/第14講實數模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．了解實數的概念，知道無理數是客觀存在的；2．知道實數與數軸上的點一一對應；3.會用計算器比較實數的大小，進行簡單的實數的運算。1.（1）如圖，試著就算，你能說出的值嗎？（2）你可以畫出長度為的線段嗎？要去想，所以構造以1cm、3cm為直角邊的是直角三角形即可；求一下后面兩個數。（3）可以畫出半徑為1cm的圓，求出它的周長和面積嗎？周長為2Πcm；面積為Πcm2。因此，想上面含有根號、含有Π的數都是無理數。有理數和無理數統稱為實數。無理數也可以在數軸上面表示出來。如圖A表示的數為每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數。實數與數軸上的點一一對應。2.（1）實數a的相反數是-a；（2）一個正實數的絕對值是是本身，一個負實數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0；（3）乘積為1的兩個實數互為倒數。3.有理數的絕對值、相反數、倒數的意義，有理數大小比較的方法，有理數的運算性質、運算律，在實數范圍內都仍然適用。在實數范圍內，不僅可以進行加、減、乘、除、乘方運算，而且可以進行開立方運算以及非負實數的開立方運算。4.實數的大小比較：任意兩個實數都可以比較大小，正實數大于0，負實數小于0，正實數大于一切負實數，兩個負實數中絕對值大的反而小。5.比較大?。?）（2）平方法：倒數法：考點一：實數的概念例1．實數的倒數是（

）A． B． C． D．2【變式1-1】下列命題中是真命題的是（

）A．實數包括正實數和負實數 B．數軸上的點與有理數一一對應C．兩邊及其中一邊對角對應相等的兩個三角形全等 D．若兩個三角形全等，則對應邊所對的角是對【變式1-2】判斷正誤，在后面的括號里對的填寫“正確”，錯的填寫“錯誤”，并說明理由．(1)無理數都是開方開不盡的數．()(2)無理數都是無限小數．()(3)無限小數都是無理數．()(4)無理數包括正無理數、零、負無理數．()(5)不帶根號的數都是有理數．()(6)帶根號的數都是無理數．()(7)有理數都是有限小數．()(8)實數包括有限小數和無限小數．()【變式1-3】把下列實數表示在如圖所示的數軸上，并比較它們的大?。ㄓ谩?lt;”連接），，0，，，．考點二：實數的分類例2．下列說法正確的是（

）A．無理數是無限小數，無限小數是無理數 B．是無理數C．實數包括正實數和負實數 D．帶根號的數都是無理數【變式2-1】如圖，正方形M的邊長為m，正方形N的邊長為n，若兩個正方形的面積分別為9和5，則下列關于m和n的說法，正確的是（

）A．m為有理數，n為無理數 B．m為無理數，n為有理數C．m，n都為有理數 D．m，n都為無理數【變式2-2】在下列數中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每兩個1之間依次多一個0），⑧．非負整數有；無理數有．（填寫序號）【變式2-3】已知的立方根是，的算術平方根是1．(1)求a，b的值．(2)若，且是整數，求的平方根．考點三：實數的大小比較例3.比大，比小的整數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-1】如圖，實數在數軸上對應的點到原點的距離為5．下列各數中，與最接近的是（

）A． B． C． D．【變式3-2】比較大小：9（填“”，“”或“”）．【變式3-3】計算：(1)(2)考點四：無理數的估算例4．已知，則估計a的值應在（

）A．之間 B．之間 C．之間 D．之間【變式4-1】點在數軸上的位置如圖所示，這四個點中有一個點表示實數，這個點是（

）A．M B．N C．P D．Q【變式4-2】已知，則整數n的值是．【變式4-3】運行程序如圖所示，從“輸入實數x”到“結果是否”為一次程序操作．

(1)若輸入后程序操作僅進行了一次就輸出結果，求a的取值范圍；(2)當時，輸入x后程序操作進行了兩次輸出結果，求x的取值范圍；考點五：實數的混合運算例5．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【變式5-1】下列運算一定正確的是（

）A． B．C． D．【變式5-2】計算：．【變式5-3】計算：(1)(2)考點六：程序下的運算例6.有一個數值轉換器，原理如圖所示，當輸入的的值為時，輸出的值是（

）

A． B． C． D．【變式6-1】按如圖所示的程序計算，若開始輸入的n值為，則最后輸出的結果是（

）A．24 B． C．25 D．【變式6-2】按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值為25，則最后輸出的y值是．【變式6-3】如圖1，有一個底面積為，高為的圓柱魔方，現打算把它放進一個如圖2的底面正方形邊長為，高為的長方體的盒子里．(1)這個魔方底面圓的直徑是多少？(2)它能放進去嗎？為什么？1．下列各數中，最小的數是（

）A． B． C．2 D．2．公元前年，古希臘畢達哥拉斯學派的希伯索斯發現了邊長為的正方形的對角線長不能用有理數表示，為了紀念他，人們把這些數取名為無理數．下列各數中，屬于無理數的是（

）A． B． C． D．3．如圖，在數軸上與表示的點距離最近的點是（

）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點4．我們定義：若一個三角形的兩個內角與，滿足，則這樣的三角形稱為“奇妙互余三角形”．已知是“奇妙互余三角形”，，則的度數為（

）A． B． C． D．5．已知三角形的兩邊長分別為，第三邊長為，若為整數，則的值不可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．用※定義一種新運算：對于任意實數和，規定，如：．則的結果是（

）A．9 B．11 C．13 D．157．如果，表示的整數部分，則（）A． B． C． D．8．觀察下列等式：，，，…將以上等式相加得到．用上述方法計算：其結果為（）A． B． C． D．9．在實數，，，中，最小的無理數是．10．、為兩個連續的整數，，則．11．寫出比大且比小的整數是．12．用“@”表示一種新運算；對于任意正實數a，b，都有，如，則的結果是．13．已知，則的整數部分為．14．已知是的整數部分，，其中是整數，且，那么以為兩邊的直角三角形的第三邊的長度是．15．把下列各數填入相應的大括號內：有理數集合：；無理數集合：；正實數集合：；負實數集合：．16．把下列各數填在相應的大括號里：，，0，，2013，，，0.010010001（相鄰兩個1之間0的個數逐次加1），，整數集合{

}；非負數集合{

}；分數集合{

}；無理數集合{

}．17．【閱讀理解】的整數部分是2，則的小數部分可以表示為．【問題解決】(1)若，且是整數，求的值；(2)已知的小數部分是，的小數部分是，且，求的值．18．我們知道，任意一個有理數與無理數的和為無理數，任意一個不為零的有理數與一個無理數的積為無理數，而零與無理數的積為零，由此可得：如果，其中m，n為有理數，x為無理數，那么，，運用上述知識解決下列問題：(1)若m，n為有理數，且，求m，n的值；(2)若m，n為有理數，且，求的立方根；(3)若m，n為有理數，且，則______．

第14講實數模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．了解實數的概念，知道無理數是客觀存在的；2．知道實數與數軸上的點一一對應；3.會用計算器比較實數的大小，進行簡單的實數的運算。1.（1）如圖，試著就算，你能說出的值嗎？（2）你可以畫出長度為的線段嗎？要去想，所以構造以1cm、3cm為直角邊的是直角三角形即可；求一下后面兩個數。（3）可以畫出半徑為1cm的圓，求出它的周長和面積嗎？周長為2Πcm；面積為Πcm2。因此，想上面含有根號、含有Π的數都是無理數。有理數和無理數統稱為實數。無理數也可以在數軸上面表示出來。如圖A表示的數為每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數。實數與數軸上的點一一對應。2.（1）實數a的相反數是-a；（2）一個正實數的絕對值是是本身，一個負實數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0；（3）乘積為1的兩個實數互為倒數。3.有理數的絕對值、相反數、倒數的意義，有理數大小比較的方法，有理數的運算性質、運算律，在實數范圍內都仍然適用。在實數范圍內，不僅可以進行加、減、乘、除、乘方運算，而且可以進行開立方運算以及非負實數的開立方運算。4.實數的大小比較：任意兩個實數都可以比較大小，正實數大于0，負實數小于0，正實數大于一切負實數，兩個負實數中絕對值大的反而小。5.比較大?。?）（2）平方法：倒數法：考點一：實數的概念例1．實數的倒數是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】本題主要考查實數與倒數的定義，熟練掌握倒數的定義是解題的關鍵．根據倒數的定義可直接進行求解．【詳解】解：∵∴實數的倒數是，故選：C．【變式1-1】下列命題中是真命題的是（

）A．實數包括正實數和負實數 B．數軸上的點與有理數一一對應C．兩邊及其中一邊對角對應相等的兩個三角形全等 D．若兩個三角形全等，則對應邊所對的角是對應角【答案】D【分析】本題考查的知識點是判斷命題的真假、實數的定義、數軸上的點與實數的關系、全等三角形的性質與判定，解題關鍵是能夠根據實數的定義、數軸上的點與實數的關系、全等三角形的性質與判定判斷命題真假．根據實數的定義可得A選項錯誤，根據數軸上的點與實數的關系可得B選項錯誤，根據全等三角形的判定可得C選項錯誤，根據全等三角形的性質可得D選項正確．【詳解】A選項，實數包括正實數、零和負實數，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意，A選項錯誤；B選項，數軸上的點與實數一一對應，實數包括有理數和無理數，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意，B選項錯誤；C選項，兩邊及其中一邊對角對應相等的兩個三角形不一定全等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意，C選項錯誤；D選項，若兩個三角形全等，則對應邊所對的角是對應角，故原命題正確，是真命題，符合題意，D選項正確．故選：D．【變式1-2】判斷正誤，在后面的括號里對的填寫“正確”，錯的填寫“錯誤”，并說明理由．(1)無理數都是開方開不盡的數．()(2)無理數都是無限小數．()(3)無限小數都是無理數．()(4)無理數包括正無理數、零、負無理數．()(5)不帶根號的數都是有理數．()(6)帶根號的數都是無理數．()(7)有理數都是有限小數．()(8)實數包括有限小數和無限小數．()【答案】錯誤正確錯誤錯誤錯誤錯誤錯誤正確【分析】根據有理數，無理數，實數的概念逐項判斷即可【詳解】(1)(錯誤)無理數不只是開方開不盡的數，還有，1．020020002…這類的數也是無理數；故答案為：錯誤．(2)(正確)無理數是無限不循環小數，是屬于無限小數范圍內的數；故答案為：正確．(3)(錯誤)無限小數包括無限循環小數和無限不循環小數兩類數，其中無限不循環小數才是無理數；故答案為：錯誤．(4)(錯誤)0是有理數；故答案為：錯誤．(5)(錯誤)如，雖然不帶根號，但它是無限不循環小數，所以是無理數；故答案為：錯誤．(6)(錯誤)如，雖然帶根號，但＝9，這是有理數；故答案為：錯誤．(7)(錯誤)有理數還包括無限循環小數；故答案為：錯誤．(8)(正確)有理數可以用有限小數和無限循環小數表示，無理數是無限不循環小數，所以

實數可以用有限小數和無限小數表示；故答案為：正確．【點睛】本題考查了有理數，無理數，實數的概念，理解概念是解題的關鍵．【變式1-3】把下列實數表示在如圖所示的數軸上，并比較它們的大?。ㄓ谩?lt;”連接），，0，，，．【答案】數軸表示見解析，【分析】本題主要考查了實數與數軸，立方根，實數大小的比較，解題的關鍵是熟練掌握數軸上點的特點．首先求出，，然后根據數軸的特點，將各個點表示在數軸上，利用數軸比較大小即可．【詳解】解：，，用“”連接為：．考點二：實數的分類例2．下列說法正確的是（

）A．無理數是無限小數，無限小數是無理數 B．是無理數C．實數包括正實數和負實數 D．帶根號的數都是無理數【答案】B【分析】本題主要考查了實數的分類以及無理數的定義，根據實數的分類以及無理數的定義一一判斷即可．【詳解】解：A．無限不循環小數都是無理數，原說法錯誤，故該選項不符合題意；B．是無理數，正確，故該選項符合題意；C．實數分為正實數．負實數和零，原說法錯誤，故該選項不符合題意；D．帶根號的數不一定都是無理數，例如，，2是有理數，原說法錯誤，故該選項不符合題意；故選：B．【變式2-1】如圖，正方形M的邊長為m，正方形N的邊長為n，若兩個正方形的面積分別為9和5，則下列關于m和n的說法，正確的是（

）A．m為有理數，n為無理數 B．m為無理數，n為有理數C．m，n都為有理數 D．m，n都為無理數【答案】A【分析】本題考查算術平方根、實數的分類，先根據正方形面積公式求得邊長m、n，再根據實數的分類判斷即可．【詳解】解：由題意，，，∴，，∴m為有理數，n為無理數，故選：A．【變式2-2】在下列數中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每兩個1之間依次多一個0），⑧．非負整數有；無理數有．（填寫序號）【答案】⑥⑧①⑤⑦【分析】根據實數的分類及定義即可求得答案．本題考查實數的分類及定義，無理數是指無限不循環小數，大于等于0的整數為非負整數；必須熟練掌握．【詳解】解：，非負整數有⑥⑧；無理數有①⑤⑦；故答案為：⑥⑧；①⑤⑦．【變式2-3】已知的立方根是，的算術平方根是1．(1)求a，b的值．(2)若，且是整數，求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了立方根、算術平方根的定義以及無理數的估算，熟練掌握基本知識是解題的關鍵．（1）根據立方根和算術平方根的定義即可求出a，b的值；（2）根據無理數的估算求出c的值，再代入求值即可．【詳解】（1）解：由題意得，解得：；（2），，由（1）得，，.的平方根是，的平方根是．考點三：實數的大小比較例3.比大，比小的整數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查的是估算無理數的大小，分別估算出和的取值范圍即可．【詳解】解：，，比大，比小的整數是2．故選：B．【變式3-1】如圖，實數在數軸上對應的點到原點的距離為5．下列各數中，與最接近的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，得到，，繼而得到，解答即可．本題考查了絕對值，實數大小比較，熟練掌握兩點間距離越小，兩個數越靠近是解題的關鍵．【詳解】根據題意，得到，因為所以所以在之間，所以所以數軸上表示數m與的距離小于表示數m與的距離，即數m與?

最接近，故選A．【變式3-2】比較大小：9（填“”，“”或“”）．【答案】【分析】本題主要考查實數的大小比較，先求出兩個實數的平方是關鍵．先求兩個數的平方，進而即可比較大?。驹斀狻拷猓骸?，，，∴，故答案為：．【變式3-3】計算：(1)(2)【答案】(1)8(2)6【分析】本題考查了實數的混合運算，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）先計算算術平方根、立方根和絕對值，再計算加減即可；（2）先算乘方、絕對值、算術平方根和去括號，再計算加減即可．【詳解】（1）原式；（2）原式．考點四：無理數的估算例4．已知，則估計a的值應在（

）A．之間 B．之間 C．之間 D．之間【答案】C【分析】此題考查了估算無理數的大小，熟練掌握估算的方法是解本題的關鍵．先估算出的范圍，再估算出的范圍即可求解．【詳解】解：，即，，a的值應在之間，故選：C．【變式4-1】點在數軸上的位置如圖所示，這四個點中有一個點表示實數，這個點是（

）A．M B．N C．P D．Q【答案】C【分析】本題主要考查實數與數軸的一一對應，無理數的估算，掌握無理數的估算方法是解題的關鍵．根據無理數的估算，先確定的范圍，再根據數軸與實數的一一對應關系即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，由數軸可知，只有點的取值范圍在1和2之間，故選：C．【變式4-2】已知，則整數n的值是．【答案】7【分析】本題考查了無理數的估算，估算出的大小即可求解．【詳解】解：，，即，故；故答案為：7．【變式4-3】運行程序如圖所示，從“輸入實數x”到“結果是否”為一次程序操作．

(1)若輸入后程序操作僅進行了一次就輸出結果，求a的取值范圍；(2)當時，輸入x后程序操作進行了兩次輸出結果，求x的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據進行了一次運算，列出不等式，解之即可；（2）根據運行了兩次，可得第一次沒有停止，第二次停止，分別列出不等式，解之即可．【詳解】（1）解：由題意可列不等式為，解得：；（2）當時，第一次沒有停止，則可列式為：，解得：，則第二次輸入的值為，第二次停止了，輸出結果，則可列式為，解得：，故的取值范圍為．【點睛】本題考查一元一次不等式（組）的應用，通過給出的操作過程來列一元一次不等式并求出對應的解．考點五：實數的混合運算例5．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了實數的運算，算術平方根以及立方根；根據實數的性質以及實數的加減，算術平方根，立方根進行計算即可求解．【詳解】解：A.，故該選項不正確，不符合題意；

B.，故該選項正確，符合題意；C.，故該選項不正確，不符合題意；

D.，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．【變式5-1】下列運算一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了實數的運算，算術平方根，立方根，根據實數的運算法則，進行計算即可求解．【詳解】解：A.，故該選項不正確，不符合題意；

B.，故該選項不正確，不符合題意；C.，故該選項不正確，不符合題意；

D.，故該選項正確，符合題意；故選：D．【變式5-2】計算：．【答案】1【分析】此題主要考查實數的混合運算，計算負整數指數冪，零次冪，以及平方運算，最后再算加減法即可．【詳解】解：故答案為：1．【變式5-3】計算：(1)(2)【答案】(1)4(2)【分析】本題考查了實數的運算，整式的加法，乘法運算，完全平方公式，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）利用負整數指數冪，有理數的乘方，零指數冪分別計算，再進行加減運算；（2）利用完全平方公式展開，單項式乘以多項式計算，最后再合并同類項．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．考點六：程序下的運算例6.有一個數值轉換器，原理如圖所示，當輸入的的值為時，輸出的值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了與流程圖有關的實數運算、求一個數的算術平方根、無理數的概念．先將輸入，求出算術平方根，若結果是無理數則輸出，若結果是有理數，則將有理數輸入，直到求出的算術平方根是無理數為止．【詳解】解：輸入的的值為時，；∵是有理數，∴將輸入，輸出的是無理數，故輸出．故選：B．【變式6-1】按如圖所示的程序計算，若開始輸入的n值為，則最后輸出的結果是（

）A．24 B． C．25 D．【答案】B【分析】本題以程序計算考查實數的運算，將代入計算，再判斷即可．【詳解】解：將代入計算，第一次：，進行第二次計算，第二次：，∴輸出結果，故選：B．【變式6-2】按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值為25，則最后輸出的y值是．【答案】【分析】本題考查實數的分類及運算．根據已知判斷每一步輸出結果即可得到答案．【詳解】解：由所示的程序可得：25的算術平方根是5，5是有理數，再取5的平方根，是無理數，輸出為y，∴開始輸入的x值為25，則最后輸出的y值是．故答案為：．【變式6-3】如圖1，有一個底面積為，高為的圓柱魔方，現打算把它放進一個如圖2的底面正方形邊長為，高為的長方體的盒子里．(1)這個魔方底面圓的直徑是多少？(2)它能放進去嗎？為什么？【答案】(1)這個魔方底面圓的直徑為(2)能放進去，理由見解析【分析】本題考查了圓的計算和圓柱體的計算，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）根據圓的面積公式求解即可；（2）分別比較圓的直徑和長方體底面邊長，圓柱的高和長方體的高，即可判斷，【詳解】（1）設這個魔方底面圓的半徑為，根據半徑與面積的關系得，，，∴直徑為，答：這個魔方底面圓的直徑為；（2）能放進去．理由如下：∵∴，∴，又∵，即魔方底面圓的直徑小于長方體盒子底面的邊長，且高小于長方體的高，所以能放進去．1．下列各數中，最小的數是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】本題考查了實數的大小比較，正數大于0，負數小于0，正數大于一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小．根據實數的大小比較方法解答即可.【詳解】解：∵，∴，∴最小的數為．故選：A．2．公元前年，古希臘畢達哥拉斯學派的希伯索斯發現了邊長為的正方形的對角線長不能用有理數表示，為了紀念他，人們把這些數取名為無理數．下列各數中，屬于無理數的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據無理數的定義，判斷每個選項是否符合無限不循環小數的特征即可解答．本題考查了無理數的定義，理解無理數的定義是解題的關鍵．【詳解】解：∵是有限小數，∴是有理數，∴項不符合題意；∵是無限不循環小數，∴是無理數，∴項符合題意；∵是分數，屬于有理數，不是無理數，∴項不符合題意；∵，屬于有理數，不是無理數，∴是有理數，∴項不符合題意；故選．3．如圖，在數軸上與表示的點距離最近的點是（

）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】C【分析】此題考查了無理數大小的估計，實數與數軸，解題的關鍵正確估算出無理數的大?。浪愠鰺o理數的大小，然后結合數軸即可求解．【詳解】解：，，點與表示的點距離最近，符合題意．故選：C．4．我們定義：若一個三角形的兩個內角與，滿足，則這樣的三角形稱為“奇妙互余三角形”．已知是“奇妙互余三角形”，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了新定義和三角形內角和定理理解新定義是解題的關鍵．通過和三角形內角和定理求出的度數．【詳解】解∶是“奇妙互余三角形”，，，故選∶B．5．已知三角形的兩邊長分別為，第三邊長為，若為整數，則的值不可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查無理數的估算，三角形三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．根據三角形三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，再估算出第三邊的范圍，結合整數直接求解即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，設第三邊為x，即，∵，即∴，∵第三條邊長為整數，∴x可能為：2，3，4，則第三邊長不可能為1，故選：A6．用※定義一種新運算：對于任意實數和，規定，如：．則的結果是（

）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，理解新定義的運算法則是解題的關鍵．根據定義的新運算發展進行計算即可．【詳解】解：由題意得：．故選：B．7．如果，表示的整數部分，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，則，，即，由，可得，則答案可得．【詳解】解：設，則，∴，∴，即，∵，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了立方和公式，關鍵是進行合理的變形，難度較大．8．觀察下列等式：，，，…將以上等式相加得到．用上述方法計算：其結果為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由上述規律可知，，，，同理，然后將各式相加后即可求解．【詳解】由題意可知：=．故選：A．【點睛】本題考查的是實數的計算規律，此題為積化和差題型，有一定的難度，弄明白了計算規律就容易求解．能夠理解題意，看懂運算規律，并能運用規律求解是前提，解決此類題型的關鍵是會裂項相消．9．在實數，，，中，最小的無理數是．【答案】【分析】根據無理數的定義及實數大小比較的法則即可解答．本題考查了無理數的定義，實數大小比較的法則，理解無理數的定義是解題的關鍵．【詳解】解：∵是有理數，，，∴，∵與是有理數，與是無理數，∴最小的無理數是，故答案為．10．、為兩個連續的整數，，則．【答案】7【分析】本題考查了無理數的估算，結合，、為兩個連續的整數，可得，，問題即可作答．【詳解】，，，∵、為兩個連續的整數，，，，故答案為：．11．寫出比大且比小的整數是．【答案】2【分析】此題主要考查了估算無理數大小，直接利用，接近的整數是2，進而得出答案，正確得出無理數接近的有理數是解題關鍵．【詳解】解：設這個數為，，為整數，且，．故答案為：2．12．用“@”表示一種新運算；對于任意正實數a，b，都有，如，則的結果是．【答案】3【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值．此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【詳解】解：根據題中的新定義得：．故答案為：3．13．已知，則的整數部分為．【答案】2【分析】本題主要考查非負數的性質和無理數的估算，先根據非負數的性質得出的值，再求出的整數部分即可．【詳解】解：∵，且，∵解得，∴，∵∴∴的整數部分為2，故答案為：2．14．已知是的整數部分，，其中是整數，且，那么以為兩邊的直角三角形的第三邊的長度是．【答案】或【分析】本題考查無理數的整數部分、勾股定理等知識，由題中條件，分別得到、，分類討論，利用勾股定理求出以為兩邊的直角三角形的第三邊的長度即可，熟記無理數估算及勾股定理是解決問題的關鍵．【詳解】解：是的整數部分，，，，，，即，其中是整數，，，，當為直角三角形的兩直角邊時，第三邊長為；當為直角三角形的直角邊、為直角三角形的斜邊時，第三邊長為；綜上所述，以為兩邊的直角三角形的第三邊的長度是或，故答案為：或．15．把下列各數填入相應的大括號內：有理數集合：；無理數集合：；正實數集合：；負實數集合：．【答案