/4.1平方根【推本溯源】1.如圖，網(wǎng)格邊長(zhǎng)為1，可以算出下面線段長(zhǎng)度嗎？2.在初一的時(shí)候我們有學(xué)過(guò)無(wú)理數(shù)，我們用數(shù)軸來(lái)表示出正方形的斜邊長(zhǎng)度。正方形的邊長(zhǎng)為1時(shí)，斜邊為多少？設(shè)斜邊為a，所以a2=2，那a等于多少呢？帶著疑問(wèn)，我們看下面題目：當(dāng)x2=4時(shí)，因?yàn)?2=4，（-2）2=4，所以x=±2；當(dāng)x2=100時(shí)，因?yàn)?02=100，（-10）2=100，所以x=±10；當(dāng)x2=169時(shí)，因?yàn)?32=169，（-13）2=169，所以x=±13；因此，x2=a（a＞0）成立的數(shù)，它們互為。如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的，也稱為。一個(gè)正數(shù)a的正的平方根，記作“EQ\R(,a)”，；正數(shù)a的負(fù)的平方根記作“－EQ\R(,a)”．這兩個(gè)平方根合起來(lái)記作“±EQ\R(,a)”，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。所以當(dāng)a2=2時(shí)，a＝，∵a為邊長(zhǎng)，為正數(shù)∴a=。3.填寫括號(hào)里面的正確數(shù)字（）2＝9，（）2＝16，（）2＝EQ\F(9,25)；（）2＝0，（）2＝－EQ\F(4,9)，（）2＝－4．有什么發(fā)現(xiàn)？求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做。4.我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)正數(shù)的平方根有個(gè)，它們互為，我們把正的平方根叫做這個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根。比如：叫做100的算術(shù)平方根，叫做169的算術(shù)平方根。填寫下面橫線上面的內(nèi)容。（1）叫做a的平方根，也稱為（2）.一般地，正數(shù)a的正的平方根記作，負(fù)的平方根記作，正數(shù)a的平方根記作讀作。（3）一個(gè)正數(shù)有個(gè)平方根，它們；0的平方根；數(shù)沒(méi)有平方根。（4）求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做；開(kāi)平方運(yùn)算與平方運(yùn)算是互逆的運(yùn)算.（5）的算術(shù)平方根為5.填空（1）=（2）（3）（4）（5）（6）因此，可以得到(a≧0)=(a≦0)同時(shí)具有性，即：（1）a≥0（2）≥0【解惑】例1：這7個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例2：若，則的值等于(

)A．2 B．0 C．1 D．例3：實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根是（）A． B． C． D．例4：已知和是一個(gè)數(shù)的平方根，則這個(gè)數(shù)是_____．例5：利用平方根求下列x的值：(1)(2)【摩拳擦掌】1．（2023春·廣東肇慶·七年級(jí)肇慶市第一中學(xué)校考期中）若，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．22．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在《九章算術(shù)》一書中，對(duì)開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)起了一個(gè)名字，叫做“面”．這是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)對(duì)無(wú)理數(shù)的最早記載．下面符合“面”的描述的數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2023春·福建莆田·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小明將一張長(zhǎng)方形紙片沿著虛線折疊，得到兩個(gè)面積分別為25和9的小正方形，則陰影部分的面積為（

）

A．6 B．8 C．10 D．124．（2023春·廣東梅州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若，則_______．5．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）已知的平方根是，則__，已知，則__．6．（2023春·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期中）根據(jù)下表回答：的算術(shù)平方根是___________．x162567．（2023春·廣東東莞·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：__________．8．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，由一個(gè)大正方形和一個(gè)小正方形再加上一個(gè)小長(zhǎng)方形（陰影部分）拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形．已知大正方形的面積為9，小正方形的面積為4，求圖中小長(zhǎng)方形（陰影部分）的面積．

9.（2023春·廣東東莞·七年級(jí)校考期中）若．(1)求x，y的值；(2)求的平方根．10．（2023·河北·統(tǒng)考二模）在數(shù)學(xué)夏令營(yíng)活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一款游戲：四名同學(xué)分別代表一種運(yùn)算，這四名同學(xué)可任意排列；每次排列代表一種運(yùn)算順序，一名同學(xué)負(fù)責(zé)說(shuō)數(shù)，其他同學(xué)進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果既對(duì)又快者獲勝．下面我們用四張卡片分別代表四名同學(xué)（如下），每張卡片上寫有他們代表的運(yùn)算．

比如，說(shuō)的數(shù)是1，這四名同學(xué)從左到右的排列順序（后面簡(jiǎn)稱為排列順序）為A、B、C、D，那么經(jīng)過(guò)A、B、C、D的順序運(yùn)算后，結(jié)果分別為2，3，9，11，所以結(jié)果為11．【體驗(yàn)】先列式，再計(jì)算：(1)如果說(shuō)的數(shù)是，四名同學(xué)的排列順序?yàn)锽，C，A，D，運(yùn)算的結(jié)果是多少？(2)如果說(shuō)的數(shù)是，四名同學(xué)的排列順序?yàn)镈，C，A，B，運(yùn)算結(jié)果是9，是多少？(3)如果甲乙兩同學(xué)說(shuō)的數(shù)分別為，，按照的順序運(yùn)算后，要使乙同學(xué)的結(jié)果大，求的取值范圍．【知不足】1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，第個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┫铝懈鲾?shù)中沒(méi)有平方根的數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，已知的度數(shù)之比是，，則為（）A． B． C． D．4．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）若a，b滿足等式，則___________．5．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若一個(gè)正數(shù)的平方根分別為和，則的值為_(kāi)_______.6．（2023秋·廣東梅州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若與互為相反數(shù)，則的值是_____．7．（2023春·廣東肇慶·七年級(jí)校考期中）已知，則的值是_________．8．（2022秋·山東威?！て吣昙?jí)校聯(lián)考期中）（1）計(jì)算：（2）已知，求的平方根9．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）(1)計(jì)算：；

(2)化簡(jiǎn)：．10．（2022春·廣東江門·七年級(jí)江門市第一中學(xué)?？计谥校┯^察下列等式.并回答下列問(wèn)題：①；②；③；④；……(1)請(qǐng)寫出第⑤個(gè)等式：_______；(2)寫出你猜想的第個(gè)等式：_________；（用含的式子表示）(3)計(jì)算．【一覽眾山小】1．（2023春·廣東湛江·七年級(jí)校考期中）若，則的值為(

)A． B． C．2 D．12．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，則其面積，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．若一個(gè)三角形的a、b、c、p為四個(gè)連續(xù)正整數(shù)，則此三角形的面積為_(kāi)_______．3．（2023春·湖北咸寧·七年級(jí)咸寧市溫泉中學(xué)?？计谥校┰诓莞寮埳嫌?jì)算：①；③；③；④，觀察你計(jì)算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出下面式子的值：______．4．（2023春·廣東肇慶·七年級(jí)?？计谥校┮阎?，則的算術(shù)平方根是_____．5．（2023春·廣東廣州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，求的值．6．（2023春·廣東珠海·七年級(jí)珠海市紫荊中學(xué)桃園校區(qū)?？计谥校├糜?jì)算器計(jì)算出的下表中各數(shù)的算術(shù)平方根如下：…………(1)分析發(fā)現(xiàn)：被開(kāi)方數(shù)擴(kuò)大倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大倍；(2)若一塊長(zhǎng)方形紙片的面積是400cm2，長(zhǎng)與寬之比為2：1，求這塊長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)與寬（精確到，，．7．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校?？计谥校┮阎?，，且，求的值．8．（2023春·廣東東莞·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知的平方根是，的算術(shù)平方根是4，(1)求，的值．(2)求的平方根．9．（2023春·廣東東莞·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）求x的值10．（2022春·廣東肇慶·八年級(jí)期中）已知a、b、c滿足．(1)求a、b、c的值；(2)以a、b、c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，此三角形是什么形狀？并求出三角形的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x的平方根分別為a和(1)若，則的值為_(kāi)________，x的值為_(kāi)_________；(2)當(dāng)時(shí)，求a；(3)若，求x的值．12．（2023春·廣東東莞·七年級(jí)校考期中）先觀察下列各式：；；；；(1)計(jì)算：；(2)n為正整數(shù)，觀察并歸納，請(qǐng)寫出：；(3)應(yīng)用上述結(jié)論，請(qǐng)計(jì)算：的值．13．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)探究用n個(gè)面積為的小正方形紙片剪拼成一個(gè)面積為的大正方形．下面是他們探究的部分結(jié)果：

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，拼成的大正方形的邊長(zhǎng)為如圖2，當(dāng)時(shí)，拼成的大正方形的邊長(zhǎng)為如圖3，當(dāng)時(shí)，拼成的大正方形的邊長(zhǎng)為(2)小李想沿著正方形紙片邊的方向能否裁出一塊面積為的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)寬之比為？他能裁出嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)小周想沿著正方形紙片邊的方向能否裁出一塊面積為的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)寬之比為，且要求長(zhǎng)方形的四周至少留出的邊框？若能，請(qǐng)給出一種合適的裁剪方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

4.1平方根【推本溯源】1.如圖，網(wǎng)格邊長(zhǎng)為1，可以算出下面線段長(zhǎng)度嗎？AB2=25DF2=412.在初一的時(shí)候我們有學(xué)過(guò)無(wú)理數(shù)，我們用數(shù)軸來(lái)表示出正方形的斜邊長(zhǎng)度。正方形的邊長(zhǎng)為1時(shí)，斜邊為多少？設(shè)斜邊為a，所以a2=2，那a等于多少呢？帶著疑問(wèn)，我們看下面題目：當(dāng)x2=4時(shí)，因?yàn)?2=4，（-2）2=4，所以x=±2；當(dāng)x2=100時(shí)，因?yàn)?02=100，（-10）2=100，所以x=±10；當(dāng)x2=169時(shí)，因?yàn)?32=169，（-13）2=169，所以x=±13；因此，x2=a（a＞0）成立的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的平方根，也稱為二次方根。一個(gè)正數(shù)a的正的平方根，記作“EQ\R(,a)”，；正數(shù)a的負(fù)的平方根記作“－EQ\R(,a)”．這兩個(gè)平方根合起來(lái)記作“±EQ\R(,a)”，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。所以當(dāng)a2=2時(shí)，a＝±，∵a為邊長(zhǎng)，為正數(shù)∴a=。3.填寫括號(hào)里面的正確數(shù)字（）2＝9，（）2＝16，（）2＝EQ\F(9,25)；（）2＝0，（）2＝－EQ\F(4,9)，（）2＝－4．有什么發(fā)現(xiàn)？正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)0只有一個(gè)平方根，它是0本身負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開(kāi)平方。4.我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)正數(shù)的平方根有2個(gè)，它們互為相反數(shù)，我們把正的平方根叫做這個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根。比如：10叫做100的算術(shù)平方根，13叫做169的算術(shù)平方根。填寫下面橫線上面的內(nèi)容。（1）叫做a的平方根，也稱為二次方根。（2）.一般地，正數(shù)a的正的平方根記作，負(fù)的平方根記作，正數(shù)a的平方根記作，讀作正、負(fù)根號(hào)a。（3）一個(gè)正數(shù)有2個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。（4）求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方；開(kāi)平方運(yùn)算與平方運(yùn)算是互逆的運(yùn)算.（5）的算術(shù)平方根為5.填空（1）=（2）（3）（4）（5）（6）因此，可以得到aa(a≧0)=-a(a≦0)同時(shí)具有雙重非負(fù)性，即：（1）a≥0（2）≥0【解惑】例1：這7個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】解：，，∴無(wú)理數(shù)有共2個(gè)，故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：，等；開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；以及像，等有這樣規(guī)律的數(shù)．例2：若，則的值等于(

)A．2 B．0 C．1 D．【答案】B【分析】首先根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性，求出與的值，然后代入代數(shù)式中．【詳解】解：∵∴，，解得，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根的非負(fù)性，以及有理數(shù)的乘方的計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握算術(shù)平方根的非負(fù)性．例3：實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】一般地，如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．記為，由此即可求解．【詳解】解：∵，∴的算術(shù)平方根是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根，關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的定義．例4：已知和是一個(gè)數(shù)的平方根，則這個(gè)數(shù)是_____．【答案】16或1【分析】由于一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，據(jù)此列出方程即可求解．【詳解】解：由題意可得：或，解得：或，把或，∴這個(gè)數(shù)是16或1，故答案為：16或1．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的逆運(yùn)算，掌握一個(gè)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵，知道，還要考慮到這一情況．例5：利用平方根求下列x的值：(1)(2)【答案】(1)(2)或【分析】（1）方程直接開(kāi)平方即可求出解；（2）方程變形后，把看作一個(gè)整體，利用平方根定義開(kāi)方即可求出解．【詳解】（1）解：，∴；（2），∴，∴，解得：或．【點(diǎn)睛】此題考查了立方根，平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2023春·廣東肇慶·七年級(jí)肇慶市第一中學(xué)校考期中）若，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)得出且，即可得出，進(jìn)而代入得出的值．【詳解】根據(jù)題意，得且，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．2．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在《九章算術(shù)》一書中，對(duì)開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)起了一個(gè)名字，叫做“面”．這是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)對(duì)無(wú)理數(shù)的最早記載．下面符合“面”的描述的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；B、不是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、不是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)，熟練掌握無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·福建莆田·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小明將一張長(zhǎng)方形紙片沿著虛線折疊，得到兩個(gè)面積分別為25和9的小正方形，則陰影部分的面積為（

）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】由算術(shù)平方根的定義求出小長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)可得出答案．【詳解】解：如圖，

由題意可知，，，，陰影部分的面積為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，算術(shù)平方根的運(yùn)算，求出小長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣東梅州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若，則_______．【答案】【分析】由平方根的含義可得答案.【詳解】解：∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用平方根的含義解方程，熟知平方根的含義是解本題的關(guān)鍵.5．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）已知的平方根是，則__，已知，則__．【答案】4【分析】因?yàn)?的平方根是，那么，即可得到x的值；因?yàn)?，所以，那么，即可得到x的值．【詳解】解：∵2的平方根是，那么，∴；

∵，∴，那么，∴，故答案為：①4，②．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是算數(shù)平方法和平方根等知識(shí)內(nèi)容，注意一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)是本題解題的關(guān)鍵．6．（2023春·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期中）根據(jù)下表回答：的算術(shù)平方根是___________．x16256【答案】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義：如果一個(gè)正數(shù)的平方等于a，這個(gè)正數(shù)就叫做a的平方根，即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的定義，熟知定義是解本題的關(guān)鍵．7．（2023春·廣東東莞·八年級(jí)校考期中）計(jì)算：__________．【答案】6【分析】利用算術(shù)平方根的定義計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的定義，熟記概念是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，由一個(gè)大正方形和一個(gè)小正方形再加上一個(gè)小長(zhǎng)方形（陰影部分）拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形．已知大正方形的面積為9，小正方形的面積為4，求圖中小長(zhǎng)方形（陰影部分）的面積．

【答案】2【分析】先求出正方形的邊長(zhǎng)，然后利用大長(zhǎng)方形的面積減去兩個(gè)正方形的面積．【詳解】解：由已知得圖中大、小正方形的邊長(zhǎng)分別為3和2，所以大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為3，所以大長(zhǎng)方形的面積為，所以圖中小長(zhǎng)方形（陰影部分）的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根，掌握算術(shù)平方根的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．9.（2023春·廣東東莞·七年級(jí)校考期中）若．(1)求x，y的值；(2)求的平方根．【答案】(1)(2)的平方根為：【分析】（1）直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出關(guān)于x，y的方程組，進(jìn)而得出答案；（2）利用平方根的定義求出答案．【詳解】（1）解：∵，∴，解得：；（2）解：由（1）得：，則的平方根為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，求一個(gè)數(shù)的平方根，根據(jù)非負(fù)數(shù)相加和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別為0，正確得出x，y的值是解題關(guān)鍵．10．（2023·河北·統(tǒng)考二模）在數(shù)學(xué)夏令營(yíng)活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一款游戲：四名同學(xué)分別代表一種運(yùn)算，這四名同學(xué)可任意排列；每次排列代表一種運(yùn)算順序，一名同學(xué)負(fù)責(zé)說(shuō)數(shù)，其他同學(xué)進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果既對(duì)又快者獲勝．下面我們用四張卡片分別代表四名同學(xué)（如下），每張卡片上寫有他們代表的運(yùn)算．

比如，說(shuō)的數(shù)是1，這四名同學(xué)從左到右的排列順序（后面簡(jiǎn)稱為排列順序）為A、B、C、D，那么經(jīng)過(guò)A、B、C、D的順序運(yùn)算后，結(jié)果分別為2，3，9，11，所以結(jié)果為11．【體驗(yàn)】先列式，再計(jì)算：(1)如果說(shuō)的數(shù)是，四名同學(xué)的排列順序?yàn)锽，C，A，D，運(yùn)算的結(jié)果是多少？(2)如果說(shuō)的數(shù)是，四名同學(xué)的排列順序?yàn)镈，C，A，B，運(yùn)算結(jié)果是9，是多少？(3)如果甲乙兩同學(xué)說(shuō)的數(shù)分別為，，按照的順序運(yùn)算后，要使乙同學(xué)的結(jié)果大，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)或；(3)【分析】（1）根據(jù)題意和圖形，可以計(jì)算出經(jīng)過(guò)B，C，A，D的順序運(yùn)算后的結(jié)果；（2）根據(jù)題意，可以列出關(guān)于a的方程，利用平方根解方程從而可以求得a的值；（3）根據(jù)題意，得到不等式，解即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，；（2）解：由題意得，，，解得：或；（3）解：按的順序運(yùn)算，甲同學(xué)的結(jié)果是，乙同學(xué)的結(jié)果是，由題意，得，即．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次方程，解一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法以及解一元一次不等式的步驟．【知不足】1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，第個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的規(guī)律可得，系數(shù)為，字母為，指數(shù)為1開(kāi)始的自然數(shù)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，第個(gè)單項(xiàng)式是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律題，找到單項(xiàng)式的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┫铝懈鲾?shù)中沒(méi)有平方根的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，找出計(jì)算結(jié)果為負(fù)數(shù)即可．【詳解】解：A、，故有平方根，不合題意；B、，故沒(méi)有平方根，符合題意；C、，故有平方根，不合題意；D、，故有平方根，不合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，已知的度數(shù)之比是，，則為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理求出，然后再利用含度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：的度數(shù)之比是，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了含度角的直角三角形，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理等，熟練掌握含度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）若a，b滿足等式，則___________．【答案】【分析】利用偶次方和算術(shù)平方根的非負(fù)性可得，，從而可得，，然后再利用積的乘方的逆運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和積的乘方，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，的值，準(zhǔn)確運(yùn)用積的乘方的逆運(yùn)算求解．5．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若一個(gè)正數(shù)的平方根分別為和，則的值為_(kāi)_______.【答案】【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)得出并求解即可．【詳解】解：∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是平方根的性質(zhì)，掌握一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)是解決此題的關(guān)鍵．6．（2023秋·廣東梅州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若與互為相反數(shù)，則的值是_____．【答案】9【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于a、b的方程組，解方程組即可求出a、b，再代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵與互為相反數(shù)，∴，∵，，∴，解得：，∴；故答案為：9【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和二元一次方程組的求解，熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、正確求得a、b的值是關(guān)鍵．7．（2023春·廣東肇慶·七年級(jí)?？计谥校┮阎瑒t的值是_________．【答案】16【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的非負(fù)性的應(yīng)用、算術(shù)平方根的非負(fù)性的應(yīng)用，熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為零，是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·山東威?！て吣昙?jí)校聯(lián)考期中）（1）計(jì)算：（2）已知，求的平方根【答案】（1）；（2）【分析】（1）先計(jì)算算術(shù)平方根、零次冪，再進(jìn)行加減運(yùn)算；（2）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x，y的值，再求的平方根．【詳解】解：（1）；（2），，，，，，，，即的平方根是．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根、平方根、零次冪、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握平方根、算術(shù)平方根的區(qū)別．9．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）(1)計(jì)算：；

(2)化簡(jiǎn)：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)化簡(jiǎn)絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）完全平方公式以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，完全平方公式以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則以及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·廣東江門·七年級(jí)江門市第一中學(xué)?？计谥校┯^察下列等式.并回答下列問(wèn)題：①；②；③；④；……(1)請(qǐng)寫出第⑤個(gè)等式：_______；(2)寫出你猜想的第個(gè)等式：_________；（用含的式子表示）(3)計(jì)算．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)已知等式的規(guī)律可以得到第⑤個(gè)等式，；（2）由前4個(gè)等式可以猜想第個(gè)等式為；（3）可以根據(jù)規(guī)律得到結(jié)果．【詳解】（1）解：根據(jù)前4個(gè)式子可得第⑤個(gè)等式為：，故答案為：；（2）解：由前4個(gè)等式可以猜想第n個(gè)等式為，故答案為：．（3）解：，【點(diǎn)睛】本題屬于探究規(guī)律類試題，主要考查絕對(duì)值的性質(zhì)、實(shí)數(shù)大小比較，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【一覽眾山小】1．（2023春·廣東湛江·七年級(jí)校考期中）若，則的值為(

)A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】由絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性列出關(guān)于x、y的方程，求出x、y的值，再代入式中計(jì)算即可．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．【詳解】解：∵∴∴∴故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握三種常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)形式是解題的關(guān)鍵．三種常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)形式：①絕對(duì)值，②平方，③算術(shù)平方根．2．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，則其面積，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．若一個(gè)三角形的a、b、c、p為四個(gè)連續(xù)正整數(shù)，則此三角形的面積為_(kāi)_______．【答案】6【分析】不妨設(shè)，根據(jù)已知條件和三角形三邊的關(guān)系證明，再由a、b、c、p為四個(gè)連續(xù)正整數(shù)得到，則，求出，則，由此代入公式求出面積即可．【詳解】解：不妨設(shè)，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵a、b、c、p為四個(gè)連續(xù)正整數(shù)，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，正確求出a、b、c、p的值是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·湖北咸寧·七年級(jí)咸寧市溫泉中學(xué)校考期中）在草稿紙上計(jì)算：①；③；③；④，觀察你計(jì)算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出下面式子的值：______．【答案】5050【分析】先分別求出①②③④的結(jié)果，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律并用規(guī)律進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，，，，………∴．故答案為：5050．【點(diǎn)睛】本題屬于與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題，主要考查了學(xué)生的計(jì)算、分析、總結(jié)歸納的能力，解題關(guān)鍵是從題中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)找到規(guī)律，并利用規(guī)律解題．4．（2023春·廣東肇慶·七年級(jí)?？计谥校┮阎?，則的算術(shù)平方根是_____．【答案】4【分析】由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a和b的值，代入再求算術(shù)平方根即可．【詳解】解：∵，∴，解得：，則，∴的算術(shù)平方根是4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和算術(shù)平方根，正確求出a和b的值是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023春·廣東廣州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，求的值．【答案】或【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)和平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由等式的性質(zhì)可得，，由平方根的定義可得，，即或，【點(diǎn)睛】本題考查平方根以及等式的性質(zhì)，掌握平方根的定義以及等式的性質(zhì)正確解答的前提．6．（2023春·廣東珠?！て吣昙?jí)珠海市紫荊中學(xué)桃園校區(qū)校考期中）利用計(jì)算器計(jì)算出的下表中各數(shù)的算術(shù)平方根如下：…………(1)分析發(fā)現(xiàn)：被開(kāi)方數(shù)擴(kuò)大倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大倍；(2)若一塊長(zhǎng)方形紙片的面積是400cm2，長(zhǎng)與寬之比為2：1，求這塊長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)與寬（精確到，，．【答案】(1)(2)這塊長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，寬為【分析】（1）根據(jù)根號(hào)內(nèi)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律即可求解，算術(shù)平方根的規(guī)律為，根號(hào)內(nèi)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)2位，對(duì)應(yīng)的結(jié)果小數(shù)移動(dòng)1位，小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)方向保持一致；（2）設(shè)這塊長(zhǎng)方形的紙片的寬為，則長(zhǎng)為，根據(jù)題意列出方程，進(jìn)而根據(jù)（1）的結(jié)論，即可求解．【詳解】（1）被開(kāi)方數(shù)擴(kuò)大倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大倍；故答案為：．（2）設(shè)這塊長(zhǎng)方形的紙片的寬為，則長(zhǎng)為，∴，即，∴，∵，∴，，答：這塊長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，寬為．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，掌握小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校校考期中）已知，，且，求的值．【答案】4或8【分析】根據(jù)題意求出符合條件的未知數(shù)的值，然后代入代數(shù)式求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；∴代數(shù)式的值為4或8．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值的意義、平方根及代數(shù)式的值，熟練掌握絕對(duì)值的意義、平方根及代數(shù)式的值是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·廣東東莞·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知的平方根是，的算術(shù)平方根是4，(1)求，的值．(2)求的平方根．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)平方根和算術(shù)平方根得出，，解之即可；（2）將、的值代入求得其結(jié)果，再由平方根的定義求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意知：，，解得，；（2）∵，，∴，則的平方根為．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方根、算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是掌握平方根和算術(shù)平方根的定義和求法．9．（2023春·廣東東莞·七年級(jí)校考階段練習(xí)）求x的值【答案】．【分析】先移項(xiàng)，然后根據(jù)平方根的定義解方程即可求解．【詳解】解：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)平方根的定義解方程，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·廣東肇慶·八年級(jí)期中）已知a、b、c滿足．(1)求a、b、c的值；(2)以a、b、c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，此三角形是什么形狀？并求出三角形的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，，(2)能構(gòu)成三角形，此三角形是直角三角形，三角形的面積為【分析】（1）直接根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，，的值即可；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出三角形的形狀，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：、、滿足，，，，，，；（2）能，理由如下：，，，，，，，、、為邊能構(gòu)成三角形，此三角形是直角三角形，三角形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系及勾股定理的逆定理，能根據(jù)題意判斷出三角形是直角三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）