行知中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)三模2025.5一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1.設(shè)，集合，若，則=_______.【答案】22.首項(xiàng)為2，公比為的無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為_______.【答案】63.大圓面積為的球的體積是__________.【答案】4.已知，則=___________.【答案】5.已知，則在上的數(shù)量投影是__________.【答案】6.在的展開式中，第2項(xiàng)和第4項(xiàng)的系數(shù)相同，則=________.【答案】47.已知冪函數(shù)過點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】8.隨機(jī)變量,，若，則實(shí)數(shù)的值為________.【答案】95.59.已知復(fù)數(shù)，集合所構(gòu)成區(qū)域的面積是_________.【答案】10.從1,2,3,4,5,6,7,8,9中依次取出4個(gè)不同的數(shù)，分別記作，若和的奇偶性相同，則的取法共有_________種.【答案】158411.（教材）如圖，要在和兩地之間修一條筆直的隧道，現(xiàn)從地和地測量得到：,，為確定隧道的方向，可求得=______.（精確到）【答案】52.512.已知，函數(shù)的定義域是，且滿足.記函數(shù)的值域?yàn)椋舸嬖冢沟脤τ谌我夥弦蟮暮瘮?shù)，均滿足：，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】二、選擇題（本答題共4小題，滿分18分，13-14每小題4分，15-16每小題5分）13.成對數(shù)據(jù)的回歸方程為，則它們在處的離差是（）A. B. C. D.【答案】A14.“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A15.如圖，長方體中，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線BP異面的是（

）A．B．C．D．【答案】D16.已知曲線為曲線上任一點(diǎn)，以下4個(gè)命題：①曲線與直線恰有四個(gè)公共點(diǎn)；②曲線與直線相切；③是的函數(shù)；④是的函數(shù).正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B三、解答題17.(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，為線段的中點(diǎn)，,.（1）求證：平面；（2）求直線與平面的夾角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是中點(diǎn).又平面，平面，平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,，.設(shè)平面的法向量為，則令，則.是平面的一個(gè)法向量.，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為.18.(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)已知，函數(shù)（1）若，求函數(shù)的表達(dá)式及定義域；（2）若關(guān)于的方程的解集中恰好只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1），令，則，即因?yàn)椋裕值茫x域?yàn)椋?）由（1）得，方程，即，可轉(zhuǎn)化為，且①當(dāng)即時(shí)，，符合題意；②當(dāng)即時(shí)，(i)當(dāng)時(shí)，符合題意(ii)當(dāng)時(shí)，且時(shí)，要滿足題意，則有或無解綜上可得，的取值范圍.19.(本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分)2025世界人工智能大會(huì)將在上海舉辦，為普及人工智能相關(guān)知識，濱江中學(xué)組織學(xué)生參加“人工智能”知識競賽，競賽分為理論知識和實(shí)踐能力兩個(gè)部分，每部分的成績分為三檔，分別為基礎(chǔ)、中等、優(yōu)異．現(xiàn)從參加活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)選擇20位，統(tǒng)計(jì)其兩部分成績，成績統(tǒng)計(jì)人數(shù)如表：理論實(shí)踐

理論實(shí)踐基礎(chǔ)中等優(yōu)異基礎(chǔ)中等優(yōu)異（1）若從這20位參加競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到理論或?qū)嵺`至少一項(xiàng)成績?yōu)閮?yōu)異的學(xué)生概率為．求的值；（2）在（1）的前提下，用樣本估計(jì)總體，從全市理論成績?yōu)閮?yōu)異的學(xué)生中，隨機(jī)抽取人，求至少有一人實(shí)踐能力的成績?yōu)閮?yōu)異的概率；（3）若基礎(chǔ)、中等和優(yōu)異對應(yīng)得分為分、分和分，當(dāng)參賽學(xué)生理論成績的方差最小時(shí)，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由題意，，得.（2）記事件理論成績?yōu)閮?yōu)異的學(xué)生，事件實(shí)踐成績?yōu)閮?yōu)異，由（1）知，設(shè)表示從全市理論成績?yōu)閮?yōu)異的學(xué)生中抽取到實(shí)踐能力成績?yōu)閮?yōu)異的成功次數(shù)，則服從，所以故至少有一個(gè)人實(shí)踐能力的成績?yōu)閮?yōu)異的概率（3）由題意，，設(shè)理論成績?yōu)閄，則X取值為，對應(yīng)的人數(shù)分別為所以理論成績X的分布是所以參賽學(xué)生理論競賽的平均成績?yōu)椋詤①悓W(xué)生理論成績的方差為因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，方差最小.20.(本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分)如圖，是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與軸分別交于兩點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，是拋物線上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)（1）證明：直線是拋物線的切線；（2）已知,且的重心是的焦點(diǎn)，求所在的直線方程；（3）若分別在線段上，且，交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)是的重心.【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】（1）設(shè)，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以.則，所以直線的方程為，即.聯(lián)立，整理得，所以，因此，直線是拋物線的切線.（2）設(shè)，中點(diǎn)為，由已知得，解得，從而若直線斜率不存在，則,，與重心矛盾，故斜率存在；設(shè)，聯(lián)立得：，因?yàn)椋裕运谥本€方程是（3）因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以.又因?yàn)椋O(shè)，則，所以，所以，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，即，所以，所以是的重心.21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)把一列函數(shù)按一定次序排列稱為函數(shù)列，記為（是正整數(shù)），為的導(dǎo)函數(shù).記，（1）若，求證：是等比數(shù)列；（2）若,，是否存在正數(shù)，使得；（3）已知在上有最小值，求證“是偶函數(shù)”的充要條件是“對于任意正實(shí)數(shù)，均有”【答案】（1）證明見解析（2）不存在（3）證明見解析【解析】（1），因?yàn)椋允且詾楣鹊牡缺葦?shù)列（2），所以且令則得：在嚴(yán)格增，在嚴(yán)格減①當(dāng)時(shí)，，所以與矛盾；②當(dāng)時(shí)，，所以令則，所以在上嚴(yán)格減，所以，從而矛盾綜上，不存在正數(shù)，使得.（3）必要性:若為偶