/第06練矩形、菱形、正方形（一）矩形矩形是特殊的平行四邊形，從運動變化的觀點來看，當(dāng)平行四邊形的一個內(nèi)角變?yōu)?0°時，其它的邊、角位置也都隨之變化。因此矩形的性質(zhì)是在平行四邊形的基礎(chǔ)上擴充的。1.矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形（通常也叫做長方形）2.矩形性質(zhì)定理1：矩形的四個角都是直角。3．矩形性質(zhì)定理2：矩形的對角線相等。4.矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形。說明：因為四邊形的內(nèi)角和等于360度，已知有三個角都是直角，那么第四個角必定是直角。5.矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形。說明：要判定四邊形是矩形的方法是：方法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個直角（這是用定義證明）方法二：先證明出是平行四邊形，再證出對角線相等（這是判定定理1）方法三：只需證出三個角都是直角。（這是判定定理2）（二）菱形菱形也是特殊的平行四邊形，當(dāng)平行四邊形的兩個鄰邊發(fā)生變化時，即當(dāng)兩個鄰邊相等時，平行四邊形變成了菱形。1.菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。2.菱形的性質(zhì)1：菱形的四條邊相等。3.菱形的性質(zhì)2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。4.菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。5.菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。說明：要判定四邊形是菱形的方法是：方法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。（這就是定義證明）。方法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線互相垂直。（這是判定定理2）方法三：只需證出四邊都相等。（這是判定定理1）（三）正方形正方形是特殊的平行四邊形，當(dāng)鄰邊和內(nèi)角同時運動時，又能使平行四邊形的一個內(nèi)角為直角且鄰邊相等，這樣就形成了正方形。1.正方形：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2.正方形性質(zhì)定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。3.正方形性質(zhì)定理2：正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。4.正方形判定定理互：兩條對角線互相垂直的矩形是正方形。5.正方形判定定理2：兩條對角線相等的菱形是正方形。注意：要判定四邊形是正方形的方法有方法一：第一步證出有一組鄰邊相等；第二步證出有一個角是直角；第三步證出是平行四邊形。（這是用定義證明）方法二：第一步證出對角線互相垂直；第二步證出是矩形。（這是判定定理1）方法三：第一步證出對角線相等；第二步證出是菱形。（這是判定定理21．如圖，在矩形紙片ABCD中，，，折疊紙片使邊DC落在對角線DB上，折痕為DE，則的面積為（

）A．3 B．6 C．9 D．182．一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是(

)A．等腰梯形 B．矩形C．正方形 D．等腰梯形或矩形3．如圖，已知四邊形ABCD的對角線互相垂直，若適當(dāng)添加一個條件，就能判定該四邊形是菱形．那么這個條件可以是（）A．BA＝BC B．AC＝BDC．AB∥CD D．AC、BD互相平分4．如圖，在矩形中，對角線、交于點，，以下說法錯誤的是（

）A． B． C． D．5．如圖所示的是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中，，則的值是（

）A．128 B．64 C．32 D．1446．如圖，O為菱形ABCD的對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝6，BD＝8，則線段OE的長為（）A．3 B． C．5 D．67．兩張全等的矩形紙片ABCD，AECF按如圖所示的方式交叉疊放，AB＝AF，AE＝BC．AE與BC交于點G，AD與CF交于點H，且∠AGB＝30°，AB＝2，則四邊形AGCH的周長為（

）A．4 B．8 C． D．168．如圖，點為矩形的對稱中心，點從點出發(fā)沿向點運動，移動到點停止，延長交于點，則四邊形形狀的變化依次為（

）A．平行四邊形菱形平行四邊形矩形 B．平行四邊形正方形平行四邊形矩形C．平行四邊形正方形菱形矩形 D．平行四邊形菱形正方形矩形9．如圖，將兩條寬度均為2的紙條相交成角疊放，則重合部分構(gòu)成的四邊形的面積為______．10．如圖，正方形ABCD的面積為5，正方形CEFG的面積為2，點G在線段CD上，且B、C、E三點在一條直線上，聯(lián)結(jié)AC、AE，則△ACE的面積是_____．11．如圖，在矩形中，若，，則的長為________．12．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于點E，則OE的長為______．13．如圖，P是菱形ABCD的對角線AC上一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AD于點F．(1)若∠BAD＝60°，PE＝1，求AE的長．(2)若∠BAD＝90°，判斷四邊形AEPF的形狀，并說明理由．14．如圖，在四邊形ABCD中，，E為BC的中點，，．(1)求證：四邊形ABED是菱形；(2)過點E作于點F，若，，求EF的長．15．如圖，點E在平行四邊形ABCD的對角線AC上，連BE并延長到F，使BE＝EF，連DF．(1)求證：DF∥AC(2)若BF＝2AB且CD與EF的交點G正好是CD的中點，請連接CF、DE，判斷四邊形CEDF的形狀，并證明．16．如圖，平行四邊形中，對角線、相交于點，BE∥AC交的延長線于點，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求四邊形的面積．17．如圖1，點E是正方形ABCD的邊BC上的任意一點（不與B、C重合），EF⊥AE與正方形的外角∠DCG的角平分線交于點F．(1)求證：AE＝EF(2)將圖1放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖2，連DF、BF，BF與AE交于點H，若正方形ABCD的邊長為4，則四邊形ABFD的面積是否隨E點位置的變化而變化？若不變，請求出四邊形ABFD的面積．(3)在（2）的條件下，若S△BCF＝4，求四邊形AHFD的面積．/

第06練矩形、菱形、正方形（一）矩形矩形是特殊的平行四邊形，從運動變化的觀點來看，當(dāng)平行四邊形的一個內(nèi)角變?yōu)?0°時，其它的邊、角位置也都隨之變化。因此矩形的性質(zhì)是在平行四邊形的基礎(chǔ)上擴充的。1.矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形（通常也叫做長方形）2.矩形性質(zhì)定理1：矩形的四個角都是直角。3．矩形性質(zhì)定理2：矩形的對角線相等。4.矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形。說明：因為四邊形的內(nèi)角和等于360度，已知有三個角都是直角，那么第四個角必定是直角。5.矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形。說明：要判定四邊形是矩形的方法是：方法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個直角（這是用定義證明）方法二：先證明出是平行四邊形，再證出對角線相等（這是判定定理1）方法三：只需證出三個角都是直角。（這是判定定理2）（二）菱形菱形也是特殊的平行四邊形，當(dāng)平行四邊形的兩個鄰邊發(fā)生變化時，即當(dāng)兩個鄰邊相等時，平行四邊形變成了菱形。1.菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。2.菱形的性質(zhì)1：菱形的四條邊相等。3.菱形的性質(zhì)2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。4.菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。5.菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。說明：要判定四邊形是菱形的方法是：方法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。（這就是定義證明）。方法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線互相垂直。（這是判定定理2）方法三：只需證出四邊都相等。（這是判定定理1）（三）正方形正方形是特殊的平行四邊形，當(dāng)鄰邊和內(nèi)角同時運動時，又能使平行四邊形的一個內(nèi)角為直角且鄰邊相等，這樣就形成了正方形。1.正方形：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2.正方形性質(zhì)定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。3.正方形性質(zhì)定理2：正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。4.正方形判定定理互：兩條對角線互相垂直的矩形是正方形。5.正方形判定定理2：兩條對角線相等的菱形是正方形。注意：要判定四邊形是正方形的方法有方法一：第一步證出有一組鄰邊相等；第二步證出有一個角是直角；第三步證出是平行四邊形。（這是用定義證明）方法二：第一步證出對角線互相垂直；第二步證出是矩形。（這是判定定理1）方法三：第一步證出對角線相等；第二步證出是菱形。（這是判定定理21．如圖，在矩形紙片ABCD中，，，折疊紙片使邊DC落在對角線DB上，折痕為DE，則的面積為（

）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】C【解析】解：令折疊后點C在BD上的對應(yīng)點為點∵矩形ABCD折疊后CD邊落在BD上，∴∠BC′E=∠DC′E=∠C=90°，∵CD=AB=6，BC=AD=8，∴C′D=6，BD===10，∴C′B=BD-C′D=10-6=4，設(shè)CE=C′E=x，則EB=8-x，由勾股定理得：C′B2+C′E2=EB2∴42+x2=（8-x）2，解得：x=3，即CE=3，∴===9；故選：C．2．一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是(

)A．等腰梯形 B．矩形C．正方形 D．等腰梯形或矩形【答案】D【解析】解：分為兩種情況：①當(dāng)，且時，四邊形是矩形；②當(dāng)，且時，四邊形是等腰梯形．故選：D．3．如圖，已知四邊形ABCD的對角線互相垂直，若適當(dāng)添加一個條件，就能判定該四邊形是菱形．那么這個條件可以是（）A．BA＝BC B．AC＝BDC．AB∥CD D．AC、BD互相平分【答案】D【解析】解：四邊形中，、互相垂直，若四邊形是菱形，需添加的條件是：、互相平分；（對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形）故選：D．4．如圖，在矩形中，對角線、交于點，，以下說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵四邊形是矩形，矩形對角線互相平分且相等∴，∴選項A和選項D正確；∵，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴選項C正確；∵，∴，∴不是等邊三角形，∴，∴選項B錯誤，符合題意．故選B．5．如圖所示的是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中，，則的值是（

）A．128 B．64 C．32 D．144【答案】A【解析】解：根據(jù)題題得：小正方形的邊長等于BE-AE，∵，，∴小正方形的邊長=13-5=8，∴．故選：A6．如圖，O為菱形ABCD的對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝6，BD＝8，則線段OE的長為（）A．3 B． C．5 D．6【答案】C【解析】∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠COD=90°，∴四邊形OCED是矩形，又∵AC＝6，BD＝8，∴OC=3，OD=4，∴,在矩形OCED中，OE=CD=5，故選：C．7．兩張全等的矩形紙片ABCD，AECF按如圖所示的方式交叉疊放，AB＝AF，AE＝BC．AE與BC交于點G，AD與CF交于點H，且∠AGB＝30°，AB＝2，則四邊形AGCH的周長為（

）A．4 B．8 C． D．16【答案】D【解析】解：∵兩張全等的矩形紙片ABCD，AECF按如圖所示的方式交叉疊放，AB＝AF，AE＝BC，∠AGB＝30°∴，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．四邊形周長為16．故選D．8．如圖，點為矩形的對稱中心，點從點出發(fā)沿向點運動，移動到點停止，延長交于點，則四邊形形狀的變化依次為（

）A．平行四邊形菱形平行四邊形矩形 B．平行四邊形正方形平行四邊形矩形C．平行四邊形正方形菱形矩形 D．平行四邊形菱形正方形矩形【答案】A【解析】解：如圖，連接AC，∵點為矩形的對稱中心，∴OA=OC，在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∠OFC=∠OEA，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴當(dāng)AE＜CE時，四邊形AECF是平行四邊形，當(dāng)AE=CE時，四邊形AECF是菱形，當(dāng)AE＞CE時，四邊形AECF是平行四邊形，當(dāng)點E到達點B時，四邊形AECF是矩形；∴四邊形形狀的變化依次為故選：平行四邊形菱形平行四邊形矩形．故選：A9．如圖，將兩條寬度均為2的紙條相交成角疊放，則重合部分構(gòu)成的四邊形的面積為______．【答案】8【解析】∵AB∥CD，∴∠ABC=30°，又∵兩條紙條的寬度均為2，∴AB=4，同理可得AD=4，又∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB=AD=4，∴四邊形ABCD是菱形，∴S菱形ABCD=4×2=8，故答案為8．10．如圖，正方形ABCD的面積為5，正方形CEFG的面積為2，點G在線段CD上，且B、C、E三點在一條直線上，聯(lián)結(jié)AC、AE，則△ACE的面積是_____．【答案】【解析】解：∵正方形ABCD的面積為5，正方形CEFG的面積為2．∴．∴△ACE的面積＝＝．故答案為：．11．如圖，在矩形中，若，，則的長為________．【答案】14【解析】解：四邊形是矩形，，，在中，，，，故答案為：14．12．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于點E，則OE的長為______．【答案】2.5【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴，∠BOC=90°，∠ABD=∠CBD，∴，∵，∴∠ABD=∠BOE，∴∠EBO=∠EOB，∴BE=OE，∵∠OBC+∠OCB=90°，∠EOB+∠EOC=90°，∴∠EOC=∠ECO，∴OE=CE，∴，故答案為：2.5．13．如圖，P是菱形ABCD的對角線AC上一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AD于點F．(1)若∠BAD＝60°，PE＝1，求AE的長．(2)若∠BAD＝90°，判斷四邊形AEPF的形狀，并說明理由．【答案】(1)；(2)正方形，理由見解析【分析】(1)解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠PAE＝30°∵PE⊥AB，∴AP＝2PE＝2，；(2)證明：四邊形是正方形，理由如下：，，，四邊形是矩形，，在和中，，，；四邊形是正方形．14．如圖，在四邊形ABCD中，，E為BC的中點，，．(1)求證：四邊形ABED是菱形；(2)過點E作于點F，若，，求EF的長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】(1)證明：∵，，∴四邊形ABED是平行四邊形，∵Rt△BCD中，E是斜邊BC的中點，∴DE=BE，∴四邊形ABED是菱形．(2)過點D作DG⊥BC于點G，如圖所示：在Rt△BCD中，，，∵DC=8，BC=12，∴DG=，又∵S菱形ABED=AB·EF=BE·DG，AB=BE，∴EF=DG=．15．如圖，點E在平行四邊形ABCD的對角線AC上，連BE并延長到F，使BE＝EF，連DF．(1)求證：DF∥AC(2)若BF＝2AB且CD與EF的交點G正好是CD的中點，請連接CF、DE，判斷四邊形CEDF的形狀，并證明．【答案】(1)見解析；(2)四邊形CEDF是矩形，見解析【分析】(1)過點F作FH∥AB，交AC的延長線于點H，∴∠ABE=∠HFE，∠AEB=∠HEF，∵BE=EF，∴△ABE≌△HFE，∴AB=HF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，CD∥AB，∴HF=CD，CD∥FH，∴四邊形CDFH是平行四邊形，∴DF∥CH，∴DF∥AC．(2)根據(jù)（1），得DF∥AC，∴∠DGF=∠CGE，∠DFG=∠CEG，∵CG=GD，∴△DGF≌△CGE，∴EG=GF，∴四邊形CEDF是平行四邊形，∵BE=2EF，BF＝2AB，四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=EF，∴四邊形CEDF是矩形．16．如圖，平行四邊形中，對角線、相交于點，BE∥AC交的延長線于點，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析；(2)【分析】(1)證明：如圖，四邊形是平行四邊形，．又點在的延長線上，．又，四邊形是平行四邊形，．又，，平行四邊形是矩形；(2)解：在矩形中，，，是等邊三角形，，，又四邊形是平行四邊形，，，在中，，四邊形的面積．17．如圖1，點E是正方形ABCD的邊BC上的任意一點（不與B、C重合），EF⊥AE與正方形的外角∠DCG的角平分線交于點F．(1)求證：AE＝EF(2)將圖1放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖2，連DF、BF，BF與AE交于點H，若正方形ABCD的邊長為4，則四邊形ABFD的面積是否隨E點位置的變化而變化？若不變，請求出四邊形ABFD的面積．(3)在（2）的條件下，若S△BCF＝4，求四邊形AHFD的面積．【答案】(