第六章

平行四邊形6.1平行四邊形的性質(zhì)第2課時(shí)

平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)什么樣的四邊形是平行四邊形？四邊形與平行四邊形的關(guān)系是怎樣的？?jī)山M對(duì)邊分別平行

復(fù)習(xí)導(dǎo)入平行四邊形的性質(zhì)有哪些？①具有一般四邊形的性質(zhì)（內(nèi)角和是360°）．②角：平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)．邊：平行四邊形的對(duì)邊相等．BDAC

1．動(dòng)手實(shí)驗(yàn)在紙上畫兩個(gè)全等的□ABCD和□EFGH，并連接對(duì)角線AC，BD和EG

，HF，設(shè)它們分別交于點(diǎn)O．把這兩個(gè)平行四邊形摞在一起，在點(diǎn)O處釘一個(gè)圖釘，將□

ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，觀察它還和□EFGH重合嗎？

探究新知你能從圖中看出前面所得到的平行四邊形的邊、角關(guān)系嗎？進(jìn)一步，你還能發(fā)現(xiàn)平行四邊形的什么性質(zhì)？1．動(dòng)手實(shí)驗(yàn)FHEGOBDACO

探究新知ACDBO2．猜想結(jié)論：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．3．證明猜想．已知：如圖，□ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．求證：OA=OC，OB=OD．

探究新知ACDBO證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AD=BC，AD//BC．

∴

∠1=∠2，∠3=∠4.∴△AOD≌△COB．

∴

OA=OC，OB=OD．3241

探究新知我們可以得到平行四邊形的又一個(gè)性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．符號(hào)語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD．（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）或∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO．ACDBO

知識(shí)歸納例1已知：如圖，□ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．△AOB的周長(zhǎng)為15，AB=6，那么對(duì)角線AC與BD的和是多少？解：在□ABCD中，∵AB=6，AO+BO+AB=15，∴AO+BO＝9．∵OA＝OC，OB＝OD，∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=2×9=18．ODCBA

例

題例2如圖，□ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與邊AB，CD分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F．求證：OE＝OF．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，AB//CD．∴∠EAO＝∠FCO．又∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF．∴OE＝OF．EFODCBA

例

題例3已知：如圖，□ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．4321FEOBADC

例

題證明：在□ABCD中，AB//CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．又∵OA＝OC（平行四邊形的對(duì)角線互相平分），∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．∵□ABCD，∴AB=CD（平行四邊形對(duì)邊相等）．∴AB-AE=CD-CF．即BE=FD．4321FEOBADC1.平行四邊形的性質(zhì)：①具有一般四邊形的性質(zhì)（內(nèi)角和是360°）．②角：平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)．邊：平行四邊形的對(duì)邊相等．對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．2．在證明與平行四邊形有關(guān)的問題時(shí)，我們往往轉(zhuǎn)化為三角形全等來解決．課堂小結(jié)

知識(shí)點(diǎn)

平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)

第1題圖CO

AC

5

DO

BD

3

隨堂練習(xí)2.如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列結(jié)論一定成立的是（

C

）A.

OA＝OBB.

OA⊥OBC.

OA＝OCD.

∠OBA＝∠OBC第2題圖C3.（教材P138做一做變式）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知

∠ODA＝90°，AC＝10

cm，BD＝6

cm，則AD的長(zhǎng)為（

A

）A.4

cmB.5

cmC.6

cmD.8

cm第3題圖A4.如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.

若AC＝6，BD＝

8，則AB的長(zhǎng)可能是（

D

）A.10B.8C.7D.6第4題圖D[變式]若平行四邊形的一條邊長(zhǎng)為8，則它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)可以是

（

A

）A.6和12B.6和10C.6和8D.6和6A5.

如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O.

若AD＝6，AC＋BD＝

18，則△BOC的周長(zhǎng)為

?.15

6.（2024·西安期中）公園有一片平行四邊形的綠地，綠地上要修幾

條筆直的小路，如圖，AB＝15

m，AD＝12

m，AC⊥BC，則OC的長(zhǎng)

為

?.4.5

m

7.如圖，已知四邊形ABCD和四邊形AECF都是平行四邊形.求證：

BE＝DF.

證明：如圖，連接AC，與BD交于點(diǎn)O.

∵四邊形ABCD和四邊形AECF都是平行四邊形，∴BO＝DO，EO＝FO，∴BO－EO＝DO－FO，即BE＝DF.

8.（教材P138例2變式）如圖，O為?ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn).

求證：DE＝BF.

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC.

∵O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴AO＝CO，∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，∴DE＝BF.

9.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OE⊥BD交AD于點(diǎn)E，連接BE.

若△ABE的周長(zhǎng)為6，則?ABCD的周長(zhǎng)為（

C

）A.8B.10C.12D.14C[變式]如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝6，E是AD上一點(diǎn)，

△DCE的周長(zhǎng)是平行四邊形ABCD周長(zhǎng)的一半，且EC＝4，連接EO，

則EO的長(zhǎng)為

?.

10.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O，

交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.

若AB＝3，OA＝2，AD＝5，則圖中陰影

部分的面積是（

C

）A.1.5B.3C.6D.4C11.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，

CF⊥BD.

（1）求證：△AEO≌△CFO；證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC.

∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO.

12.（教材P139習(xí)題T4變式）生物老師將一塊平行四邊形的試驗(yàn)

田分給甲、乙兩個(gè)小組進(jìn)行花卉栽培競(jìng)賽.如圖1，O為試驗(yàn)田中的

灌溉井，生物老師決定把相對(duì)的兩塊三角形試驗(yàn)田（△AOB，

△COD）分給甲組，剩下的部分分給乙組，兩組共用灌溉井.方案公

布后，兩個(gè)小組的同學(xué)議論紛紛