弦值為，C正確；對于D，當時，，則，設平面的法向量為，則，取點到平面的距離為，D錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，若夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】且【分析】根據(jù)題意得出且與不共線，然后根據(jù)向量數(shù)量積的定義及向量共線的條件即可求出答案.【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以且與不共線，因為，所以，解得，當與共線時，，即，則，解得，所以且.故答案為：且.14．已知空間四邊形中，，則______．【答案】0【分析】根據(jù)向量的加法的幾何意義，將化為，結合數(shù)量積的運算法則和向量的線性運算，即可求得答案.【詳解】在空間四邊形中,,則,故答案為：015．點、分別是正四面體ABCD棱、的中點，則______．【答案】【分析】以為基底，，即可求解.【詳解】解：以為基底，它們兩兩之間均為，設正四面體ABCD棱長為2，則,所以，所以,故答案為：16．如圖一副直角三角板，現(xiàn)將兩三角板拼成直二面角，得到四面體，則下列敘述正確的是___________.①平面的法向量與平面的法向量垂直；②異面直線與所成的角的余弦值為；③四面體有外接球且該球的半徑等于棱長；④直線與平面所成的角為.【答案】②③④【分析】建立空間直角坐標系，用空間向量解決①②④，利用向量求出AD⊥AC，取兩個直角三角形斜邊中點，可證明此點為球心，進而得到解答.【詳解】如圖，以BD為x軸，BC為y軸，垂直于平面BCD為z軸建立空間直角坐標系，設，則，，則，，，，平面的法向量為，平面的法向量為，則，令，則，，則，因為，則平面的法向量與平面的法向量不垂直，①錯誤；設異面直線與所成角為，其中，，則，②正確；，所以是直角三角形，取CD中點O，則因為和為直角三角形，OA=OB=OC=OD，則O為四面體ABCD的外接球球心，半徑為，而根據(jù)∠CBD=30°，故，故四面體有外接球且該球的半徑等于棱長，③正確；平面ABC的法向量為，設直線與平面所成角為，，故，故④正確.故答案為：②③④四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知點、、，，．(1)若，且，求；(2)求；(3)若與垂直，求．【答案】(1)或；(2)；(3)或【分析】（1）利用空間向量平行充要條件設出，再利用列方程，進而求得；（2）先求得，，再利用公式即可求得的值；（3）利用空間向量垂直充要條件列出關于的方程，解之即可求得的值．【詳解】（1）、，，，且，設，且，解得，或；（2）、、，，，，，；（3），，又與垂直，，解得或．18．已知三棱柱中，側棱底面，記，，.（1）用表示；（2）若，，求證：.【答案】（1），，；（2）見解析【解析】（1）根據(jù)空間向量的加法和減法的運算法則，即可求出結果；（2）由題意可知，，由，可得；同理由可得即可證明結果.【詳解】（1），，；（2）證明：∵底面，∴，∴,，，，，即【點睛】本題主要考查了空間向量的加法（減法）運算法則，以及空間向量數(shù)量積的應用，屬于基礎題.19．如圖，在邊長是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點．(1)求證：平面；(2)證明：EF與平面不垂直．【分析】（1）連結，連結，先利用平行四邊形證得，再利用線面平行的判定定理得到平面；（2）建立坐標系求出點的坐標，表示出，因為，所以不垂直，則EF與平面不垂直．【詳解】（1）如圖，連結，連結，因為在正方體中，面是正方形，所以，是的中點，又因為是的中點，所以且，因為是的中點，所以，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，故，又面，面，所以平面；（2）建立以為坐標原點，，，分別為，，軸的空間直角坐標系如圖：則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，分別為，的中點，，1，，，1，，所以，而，故不垂直，則EF與平面不垂直．20．如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，為的中點.(1)證明：.(2)求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的運算性質進行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.因為，所以；（2）設平面的法向量為，則取，可得.設平面的法向量為，則取，可得..故二面角的平面角的余弦值為.21．如圖，在四棱錐中，平面，正方形的邊長為2，是的中點．(1)求證：平面．(2)若，線段上是否存在一點，使平面？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．【分析】（1）連結交于點，可知.然后根據(jù)線面平行的判定定理，即可得出平面；（2）先證明平面．以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，設，求出點的坐標，然后得到.求出平面的法向量，根據(jù)得出的值，根據(jù)數(shù)乘向量的模，即可得出答案.【詳解】（1）如圖1，連結交于點.因為是正方形，所以是的中點，又是的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）存在，理由如下：因為平面，平面，所以．因為為正方形，所以．又，平面，平面，所以平面．以點為坐標原點，過點作的平行線為軸，分別以為軸，建立空間直角坐標系，如圖2，則，，，，，，所以.令，則,所以，所以.因為，，設是平面的一個法向量，則，所以，取，則是平面的一個法向量.因為平面，所以，所以有，解得，所以.因為，所以.22．如圖1，在直角梯形中，，，，，，.如圖2，以為折痕將折起，使點到達的位置，且.(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）過點作于，可證，即為等邊三角形，取的中點，結合余弦定理和勾股定理可推出，再由線面垂直的