/第8講 運算方法課--一元二次方程綜合提升模塊一、一元二次方程概念及解法1、一元二次方程的概念只含有個未知數，并且未知數的最高次數是，這樣的方程叫一元二次方程。一元二次方程的一般形式是（a、b、c是已知數且a≠0），其中ax2叫做，bx叫做，a叫做系數，b叫做系數，c叫做。2、一元二次方程的常用解法(1)形如或的一元二次方程，可用方法.(2)配方法：用配方法解一元二次方程的一般步驟：①化二次項系數為1；②移項,使方程左邊為二次項和一次項,右邊為常數項；③方程兩邊都加上一次項系數一半的平方；④把原方程變為的形式；⑤如果方程右邊是非負數，就可以直接用開平方法求出方程的解.(3)公式法：求根公式為（）(4)因式分解法：因式分解法的步驟：①將方程右邊化為0；②將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解。01.一元二次方程概念及解法01.一元二次方程概念及解法例題精講 例題精講例1.已知方程(k21)x2(k1)x50，（1）當k為何值時，是一元二次方程？（2）當k為何值時，是一元一次方程？

例2．用直接開方法解下列方程：（1）x290 （2）(2x1)20 例3.用配方法解下列方程(1)(2)(3)x2-2x=-1例用公式法解下列方程 （1）（2）（3） 例用因式分解法解下列方程。（3）（4）

舉一反三 舉一反三1.（1）當m 時，關于x的方程(m2)x25是一元一次方程，當m 時，關于x的方程(m2)x25是一元二次方程（2）關于x的方程(k3)kx10是一元二次方程，求k的值.把一元二次方程(13x)(x2x21化成一般形式是 ；3.用直接開平方法求解：(1)(2x-1)2=5（2）（3）4.用配方法解下列關于x的方程x2-8x+1=0（2）x2-2x-=0（3）2x2+1=3x（4）y2-2y-3=0（5）x2+3=2x5.用公式法解下列關于x的方程：（1）（2)（3）6.用因式分解法解下列關于x的方程：（3）（5）模塊二、一元二次方程根與系數之間關系1、一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情況是由b2決定的，我們把b2叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判別式，通常用“”來表示。（1）當b20，方程有兩個不相等的實數根。（2）當b20時，方程有兩個相等的實數根。（3）當b20，方程沒有實數根。2、上述結論反過來也成立：（1）若方程有兩個不相等的實數根，則b20（2）若方程有兩個相等的實數根，則b20（3）若方程沒有實數根，則b20 注意：若一元二次方程方程有實數根，則b24ac≥0；反過來也成立。123、若b24ac≥0，x,x是方程ax2bxc0(a0)的兩個根，則 ，x212則x2 ，x1·x2 歸納：一元二次方程的根與系數的關系：若一元二次方程2c0的兩個根分別為4、幾個重要的變形：（1）（2）（3）

02.一元二次方程根的判別式02.一元二次方程根的判別式例題精講 例題精講例1．（1）如果關于x的方程x2xk0（k為常數）有兩個相等的實數根，求k的值。（2）關于x的一元二次方程x22kx2k20有實數根，求k的取值范圍。（3）如果關于x的一元二次方程k2x2(2k1)x10有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍。例2．已知x1、x2是方程2x2+3x﹣1=0的兩個實數根，不解方程，求：①（x1﹣x2）2； ②的值．舉一反三 舉一反三1.已知關于m的一元二次方程x2xm0有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍。2.當k為何值時，關于x的一元二次方程kx2(k2)x0有實數根。3.已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2=0有兩個實數根x1和x2（1）求實數m的取值范圍；（2）若x1+x2=﹣1，求m的值．模塊三、一元二次方程的應用一．數字問題兩位數表示：十位數字×10+個位數字2、三位數字：百位數字×100+十位數字×10+個位數字3、三個連續偶數：三個連續整數：二．面積問題1、矩形面積=長×寬2、三角形面積=3、梯形面積=×（上底+下底）×高4、圓的面積=為半徑）三．利潤問題每件利潤=售價-進價2、總利潤=每件利潤×銷售量3、利潤率=4、利潤=進價×利潤率5、售價=進價×四．其他問題1、平均變化率問題增長率（1）原產量+增產量=實際產量．（2）單位時間增產量=原產量×增長率．（3）實際產量=原產量×（1+增長率）．2、相互問題（傳播、循環）03.一元二次方程的應用03.一元二次方程的應用例題精講 例題精講例1．一個兩位數，十位數字與個位數字之和是6，把這個數的個位數字與十位數字對調后，所得的新兩位數與原來的兩位數的積是1008，求這個兩位數．有一塊長方形的鋁皮，長24cm、寬18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起來做成一個沒蓋的盒子，使底面積是原來面積的一半，求盒子的高．例3．某市場銷售一批名牌襯衫，平均每天可銷售20件，每件贏利40元．為了擴大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施．經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件．求：（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）要使商場平均每天贏利最多，請你幫助設計方案．例4.（1）某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？（2）參加一次聚會的每兩人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人參加聚會?舉一反三 舉一反三1.如圖，有長為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在BC上用其他材料造了寬為1米的兩個小門．（1）設花圃的寬AB為x米，請你用含x的代數式表示BC的長米；（2）若此時花圃的面積剛好為45m2，求此時花圃的寬．西瓜經營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售,每天可售出200千克.為了促銷,該經營戶決定降價銷售.經調查發現,這種小型西瓜每降價O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.該經營戶要想每天盈利2O0元，應將每千克小型西瓜的售價降低多少元?3.有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有169人患了流感．（1）求每一輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果按照這樣的傳染速度，經過三輪傳染后共有多少人患上流感？

直擊中考 直擊中考（2021秋?福田區校級月考）某商場以每件20元的價格購進一種商品，試銷中發現，這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價x（元）滿足關系：m=140﹣2x．如果商場要想每天獲得800元的銷售利潤，又讓顧客得到實惠，每件商品的售價應定為多少？課后鞏固 課后鞏固1．用配方法解方程x24x20，下列配方正確的是（A ）A．(x2)22B．(x2)22C．(x2)22D．(x2)26一元二次方程2x260的解為 已知x1是一元二次方程x2mxn0的一個根，則m22mnn2的值為 4．已知關于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠05．關于x的方程kx2+2x﹣1=0有實數根，則k的取值范圍是（）A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠06.若方程kx26x10有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是 7．已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的兩根為x1，x2，那么（1+x1）（1+x2）的值是．8．設m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的兩個實數根，則m2+3m+n=．9．關于x的方程2x2﹣4x+k=0有實數根，k的取值范圍是．10．解下列方程：（1）9x21（2）(x3)225（3）x22x30（4）2x23x20

11.已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x=﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．12．如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm，AD=6cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止，點Q以2cm/s的速度向D移動．（1）P、Q兩點從出發開始到幾秒？四邊形PBCQ的面積為33cm2；（2）P、Q兩點從出發開始到幾秒時？點P和點Q的距離是10cm．13．商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施．經調查發現，每件商品每降價2元，商場平均每天可多售出4件．設每件商品降價x元．據此規律，請回答：（1）每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2100元？（2）商場日盈利能否達到2200元？請說明理由．/

第8講運算方法課--一元二次方程綜合提升模塊一、一元二次方程概念及解法1、一元二次方程的概念只含有個未知數，并且未知數的最高次數是，這樣的方程叫一元二次方程。一元二次方程的一般形式是（a、b、c是已知數且a≠0），其中ax2叫做，bx叫做，a叫做系數，b叫做系數，c叫做。2、一元二次方程的常用解法(1)形如或的一元二次方程，可用方法.(2)配方法：用配方法解一元二次方程的一般步驟：①化二次項系數為1；②移項,使方程左邊為二次項和一次項,右邊為常數項；③方程兩邊都加上一次項系數一半的平方；④把原方程變為的形式；⑤如果方程右邊是非負數，就可以直接用開平方法求出方程的解.(3)公式法：求根公式為（）(4)因式分解法：因式分解法的步驟：①將方程右邊化為0；②將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解。01.一元二次方程概念及解法01.一元二次方程概念及解法例題精講 例題精講例1.已知方程(k21)x2(k1)x50，（1）當k為何值時，是一元二次方程？（2）當k為何值時，是一元一次方程？【解答】：（1）；（2）1例2．用直接開方法解下列方程：（1）x290 （2）(2x1)240 【解答】（1）；（2）；例3.用配方法解下列方程(1)(2)(3)x2-2x=-1【解答】（1）（2）無實數解（3）例4.用公式法解下列方程 （1）（2）（3） 【解答】（2）（3）例5..用因式分解法解下列方程。（3）（4）【解答】：（1）(2)(3)(4)舉一反三 舉一反三1.（1）當m 時，關于x的方程(m2)x2mx5是一元一次方程，當m 時，關于x的方程(m2)x2mx5是一元二次方程（2）關于x的方程(k3)kx10是一元二次方程，求k的值【解答】（1）2；；（2）-12..把一元二次方程(13x)(x3)2x21化成一般形式是 ；它的二次項是 ；一次項系數是 ；常數項是 【解答】3.用直接開平方法求解：(1)(2x-1)2=5（2）（3）【解答】（1）(2)x=2(3)x=14.用配方法解下列關于x的方程x2-8x+1=0（2）x2-2x-=0（3）2x2+1=3x（4）y2-2y-3=0（5）x2+3=2x答案：（1） （2）（3）（4） （5）5.用公式法解下列關于x的方程：（1）（2)（3）答案：（1）（2）x=（3）6.用因式分解法解下列關于x的方程：（3）（5）答案：（1）（2）(3) (4)(5） （6）模塊二、一元二次方程根與系數之間關系1、一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情況是由b24ac決定的，我們把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判別式，通常用“”來表示。（1）當b24ac0，方程有兩個不相等的實數根。（2）當b24ac0時，方程有兩個相等的實數根。（3）當b24ac0，方程沒有實數根。2、上述結論反過來也成立：（1）若方程有兩個不相等的實數根，則b24ac0（2）若方程有兩個相等的實數根，則b24ac0（3）若方程沒有實數根，則b24ac0 注意：若一元二次方程方程有實數根，則b24ac≥0；反過來也成立。123、若b24ac≥0，x,x是方程ax2bxc0(a0)的兩個根，則x1 ，x212則x1x2 ，x1·x2 歸納：一元二次方程的根與系數的關系：若一元二次方程ax2bxc0的兩個根分別為4、幾個重要的變形：（1）（2）（3）02.一元二次方程根的判別式02.一元二次方程根的判別式例題精講 例題精講例1．（1）如果關于x的方程x2xk0（k為常數）有兩個相等的實數根，求k的值。【解答】：（2）關于x的一元二次方程x22k1x2k20有實數根，求k的取值范圍。【解答】：（3）如果關于x的一元二次方程k2x2(2k1)x10有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍。【解答】：例2．已知x1、x2是方程2x2+3x﹣1=0的兩個實數根，不解方程，求：①（x1﹣x2）2；②的值．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+3x﹣1=0的兩個實數根，∴x1+x2=﹣，x1?x2=﹣．①（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（﹣）2﹣4×（﹣）=．②+===3．舉一反三 舉一反三1.已知關于m的一元二次方程x2xm0有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍。【解答】2.當k為何值時，關于x的一元二次方程kx2(k2)x0有實數根。【解答】3.已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2=0有兩個實數根x1和x2（1）求實數m的取值范圍；（2）若x1+x2=﹣1，求m的值．【解答】解：（1）由題意有△=[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2≥0，解得m≤，故實數m的取值范圍是m≤；（2）由根與系數的關系，得x1+x2=2m﹣1=﹣1，解得m=0，0＜，符合題意．即m的值為0．模塊三、一元二次方程的應用一．數字問題1、兩位數表示：十位數字×10+個位數字2、三位數字：百位數字×100+十位數字×10+個位數字3、三個連續偶數：三個連續整數：二．面積問題1、矩形面積=長×寬2、三角形面積=3、梯形面積=×（上底+下底）×高4、圓的面積=為半徑）三．利潤問題1、每件利潤=售價-進價2、總利潤=每件利潤×銷售量3、利潤率=4、利潤=進價×利潤率5、售價=進價×四．其他問題1、平均變化率問題增長率（1）原產量+增產量=實際產量．（2）單位時間增產量=原產量×增長率．（3）實際產量=原產量×（1+增長率）．2、相互問題（傳播、循環）03.一元二次方程的應用03.一元二次方程的應用例題精講 例題精講例1．一個兩位數，十位數字與個位數字之和是6，把這個數的個位數字與十位數字對調后，所得的新兩位數與原來的兩位數的積是1008，求這個兩位數．【解答】解：設原兩位數的個位數字為x，十位數字為（6-x），根據題意可知，[10（6-x）+x][10x+（6-x）]=1008，即x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∴6-x=4，或6-x=2，∴10（6-x）+x=42或10（6-x）+x=24，答：這個兩位數是42或24例2．有一塊長方形的鋁皮，長24cm、寬18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起來做成一個沒蓋的盒子，使底面積是原來面積的一半，求盒子的高．【解答】解：設盒子高是xcm．列方程得（24-2x）?（18-2x）=0.5×24×18，解得x=3或x=18（不合題意，舍去）．答：盒子高是3cm．例3．某市場銷售一批名牌襯衫，平均每天可銷售20件，每件贏利40元．為了擴大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施．經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件．求：（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）要使商場平均每天贏利最多，請你幫助設計方案．【解答】解：設每天利潤為w元，每件襯衫降價x元，根據題意得w=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250（1）當w=1200時，-2x2+60x+800=1200，解之得x1=10，x2=20．根據題意要盡快減少庫存，所以應降價20元．（2）解：商場每天盈利（40-x）（20+2x）=-2（x-15）2+1250．當x=15時，商場盈利最多，共1250元．答：每件襯衫降價15元時，商場平均每天盈利最多．例4.（1）某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？【解答】解：設平均每月的增長率為x，據題意得：5000（1+x）2=7200（1+x）2=1.441+x=±1.2．x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）．取x=0.2=20％．（2）參加一次聚會的每兩人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人參加聚會?【解答】解：設有n人，（n-6）（n+5）=0，n=6或n=-5（舍去）．參加這次聚會有6人．舉一反三 舉一反三1.如圖，有長為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在BC上用其他材料造了寬為1米的兩個小門．（1）設花圃的寬AB為x米，請你用含x的代數式表示BC的長（24﹣3x）米；（2）若此時花圃的面積剛好為45m2，求此時花圃的寬．【解答】解：（1）BC=22+2﹣3x=24﹣3x．故答案為（24﹣3x）；（2）x（24﹣3x）=45，化簡得：x2﹣8x+15=0，解得：x1=5，x2=3．當x=5時，24﹣3x=9＜14，符合要求；當x=3時，24﹣3x=15＞14，不符合要求，舍去．答：花圃的寬為5米2．西瓜經營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售,每天可售出200千克.為了促銷,該經營戶決定降價銷售.經調查發現,這種小型西瓜每降價O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.該經營戶要想每天盈利2O0元，應將每千克小型西瓜的售價降低多少元?【解答】解：設應將每千克小型西瓜的售價降低x元根據題意，得：解得：＝0.2，＝0.3答：應將每千克小型西瓜的售價降低0.2或0.3元。3.有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有169人患了流感．（1）求每一輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果按照這樣的傳染速度，經過三輪傳染后共有多少人患上流感？【解答】解：（1）設平均一人傳染了x人，x+1+（x+1）x=169x1=12或x2=-14（舍去）．答：平均一人傳染12人．經過三輪傳染后患上流感的人數為：169+12×169=2197（人），答：經過三輪傳染后患上流感的人數為2197人．直擊中考 直擊中考1．（2021秋?福田區校級月考）某商場以每件20元的價格購進一種商品，試銷中發現，這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價x（元）滿足關系：m=140﹣2x．如果商場要想每天獲得800元的銷售利潤，又讓顧客得到實惠，每件商品的售價應定為多少？【解答】解：設每件商品的售價應定為x元，由題意，得（x﹣20）（140﹣2x）=800，整理，得x2﹣90x+1800=0，解得x1=30，x2=60．∵要讓顧客得到實惠，∴x=30，答：每件商品的售價應定為30元．課后鞏固 課后鞏固1．用配方法解方程x24x20，下列配方正確的是（A ）A．(x2)22B．(x2)22C．(x2)22D．(x2)26一元二次方程2x260的解為 【解答】已知x1是一元二次方程x2mxn0的一個根，則m22mnn2的值為 【解答】解：把x=1代入方程x2+mx+n=0得：1+m+n=0，∴m+n=﹣1，m2+2mn+n2=（m+n）2=（﹣1）2=1．故答案為：1．4．已知關于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0【解答】解：∵關于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數根，∴m≠0且△＞0，即22﹣4?m?（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，∴m的取值范圍為m＞﹣1且m≠0．∴當m＞﹣1且m≠0時，關于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數根．故選D．5．關于x的方程kx2+2x﹣1=0有實數根，則k的取值范圍是（）A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠06.若方程kx26x10有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是 【解答】7．已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的兩根為x1，x2，那么（1+x1）（1+x2）的值是8．【解答】解：根據題意得x1+x2=4，x1x2=3，所以（1+x1）（1+x2）=1+x1+x2+x1x2=1+4+3=8．故答案為8．8．設m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的兩個實數根，則m2+3m+n=2016．【解答】解：∵m為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的實數根，∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018，∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，∵m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的兩個實數根，∴m+n=﹣2，∴m2+3m+n=2018﹣2=2016．9．關于x的方程2x2﹣4x+k=0有實數根，k的取值范圍是k≤2．【解答】解：∵關于x的方程2x2﹣4x+k=0有實數根，∴△=b2﹣4ac≥0，即16﹣8k≥0，解得，k≤2．故答案是：k≤2．10．解下列方程：（1）9x21（2）(x3)225（3）x22x30