/限時練習：40min完成時間：月日天氣：暑假作業09二次根式及其運算知識點01二次根式的相關概念和性質1）二次根式：形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.二次根式有意義的條件是，即只有被開方數時，式子才是二次根式，才有意義.2）二次根式的性質（1）；（2）；（3）.3）最簡二次根式1）被開方數是整數或整式；2)被開方數中不含能開方的因數或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.4）同類二次根式:幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數相同，這幾個二次根式叫同類二次根式.知識點02二次根式的運算1）乘除法類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術平方根化簡公式：2.加減法:將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數相加減，被開方數和根指數不變，即合并同類二次根式.題型一求二次根式的值1．當時，二次根式的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．當時，二次根式的值是．3．若求的值．題型二求二次根式的參數1．已知是整數，是正整數，則的所有可能的取值的和是（

）A．11 B．12 C．15 D．192．二次根式與的的和為0，則的值為．3．已知n是一個正整數，是整數，求n的最小值．題型三二次根式有意義的條件1．在函數中，自變量x的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．且2．已知為實數，且，則的值為．3．已知，且是偶數，求代數式的值．題型四利用二次根式的性質化簡1．已知，下面關于的計算正確的是（

）A． B． C． D．2．若實數在數軸上對應點的位置如圖所示，則化簡的結果是．3．閱讀材料：小李同學在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小李同學進行了以下探索：設（其中a、b、m、n均為整數），則有．∴，．這樣小李同學就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小李同學的方法探索并解決下列問題：(1)當a、b、m、n均為正整數時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：______，______；(2)若且a、m、n均為正整數，求a的值．(3)化簡：．題型五二次根式的乘除法1．計算的結果是（

）A． B． C． D．2．計算：（1）．（2）．3．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．題型六已知最簡二次根式求參數1．若與最簡二次根式能合并，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．若和都是最簡二次根式，則．3．已知最簡二次根式與是同類二次根式，求的值．題型七同類二次根式1．若最簡二次根式能與合并，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．若最簡二次根式和是同類二次根式，則．3．如果最簡二次根式與能進行合并，且化簡：．題型八二次根式的加減法1．下列運算正確的是（

）A． B． C． D．2．計算的結果為．3．計算：(1)(2)題型九分母有理化1．如果，那么a與b的關系是（）A．且互為相反數 B．且互為相反數C． D．2．閱讀下列材料，然后回答問題．在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．參照上面的方法化簡：．3．教材明確指出①被開方數不含分母；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．二次根式運算中，要把計算結果化為最簡二次根式(1)化簡：______；(2)我們思考“如何化簡”的問題．為了使分母之中不含根號，我們想到平方差公式“”，其特點是先平方后作差，既可以把運算為整數，又不產生新的無理數：．這樣的計算過程數學上稱之為“分母有理化”．請你化簡：(3)計算：．題型十二次根式的化簡求值1．已知，，則代數式的值是（

）A． B． C． D．2．若的小數部分為，則代數式的值為．3．先化簡，再求值：，其中．題型十一二次根式的應用1．電流通過導線時會產生熱量，電流（單位：）、導線電阻（單位：）、通電時間（單位：s）與產生的熱量（單位：）滿足．已知導線的電阻為，時間導線產生的熱量，電流的值是（

）A．5 B． C． D．2．如圖所示的是麗麗家正方形后院的示意圖，麗麗家打算在正方形后院打造一個的正方形游泳池和一個的正方形花園，剩下陰影部分鋪滿瓷磚，則陰影部分的面積為．

3．現有兩塊同樣大小的矩形紙片，麗麗采用如圖1所示的方式，在矩形紙片上裁出兩塊面積分別為和的正方形紙片A，B．(1)裁出的正方形紙片A的邊長為_____；(2)求圖1中陰影部分的面積；(3)小明想采用如圖2所示的方式，在矩形紙片上裁出兩塊面積都是的正方形紙片，請你判斷能否裁出，并說明理由．1．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．2．已知n是一個正整數，是整數，則n的最小值為（

）A．4 B．6 C．7 D．143．函數中自變量x的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．一間長方形臥室的面積為平方米，其中一邊長為米，則這條邊的鄰邊長為（

）A． B． C． D．5．如果，把式子中根號外的因式移到根號內后得（

）A． B． C． D．6．若代數式有意義，則實數的取值范圍是．7．計算的結果是．8．當時，代數式的值是．9．若，，且，則的值為．10．設一個三角形的三邊長分別為a，b，c，，則有下列面積公式：（海倫公式），（秦九韶公式），若一個三角形的三邊長依次為2，，，則三角形的面積為．11．計算：(1)(2)(3)(4)12．計算：(1)．(2)(3)13．（1）先化簡，再求值：，其中，．（2）計算：14．學習完《二次根式》后，聰聰發現了下面這類有趣味的試題，請你根據他的探索過程，解答下列問題：(1)具體運算，發現規律：，…計算：(2)觀察歸納，寫出結論（且n為正整數）(3)靈活運用，提升能力請利用你所發現的規律，計算的值．15．材料閱讀：二次根式的運算中，經常會出現諸如的計算，將分母轉化為有理數，這就是“分母有理化”；．類似地，將分子轉化為有理數，就稱為“分子有理化”；．根據上述知識，請你解答下列問題：(1)化簡；(2)比較與的大小，并說明理由．1．（2022·江蘇徐州·中考真題）使式子有意義的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2021·江蘇無錫·中考真題）函數中自變量的取值范圍是（

）A． B． C． D．3（2021·江蘇泰州·中考真題）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與4．（2021·江蘇連云港·中考真題）化簡．5．（2023·江蘇徐州·中考真題）若二次根式有意義，則的取值范圍是．6．（2021·江蘇宿遷·中考真題）若代數式有意義，則的取值范圍是．7．（2021·江蘇南京·中考真題）計算的結果是．8．（2023·江蘇·中考真題）先化簡，再求值：，其中．9．（2022·江蘇泰州·中考真題）計算:(1)計算：；(2)按要求填空：小王計算的過程如下：解：

小王計算的第一步是(填“整式乘法”或“因式分解”)，計算過程的第步出現錯誤.直接寫出正確的計算結果是.10．（2021·江蘇蘇州·中考真題）先化簡再求值：，其中．11．（2020·江蘇宿遷·中考真題）先化簡，再求值：÷（x﹣），其中x＝﹣2．

限時練習：40min完成時間：月日天氣：暑假作業09二次根式及其運算知識點01二次根式的相關概念和性質1）二次根式：形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.二次根式有意義的條件是，即只有被開方數時，式子才是二次根式，才有意義.2）二次根式的性質（1）；（2）；（3）.3）最簡二次根式1）被開方數是整數或整式；2)被開方數中不含能開方的因數或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.4）同類二次根式:幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數相同，這幾個二次根式叫同類二次根式.知識點02二次根式的運算1）乘除法類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術平方根化簡公式：2.加減法:將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數相加減，被開方數和根指數不變，即合并同類二次根式.題型一求二次根式的值1．當時，二次根式的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查二次根式求值，將代入二次根式，直接求解即可．【詳解】解：當時，故選：B．2．當時，二次根式的值是．【答案】2【分析】本題主要考查了二次根式的基本性質及化簡，二次根式的定義，掌握代入求值法是解題關鍵．把代入原式化簡即可．【詳解】解：當時，，故答案為：2．3．若求的值．【答案】【分析】此題主要考查了非負數性質以及二次根式，正確得出，的值是解題關鍵．直接利用算術平方根和偶次方的非負數性質得出，的值，進而得出答案．【詳解】解：，，解得，．題型二求二次根式的參數1．已知是整數，是正整數，則的所有可能的取值的和是（

）A．11 B．12 C．15 D．19【答案】D【分析】本題考查了二次根式的定義，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的定義．根據二次根式的定義即可求出答案．【詳解】由題意可知：，，∵是整數，是正整數，∴或7或8，，故選：D．2．二次根式與的的和為0，則的值為．【答案】/0.5【分析】本題考查了二次根式的非負性，求整式的值；可得，由二次根式的非負性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非負性（）是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，，，解得：，，；故答案：．3．已知n是一個正整數，是整數，求n的最小值．【答案】n的最小值是15【分析】直接利用二次根式的性質化簡，進而得出n的最小值．【詳解】解：∵＝3，n是一個正整數，∴n的最小值是15．【點睛】此題主要考查了二次根式的定義，正確化簡二次根式是解題關鍵．題型三二次根式有意義的條件1．在函數中，自變量x的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．且【答案】C【分析】本題考查了求函數自變量的取值范圍，因函數式中含有分母，分母應不為零；函數式中含有二次根式，被開方數應非負，由此即可確定自變量的取值范圍．【詳解】解：由題意知：且，解得：且；故；故選：C．2．已知為實數，且，則的值為．【答案】【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，直接利用二次根式有意義的條件得出的值，進而得出的值，進而得出答案．【詳解】解：∵，∴，，，，故答案為：．3．已知，且是偶數，求代數式的值．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式的意義，二次根式化簡，解題的關鍵是掌握二次根式有意義的條件是被開方數為非負數，分式的分母不為0，以及二次根式的性質．先根據二次根式有意義的條件求出，得出，然后進行根據二次根式性質進行化簡求出結果即可．【詳解】解：∵，∴，，解得：，∵x為偶數，∴，∴．題型四利用二次根式的性質化簡1．已知，下面關于的計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二次根式的運算和性質，根據，即可求解．【詳解】解：A.，故選項錯誤；B.，故選項錯誤；C.，故選項正確；D.，故選項錯誤；故選：C．2．若實數在數軸上對應點的位置如圖所示，則化簡的結果是．【答案】/【分析】本題考查了數軸上數的大小比較，二次根式的化簡，根據數軸得，化簡計算即可．【詳解】根據題意，得，∴．故答案為：．3．閱讀材料：小李同學在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小李同學進行了以下探索：設（其中a、b、m、n均為整數），則有．∴，．這樣小李同學就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小李同學的方法探索并解決下列問題：(1)當a、b、m、n均為正整數時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：______，______；(2)若且a、m、n均為正整數，求a的值．(3)化簡：．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）利用完全平方公式將展開即可求解；（2）由（1）中所得結論結合a、m、n均為正整數，即可求解；（3），據此即可求解．【詳解】（1）解：∵∴．故答案為：．（2）解：∵∴，由（1）中結論可知：，∴，∵m、n均為正整數，∴或，當時，；當時，；∴a的值為或．（3）解：，∴．【點睛】本題考查復合二次根式的化簡．正確理解題意是解題關鍵．題型五二次根式的乘除法1．計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了二次根式的乘除混合計算，直接根據二次根式的乘除混合計算法則求解即可．【詳解】解：，故選：C．2．計算：（1）．（2）．【答案】3．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了二次根式的混合運算（1）根據二次根式乘除法法則計算即可；（2）根據二次根式乘除法法則計算即可；（3）根據二次根式乘除法法則計算即可；（4）根據二次根式乘除法法則計算即可．【詳解】（1）解：原式（2）原式；（3）原式；（4）原式．題型六已知最簡二次根式求參數1．若與最簡二次根式能合并，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本題考查了利用二次根式的性質進行化簡，最簡二次根式．熟練掌握利用二次根式的性質進行化簡，最簡二次根式是解題的關鍵．由題意知，，則，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，∴，解得，，故選：B．2．若和都是最簡二次根式，則．【答案】【分析】本題考查了最簡二次根，如果一個二次根式符合下列兩個條件：1、被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；2、被開方數的因數是整數，因式是整式．那么，這個根式叫做最簡二次根式．據此即可求解．【詳解】解：由題意得：，解得：∴故答案為：3．已知最簡二次根式與是同類二次根式，求的值．【答案】1【分析】根據最簡二次根式和同類二次根式的定義求得a，b的值，再代入計算即可；【詳解】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴，解得：，∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；【點睛】本題考查了最簡二次根式的定義：被開方數的因數是整數，字母因式是整式，被開方數不含能開得盡方的因數或因式；還考查了二元一次方程組和零指數冪；掌握最簡二次根式的定義是解題關鍵．題型七同類二次根式1．若最簡二次根式能與合并，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題考查了同類二次根式，熟練掌握最簡二次根式的化簡是解本題的關鍵，難度不大，仔細審題即可．能與合并，則，進而可求出的值．【詳解】解：，∵與最簡二次根式能合并，，，故選：C．2．若最簡二次根式和是同類二次根式，則．【答案】【分析】本題主要考查了最簡二次根式，同類二次根式，理解定義是解題的關鍵．先根據同類二次根式的定義得出關于a的方程，求出解即可．【詳解】解：根據題意，得，解得．故答案為：．3．如果最簡二次根式與能進行合并，且化簡：．【答案】4【分析】本題主要考查了最簡二次根式的定義，二次根式的化簡，二次根式有意義的條件，先根據最簡二次根式與能進行合并得出，求出，再根據當時，，不符合題意，得出，根據，將進行化簡即可．【詳解】解：由題意，得，解得．當時，，，，，原式．題型八二次根式的加減法1．下列運算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．利用二次根式的加減法的法則，二次根式的乘除法的法則對各項進行運算即可．【詳解】解：A、與不屬于同類二次根式，不能運算，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C符合題意；

D、，故不D符合題意；

故選：C．2．計算的結果為．【答案】【分析】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式進行合并，合并方法為系數相加減，根式不變是解答此題的關鍵．先把各根式化為最簡二次根式，再合并同類項即可．【詳解】解：原式，故答案為：．3．計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是二次根式的加減運算，掌握運算法則是解本題的關鍵；（1）先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可；（2）先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可；【詳解】（1）解：；（2）．題型九分母有理化1．如果，那么a與b的關系是（）A．且互為相反數 B．且互為相反數C． D．【答案】B【分析】本題考查了分母有理化．根據平方差公式，可對b分母有理化，根據相反數的定義、有理數的大小比較，可得答案．【詳解】∵，∴與互為相反數，答案：B2．閱讀下列材料，然后回答問題．在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．參照上面的方法化簡：．【答案】/【分析】本題主要考查了分母有理化，仿照題意進行求解即可．【詳解】解；,故答案為：．3．教材明確指出①被開方數不含分母；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．二次根式運算中，要把計算結果化為最簡二次根式(1)化簡：______；(2)我們思考“如何化簡”的問題．為了使分母之中不含根號，我們想到平方差公式“”，其特點是先平方后作差，既可以把運算為整數，又不產生新的無理數：．這樣的計算過程數學上稱之為“分母有理化”．請你化簡：(3)計算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了二次根式的性質、分母有理化、二次根式的混合運算等知識點，熟練掌握相關性質和運算法則是解題關鍵．（1）分子、分母同時乘以，計算即可得答案；（2）利用平方差公式，分子、分母同時乘以，即可得答案；（3）先通過分母有理化化簡，然后再運用二次根式的混合運算法則計算即可．【詳解】（1）解：．故答案為：（2）．（3）．題型十二次根式的化簡求值1．已知，，則代數式的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查二次根式的化簡求值，本題關鍵在于利用完全平方公式以及平方差公式簡化運算．將變形為已知的值，分別計算出的值，整體代入求值即可．【詳解】解：，，，，故選：A．2．若的小數部分為，則代數式的值為．【答案】/【分析】本題考查的是分式的化簡求值，二次根式的除法運算，掌握“二次根式的除法運算與分式的混合運算”是解本題的關鍵．先把除法轉化為乘法運算，約分后可得結果，然后估算無理數的大小得出，再代入要求值可得答案．【詳解】解：∵的小數部分為，，∴，∴原式，故答案為：．3．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查的是分式的化簡求值，分母有理化，先計算括號內分式的減法運算，再計算除法運算，最后把代入計算即可．【詳解】解：當時，原式題型十一二次根式的應用1．電流通過導線時會產生熱量，電流（單位：）、導線電阻（單位：）、通電時間（單位：s）與產生的熱量（單位：）滿足．已知導線的電阻為，時間導線產生的熱量，電流的值是（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式的實際應用．將已知量代入物理公式，即可求得電流I的值．【詳解】解：通電時間t（單位：s)與產生的熱量Q（單位：J）滿足，所以電流．故電流I的值為，故選：B．2．如圖所示的是麗麗家正方形后院的示意圖，麗麗家打算在正方形后院打造一個的正方形游泳池和一個的正方形花園，剩下陰影部分鋪滿瓷磚，則陰影部分的面積為．

【答案】【分析】本題主要考查圖形的變化規律，利用勾股定理找出的規律是解題的關鍵．首先求出、、的長度，然后歸納命題中隱含的數學規律，即可解決問題．【詳解】解：由題意得：大正方形的邊長為，∴陰影部分面積故答案為：3．現有兩塊同樣大小的矩形紙片，麗麗采用如圖1所示的方式，在矩形紙片上裁出兩塊面積分別為和的正方形紙片A，B．(1)裁出的正方形紙片A的邊長為_____；(2)求圖1中陰影部分的面積；(3)小明想采用如圖2所示的方式，在矩形紙片上裁出兩塊面積都是的正方形紙片，請你判斷能否裁出，并說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)不能截出，理由見解析．【分析】本題考查了算術平方根的應用以及二次根式的混合運算，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）根據正方形面積等于邊長的平方，結合面積為，即可計算正方形紙片A的邊長；（2）先算出正方形紙片B的邊長，再得出矩形的長，寬，運用面積和差關系列式計算，即可作答．（3）先計算，則，據此即可作答．【詳解】（1）解：依題意，正方形紙片A的邊長為；故答案為：；（2）解：由題意得，截出的正方形紙片B的邊長為，則矩形的長為，寬為，∴陰影部分的面積．（3）解：不能截出，理由如下：∵面積為的正方形紙片的邊長為，則，∴不能在矩形紙片上裁出兩塊面積是的正方形紙片．1．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．利用二次根式的加減法的法則，二次根式的除法的法則，二次根式的化簡的法則對各項進行運算即可．【詳解】解：A、，與2不屬于同類二次根式，不能運算，故A不符合題意；B、，故B符合題意；C、，故C不符合題意；D、，故D不符合題意；故選：B．2．已知n是一個正整數，是整數，則n的最小值為（

）A．4 B．6 C．7 D．14【答案】C【分析】本題考查了二次根式的定義和性質，能正確根據二次根式的性質進行化簡是解此題的關鍵．首先把被開方數分解質因數，然后再確定n的值．【詳解】解：，∵是整數，n是一個正整數，∴n的最小值是7．故選：C．3．函數中自變量x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了求函數自變量的求值范圍，二次根式有意義的條件，根據二次根式有意義的條件得到，求出結果即可．【詳解】解：，，，故選：B．4．一間長方形臥室的面積為平方米，其中一邊長為米，則這條邊的鄰邊長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了二次根式的應用，根據長方形面積公式直接用面積除以已知邊長即可得到答案．【詳解】解：，∴這條邊的鄰邊長為，故選：D．5．如果，把式子中根號外的因式移到根號內后得（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了二次根式的性質，根據，結合二次根式的性質，推出，然后再按照二次根式的性質運算變形即可，熟練掌握二次根式的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：A．6．若代數式有意義，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了二次根式以及分式有意義的條件，解題的關鍵是熟練掌握以上知識．根據分母不為零，被開方數大于等于零，列式，解答即可．【詳解】解：在實數范圍內有意義，∴，解得：，故答案為：．7．計算的結果是．【答案】【分析】此題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．根據二次根式的性質化簡后，再根據二次根式的加減法運算法則進行計算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．8．當時，代數式的值是．【答案】1【分析】本題考查利用二次根式的性質化簡，絕對值的性質，正確化簡是解題關鍵．根據a的取值范圍，可求出和的取值范圍，再結合二次根式的性質化簡即可．【詳解】解：∵，∴，，∴．故答案為：1．9．若，，且，則的值為．【答案】【分析】本題考查分式的值，熟練掌握完全平方公式，將用含的代數式表示出來是解題的關鍵．由得，將左邊配成完全平方，從而將用含的代數式表示出來，進而計算的值即可．【詳解】解：，，，∴，，∵，∴，∴，故答案為：．10．設一個三角形的三邊長分別為a，b，c，，則有下列面積公式：（海倫公式），（秦九韶公式），若一個三角形的三邊長依次為2，，，則三角形的面積為．【答案】【分析】本題考查代數式求值，二次根式的應用．正確計算是解題關鍵．理解題意，掌握海倫公式和秦九韶公式是解題關鍵．【詳解】解：利用海倫公式求解：，，，，∴，；利用秦九韶公式：．11．計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)1(4)4【分析】本題考查二次根式的混合運算，平方差公式等：（1）合并同類二次根式即可；（2）先利用乘法分配律計算二次根式乘二次根式，再利用二次根式的性質化簡；（3）利用平方差公式求解；（4）先計算二次根式的除法和乘法，再計算加減．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．12．計算：(1)．(2)(3)【答案】(1)(2)(3)0【分析】本題考查了二次根式的混合運算以及分母有理化，二次根式的性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）先化簡，再進行乘除，最后運算加減，即可作答．（2）先化簡，再進行乘除，最后運算加減，即可作答．（3）先由二次根式有意義，得出，然后進行分母有理化，再運算加減，即可作答．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：∵∴．13．（1）先化簡，再求值：，其中，．（2）計算：【答案】（1），；（2）【分析】本題考查了分式的化簡求值，二次根式的混合運算，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）先化簡括號內的分式，再將除法運算轉化為乘法運算，最后再代入求值即可；（2）先化簡計算，再合并即可．【詳解】解：（1）原式，當時，原式；（2）原式．14．學習完《二次根式》后，聰聰發現了下面這類有趣味的試題，請你根據他的探索過程，解答下列問題：(1)具體運算，發現規律：，…計算：(2)觀察歸納，寫出結論（且n為正整數）(3)靈活運用，提升能力請利用你所發現的規律，計算的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查二次根式的性質，解題的關鍵是理解題中所給新運算；（1）根據題中所給新運算可進行求解；（2）由（1）及題干可進行求解；（3）根據（2）中的結論可進行求解．【詳解】（1）解：；故答案為；（2）解：；故答案為；（3）解：．15．材料閱讀：二次根式的運算中，經常會出現諸如的計算，將分母轉化為有理數，這就是“分母有理化”；．類似地，將分子轉化為有理數，就稱為“分子有理化”；．根據上述知識，請你解答下列問題：(1)化簡；(2)比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)2(2)，理由見解析【分析】本題考查的是分母有理化：（1）根據分母有理化是要求把分子分母同時乘以，再計算即可得到答案；（2）根據分子有理化的要求把原式變形為同分子的分數，再比較大小即可．【詳解】（1）解：；（2）解：∵，，且，∴．1．（2022·江蘇徐州·中考真題）使式子有意義的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式有意義的條件；根據二次根式有意義，被開方數非負列式求解即可．【詳解】解：由有意義可得，解得：，故選：B．2．（2021·江蘇無錫·中考真題）函數中自變量的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查分式的性質，二次根式的性質的綜合，掌握分式的性質，二次根式有意義的條件求自變量的取值范圍是解題的關鍵．根據二次根式的性質，被開方數為非負數，即，根據分式的性質，分母不能為零，即，由此即可求解．【詳解】解：根據題意可得，，且，∴，故選：．3（2021·江蘇泰州·中考真題）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】D【分析】把每個選項中的不是最簡二次根式化為最簡二次根式即可作出判斷．【詳解】A、，與不是同類二次根式，故此選項錯誤；B、，與不是同類二次根式，故此選項錯誤；C、與不是同類二次根式，故此選項