第01講：數與式【考點梳理】考點一、乘法公式【公式1】平方差公式：【公式2】完全平方公式：【公式3】完全立方公式：【公式4】（完全平方公式）【公式5】(立方和公式)【公式6】(立方差公式)考點二、指數式當時，.當時，⑴零指數，⑵負指數.⑶分數指數為正整數).冪運算法則：.=4\*GB2⑷考點三、根式式子叫做二次根式，其性質如下：(1) (2)(3) (4)如果有，那么叫做的次方根，其中為大于的整數．當n為奇數時，，當n為偶數時，.四、分式當分式的分子、分母中至少有一個是分式時，就叫做繁分式，繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1)利用除法法則；(2)利用分式的基本性質．【專題突破】一、單選題1．（2023秋·四川涼山·高一統考期末）已知等式，則下列變形一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據等式的基本性質對各選項進行逐一分析即可.【詳解】對于選項A，因為，當或時，無意義，故選項A錯誤；對于選項B，等式的兩邊同時減去，根據等式的基本性質，該等式仍然成立，故選項B正確；對于選項C，因為，當或時，無意義，故選項C錯誤；對于選項D，因為，當或時，無意義，故選項D錯誤；故選：B2．（2022秋·四川南充·高一四川省南充市白塔中學校考開學考試）已知，，，則代數式的值為（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】B【分析】化簡所求式子，結合已知條件求得正確答案.【詳解】.故選：B3．（2022秋·安徽黃山·高一屯溪一中校考開學考試）若（x、y是實數），則M的值是（

）A．正數 B．負數C．零 D．以上皆有可能【答案】A【分析】整理得，再分析判斷即可.【詳解】因為，若，該方程組無解，即不同時成立，所以.故選：A.4．（2022秋·廣西玉林·高一校考期中）關于x的一元二次方程的兩個實數根的平方和為，則（

）A．2 B．8 C．10 D．2或10【答案】A【分析】利用根與系數的關系直接求解.【詳解】設，是的兩個實數根，則，，故，解得或．當時，符合題意；當時，，不符合題意；綜上，．故選：A．5．（2022秋·云南紅河·高一校考階段練習）已知實數滿足，那么的值是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】結合二次根號下的式子非負得到的范圍，進而化簡式子，求出，再代入計算即可.【詳解】因為，所以，所以，則，所以.故選：D.6．（2020秋·安徽蚌埠·高一蚌埠二中校考開學考試）楊輝三角是二項式展開式中各項系數的一種幾何排列.它最早出現在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中.利用楊輝三角，我們很容易知道.設，則系數（

）A．54 B．-54 C．36 D．-36【答案】B【分析】利用楊輝三角及已知等式，計算求解即得.【詳解】，則.故選:B.7．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中校考開學考試）已知，并且，則直線一定通過（

）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】B【分析】依題意可得，即可得到或，然后根據一次函數的性質即可得出答案．【詳解】解：因為，所以①，②，③，三式相加得．有或．當時，．則直線通過第一、二、三象限．當時，不妨取，于是，，，直線通過第二、三、四象限．綜合上述兩種情況，直線一定通過第二、三象限．故選：B．8．（2022秋·河南鄭州·高一鄭州外國語學校校考階段練習）已知，，，則與的大小關系是（

）A． B．C． D．無法確定【答案】C【分析】根據異分母分式加減，分別計算出、的值，就不難判斷它們的大小．【詳解】解：，又，；同理，．故選：C．9．（2022秋·四川成都·高一四川省成都市第八中學校校考開學考試）若?都是非零實數，且?，那么?的所有可能的值為（

）A．?或? B．?或? C．?或? D．?【答案】D【分析】由題意可知?為兩正一負或兩負一正，然后分別討論可得到答案【詳解】解：由已知可得：?為兩正一負或兩負一正，①當?為兩正一負時，?；②當?為兩負一正時，?，?，所以所有可能的值為0，故選：D10．（2022·安徽蕪湖·高一蕪湖一中校考強基計劃）依次將正整數1，2，3，…的平方數排成一串：149162536496481100121144…，排在第1個位置的數字是1，排在第5個位置的數字是6，排在第10個位置的數字是4，排在第898個位置的數字是（

）A．1 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】先分別找到占1個，2個，3個，4個，5個數位的平方數的個數，從而得出第898個位置的數字是的個位數字，求解即可．【詳解】到，結果都各占1個數位，共占1×3＝3個數位；到，結果都各占2個數位，共占2×6＝12個數位；到，結果都各占3個數位，共占3×22＝66個數位；到，結果都各占4個數位，共占4×68＝272個數位；到，結果都各占5個數位，共占5×109＝545個數位；此時3＋12＋66＋272＋545＝898，而，所以，排在第898個位置的數字恰好應該是的個位數字，即為4．故選：B．11．（2021秋·浙江·高一階段練習）我國南宋數學家楊輝用“三角形”解釋二項和的乘方規律，稱之為“楊輝三角”，這個“三角形”給出了的展開式的系數規律（按a的次數由大到小的順序）1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

…

…

請依據上述規律，寫出展開式中含項的系數是（

）A．－2021 B．2021 C．4042 D．－4042【答案】D【分析】先觀察規律，再按照規律寫出第一項、第二項，其中第二項含，寫出系數即可.【詳解】根據規律可以發現:第一項的系數為1，第二項最前面的常數為2021，則第二項為：.故選：D.12．（2022秋·江西撫州·高一南城縣第二中學校考階段練習）下列說法正確的是（）①已知，，則；②若，則化簡③如果定義，當，．時，則的值為；A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根據的正負，結合絕對值的定義化簡判斷①，由條件確定的范圍，分別在條件，時化簡，判斷②，由條件，．分析的大小，結合定義求，由此判斷③，【詳解】因為，，所以，，，，所以，①對，因為，所以，所以，當時，，當時，，所以②錯，因為，所以，所以，又，所以，所以，所以，③對，故選：B.13．（2022·江蘇·高一開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，設一質點自處向上運動個單位至，然后向左運動個單位至處，再向下運動個單位至處，再向右運動個單位至處，再向上運動個單位至處，，如此繼續運動下去．則的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結合題目觀察規律，得到落在第四象限，再觀察第四象限點的坐標規律，即可得到結果.【詳解】根據平面坐標系結合各點橫坐標得出：第一象限：、、、第二象限：、、、第三象限：、、第四象限：、、、，在第四象限觀察規律知第四象限的點的橫坐標是，縱坐標為，即，的坐標為，故選:C．14．（2022秋·福建泉州·高一泉州五中校考開學考試）觀察規律，，，，運用你觀察到的規律解決以下問題：如圖，分別過點作軸的垂線，交的圖像于點，交直線于點.則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用解析式求得，，，，，進而求得線段，，，將所求結果代入算式，再利用裂項相消法計算可得．【詳解】解：在上，在直線上，，，；同理：，，；，，；，．．故選：D．二、填空題15．（2023·高一課時練習）已知a、b是方程的兩個根，則的值為______．【答案】8【分析】首先根據已知條件得，，，然后將原式化簡整理成，最后代入數值即可求解.【詳解】已知、是方程的兩個根，則有，，根據韋達定理有，..故答案為：16．（2022秋·上海浦東新·高一校考期中）若對任意實數恒成立，則______．【答案】2【分析】利用題意列出的等式，即可求解【詳解】由可得，因為對任意實數恒成立，所以對任意實數恒成立，所以解得，所以，故答案為：217．（2022秋·江西撫州·高一南城縣第二中學校考階段練習）點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為，在數軸上A、B兩點之間的距離，利用數形結合思想回答下列問題：（1）數軸上表示1和5兩點之間的距離是_____，數軸上表示2和的兩點之間的距離為________．（2）數軸上表示x和兩點之間的距離為______．若x表示一個有理數，且，則__________．（3）利用數軸求出的最小值為__________，并寫出此時x可取哪些整數值______．【答案】4367【分析】（1）由數軸上兩點之間距離的定義即可求解.（2）由數軸上兩點之間距離的定義即可求解.（3）由數軸上兩點之間距離的定義即可求解.【詳解】（1）數軸上表示1和5兩點之間的距離是；數軸上表示2和的兩點之間的距離為.故答案為：4；3.（2）數軸上表示x和兩點之間的距離為；因為，由數軸上兩點距離的定義，則.故答案為：；6.（3）當時，，且為最小值；此時整數.故答案為：7；.18．（2022秋·上海·高一期中）設，則用含的最簡分式形式表示代數式的值為______．【答案】【分析】已知式取倒數后求得，待求式變形為關于的式子，代入后化簡可得．【詳解】由得，所以．所以．故答案為：．19．（2022·安徽蕪湖·高一蕪湖一中校考強基計劃）若有四個不同的正整數a,b,c,d,滿足,則___________．【答案】8087或8089【分析】根據a、b、c、d是四個不同的正整數,可知四個括號內的值分別是：1,-1,-2,3或1,-1,2,-3,據此可得出結論．【詳解】∵a、b、c、d是四個不同的正整數,∴四個括號內的值分別是：1,-1,-2,3或1,-1,2,-3．四個括號內的值分別是：1,-1,-2,3時,不妨令∴,∴；四個括號內的值分別是：1,-1,2,-3時,不妨令,∴,∴.故答案為：8087或8089．20．（2021春·湖北武漢·高一華中師大一附中校考學業考試）已知，則代數式的值為__________.【答案】【分析】由變形可得出，代數式變形，整體代入求值即可.【詳解】因為，則，可得，所以，，即，所以，，所以，.故答案為：.21．（2022·安徽蕪湖·高一蕪湖一中校考強基計劃）設自然數，且，則________．【答案】16【分析】依題意可得，即可得到，從而得解.【詳解】因為，即，即，所以，即，所以關于的方程有正整數解，所以，其中，解得，所以，又，因為、為自然數且，所以，解得，經檢驗符合題意，所以.故答案為：三、解答題22．（2021秋·江蘇鎮江·高一江蘇省鎮江中學校考階段練習）已知關于x的函數(1)若，且的正數解為，求，的值；(2)若當時，y的最小值為8，求實數a的所有值．【答案】(1)，；(2)–1和.【分析】（1）根據完全平方和公式、立方和公式進行求解即可；（2）根據基本不等式，結合換元法、二次函數的性質分類討論進行求解即可.（1）若，又的正數解為，故，又，又，故，∴；（2），因為，令，當且僅當時取等號，即時取等號，則，若，則在時，，解得，（舍）；若，則在時，，解得，（舍）；綜上，a的所有值為–1和．23．（2022·江蘇蘇州·高一常熟中學校考階段練習）已知是方程的一個根，求：(1)的值；(2)代數式的值．【答案】(1)-5；(2)2019.【分析】（1）根據是方程的一個根，得到，對代數式變形后，整體代入求出答案；（2）由題意得到，，將代數式變形，整體代入求出答案.【詳解】（1）因為是方程的一個根，所以，即，故；（2）由得：，，結合，可得：.24．（2022秋·海南三亞·高一校考開學考試）已知．(1)化簡；(2)若正方形的邊長為，且它的面積為9，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據分式的運算性質化簡即可，（2）先求出，再代入化簡后的式子中可求得答案.（1）（2）因為正方形的邊長為，且它的面積為9，所以，得，所以25．（2022秋·安徽黃山·高一屯溪一中校考開學考試）化簡【答案】【分析】根據已知，因式分解可得，然后拆開，根據分母有理化即可得出，整理即可得出答案.【詳解】原式.26．（2022秋·安徽淮南·高一淮南第二中學校考強基計劃）劉在《文心雕龍》中說：“造化賦形，支體必雙：神理為用，事不孤立.夫心生文辭，運裁還慮高下相須，自然成對.”在數學上也經常利用對仗（對偶）思想解決有關問題，比如的對偶式是，可以用來無理式的有理化.請利用上述材料解決以下問題：(1)已知，比較a、b、c的大小關系；(2)求不超過的最大整數.【答案】(1)(2)3903【分析】（1）根據題意將三個數化為分數形式，比較分母大小，即得答案；（2）設，可得，從而計算的值，結合的范圍，可確定的范圍，即得答案.【詳解】（1）由題意可得，，，因為，