廣東省茂名市電白區2024-2025學年高一下學期期中考試數學試題一、單選題rr=-rr1．已知向量am3，=m=.若a//b，則實數（），A．9-B．9C．1D．1-2．2sin15°cos15°的值是（）231A．1B．C．D．D．2223．式子cos41°-sin41°的值為（）312312--A．B．C．22rrrr4．已知向量a2,b，則==-a+b=（）A．10B．10C．32D．235．在VABC中，AB=2，=3，AC=10，則cosB=（）1081441A．B．C．D．22π6．在VABC中，角,B,C的對邊分別為a,b,c,cb==7,B=,D是AC邊上的中點，則中線的長等3于（）3433A．B．C．D．34272的圓O上以點P轉一圈.則該質點到xy軸的距離關于時間的函數解析式是（t）?2πè5π?4??2πè5π?4?A．y2sin?=t+B．y=2sint+÷?÷?2πè5π?4??2πè5π?4?C．y2sin?=t-D．y=t-÷?÷bc8．已知VABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若+31，則角A的取值范圍是（）a+ca+bé??é??A．?B．?C．,÷D．,êê÷è3è6?3??6??èπ?9．為了得到函數y2sin?2x=+y=2sin2x的圖象上的點（）÷的圖象，可將函數3?πA．向左平行移動個單位長度6πB．向右平行移動個單位長度65πC．向右平行移動D．向左平行移動個單位長度個單位長度65π6二、多選題10．下列命題是真命題的是（）A．在正方形ABCD中，AB=BCrB．0的模長為0rrC．若|a|1，則向量a是單位向量=rrrrD．若向量a與向量b是共線向量，則向量a與向量b的方向相同11．已知聲音是由物體振動產生的聲波，其中包含著正弦函數或余弦函數，而純音的數學模型是函數y=Asinwt，我們聽到的聲音是由純音合成的，被稱為復合音.若一個復合音的數學模型是函數f()=x-3x，則（）πf(x)B．在上有7個零點f(x)[0,2π]A．是C．f(x)的最大值為3三、填空題的一個周期éπD．f(x)在上是增函數ê?6rrrr12．已知向量a(2)，b(2,6)，則2a+b==-=113．若sina=，則2a=．3x+y14AOB的半徑為1DAOB=120°C在弧上運動，OC=xOA+yOB的最大值是.四、解答題rr=2，r=--315．已知向量a，=-，rr(1)求a×b；rr(2)求a與b夾角q的余弦值；rrr(3)若向量ka+b與c互相垂直，求實數k的值.35?π?16．已知sin?πa=，a?,÷．2??è?(1)求sin?-a÷的值；è4??èπ?4?(2)求tan?2a-÷的值．3317．在VABC中，2bcosA+a=2c，c8，A=．=(1)求DB；(2)求VABC的面積．?èπ?2?=w+jw>Aj<>18．已知函數fx2sinx?÷的一段圖象如圖所示(1)求函數fx的表達式；é?π2x?，求fxx的最值及相應的值；(2)已知ê?a?2?èπ?6?(3)若f?è2?=，求fa-÷的值.÷?319．在平面直角坐標系中，已知點A2,0,B0,C3,D6．(1)①求cosDABC+cosDADC的值．===，并求出P的坐標．②證明存在點P，使得(2)若點E在四邊形ABCDCE將四邊形ABCDE的坐標．題號答案題號答案1A2D3A4A5B6D7C8A910BCAC11BC1．A根據向量共線的坐標表示即可得到方程，解出即可.1′m=′-33m=9.，即【詳解】由題意得故選：A.2．D根據二倍角的正弦公式直接求解即可.1【詳解】解：2sin15cos15°=sin30°=°.2故選:D．3．A逆用和角余弦公式化簡求值即可.1【詳解】cos41sin41cos(41)cos60°=°°-°°=°°=.2故選：A4．Arr先求得a+b的坐標再求其模長即得.rrrr【詳解】因a2,b，則a+b=，==-rra+b=9+1=10.于是，故選：A5．B由余弦定理得推論可得cosB的值.【詳解】在VABC中，由題意知：a=b=10,c=2a2+c2-b29+4-102′3′214cosB===，2ac故選：B6．D2π7=1+a2-2acos，解得a=2【詳解】由余弦定理得312因為D是AC邊上的中點即BD=BABC，+2211?2π??342BD=BA+2BA×BC+BC=1+4cos+4=÷所以?，44è33所以=.2故選：D7．Cπ2π根據題意求出POxD=-+t，根據正弦的概念求解點P的縱坐標，即可得解.452ππ2π【詳解】由題意，T=5，所以w=，所以點P逆時針運動ts時，DPOx=-+t，545?π2π?5??2πè5π?4?2sin-++txy=2sint-所以點P的縱坐標為?÷，所以該質點到軸的距離?÷.è4故選：C8．Abc1+3+1化簡得b-3先由2c2a2bc，再由余弦定理得A≥，即可求得角A的取值范圍.a+ca+b2bc31可得ba+b+ca+c3a+ba+c+-a3bc，【詳解】由，整理得b2c22a+ca+b3b2+c2-a212?è由余弦定理得cosA=3，則A￡，又?A?0,，則A?.bc3故選：A.9．AC根據三角函數左右平移的規則判斷求解即可.y=2sin2xπ【詳解】將函數的圖象上的點向左平行移動個單位長度，6?èπ?6??èπ?3?y=2sin2x+=2sin2x+得函數將函數?÷?÷的圖象，故正確錯誤；AB5πy=2sin2x的圖象上的點向右平行移動個單位長度得函數6?5π?6??5π?3?é?=2sin2x+π?3??π?y=2sin2x-=2sin2x--2π=2sin2x+÷??÷?÷ê??è÷，3?èèè故C正確D錯誤.故選：AC10．BC對于ABC向量的定義判斷，對于D，根據共線向量的定義判斷.【詳解】對于A，在正方形ABCD中，與的方向不同，A錯誤.r對于B，0的模長為0，B正確.rr，則向量a是單位向量，C正確.|a=1對于C，若rrrr對于D，若向量a與向量b是共線向量，則向量a與向量b的可能相反，D錯誤.故選：BC11．BC先對函數化簡得f(x)4sin=3x-sinx，然后逐個分析判斷即可.f(x)=2sinx-sinxcos2x-cosxsin2x【詳解】=2sinx-sinx1-2sin=2sinx-sinx+2sinx-2sinx+2sin=4sinx-sinx.對于A，因為f(xπ)4sin2x-2sinxcosx233x3+=3(xπ)sin(xπ)+-+=-4sin3x+sinx1f(x)，π所以不是f(x)的一個周期，A錯誤；12，得，f(x)=4sin3x-sinx=sinx4sin2x-1=0sinx=0sinx=±或對于B，由π5π7ππx?[0,2π]x=當時，可得,,π,,,2π，6666所以f(x)在[0,2π]上有個零點，B正確；7對于C，當x取得最大值，sin3x取得最小值時，f(x)取得最大值，?π?è2?π3πf=2sin-sin=3=2+1的最大值為，正確；f(x)3C因為?÷，所以22?π?è6?f(0)=f=0對于D，因為故選：BC?÷，所以D錯誤.12．0,10由平面向量的坐標運算即可求解.rr【詳解】2a+=b-+=-2264622,460,10.+=-++=0,10.故答案為：713．917cos2a=1-2sin2a=1-2′()=.2【詳解】3914．2解法1：建立坐標系，得出點的坐標，進而可得向量的坐標，化已知問題為三角函數的最值可求解．解法2：利用數量積的運算律得1=x值，即可得解.2+y2-，然后利用基本不等式求解最值，再求出x0或y=0=時的最【詳解】解法1：以O為原點，以為軸，建立如圖所示的直角坐標系，x??32π12qq￡q￡-設D=q，則C,sin，其中0,A1,0,B?,÷．?÷32è?ì1ì233cosq=x-yy=sinq???2?因為OC=xOA+yOB，所以í，即í，?3?3sinq=yx=cosq+sinq???2?3?èπ?x+y=cosq+q=2sinq+所以?÷．6?πx+y取得最大值2，此時點C為ABq=所以當時，的中點3解法2：因為OC=xOA+yOB，且x3y30，OA+2xyOA×OB+y2222所以OC=xOA+yOB=x22OB，又AOB120，所以1x2y2，D=°=+-?+?èxy2xy10時，x+yx=y=12=1+3￡1+3×x+y￡2，當?÷，整理得2?當且僅當時等號成立x+y=1..當x0或=y=0時，x+y綜上，的最大值為2.故答案為：215．(1)-45(2)-5(3)6-（1）根據向量的數量積坐標表示即可；（2）根據向量夾角余弦值的坐標表示即可；rr（3）計算出ka+b=(-k+6,k+2)，再利用向量垂直的坐標表示即可得到方程，解出即可.rr1）因為a=-,b2，=\r×r=(-′6+1′2=-4.rr（2\a=12+12=2，-4b=62+2=210，2rra×b5r\cosq=r|a||b|==-.2′2105rrr=--（3）因為向量a,b2,c3，=-=rr所以ka+b=k(-+(6,2)=(-k+6,k+2)，rrr+b^c因為所以，rrr+b×c=(-1)′(-k+6)+(-3)′(k+2)=0k=6.，解得216．(1)1017(2)31cosa（1）先求出，再根據兩角差的正弦公式求解；（2）先求出tan2，再根據兩角差的正切公式求解a.35π451）因為sina=，a?(0，)，所以cosa=1-sina=2，2所以sin(π-a)=cosa-sina=ππ2452352；′-′=4442210342425（2）因為sin2a=2sincosaa=′′2=，5516a-1=2′-1=257cos2a=2cos2，25sina24所以tana==，cos2a7π247tana-tan-1π174π所以tan(2a-)===.4243171+tanatan1+417．(1)B=3(2)63（1）利用正弦定理及三角形內角和，結合兩角和的正弦公式即可求解；（2）利用平方關系即兩角和的正弦公式可求得Ca即可求解.1）解：由正弦定理可得：2sinBcosAsinA2sinC=2sinBcosA+sinA=2sin(A+B)=2sinAcosB+2sinBcosA，+=,又ABC++，所以整理得：sinA2sinAcosB，=133=B=，因為A=，所以B，而B為三角形內角，故.231314131433，所以A=cosA=-或（2）解：因為A=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAC?0,>0又，，所以sinC13143314112131435314當cosA故A=-時，sinC=′-′=-<0，不符合題意，2133314133437==′+′=，sinC，142142a8=ac=，即3343，解得a=3，由正弦定理得sinAsinC147113故VABC的面積為：S=acsinB=′3′8′=63.222?èπ?6?=+18．(1)fx2sin?2x÷ππ(2)x=，fxmax=2，x=，fxmin=-1，629-(3)π（1）根據周期求得w=2，再根據特殊點及條件求得j=，即可得解.6x（2）結合正弦函數的性質，利用整體法求得最值及相應的值.?èπ?3?79cosa+=（3）先利用已知及二倍角余弦公式求得?÷，再結合誘導公式求解即可.π?π?--2πwT==π=πw>0w=2，故．1）由圖象可知，?÷，所以，又12è12??π?è12??π??πππf-由?=2sin-+j=0-+j=2π,k?Zj<j=，故÷?÷，得，又．è6626?èπ?=+fx2x于是?÷．6?πππ7π12?èπ?6?（2）由0￡x￡?，得≤2x+≤，所以-￡sin2x+?￡1÷，2666π?-1￡2sin2x+￡2所以?÷，è6?πππ==時，即x=時，fxmax=2，當2x+626π7ππ=-1.當2x+時，即x=fx時，662min?a?è2??èπ?6?2?èπ?6?1（3）因為f?÷=2sina+?÷=，得sina+?÷=，33?èπ?3??èπ?6??1?2è3?7所以cos?a+÷=1-2sin2?a+÷=1-2×?÷=，9?èπ?6?é??èπ?π6?6?èπ?6?é?=2sina+π?π3?2?èπ?3?149fa-=2sin2a-+=2sina--=-2cosa+=-÷所以?÷ê?÷?÷ê??è÷?.19．(1)①cosDABC+cosDADC=0；②6，3）?143?(2)?,÷è55?（1）①分別求出BA0,BC3,DA6,DC3，利用向量夾角公式可得=-==--=-cosDABC+cosDADC=0；②由條件知點P為四邊形ABCD外接圓的