/第04講一元二次方程的根與系數的關系模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．了解一元二次方程的根與系數的關系；2．經歷一元二次方程的根與系數的關系的探究過程，加深對一元二次方程及其根的認識。1.觀察下表，你能發現下列一元二次方程的根與系數有什么關系嗎？x1x2x1+x2從上圖發現，如果一元二次方程的根是、，那么=___，=___.證明：因為當時，方程的根是，_,所以，=_+=__；=_×_=____.因此，如果一元二次方程的兩個實數根是，那么，.注意它的使用條件為.也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商.2.一元二次方程的根與系數的關系的推論推論1：如果方程x2+px+q=0的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=，x1*x2=；推論2：以x1，x2的一元二次方程（二次項系數為1）是.3.根與系數的應用不解方程，可以利用根與系數的關系求關于x1、x2的對稱式的值．此時，常常涉及代數式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩考點一：直接根據公式求根例1．已知關于x的方程的一個根是1，則另一根為（

）A．1 B．2 C．3 D．-2【變式1-1】若，是方程的兩個根，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】若一元二次方程有一個根為2，則另一根為．【變式1-3】已知，是關于x的一元二次方程的兩根．(1)求k的取值范圍；(2)若，求k的值．考點二：公式變形求解例2．已知和是一元二次方程的兩個實數根，則（

）A． B． C．6 D．【變式2-1】已知方程的兩個實數根分別為，，則式子的值等于（

）A． B．0 C．2 D．6【變式2-2】已知，是一元二次方程的兩個實數根，則的值是．【變式2-3】有一個定理：若、是一元二次方程，、、為系數且為常數）的兩個實數根，則、，這個定理叫做韋達定理．如：、是方程的兩個實數根，則、．若，是方程的兩個實根．試求：(1)與的值（用含有的代數式表示）；(2)的值（用含有的代數式表示）；(3)若，試求的值．考點三：與根的判別式結合求解例3.已知關于x的一元二次方程，有下列結論：①當時，方程有兩個不相等的實數根；②當時，方程不可能有兩個異號的實數根；③當時，方程的兩個實數根不可能都小于1．其中正確的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式3-1】關于x的方程（k為常數）的根的情況，下列結論中正確的是（）A．兩個正根 B．兩個負根C．一個正根，一個負根 D．無實數根【變式3-2】已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，且，則實數的取值范圍為．【變式3-3】已知關于的一元二次方程．(1)求證：無論取何值，方程都有兩個不相等的實數根；(2)如果方程的兩個實數根為，且，求的值．考點四：與函數圖象結合例4．若、是方程的兩根，則反比例函數與一次函數的圖象大致為（

）A． B． C． D．【變式4-1】若a，b是一元二次方程．的兩根，則反比例函數與一次函數的圖象大致為（

）A． B． C． D．【變式4-2】如果一個正比例函數的圖象與反比例函數的圖象交于兩點，那么的值為．【變式4-3】已知反比例函數與一次函數（，k是常數）的圖象交于點，．(1)當時，求的值．(2)若，求的值．考點五：與分式結合例5．已知實數，滿足，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【變式5-1】若，且有，及，則的值是（

）A． B． C． D．【變式5-2】已知實數，滿足，，則．【變式5-3】已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)求k的取值范圍；(2)設方程的兩個實數根分別為，若，求k的值．考點六：與根式結合例6.若一元二次方程的兩個實數根分別為，，則的值為（

）A． B．2024 C． D．【變式6-1】關于的方程的兩實根異號，則k滿足的條件是（

）A． B． C． D．【變式6-2】若a，b是一元二次方程的兩個根，則．【變式6-3】附加題：已知，是關于的一元二次方程的兩個根，且，是直角三角形的兩直角邊，斜邊的長為．求，，的值．考點七：與絕對值結合例7．已知關于x的一元二次方程有兩個實數根和，且，m的值為（

）A．或1 B．或0 C． D．1【變式7-1】若k、b是一元二次方程的兩個實根（），在一次函數中，y隨x的增大而減小，則該一次函數的圖像一定經過（

）A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限【變式7-2】設、是一元二次方程的兩個根，且，則．【變式7-3】已知關于的一元二次方程有兩個實數根，．(1)求實數的取值范圍；(2)若方程的兩實數根，滿足，求的值．1．若是方程的兩個根，則（

）A． B． C． D．2．方程的兩根為、，下列各式正確的是（

）A． B．C． D．3．已知正方形的兩鄰邊，的長度恰為方程的兩個實數根，則正方形的周長為（

）A．2 B．4 C．6 D．84．一元二次方程的兩根為，，則的值為（

）A． B． C． D．5．設是關于x的一元二次方程的兩個實數根，且，則m的值為（）A．1 B． C．3或 D．1或6．若關于的方程的兩根之和為p，兩根之積為q，則關于y的方程的兩根之積是（）A． B． C． D．7．已知，是方程的兩根，則代數式的值是（

）A． B． C． D．8．如果方程有兩個不同的實數解，那么p的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．已知關于x的方程的一根是，則該方程的另一根為.10．若，是一元二次方程的兩個根，則．11．設，是一元二次方程的兩個根，則.12．若，是方程的兩個根，則的值為．13．已知a、b為實數，且滿足，，則．14．已知、是關于x的方程的兩實數根，且，則k的值為．15．若關于x的一元二次方程有一個根是，(1)求b的值及方程的另一個根；(2)若菱形對角線長分別為、，則這個菱形面積為______．16．已知關于的一元二次方程．(1)求證：無論取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程的兩實數根為，且滿足，試求出的值．17．已知的一條邊的長為5，另兩邊的長是關于x的一元二次方程的兩個實數根．(1)求證：無論m為何值，方程總有兩個實數根；(2)當m為何值時，是以為斜邊的直角三角形；(3)當m為何值時，是等腰三角形，并求的周長．18．【綜合與實踐】【問題情境】對于關于的一元二次方程（，，為常數，且），求方程的根的實質是找到一個的具體的值，代入之后等式成立．一般情況下，如果有兩個不同的的具體值都滿足，這就說明這個方程有兩個根，且兩根與，，之間具有一定的關系．【操作判斷】項目研究小組經過討論得到兩個結論：（1）當時，則一元二次方程必有一根是．（2）當時，則一元二次方程必有一根是．請判斷兩個結論的真假，并說明原因．【實踐探究】項目研究小組經過討論編制了以下問題，請幫助解決：方程的較大的根為，方程的較小的根為，求的值．

第04講一元二次方程的根與系數的關系模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．了解一元二次方程的根與系數的關系；2．經歷一元二次方程的根與系數的關系的探究過程，加深對一元二次方程及其根的認識。1.觀察下表，你能發現下列一元二次方程的根與系數有什么關系嗎？x1x2x1+x2123232－1－2-32-32235656－2－3-56-56033030從上圖發現，如果一元二次方程的根是、，那么=___，=___.證明：因為當時，方程的根是，_,所以，=_+=__；=_×_=____.因此，如果一元二次方程的兩個實數根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商.2.一元二次方程的根與系數的關系的推論推論1：如果方程x2+px+q=0的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1*x2=q；推論2：以x1，x2的一元二次方程（二次項系數為1）是x2-（x1+x2）+x1*x2=0.3.根與系數的應用不解方程，可以利用根與系數的關系求關于x1、x2的對稱式的值．此時，常常涉及代數式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩考點一：直接根據公式求根例1．已知關于x的方程的一個根是1，則另一根為（

）A．1 B．2 C．3 D．-2【答案】B【分析】把代入，轉化為m的方程，結合一元二次方程根與系數的關系，求解即可．本題考查了方程根的定義即使方程左右兩邊相等的未知數的值，轉化求解是解題的關鍵．【詳解】解：把代入，得，解得，∴，設另一個根為，根據題意，得，故選：B．【變式1-1】若，是方程的兩個根，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了根與系數的關系，直接利用根與系數的關系對各選項進行判斷即可，若，是方程的兩個根，則，．【詳解】解：∵，是方程的兩個根，∴，，故選：D．【變式1-2】若一元二次方程有一個根為2，則另一根為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系．熟練掌握一元二次方程的根與系數的關系是解題的關鍵．由一元二次方程有一個根為2，另一根為，可得，計算求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程有一個根為2，另一根為，∴，解得，，故答案為：．【變式1-3】已知，是關于x的一元二次方程的兩根．(1)求k的取值范圍；(2)若，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數關系，解二元一次方程組，解一元一次不等式，熟知一元二次方程根與系數的關系，根的判別式是解題的關鍵．（1）根據一元二次方程根的判別式求解即可；（2）利用根與系數的關系得到，，再根據已知條件解方程即可．【詳解】（1）解：由題意得，解得（2）由根與系數的關系，得，∵即，得解得將代入①，得∴原方程組得解為∵∴．考點二：公式變形求解例2．已知和是一元二次方程的兩個實數根，則（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】本題考查了根與系數的關系，牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”是解題的關鍵．利用根與系數的關系，可得出，將其代入中，即可求出結論．【詳解】解：∵和是一元二次方程的兩個實數根，，，故選：D．【變式2-1】已知方程的兩個實數根分別為，，則式子的值等于（

）A． B．0 C．2 D．6【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵；由題意易得，然后展開代入求解即可．【詳解】解：由可得：，∴；故選B．【變式2-2】已知，是一元二次方程的兩個實數根，則的值是．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，完全平方公式的變形求值．對于一元二次方程，若該方程的兩個實數根為，，則，．先根據根與系數的關系得到，，再根據完全平方公式的變形，求出，由此即可得到答案．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個實數根，，，，，．故答案為：．【變式2-3】有一個定理：若、是一元二次方程，、、為系數且為常數）的兩個實數根，則、，這個定理叫做韋達定理．如：、是方程的兩個實數根，則、．若，是方程的兩個實根．試求：(1)與的值（用含有的代數式表示）；(2)的值（用含有的代數式表示）；(3)若，試求的值．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系以及根的判別式．（）根據根與系數的關系可得，即可；（）由，將（1）代入即可解答；（）由，將（1）代入即可得方程：即可解答．【詳解】（1）解：∵，是方程的兩個實根，∴，；（2）解：∵，，∴；（3）解：∵，，∴，∵，解得：，，當時，原方程為：，，符合題意；當時，原方程為：，，符合題意；∴的值為或．考點三：與根的判別式結合求解例3.已知關于x的一元二次方程，有下列結論：①當時，方程有兩個不相等的實數根；②當時，方程不可能有兩個異號的實數根；③當時，方程的兩個實數根不可能都小于1．其中正確的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題主要考查了根的判別式，先根據方程，求出根的判別式，①根據a的范圍，判斷根的判別式的大小，從而進行解答；②先根據已知條件，判斷方程根的情況，利用根與系數的關系，求出兩根之積，進行判斷；③利用一元二次方程的求根公式，求出兩根，再根據a的范圍進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴①當時，，方程有兩個不相等的實根，故①正確，②當時，兩根之積，方程的兩根異號，故②錯誤，③∵，∴方程的根為，∴，，∴方程的兩個實根不可能都小于1，故③正確．故選：C．【變式3-1】關于x的方程（k為常數）的根的情況，下列結論中正確的是（）A．兩個正根 B．兩個負根C．一個正根，一個負根 D．無實數根【答案】C【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，以及一元二次方程根與系數的關系，利用一元二次方程根的判別式得到方程有兩個不相等的實數根，再根據一元二次方程根與系數的關系，得到，進而得到方程兩個不相等的實數根異號，即可解題．【詳解】解：，，即有，方程有兩個不相等的實數根，，方程兩個不相等的實數根異號，方程有一個正根，一個負根，故選：C．【變式3-2】已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，且，則實數的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查了根的判別式、一元二次方程根系數的關系，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和一元二次方程的知識解答．根據關于x的方程有兩個不相等的實數根，，可以得到a的取值范圍，再根據得出，利用根與系數的關系得出，，再利用分類討論的方法求出a的取值范圍，本題得以解決．【詳解】解：∵關于x的方程有兩個不相等的實數根，，∴，解得，∵，是方程的兩個實數根，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，整理得：，當時，解不等式得：，∴；當時，解不等式得：，∴此時無解；綜上分析可知：．故答案為：．【變式3-3】已知關于的一元二次方程．(1)求證：無論取何值，方程都有兩個不相等的實數根；(2)如果方程的兩個實數根為，且，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)或．【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．（1）根據根的判別式證明恒成立即可；（2）由題意可得，，，進行變形后代入即可求解．【詳解】（1）證明：，∵無論取何值，，恒成立，∴無論取何值，方程都有兩個不相等的實數根．（2）解：∵是方程的兩個實數根，∴，，∴，解得：或．考點四：與函數圖象結合例4．若、是方程的兩根，則反比例函數與一次函數的圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，反比例函數、一次函數的性質；由一元二次方程根與系數的關系得，，結合反比例函數、一次函數的性質進行逐一判斷，即可求解；掌握一元二次方程根與系數的關系，反比例函數、一次函數的性質是解題的關鍵．【詳解】解：、是方程的兩根，，，反比例函數的圖象分布在第二、四象限，選項A、C不符合題意；B.由圖象得：，，符合題意；D.由圖象得：，，，結論錯誤，不符合題意；故選：B．【變式4-1】若a，b是一元二次方程．的兩根，則反比例函數與一次函數的圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，反比例函數、一次函數的性質；由一元二次方程根與系數的關系得，，結合反比例函數、一次函數的性質進行逐一判斷，即可求解；掌握一元二次方程根與系數的關系，反比例函數、一次函數的性質是解題的關鍵．【詳解】解：、是方程即的兩根，，，∴異號，反比例函數的圖象分布在第二、四象限，選項A、C不符合題意；B．由圖象得：，，符合題意；D．由圖象得：，，，結論錯誤，不符合題意；故選：B．【變式4-2】如果一個正比例函數的圖象與反比例函數的圖象交于兩點，那么的值為．【答案】32【分析】此題主要考查了正比例函數和反比例函數的性質以及一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握相關基礎知識是解題的關鍵．設正比例函數的解析式為，聯立反比例函數，根據一元二次方程根與系數的關系進行求解．【詳解】解：設正比例函數的解析式為，聯立反比例函數，得到由題意可知，為一元二次方程的兩個解，則：，．故答案為：．【變式4-3】已知反比例函數與一次函數（，k是常數）的圖象交于點，．(1)當時，求的值．(2)若，求的值．【答案】(1)(2)0【分析】本題主要考查一次函數與反比例函數的交點問題，一元二次方程根與系數的關系：（1）將一次函數與反比例函數關系式聯立，整理出一元二次方程，則是該方程的兩個根，利用根與系數的關系即可求解；（2）將與聯立，整理得，根據得出，進而可得點，關于原點對稱，推出．【詳解】（1）解：當時，一次函數為，令，整理得，∵反比例函數與一次函數的圖象交于點，，∴是方程的兩個根，∴；（2）解：∵反比例函數與一次函數的圖象交于點，，∴是方程的兩個根，方程整理得，∵，∴，∴，∴一次函數為（，k是常數），∴點，關于原點對稱，∴．考點五：與分式結合例5．已知實數，滿足，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，將變形為據此可知，為方程的兩個實數根，根據根與系數的關系得到，，整理得，，代入所求代數式化簡即可，熟練掌握根與系數的關系及分式的化簡是解題的關鍵．【詳解】解：，易得，方程兩側同除得：，又∵，且，∴，為方程的兩個實數根，∴，，整理得，，∴，故選：．【變式5-1】若，且有，及，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了構造一元二次方程解題，正確構造方程，靈活運用根與系數關系定理是解題的關鍵．根據，方程除以得，從而得到是方程的兩個根，根據根與系數關系定理，得，故是．【詳解】解：根據，方程除以得，故是方程的兩個根，根據根與系數關系定理，得，故是．故選：A．【變式5-2】已知實數，滿足，，則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，完全平方公式的變形，分式的化簡求值等知識．熟練掌握一元二次方程根與系數的關系，完全平方公式的變形，分式的化簡求值是解題的關鍵．由題意知，，，則是的兩個根，即，根據，代值求解即可．【詳解】解：由題意知，，，∴是的兩個根，∴，∴，故答案為：．【變式5-3】已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)求k的取值范圍；(2)設方程的兩個實數根分別為，若，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查一元二次方程中根與系數的關系，掌握根的判別式，韋達定理是解題的關鍵．（1）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則根的判別式大于零，由此即可求解；（2）根據韋達定理，通過配方法，用含的式子表示出兩個的和，解參數方程并結合k的取值范圍即可求解．【詳解】（1）解：∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，且，，，∴，∴，整理得，，∴，故實數的取值范圍為．（2）解：∵方程的兩個根分別為，∴，，∵，∴∴∴解得，，∵，∴．考點六：與根式結合例6.若一元二次方程的兩個實數根分別為，，則的值為（

）A． B．2024 C． D．【答案】A【分析】本題考查了完全平方公式，根與系數的關系，熟練利用完全平方公式對原式進行變形是解題的關鍵．由根與系數的關系可得，，再將所代數式變形可得，由此即可求解．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個實數根，，，，，．，故選：A．【變式6-1】關于的方程的兩實根異號，則k滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根的判別式，設方程的兩根為，，根據題意得，，根據二次根式有意義的條件得進行計算即可得；解題的關鍵是掌握二次根式有意義的條件，根的判別式．【詳解】解：設方程的兩根為，，∵方程的兩實根異號，∴，解得，，∵方程的兩實根，∴，，解得，，∵∴，綜上，，故選：D．【變式6-2】若a，b是一元二次方程的兩個根，則．【答案】4【分析】本題考查根與系數的關系及一元二次方程的解，關鍵掌握用根與系數的關系與代數式變形相結合進行解題．由題意可得，，再整體代入計算即可．【詳解】解：∵a，b是一元二次方程的兩個根，∴，，∴，∴；故答案為：【變式6-3】附加題：已知，是關于的一元二次方程的兩個根，且，是直角三角形的兩直角邊，斜邊的長為．求，，的值．【答案】，，；，，【分析】本題主要考查利用根與系數的關系求解．根據根與系數的關系可得、的值，然后再聯合已知中的，，可求出、、的值．【詳解】解：由題意得：，，，，，，，，，，，．，，；，，．考點七：與絕對值結合例7．已知關于x的一元二次方程有兩個實數根和，且，m的值為（

）A．或1 B．或0 C． D．1【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系和跟的判別式，先根據根的情況得出判別式為非負數，求出m的范圍，再根據一元二次方程根與系數的關系求出兩根之和，根據，得出或，然后代入求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個實數根，∴，∴，∵一元二次方程有兩個實數根和，∴，∵，∴或，當時，，解得；當，即時，，解得，綜上，，故選：D．【變式7-1】若k、b是一元二次方程的兩個實根（），在一次函數中，y隨x的增大而減小，則該一次函數的圖像一定經過（

）A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限【答案】A【分析】根據一元二次方程根與系數的關系得到，則，由在一次函數中，隨的增大而減小，根據一次函數的性質得到，圖象過第二、四象限，于是，即圖像與軸的交點在軸上方，可得到其圖像還要過第一象限．【詳解】解：、是一元二次方程的兩個實根，，，在一次函數中，隨的增大而減小，，圖像過第二、四象限，，即圖像與軸的交點在軸上方，一次函數經過第一、二、四象限．故選：A．【點睛】本題考查了一次函數圖像與系數的關系：一次函數的圖像為直線，當，圖像經過第一、三象限，隨的增大而增大；當，圖像經過第二、四象限，隨的增大而減小；當，圖像與軸的交點在軸上方；當，圖像過原點；當，圖像與軸的交點在軸下方．也考查了一元二次方程根與系數的關系．【變式7-2】設、是一元二次方程的兩個根，且，則．【答案】5【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，解一元二次方程，由一元二次方程根與系數的關系得出，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入計算即可得出答案，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解此題的關鍵．【詳解】解：、是一元二次方程的兩個根，且，，原方程為，解得：，，，故答案為：．【變式7-3】已知關于的一元二次方程有兩個實數根，．(1)求實數的取值范圍；(2)若方程的兩實數根，滿足，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程根的判別式．（1）先把方程化為一般式得到，根據根的判別式的意義得到，然后解不等式即可；（2）根據根與系數的關系得到，，則，利用（1）的的范圍去絕對值后解方程得到的值，然后根據（1）中的范圍確定k的值．解題的關鍵是掌握：若，是一元二次方程的兩個實數根，則，．也考查了一元一次不等式及一元二次方程的解法．【詳解】（1）解：，整理得：，∵該方程有兩個實數根，，∴，解得：，∴實數的取值范圍是；（2）∵，是方程的兩實數根，∴，，又∵，∴，∵，∴，∴可化簡為：，∴，解得：（不合題意，舍去），，∴的值為．1．若是方程的兩個根，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是一元二次方程根與系數的關系，，是一元二次方程的兩根時，，．據此解答即可．【詳解】解：∵，是方程的兩個根，∴，，觀察四個選項，選項A符合題意，故選：A．2．方程的兩根為、，下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系：若方程的兩根為，，則，．根據根與系數的關系直接求解即可．【詳解】解：∵方程的兩根為、，∴，，故選：A．3．已知正方形的兩鄰邊，的長度恰為方程的兩個實數根，則正方形的周長為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】此題考查了正方形的性質，一元二次方程根與系數的關系.首先根據正方形的性質得到，然后根據一元二次方程根與系數的關系得到，進而求出，即可得到正方形的周長．【詳解】∵四邊形是正方形∴∵正方形的兩鄰邊，的長度恰為方程的兩個實數根，∴，∴∴正方形的周長為．故選：B．4．一元二次方程的兩根為，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查一元二次方程根與系數的關系，根據題意得：，，再代入代數式進行計算即可．解題的關鍵是掌握：若，是一元二次方程的兩根，則，．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩根，∴，，∴，∴的值為．故選：A．5．設是關于x的一元二次方程的兩個實數根，且，則m的值為（）A．1 B． C．3或 D．1或【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數關系：．先根據一元二次方程根與系數的關系得出，再得出，得出關于m的一元二次方程，求解，再根據判別式檢驗即可．【詳解】解：∵是關于x的一元二次方程的兩個實數根，∴，∵，∴，整理得：，，解得：或，當時，原方程為，，則原方程有實數根，符合題意；當時，原方程為，，則原方程無實數根，不符合題意；綜上：．故選：A．6．若關于的方程的兩根之和為p，兩根之積為q，則關于y的方程的兩根之積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查根與系數的關系，設關于的方程的兩個根為，得到，換元法，得到的兩個根為，再進行求解即可．【詳解】解：設關于的方程的兩個根為，則：，∴關于y的方程的兩根為，∴；故選A．7．已知，是方程的兩根，則代數式的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由根與系數的關系可得：a+b=1，再由a與b是方程的兩根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3與b3采用降次的方法即可求得結果的值．【詳解】∵a與b是方程的兩根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵，同理：∴故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的概論、一元二次方程根與系數的關系，求代數式的值，靈活進行整式的運算是解題的關鍵．8．如果方程有兩個不同的實數解，那么p的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將無理方程化為一元二次方程，根據根的判別式可求得，再根據根與系數關系可求得，由此可得p的取值范圍．【詳解】解：∵，∴，，∵方程有兩個不同的實數解，∴，解得：．又∵方程的兩根，∴，即，∴，故選：D．【點睛】本題考查無理方程，一元二次方程根的判別式，根與系數關系．需注意本題中容易忽略由一個數的算術平方根是非負數，得出，從而根據根與系數關系得出．9．已知關于x的方程的一根是，則該方程的另一根為.【答案】1【分析】本題考查了一元二次方程的解，根與系數的關系的應用，解此題的關鍵是根據根與系數的關系得到，解題即可．【詳解】解：設另一根為a，則，解得，故答案為：1．10．若，是一元二次方程的兩個根，則．【答案】【分析】本題考查的是一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理），掌握一元二次方程的根與系數的關系是解題的關鍵．對于一元二次方程，兩根和有這樣的關系：，，按題意代入即可．【詳解】解：對于，系數為1，為3，，是一元二次方程的兩個根，．故答案為：．11．設，是一元二次方程的兩個根，則.【答案】【分析】此題主要考查了根與系數的關系，由，是一元二次方程的兩個根，得出，，再把變形為，即可求出答案．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個根，∴，，∴，∴，故答案為：．12．若，是方程的兩個根，則的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，熟記公式，是解題關鍵．先求出，，再整體代入即可求值．【詳解】解：∵，是方程的兩個根，∴，，∴，故答案為：．13．已知a、b為實數，且滿足，，則．【答案】13【分析】此題主要考查了根與系數的關系，注意：解答此題需要分類討論．根據已知條件推知、是方程，即的兩個根，然后通過解方程求得①，；②，；最后將所求的代數式轉化為完全平方和的形式，并將①②分別代入求值．【詳解】解：、為實數，且滿足，，，，、是方程，即的兩個根，或；①當，時，，即；②當，時，，即，不合題意；綜上所述，；故答案為：13．14．已知、是關于x的方程的兩實數根，且，則k的值為．【答案】4【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．根據一元二次方程根與系數的關系以及解的定義得到，，，再根據，推出，據此求解即可．【詳解】解：∵、是關于x的方程的實數根，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，整理得，解得，，經檢驗或為原方程的解，∵，∴，∴k的值為4．故答案為：4．15．若關于x的一元二次方程有一個根是，(1)求b的值及方程的另一個根；(2)若菱形對角線長分別為、，則這個菱形面積為______．【