2/2考點專項：全等三角形（鞏固篇）（專項練習）一、單選題【考點一】全等三角形性質1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，則∠B的度數為（）A．15° B．55° C．65° D．75°2．如圖，五邊形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，則∠BAE的度數為何？（）A．115 B．120 C．125 D．130【考點二】全等三角形的判定和性質★★邊邊邊3．工人師傅常常利用角尺構造全等三角形的方法來平分一個角．如圖，在的兩邊、上分別在取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點、重合，這時過角尺頂點的射線就是的平分線．這里構造全等三角形的依據是（

）A． B． C． D．4．如圖，下面是利用尺規作∠AOB的角平分線OC的作法，在用尺規作角平分線過程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：①以O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點D，E；②分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內交于一點C；③畫射線OC，射線OC就是∠AOB的角平分線．A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS【考點三】全等三角形的判定和性質★★邊角邊5．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，則四邊形ABCD的面積為（）A．15 B．12.5 C．14.5 D．176．如圖，已知．能直接判斷的方法是（

）A． B． C． D．【考點四】全等三角形的判定和性質★★（角邊角★角角邊）7．如圖，在一個寬度為長的小巷內，一個梯子的長為，梯子的底端位于上的點，將該梯子的頂端放于巷子一側墻上的點處，點到的距離為，梯子的傾斜角為；將該梯子的頂端放于另一側墻上的點處，點到的距離為，且此時梯子的傾斜角為，則的長等于（

）A． B． C． D．8．如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為M．若∠ABC＝30°，∠C＝38°，則∠CDE的度數為（

）A．68° B．70° C．71° D．74°【考點五】全等三角形的判定和性質★★（斜邊+直角邊HL）9．已知，如圖，B、C、E三點在同一條直線上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AB＝CE，則不正確的結論是（）A．∠A與∠D互為余角 B．∠A＝∠2C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠210．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，則下列結論不一定成立的是（）A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C【考點六】全等三角形的判定★★添加條件11．如圖，在和中，，添加一個條件，不能證明和全等的是（

）A． B．C． D．12．如圖，點B、F、C、E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△DEF的是（

）A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC【考點七】角平分線性質與判定★★尺規作圖13．用尺規作一個角的角平分線，下列作法中錯誤的是（

）A． B．C． D．14．如圖，在和中，，，，．連接、交于點，連接．下列結論：①；②；③平分；④平分其中正確的結論個數有（

）個．A．4 B．3 C．2 D．1【考點八】作輔助線證三角形全等★★倍長中線★★連接兩點15．如圖，在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．16．一個三角形的兩邊長分別為5和9，設第三邊上的中線長為x，則x的取值范圍是（）A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7二、填空題【考點一】全等三角形性質17．如圖，在中，、分別是、上的點，若，則的度數是_________.18．如圖，已知四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點為的中點．如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CD上由C點向D點運動．當點的運動速度為______厘米/秒時，能夠使與全等．【考點二】全等三角形的判定和性質★★邊邊邊19．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分線．作法：①以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點M，N；②分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C；③畫射線OC．射線OC即為所求．上述作圖用到了全等三角形的判定方法，這個方法是_____．20．工人師傅常常利用角尺平分一個角．如圖，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別任取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點M、N重合，這時過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線的依據是_________．（選填“SSS”、“SAS”、“AAS”、“HL”、“ASA”）【考點三】全等三角形的判定和性質★★邊角邊21．如圖，已知△ABC三個內角的平分線交于點O，點D在CA的延長線上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，則∠BCA的度數為____．22．△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中線，設AD長為m，則m的取值范圍是____．【考點四】全等三角形的判定和性質★★（角邊角★角角邊）23．如圖，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，則CE=_____．24．如圖，在中，，F是高AD和BE的交點，cm，則線段BF的長度為______．【考點五】全等三角形的判定和性質★★（斜邊+直角邊HL）25．如圖，正方形網格中，點A，B，C，D均在格點上，則∠ACD+∠BDC＝_____°．26．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，則∠ACF的度數為__________°．【考點六】全等三角形的判定★★添加條件27．如圖，已知，添加下列條件中的一個：①，②，③，其中不能確定≌△的是_____（只填序號）．28．如圖，在△ABC和△DEF中，點B、F、C、E在同一直線上，BF=CE，AC∥DF，請添加一個條件，使△ABC≌△DEF，這個添加的條件可以是________．（只需寫一個，不添加輔助線）【考點七】角平分線性質與判定★★尺規作圖29．已知，如圖1，若是中的內角平分線，通過證明可得，同理，若是中的外角平分線，通過探究也有類似的性質．請你根據上述信息，求解如下問題：如圖2，在中，是的內角平分線，則的邊上的中線長的取值范圍是________30．如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB、BC于點D、E．②分別以點D、E為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點F．③作射線BF交AC于點G．如果，，的面積為18，則的面積為________．【考點八】作輔助線證三角形全等★★倍長中線★★連接兩點31．在△ABC中，AB=5，BC邊上的中線AD=4，則AC的長m的取值范圍是_______．32．如圖，在中，是邊上的中線，，，則的取值范圍是________．三、解答題【考點九】三角形全等幾何模型★★一線三等角33．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，點D，E分別在AB，BC上，且∠CDE＝90°．當BE＝2AD時，圖1中是否存在與CD相等的線段？若存在，請找出并加以證明，若不存在，說明理由．小明通過探究發現，過點E作AB的垂線EF，垂足為F，能得到一對全等三角形（如圖2），從而將解決問題．請回答：（1）小明發現的與CD相等的線段是．（2）證明小明發現的結論．34．（1）如圖1，已知中，90°，，直線經過點直線，直線，垂足分別為點．求證：．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，三點都在直線上，并且有．請寫出三條線段的數量關系，并說明理由．【考點十】三角形全等幾何模型★★旋轉全等35．如圖，在中，，為邊上的點，且，為線段的中點，過點作，過點作，且、相交于點.（1）求證：（2）求證：如圖①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC（1）試探索線段BC，DC，EC之間滿足的等量關系，并證明你的結論．（2）如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點A旋轉，使點D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關系，并證明你的結論．【考點十一】三角形全等幾何模型★★截長補短★★其他模型37．在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如圖①，當∠C=90°，AD為∠BAC的角平分線時，在AB上截取AE=AC，連接DE，易證AB=AC+CD．請證明AB=AC+CD；（2）①如圖②，當∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論，不要求證明；②如圖③，當∠C≠90°，AD為△ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想并證明．38．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關于直線AP對稱，E是線段BD與直線AP的交點．（1）若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形；（2）連CE，求證：BE＝AE+CE．參考答案D【分析】根據鄰補角定義可得∠ADE=15°，由平行線的性質可得∠A=∠ADE=15°，再根據三角形內角和定理即可求得∠B=75°．解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，故選D．【點撥】本題考查了平行線的性質、三角形內角和定理等，熟練掌握平行線的性質以及三角形內角和定理是解題的關鍵．C分析：根據全等三角形的判定和性質得出△ABC與△AED全等，進而得出∠B=∠E，利用多邊形的內角和解答即可．解：∵三角形ACD為正三角形，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∵AB=DE，BC=AE，∴△ABC≌△DEA，∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，故選C．【點撥】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據全等三角形的判定和性質得出△ABC與△AED全等．D【分析】根據全等三角形的判定條件判斷即可．解：由題意可知在中∴(SSS)∴∴就是的平分線故選：D【點撥】本題考查全等三角形的判定及性質、角平分線的判定、熟練掌握全等三角形的判定是關鍵．C解：如圖，連接EC、DC．根據作圖的過程知，在△EOC與△DOC中，，△EOC≌△DOC（SSS）．故選C．考點：1.全等三角形的判定；2.作圖—基本作圖．B【分析】過A作AE⊥AC，交CB的延長線于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四邊形ABCD的面積與△ACE的面積相等，根據S△ACE=×5×5=12.5，即可得出結論．解：如圖，過A作AE⊥AC，交CB的延長線于E，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，∴∠D=∠ABE，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，又∵AD=AB，∴△ACD≌△AEB，∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四邊形ABCD的面積與△ACE的面積相等，∵S△ACE=×5×5=12.5，∴四邊形ABCD的面積為12.5，故選B．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．A【分析】根據三角形全等的判定定理解答.解：在△ABC和△DCB中，,∴(SAS),故選：A.【點撥】此題考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根據已知條件找到全等所需的對應相等的邊或角是解題的關鍵.D【分析】過點C作CE⊥AD于點E，證明≌即可解決問題．解：過點C作CE⊥AD于點E，則CE//AB，，且PD=PC，為等邊三角形，，，，，，，∴，∴，∴，，在和中，，∴≌，，故選：D．【點撥】此題主要考查了全等三角形的應用，作輔助線CE是解答此題的關鍵．D【分析】利用三角形內角和定理求出∠BAC=112°，利用全等三角形的性質證明∠BED=∠BAD即可解決問題．解：∵∠ABC=30°，∠C=38°，∴∠BAC=112°，在△BMA和△BME中，．∴△BMA≌△BME（ASA），∴BA=BE，在△BDA和△BDE中，，∴△BDA≌△BDE（SAS），∴∠BED=∠BAD=112°，∴∠CED=68°，∴∠CDE=180°-∠C-∠CED=74°，故選：D．【點撥】本題考查三角形內角和定理，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．D【分析】根據HL證，根據全等三角形的性質即可求出答案.解：∵∠B＝∠E＝90°，∴在和中，∴（HL），故C正確，∴∠A＝∠2，∠1＝∠D，∵∠1+∠A＝90°，∴∠A+∠D＝90°，∠1+∠2＝90°，∴∠A與∠D互為余角，故A、B正確；D錯誤，故選：D．【點撥】本題考查了全等三角形的性質和判定，關鍵是推出．A【分析】根據已知和公共邊科證明△ADB≌△ACD，則這兩個三角形的對應角、對應邊相等，據此即可解答．解：∵AB＝AC，AD＝AD，AD⊥BC，∴Rt△ADB≌Rt△ACD（HL），∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C（全等三角形的對應角、對應邊相等）故B、C、D一定成立，A不一定成立．故選A．【點撥】本題考查直角三角形全等的判定和性質，解決問題時注意利用已知隱含的條件AD是公共邊．B【分析】根據已知條件和添加條件，結合全等三角形的判斷方法即可解答．解：選項A，添加，在和中，，∴≌（ASA），選項B，添加，在和中，，，，無法證明≌；選項C，添加，在和中，，∴≌（SAS）；選項D，添加，在和中，，∴≌（AAS）；綜上，只有選項B符合題意．故選B．【點撥】本題考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵．C解：選項A、添加AB=DE可用AAS進行判定，故本選不符合題意；選項B、添加AC=DF可用AAS進行判定，故本選項不符合題意；選項C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本選項符合題意；選項D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA進行判定，故本選項不符合題意．故選C．D【分析】根據作圖軌跡及角平分線的定義判斷即可得出答案．解：A、如圖，由作圖可知：，又∵，∴，∴，∴平分．故A選項是在作角平分線，不符合題意；B、如圖，由作圖可知：，又∵，∴，∴，∴，∵,，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分．故B選項是在作角平分線，不符合題意；C、如圖，由作圖可知：，∴,，∴，∴，∴平分．故C選項是在作角平分線，不符合題意；D、如圖，由作圖可知：，又∵，∴，∴故D選項不是在作角平分線，符合題意；故選：D【點撥】本題考查了角平分線的作圖，全等三角形的性質與判定，掌握以上知識是解題的關鍵．B【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正確；根據全等三角形的性質得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS證明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得出MO平分，④正確；由∠AOB＝∠COD，得出當∠DOM＝∠AOM時，OM才平分∠BOC，假設∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③錯誤；即可得出結論．解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正確；作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴平分，④正確；∵∠AOB＝∠COD，∴當∠DOM＝∠AOM時，OM才平分∠BOC，假設∠DOM＝∠AOM∵△AOC≌△BOD，∴∠COM＝∠BOM，∵MO平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，∵OA＝OB∴OA＝OC與矛盾，∴③錯誤；正確的有①②④；故選B．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關鍵．C【分析】延長AD至點E，使得DE＝AD，可證△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根據三角形三邊關系即可求得AE的取值范圍，從而得到的取值范圍．解：如圖，延長AD至點E，使得DE＝AD，∵是邊上的中線，∴，在△ABD和△CDE中，，∴△ABD△CDE（SAS），∴AB＝CE=5，AD＝DE，∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，∴4＜AE＜14，∴2＜AD＜7．故選：C．【點撥】本題主要考查倍長中線法解題，能夠做出輔助線證出三角形全等再結合三角形三邊關系是解題關鍵．D【分析】如圖，延長BD至E，使DE=BD，證明△ADE≌△CDB得到AE=BC=9，根據三角形的三邊關系求得BE的取值范圍即可求解．解：如圖，在△ABC中，AB=5，BC=9，BD是△ABC的中線，則AD=CD，延長BD至E，使DE=BD=x，在△ADE和△CDB中，，∴△ADE≌△CDB（SAS），∴AE=BC=9，又AB=5，∵在△BAE中，AE－AB＜BE＜AB+AE，∴9－5＜BE＜9+5，∴4＜2x＜14，∴2＜x＜7，故選：D．【點撥】本題考查三角形的中線、全等三角形的判定與性質、三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系，添加輔助線構造全等三角形求解是解答的關鍵．##30度【分析】根據全等三角形的性質可以得到∠A=∠DEB=∠DEC，∠ABD=∠EBD=∠C，又∠DEB+∠DEC=180°可得∠A=∠DEB=∠DEC=90°，然后根據直角三角形的兩銳角互余即可得出答案．解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠A=∠DEB=∠DEC，∠ABD=∠EBD=∠C，∵∠DEB+∠DEC=180°，∴∠DEB=∠DEC=90°，∴∠A=90°，∴∠ABD+∠EBD+∠C=90°，∴3∠C=90°，∠C=30°．故答案為30°．【點撥】本題主要考查了全等三角形的性質，熟知全等三角形的對應角相等是解決此題的關鍵．18．3或【分析】分兩種情況討論，依據全等三角形的對應邊相等，即可得到點Q的運動速度．解：設點P運動的時間為t秒，則BP=3t，CP=8-3t，∵點為的中點，厘米，∴AE=BE=5厘米，∵∠B=∠C，∴①當BE=CP=5，BP=CQ時，△BPE與△CQP全等，此時，5=8-3t，解得t=1，∴BP=CQ=3，此時，點Q的運動速度為3÷1=3厘米/秒；②當BE=CQ=5，BP=CP時，△BPE與△CQP全等，此時，3t=8-3t，解得t=，∴點Q的運動速度為5÷=厘米/秒；故答案為：3厘米/秒或厘米/秒．【點撥】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，解決問題的關鍵是掌握全等三角形的對應邊相等．SSS【分析】利用基本作圖得到OM=ON，CM=CN，加上公共邊OC，則可根據SSS證明三角形全等．解：由作法①知，OM=ON，由作法②知，CM=CN，∵OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），故答案為SSS．【點撥】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了全等三角形的判定．SSS【分析】根據已知條件得到OM=ON，MP=NP，即可得到答案.解：由題意得：OM=ON，MP=NP，在△MOP和△NOP中∴△MOP≌△NOP(SSS)，∴∠MOP=∠NOP，即過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線，故答案為：SSS.【點撥】此題考查三角形全等的判定及性質定理，三角形全等的實際應用.21．60°.【分析】可證明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根據∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分線可得∠BAO=40°，從而得出∠DAO=140°，根據AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，則∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60°解：∵△ABC三個內角的平分線交于點O，∴∠ACO=∠BCO，在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB，∴∠D=∠CBO，∵∠BAC=80°，∴∠BAD=100°，∴∠BAO=40°，∴∠DAO=140°，∵AD=AO，∴∠D=20°，∴∠CBO=20°，∴∠ABC=40°，∴∠BCA=60°.【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，掌握全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質是解題關鍵．22．1<m<4解：延長AD至E，使AD=DE，連接CE，則AE=2m，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ADB和△EDC中，∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，∴△ADB≌△EDC，∴EC=AB=5，在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，∴1＜m＜4，故答案為1＜m＜4．23．3【分析】由已知條件易證△ABE≌△ACD，再根據全等三角形的性質得出結論．解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB﹣AD=3，故答案為3．24．8cm【分析】先求，推導出，再求出，，根據ASA證明，即可得出答案．解：∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，在△BFD和△ACD中，∴（ASA），∴cm故答案為：8cm【點撥】本題考查了全等三角形的性質和判定，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應邊相等．25．90【分析】如圖（見分析），先證出，即可證得，進而證得，得到，即，即可證得．解：如圖，在和中，∴∴∵∴∴，即∴故答案為：90．【點撥】本題考查了三角形的內角和定理、直角三角形的性質、直角三角形全等的判定定理與性質等知識點，掌握直角三角形全等的判定定理與性質是解題關鍵．26．58【分析】根據HL證明Rt△CBF≌Rt△ABE，推出∠FCB=∠EAB，求出∠CAB=∠ACB=45°，求出∠BCF=∠BAE=13°，即可求出答案．解：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°，在Rt△CBF和Rt△ABE中∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL），∴∠FCB=∠EAB，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°．∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣32°=13°，∴∠BCF=∠BAE=13°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+13°=58°故答案為58【點撥】本題考查了全等三角形的性質和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質是全等三角形的對應邊相等，對應角相等．②【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，據此可逐個對比求解．解：∵已知，且∴若添加①，則可由判定≌；若添加②，則屬于邊邊角的順序，不能判定≌；若添加③，則屬于邊角邊的順序，可以判定≌．故答案為②．【點撥】本題考查全等三角形的幾種基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此題不難判斷．AC=DF（答案不唯一）解：∵BF=CE，∴BF＋FC=CE＋FC，即BC=EF；∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，△ABC和△DEF中有一角一邊對應相等，∴根據全等三角形的判定，添加AC=DF，可由SAS得△ABC≌△DEF；添加∠B=∠E，可由ASA得△ABC≌△DEF；添加∠A=∠D，可由AAS得△ABC≌△DEF．故答案為：AC=DF．（答案不唯一）【分析】根據題意得到，設AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三邊關系可求出k的范圍，反向延長中線至，使得，連接，最后根據三角形三邊關系解題．解：如圖，反向延長中線至，使得，連接，是的內角平分線，可設AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，由三角形三邊關系可知，∴故答案為：．【點撥】本題考查角平分線的性質、中線的性質、全等三角形的判定與性質、三角形三邊關系等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．30．27【分析】由作圖步驟可知BG為∠ABC的角平分線，過G作GH⊥BC,GM⊥AB，可得GM=GH,然后再結合已知條件和三角形的面積公式求得GH，最后運用三角形的面積公式解答即可．解：由作圖作法可知：BG為∠ABC的角平分線過G作GH⊥BC,GM⊥AB∴GM=GH∴,故答案為27．【點撥】本題考查了角平分線定理和三角形面積公式的應用，通過作法發現角平分線并靈活應用角平分線定理是解答本題的關鍵．31．3＜m＜13【分析】延長AD至E，使DE=AD=4，連接CE，利用SAS證明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根據三角形的三邊的關系即可解決問題．解：如圖，延長AD至E，使DE=AD=4，連接CE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ADB和△CDE中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，在△ACE中，AE-CE＜AC＜AE+CE，∵CE=AB=5，AE=8，∴8-5＜AC＜8+5，∴3＜AC＜13，∴3＜m＜13．故答案為：3＜m＜13．【點撥】此題考查了全等三角形的性質與判定，三角形的三邊的關系，解題的關鍵是利用已知條件構造全等三角形，然后利用三角形的三邊的關系解決問題．【分析】延長AD至點E，使DE=AD，證明,由全等性質求出相關的線段長度，在中，由，代入數值即可得到答案．解：延長AD至點E，使DE=AD，如下圖：∵D是BC的中點∴BD=CD在和中：∴∴∵AD=5∴AE=10在中，由得：即：故答案為：【點撥】本題考查三角形的全等判定和性質，三角形的三邊關系，牢記相關知識點并靈活應用是解題關鍵．（1）DE；（2）見分析.【分析】（1）、（2）：如圖2，作EF⊥AB，垂足為F．由題意可證得△ACD≌△DFE，由此可得CD=DE，故小明分析的與CD相等的線段是線段DE.解：（1）DE；故答案為DE；（2）證明：作EF⊥AB，垂足為F．則∠BFE＝∠DFE＝90°═∠A═∠CDE．∵∠ADC+∠CDE＝∠ADE＝∠DFE+∠FED，∴∠ADC＝∠FED．∵∠BFE＝90°，∠B＝30°，∴BE＝2FE．∵BE＝2AD，∴FE＝AD．在△FED和△ADC中，∴△FED≌△ADC（ASA）．∴DE＝CD【點撥】本題考查了30°的直角三角形的性質以及全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是掌握靈活運用30°的直角三角形的性質以及全等三角形的判定及性質.（1）證明見分析；（2），證明見分析【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，進而利用AAS得出則△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根據∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根據AAS證出△ADB≌△CEA，從而得出AE=BD，AD=CE，即可證出DE=BD+CE；解：（1）DE=BD+CE．理由如下：∵BD⊥，CE⊥，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2），理由如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質綜合中的“一線三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質．（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）由等腰三角形的性質可得AD⊥BC，由余角的性質可得∠C=∠BAD；（2）由“ASA”可證△ABC≌△EAF，可得AC=EF．解：（1）如圖∵，∴是等腰三角形又∵為的中點，∴（等腰三角形三線合一）在和中，∵為公共角，，∴.另解：∵為的中點，∵，又，，∴，∴，又，∴∴，在和中，∵為公共角，，∴.（2）∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴.【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，熟練運用全等三角形的判定是本題的關鍵．（1）BD=DC+CE，見分析；（2）BD2+CD2=2AD2，見分析【分析】（1）通過SAS證明△ABD≌△ACE，得CE=BD，即可得出結論；（2）連接CE，同理證明△ABD≌△ACE，得CE=BD，∠ACE=∠B，則∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，得CD2+CE2=DE2，進行轉化即可．解：（1）∵將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，∴∠DAE=90°，AD=AE，∴∠BAC=∠DAE，∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE=BD，∴BC=CD+BD=CD+CE；故答案為：BC=CD+CE．（2）CD2+BD2=2AD2，理由如下：連接CE，∵∠DAE=90°，AD=AE，∴DE=AD，即DE2=2AD2，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B=90°，∴CD2+CE2=DE2，∴CD2+BD2=2AD2．【點撥】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及勾股定理等知識，證明△ABD≌△ACE是解題的關鍵．（1）證明見分析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，證明見分析．【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，進