寧遠(yuǎn)一中2025年高三數(shù)學(xué)模擬卷（一）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一組樣本數(shù)據(jù)刪除一個(gè)數(shù)后,得到一組新數(shù)據(jù):10,21,25,35,36,40.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,則刪除的數(shù)為()A.25 B.30 C.35 D.402．已知集合,,則()A. B.C. D.3．已知向量,滿足,,則為()A. B. C. D.4．函數(shù)在開區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.5 B.6 C.7 D.85．正四棱臺(tái)中，，，與底面所成的角為，則此四棱臺(tái)的體積為()A. B. C. D.6．若函數(shù)的定義域?yàn)镈,且存在,使得,則稱是的一個(gè)“二倍階值點(diǎn)”.下列四個(gè)函數(shù)中,不存在“二倍階值點(diǎn)”的是()A. B. C. D.7．某商店店慶，每個(gè)在店內(nèi)消費(fèi)到一定額度的顧客都可以參與抽獎(jiǎng)活動(dòng).組織方準(zhǔn)備了個(gè)盲盒，其中有個(gè)盲盒內(nèi)有獎(jiǎng)品.抽獎(jiǎng)規(guī)則為：抽獎(jiǎng)?wù)邚倪@n個(gè)盲盒中隨機(jī)抽取1個(gè)盲盒，兌獎(jiǎng)后組織方會(huì)再補(bǔ)回一個(gè)相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽獎(jiǎng)?wù)叱楠?jiǎng).抽獎(jiǎng)?wù)呒紫饶闷鹆艘粋€(gè)盲盒，在猶豫是否打開時(shí)，組織方拿走了一個(gè)沒(méi)有獎(jiǎng)品的盲盒，最終甲選擇了另外一個(gè)盲盒打開，記甲中獎(jiǎng)的概率為.抽獎(jiǎng)?wù)咭以谶x盲盒時(shí)不小心碰掉了一個(gè)盲盒，并且發(fā)現(xiàn)摔裂的盲盒內(nèi)沒(méi)有獎(jiǎng)品，隨后乙從剩下的盲盒中選定一個(gè)盲盒打開，記乙中獎(jiǎng)的概率為，則()A. B.C. D.無(wú)法確定與的大小關(guān)系8．已知平面向量,,,當(dāng)最小時(shí),,則,的夾角為()A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，不選或有選錯(cuò)的得0分。9．已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線l交拋物線于,兩點(diǎn),且A,B在其準(zhǔn)線上的射影分別為,,則下列結(jié)論正確的是()A.若直線軸,則 B.C. D.10．若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，，則()A. B.C. D.11．設(shè)等比數(shù)列的公比為q,其前n項(xiàng)和為,前n項(xiàng)積為,并且滿足條件,,,則下列結(jié)論正確的是()A. B.C.的最大值為 D.的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．某中學(xué)高一?高二?高三的學(xué)生人數(shù)比例為,假設(shè)該中學(xué)高一?高二?高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率分別為,,若從該中學(xué)三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生,則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率不大于0.233,已知該中學(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率,則p的取值范圍是______________。13．已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________。14．在正六棱柱中,,M,N分別為,的中點(diǎn),則點(diǎn)A到平面的距離為________。四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足.(1)求A;(2)若,求的取值范圍.16．（本小題滿分15分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的漸近線交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，.（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線l與C相切，證明：的面積為定值.17．（本小題滿分15分）如圖,在四棱錐中,平面,,,,,點(diǎn)E在棱上,且不與S和D重合,平面交棱SC于點(diǎn)F.（1）求證:;（2）若E為棱的中點(diǎn),求二面角的正弦值;（3）記點(diǎn)D,S到平面的距離分別為,,求的最大值.18．（本小題滿分17分）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn),可以從高處俯瞰四周景色.位于濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無(wú)軸摩天輪,該摩天輪輪盤直徑為124米,設(shè)置有36個(gè)座艙.游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙,當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)距地面145米時(shí)大約需要15分鐘.當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開始計(jì)時(shí).（1）經(jīng)過(guò)t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米,已知H關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式滿足（其中,,）,求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式;（2）游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間,距離地面的高度第一次恰好達(dá)到52米?（3）若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙,且中間間隔5個(gè)座艙,從游客甲坐上摩天輪后開始計(jì)時(shí),多長(zhǎng)時(shí)間游客乙和游客甲距離地面的高度首次恰好相同?19．（本小題滿分17分）某市為繁榮地方經(jīng)濟(jì)，大力實(shí)行人才引進(jìn)政策，為了解政策的效果，統(tǒng)計(jì)了2018-2023年人才引進(jìn)的數(shù)量y（單位：萬(wàn)人），并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖（x表示年份代碼，年份代碼1-6分別代表2018-2023年）.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個(gè)適合作為y關(guān)于x的回歸方程類型；（給出結(jié)論即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)該市2025年引進(jìn)人才的數(shù)量；（3）從這6年中隨機(jī)抽取4年，記引進(jìn)人才數(shù)量超過(guò)4萬(wàn)人的年數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：5.151.5517.520.953.85其中，，，.參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.參考答案1．答案：B解析：依題意,新數(shù)據(jù)組有6個(gè)數(shù),其中位數(shù)是,顯然原數(shù)據(jù)組有7個(gè)數(shù),因此刪除的數(shù)是中位數(shù)30.故選:B2．答案：C解析：因?yàn)榧?集合,.故選:C.3．答案：D解析：因?yàn)?即,則,整理得,又因?yàn)?即,則,所以.故選：D.4．答案：D解析：法一：,,令,則或,即：或或,如圖所示：由圖像可知,函數(shù)共8個(gè)零點(diǎn).法二：因?yàn)?由,得,或,所以,或,即,或,,因?yàn)?所以,或,,,,,,共8個(gè)零點(diǎn).故選：D.5．答案：B解析：∵，，∴上、下底面的面積分別為，設(shè)正四棱臺(tái)的高為h，連接，分別取，的中點(diǎn)O，，由正四棱臺(tái)性質(zhì)可知：面，面，∴，過(guò)作交于E，則，面，∴，為與底面所成的角，∵，由，可得：，即，所以.故選：B.6．答案：C解析：對(duì)于A,,,由,得,解得,所以函數(shù)存在“二倍階值點(diǎn)”;對(duì)于B,,,由,得,因?yàn)?,解得,所以函數(shù)存在“二倍階值點(diǎn)”;對(duì)于C,,,由,得,令,,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),有極小值也是最小值,且,所以無(wú)解,所以函數(shù)不存在“二倍階值點(diǎn)”;對(duì)于D,,,由,得,令,,所以在R上單調(diào)遞增,又,,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知在上存在零點(diǎn),所以方程有解,所以函數(shù)存在“二倍階值點(diǎn)”.故選：C.7．答案：A解析：設(shè)事件A為“抽獎(jiǎng)?wù)呒字歇?jiǎng)”，事件B為“甲選中的盲盒有獎(jiǎng)”，則，在組織方拿走無(wú)獎(jiǎng)的盲盒后，若先選中的有獎(jiǎng)，則剩余個(gè)盲盒中有個(gè)獎(jiǎng)品，甲更換盲盒后，若甲先選中的盲盒無(wú)獎(jiǎng)，則剩余個(gè)盲盒中有m個(gè)獎(jiǎng)品，則更換盲盒后，因此，由乙碰掉的盲盒無(wú)獎(jiǎng)，則所有個(gè)盲盒中有m個(gè)獎(jiǎng)品，且每個(gè)盲盒被抽到的可能性相同，則，于是，所以.故選：A.8．答案：D解析：設(shè),的夾角為,由,由二次函數(shù)的圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最小值,此時(shí)值最小,將代入即得：,因,故.故選：D.9．答案：CD解析：拋物線C的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程,顯然l不垂直于y軸,設(shè)l的方程為,由得：,,是此方程的二根,選項(xiàng)A,直線軸,,,,則,即選項(xiàng)A錯(cuò)誤;選項(xiàng)B,,則,即選項(xiàng)B錯(cuò)誤;選項(xiàng)C,,即選項(xiàng)C正確;選項(xiàng)D,如圖中,由拋物線的定義知,,,又軸,,,同理可得,,,即選項(xiàng)D正確.故選：CD.10．答案：ABC解析：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，.對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，則，B正確；對(duì)于C，由，，得，，所以，C正確；對(duì)于D，，則，D錯(cuò)誤.故選ABC.11．答案：AD解析：因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為q,由得,所以數(shù)列為等差數(shù)列,公差為,由于,,則且,得,,由,得,,若,則,而,則,則,,此時(shí)不成立,所以,所以,所以A正確;由,,得,,又因?yàn)?所以數(shù)列為遞減數(shù)列,從第10項(xiàng)開始小于零,故前9項(xiàng)和最大,即可的最大值為,所以D正確,因?yàn)?所以,所以B不正確,因?yàn)?,所以數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),所以沒(méi)有最大值,所以C不正確,故選：AD.12．答案：解析：若從該中學(xué)三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生,則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率為,解得.因?yàn)樵撝袑W(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率,所以.故p的取值范圍是.故答案為：.13．答案：解析：由題設(shè),且,則,所以曲線在點(diǎn)的切線方程為,即.故答案為：.14．答案：/解析：連接,,設(shè)其交點(diǎn)為O.由正六棱柱的性質(zhì)知,,且,取的中點(diǎn)P,連接,則平面.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?M,N分別為,的中點(diǎn),所以,,,,則,,.設(shè)平面的法向量為,則令,則.故點(diǎn)A到平面的距離.故答案為:15．答案：(1)(2)解析：(1)由,根據(jù)正弦定理,得：,由,,則,即,而,故,又,所以.(2)由正弦定理,且,則,,由,則,由,則,即,可得,令,則,易知函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,,,所以.16．答案：（1）（2）證明見解析解析：（1）設(shè)，，，.若，則.易知雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)A在直線上，B在直線上.由得，同理可得，所以.由得，所以，所以，即.又，所以，解得，所以雙曲線C的方程為.（2）由（1）得，，所以，，所以.由得.因?yàn)橹本€l與雙曲線C相切，所以，所以，所以，為定值.17．答案：（1）證明見解析（2）（3）解析：（1）因?yàn)?且平面,平面,所以平面,又因?yàn)槠矫?平面平面,所以;（2）取的中點(diǎn)P,連接,則,又,所以四邊形為平行四邊形,因?yàn)槠矫?平面,所以,故四邊形為矩形,在中,,又,所以在中,,所以.因?yàn)槠矫?平面,所以,又因?yàn)?平面,且,所以平面,以為x軸,為y軸,為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,.,,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,可取.設(shè)平面的法向量為,則,即,可取.設(shè)二面角的大小為,則則二面角的正弦值為;（3）設(shè),,則,設(shè)平面的法向量為,則,即,可取.因?yàn)?,所以,,故,設(shè),,則,令,得,解得（舍去）,,故時(shí),,時(shí),,所以,故的最大值為.18．答案：（1）,;（2）5分鐘（3）17.5分鐘解析：（1）由題意知,,,解得,又,所以,時(shí),,解得,因?yàn)?所以,所以,;（2）令,得,解得,即,因,依題意,需使,解得,所以游客甲坐上摩天輪后5分鐘,距離地面的高度第一次恰好達(dá)到52米;（3）由題意知,,因中間間隔5個(gè)座艙,則有,依題意,,即,即,所以,解得,;所以,;時(shí),,不合題意;當(dāng)時(shí),,即從游客甲坐上摩天輪后開始計(jì)時(shí)