2025年春季高一年級(jí)5月檢測(cè)卷數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分得分：________一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的）1．已知集合，，則A．{-1,1} B．{-1,1,3} C．{1,3,5} D．{-1,1,3,5}2．已知復(fù)數(shù)，則z=A．2-i B．2+i C．1-2i D．1+2i3．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，直線l⊥β，則“”是“l(fā)⊥α”的A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則此三角形的形狀為A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形5．若，則A． B． C． D．6．圓柱高為4，底面積為π，在圓柱內(nèi)部有一個(gè)可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的正四面體，則該正四面體的最大棱長(zhǎng)為A． B． C． D．7．DeepSeek以其強(qiáng)大的算法火爆全球，吸引了大量用戶的關(guān)注與討論，成為熱門話題，統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)熱門話題的關(guān)注度達(dá)到峰值后，會(huì)出現(xiàn)下降趨勢(shì)．假設(shè)一個(gè)熱門話題的關(guān)注度C（C>0）與時(shí)間t（單位：月）的關(guān)系式為，其中為關(guān)注度的峰值，a為常數(shù)，若經(jīng)過半年關(guān)注度下降到峰值的80%，則關(guān)注度下降到峰值的40%，至少需要的時(shí)間為（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301）A．23個(gè)月 B．24個(gè)月 C．25個(gè)月 D．26個(gè)月8．置換是抽象代數(shù)的一種基本變換，對(duì)于有序數(shù)組，有序數(shù)組，定義“間距置換”：，，．已知有序數(shù)組，經(jīng)過一次“間距置換”后得到新的有序數(shù)組（a≤b），且S中所有數(shù)之和為2025，則的值為A． B． C． D．二、選擇題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分．部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知函數(shù)的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心的距離為，且，則下列結(jié)論正確的是A．B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．直線是圖象的一條對(duì)稱軸D．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱10．如圖，已知點(diǎn)G是邊長(zhǎng)為2a的正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），則下列說法正確的是A． B．C． D．的取值范圍為11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M為的中點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在線段和上運(yùn)動(dòng)（不包含端點(diǎn)），下列說法正確的有A．正方體被平面截得的截面面積為 B．BE+EF的最小值為2C．三棱錐的體積為 D．直線與平面可能垂直三、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12．已知是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是________．13．一個(gè)平行于正四棱錐底面的平面將該正四棱錐分成上、下兩個(gè)部分，且截得的棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)之比為2:3，則上、下兩部分體積之比為________．14．在中，，設(shè)∠ACB=θ，若∠ABD=θ，∠CBD=2θ，且，則的面積為________．四、解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．（本小題滿分13分）已知z是復(fù)數(shù)，若z+i是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）設(shè)復(fù)數(shù)z，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的向量分別是m，n，若向量λm+n與m-2n的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．16．（本小題滿分15分）如圖1，已知在中，AC=3，BC=4，AC⊥BC，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，，將沿EF翻折至，連接PB，PC，得到如圖2所示的四棱錐P-EFCB，若平面PEF與平面PBC相交于直線m．（1）求證：；（2）當(dāng)PF⊥PC時(shí)，求直線PE與平面BCFE所成角的正弦值．17．（本小題滿分15分）如圖，已知A，B是半徑為1的圓O上兩點(diǎn)，且．（1）求∠AOB的余弦值；（2）若點(diǎn)，，…，，依次將線段AO平均分成2026份，設(shè)，，，求的值．18．（本小題滿分17分）2025年春晚《秧BOT》節(jié)目將機(jī)器人元素融入舞臺(tái)，展示了我國(guó)在機(jī)器人研發(fā)領(lǐng)域的卓越實(shí)力．某機(jī)器人研發(fā)團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)一款機(jī)器狗捕捉足球游戲，在如圖所示的矩形ACDE中，在點(diǎn)A處放置機(jī)器狗，在AC的中點(diǎn)B處放置足球，它們做勻速直線運(yùn)動(dòng)，且無其他外界干擾．已知AC=8米，足球運(yùn)動(dòng)速度為v米/秒，設(shè)機(jī)器狗在點(diǎn)F處捕捉到足球，若點(diǎn)F在矩形ACDE內(nèi)（含邊界），則捕捉成功．記足球和機(jī)器狗的運(yùn)動(dòng)方向與所成夾角分別α（0≤α≤π），β．（1）當(dāng)AE長(zhǎng)度不受限制，時(shí)，機(jī)器狗以米/秒的速度捕捉足球，則β為何值時(shí)，機(jī)器狗能捕捉成功？（2）已知足球與機(jī)器狗運(yùn)動(dòng)方向所成夾角為，AE長(zhǎng)度不受限制，當(dāng)機(jī)器狗成功捕捉足球時(shí)，求機(jī)器狗與足球運(yùn)動(dòng)的總路程的最大值；（3）當(dāng)機(jī)器狗的速度為3v米/秒時(shí)，若無論足球往哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，機(jī)器狗總能捕捉足球成功，則AE的長(zhǎng)度至少為多少米？19．（本小題滿分17分）已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，并滿足以下條件：①，；②，，則稱函數(shù)為“上側(cè)函數(shù)”已知，（e≈2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）判斷，是否為“上側(cè)函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)是“上側(cè)函數(shù)”．（ⅰ）當(dāng)a>0，b>0時(shí)，求的最大值；（ⅱ）若b=0，是否存在正整數(shù)k，滿足：對(duì)于任意的，總存在，使成立？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（參考不等式：）2025年春季高一年級(jí)5月檢測(cè)卷數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的）1．D【解析】因?yàn)椋裕蔬xD．2．B【解析】因?yàn)椋裕蔬xB．3．A【解析】若，因?yàn)閘⊥β，所以l⊥α成立；若l⊥α，因?yàn)閘⊥β，根據(jù)與同一條直線垂直的兩個(gè)平面平行，所以成立，即“”是“l(fā)⊥α”的充分必要條件，故選A．4．B【解析】移項(xiàng)得，可化為，展開得，整理得，又，所以，即，則為直角三角形，故選B．5．C【解析】由題知，整理得，即，所以，故選C．6．D【解析】由題意可知，當(dāng)圓柱底面半徑等于正四面體的外接球的半徑時(shí)，正四面體有最大棱長(zhǎng)a，即，所以，故選D．7．C【解析】設(shè)關(guān)注度下降到峰值的40%，至少需要的時(shí)間為t個(gè)月，由題意得，，則，，所以，即，故選C．8．A【解析】由題可知，，．若x介于y，z之間，則．由題可知，a+3+b=2025，所以a+b=2022，矛盾，舍去．又因?yàn)閍≤b，所以，結(jié)合，可得x>y>z或x<y<z．若x>y>z，由題可知，，，上述三個(gè)式子相加可得a+3+b=2025=2x-2z=2(x-z)，所以a+b=2022，，即，則，可得；若x<y<z，同理可得，故選A．二、選擇題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．ACD【解析】易知，則，所以ω=3，即，又因?yàn)椋獾茫裕畬?duì)于A，因?yàn)椋裕蔄正確。對(duì)于B，由知，則在該區(qū)間有增有減，故B錯(cuò)誤。對(duì)于C，因?yàn)椋灾本€是圖象的一條對(duì)稱軸，故C正確。對(duì)于D，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，該圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D正確．10．ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋蔄正確．對(duì)于B，因?yàn)椋蔅正確．對(duì)于C，因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤．對(duì)于D，設(shè)與的夾角為θ，則在上的投影為，由圖可知，即的取值范圍為．故D正確．（本題還可以用坐標(biāo)法）11．AC【解析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)G，連接，GM，正方體被平面所截得的截面為四邊形，四邊形為等腰梯形，，，，，計(jì)算可得等腰梯形面積為，故A正確。對(duì)于B，計(jì)算BE+EF的最小值，將平面以為軸旋轉(zhuǎn)展開，與平面在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖所示，，，，，計(jì)算可得，，則為直角，所以當(dāng)E，F(xiàn)都到達(dá)時(shí)，BE+EF的值取得最小值2，但E，F(xiàn)不能取端點(diǎn)，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，三棱錐的體積采用等體積法，轉(zhuǎn)化為以E為頂點(diǎn)，以平面為底面的三棱錐求體積，，故C正確．對(duì)于D，若直線與平面垂直，則必有，此時(shí)E為的中點(diǎn)，易知此時(shí)，又因?yàn)椋裕矫媾c平面相交，矛盾，所以與平面不可能垂直，故D錯(cuò)誤．三、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12．2【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，化簡(jiǎn)得，解得a=0或a=2．檢驗(yàn)知a=2滿足題意，故a=2．13．【解析】法一：由題意可知上面部分為正四棱錐，下面為正四棱臺(tái)，棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)之比為2:3，所以上面小正四棱錐與大正四棱錐的體積之比為，所以上、下兩部分體積之比為．法二：由題知上面部分為正四棱錐，下面為正四棱臺(tái)，上、下兩部分高之比為2:1，設(shè)為2h和h，正四棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別設(shè)為2a和3a，則上、下兩部分的體積之比直接用公式計(jì)算可得．14．【解析】法一：設(shè)AD=x，則CD=3x，在中，由正弦定理知，即①，在中，由正弦定理得，即②，②÷①得，則，整理得，解得，因?yàn)棣葹殇J角，所以，即，可得，故，知AC=4，AB=2，，所以．法二：過B作∠DBC的平分線交AC于M，設(shè)AC=b，AB=c，則，，因?yàn)椤螦BM=∠AMB=2θ，∠MBC=∠MCB=θ，所以AM=AB=c，CM=BM=b-c，，在中，由角平分線性質(zhì)可知，即，整理可得b=2c，因?yàn)锽M=b-c=c，所以BM=AM=AB=c，即為等邊三角形，且D是AM的中點(diǎn)．因?yàn)椋訟B=2，故c=2，b=2c=4，則．四、解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．【解析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)，由z+i是實(shí)數(shù)知b+1=0，即b=-1，所以z=a-i．又因?yàn)槭羌兲摂?shù)，則為純虛數(shù)，即a-1=0且a+1≠0，所以a=1，故z=1-i．（2）由（1）知z=1+i，則m=(1,-1)，n=(1,1)，所以λm+n=(λ+1,-λ+1)，m-2n=(-1,-3)，因?yàn)橄蛄喀薽+n與m-2n的夾角為鈍角，所以，且λm+n與m-2n不共線，即-(λ+1)-3(-λ+1)<0且-3(λ+1)+(-λ+1)≠0，解得λ<2且．16．【解析】（1）由，可知，且，，所以，且，，所以．（2）由題知PF=1，F(xiàn)C=2，，，過P作PM⊥FC于M，連接EM，由題知，因?yàn)镋F⊥PF，EF⊥FC，PF，，，所以EF⊥平面PFC，因?yàn)椋訣F⊥PM，因?yàn)椋訮M⊥平面BCFE，故EM為直線PE在平面BCFE上的投影，即∠PEM為直線PE與平面BCFE所成的角，在中，，所以直線PE與平面BCFE所成角的正弦值為．17．【解析】（1）設(shè)∠AOB=θ，由可得，即，平方得，解得，故∠AOB的余弦值為．（2）由題知AO的中點(diǎn)為，也為線段，線段，…，線段的中點(diǎn)，因?yàn)椋裕椒降茫矗剩?8．【解析】（1）在中，由正弦定理知，即，因?yàn)椋裕獾茫驗(yàn)椋裕藭r(shí)BF=BA=4，，點(diǎn)F在矩形ACDE內(nèi)，捕捉成功．（2）法一：在中，由余弦定理知，故，整理得，即AF+BF≤8，當(dāng)且僅當(dāng)AF=BF=4時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，點(diǎn)F在矩形ACDE內(nèi)，捕捉成功．故機(jī)器狗與足球運(yùn)動(dòng)的總路程的最大值為8米．法二：在中，由正弦定理知，所以．當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，AF+BF有最大值為8，此時(shí)，，點(diǎn)F在矩形ACDE內(nèi)，捕捉成功．故機(jī)器狗與足球運(yùn)動(dòng)的總路程的最大值為8米．（3）如圖，過F作AC的垂線，垂足為H，設(shè)BF=x，則AF=3x，由題可知所以，在中，由余弦定理知，則，整理得，所以，又因?yàn)椋?dāng)，即當(dāng)時(shí)，F(xiàn)H有最大值為，由題知AE≥FH恒成立，所以，此時(shí)，故當(dāng)AE的長(zhǎng)度至少為米時(shí)，無論足球往哪個(gè)方向