/第11講正多邊形與圓（3種題型）1.了解正多邊形和圓的有關概念及對稱性；2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系，會應用正多邊形和圓的有關知識畫正多邊形；3.會進行正多邊形的有關計算.正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關系把一個圓分成n（n是大于2的自然數）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．題型一：求正多邊形的中心角一、單選題1．（2022·江蘇·九年級假期作業）中心角為45°的正n邊形的邊數n等于（）A．12 B．10 C．8 D．62．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習）如圖，五邊形是的內接正五邊形，則正五邊形中心角的度數是（）A． B． C． D．3．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習）若一個圓內接正多邊形的中心角是，則這個多邊形是（）A．正九邊形 B．正八邊形 C．正七邊形 D．正六邊形4．（2022秋·九年級單元測試）如圖，是由邊長為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2022秋·九年級課時練習）五角星繞其中心旋轉一定的角度與原圖形重合，則這個旋轉角至少為_______度．6．（2022秋·江蘇·九年級期中）線段AB是圓內接正十邊形的一條邊，則AB所對的圓周角的度數是__度．三、解答題7．（江蘇泰州·九年級統考階段練習）如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，點E在弧AD上，連接OA、OD、OE、AE、DE．（1）求∠AED的度數；（2）當∠DOE＝90°時，AE恰好為⊙O的內接正n邊形的一邊，求n的值．題型二：已知正多邊形的中心角求邊數一、單選題1．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）有一個正n邊形的中心角是36°，則n為（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2022秋·九年級課時練習）如圖，邊AB是⊙O內接正六邊形的一邊，點C在上，且BC是⊙O內接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．483．（2023·江蘇·九年級專題練習）一個圓的內接正多邊形中，一條邊所對的圓心角為，則該正多邊形的邊數是（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2022秋·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校校考階段練習）如圖，點、、、為一個正多邊形的頂點，點為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數為（

）A．5 B．10 C．12 D．20二、填空題5．（2022秋·江蘇南通·九年級南通田家炳中學校考階段練習）一個正多邊形的中心角是30°，則這個多邊形是正____邊形．6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）正n邊形的中心角為72°，則______．7．（2022秋·江蘇泰州·九年級校聯考階段練習）一個正n邊形繞它的中心至少旋轉36°才能與原來的圖形完全重合，則n的值為______．8．（2023秋·江蘇揚州·九年級校考期末）一個正n邊形的中心角為，則n為___________．9．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學校考模擬預測）如圖，內接于，，弦是圓內接正多邊形的一邊，則該正多邊形的邊數是________．三、解答題10．（2022秋·九年級課時練習）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點．設等邊的面積為S，通過證明可得，則．【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．【拓展應用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．題型三：正多邊形和圓一、單選題1．（2023·江蘇揚州·統考二模）如圖，正五邊形內接于，點F在弧上．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·江蘇南京·九年級校聯考階段練習）如圖，是正六邊形的邊上一點，則的度數不可能是（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇徐州·模擬預測）如圖，面積為6的正六邊形中，點，分別為邊，上的動點，則陰影部分面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題4．（2023春·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校校考階段練習）正方形內接于，E是的中點，連接，則________°．5．（2023秋·江蘇南京·九年級統考期末）如圖，正五邊形內接于，是的直徑，是上的一點（不與點，重合），則的度數為______°．6．（2023·江蘇泰州·統考二模）如圖，正六邊形與相切于點、，則______°．

7．（2022秋·江蘇徐州·九年級校考階段練習）劉徽是中國古代卓越的數學家之一，他在《九章算術》中提出了“割圓術”，即用內接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積．設的半徑為，若用的內接正六邊形的面積來近似估計的面積，則的面積約為________．8．（2023·江蘇南京·統考一模）如圖，點O是正六邊形的中心，以為邊在正六邊形的內部作正方形連接，則______°．

三、解答題9．（2022·江蘇·九年級假期作業）如圖，已知⊙O內接正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的邊心距r6、面積S6．10．（2022秋·江蘇·九年級期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結果保留π）．11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數；(2)當點P為的中點時，CP是⊙O的內接正n邊形的一邊，求n的值．12．（2023·江蘇·九年級專題練習）[閱讀與思考]如圖①，在正三角形中，點，是，上的點，且，則，；如圖②，在正方形中，點，是，上的點，且，則，；如圖③，在正五邊形中，點，是，上的點，且，則，；[理解與運用]在正六邊形中，點，是，上的點，且，則，；在正十邊形中，點，是，上的點，且，則，；[歸納與總結]根據以上規律，在正邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點，是，上的點，且，與相交于；也會有類似的結論，你的結論是．13．（2022秋·江蘇徐州·九年級統考期中）如圖，在正方形網格中，每一個小正方形的邊長都為1，點、都在格點上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．(1)在圖①中畫的一個內接正四邊形，___________；(2)在圖②中畫的一個內接正六邊形，__________．題型四：尺規作圖一、解答題1．（2022秋·九年級課時練習）如圖1，等邊內接于⊙O，連接CO并延長交⊙O于點D．（1）可以證明CD垂直平分AB，寫出與的數量關系：___．（2）請你僅使用無刻度的直尺按要求作圖：①在圖1中作出一個正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結果用實線表示）．②請在圖2中作出⊙O的內接正六邊形ADBECF的一條不經過頂點的對稱軸，保留作圖痕跡(作圖過程用虛線表示，作圖結果用實線表示）．

2．（2022秋·九年級課時練習）如圖，已知AC為的直徑．請用尺規作圖法，作出的內接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）3．（2022·江蘇·九年級專題練習）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.（1）如圖1，A為圓E上一點，請用直尺（不帶刻度）和圓規作出圓內接正方形；（2）我們知道，三角形具有性質，三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質：三條高交于同一點，請運用上述性質，只用直尺（不帶刻度）作圖：①如圖2，在□ABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F;②圖3，在由小正方形組成的網格中，的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高AH

4．（2021秋·江蘇·九年級專題練習）已知正五邊形，請僅用無刻度直尺作圖．（1）在圖1中作點P，使得是等腰三角形：（2）在圖2中作點，使點稱為正五邊形的中心．5．（2021·江蘇無錫·九年級專題練習）已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖．（1）在圖①中，以AB為邊作等邊三角形；（2）在圖②中，作一個含30°的直角三角形．6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）請用圓規和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：⊙O，點A在圓上．求作：以A為一頂點作圓內接正方形ABCD．二、填空題7．（2021秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內接正五邊形ABCDE的部分尺規作圖步驟如下：①作出半徑OF的中點H．②以點H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點G．③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點B，C，D，E．已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝__．（結果保留根號）一．選擇題（共10小題）1．（2023?工業園區校級二模）閱讀理解：如圖1，在平面內選一定點O，引一條有方向的射線Ox，再選定一個單位長度，那么平面上任一點M的位置可由∠MOx的度數θ與OM的長度m確定，有序數對（θ，m）稱為M點的“極坐標”，這樣建立的坐標系稱為“極坐標系”．應用：在圖2的極坐標系下，如果正六邊形的邊長為4，有一邊OA在射線Ox上，則正六邊形的頂點C的極坐標應記為（）A．（60°，8） B．（45°，8） C． D．2．（2023?鼓樓區模擬）下列圖形中，正多邊形內接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長最小的是（）A． B． C． D．3．（2023?梁溪區二模）如圖所示，A、B、C、D是一個外角為40°的正多邊形的頂點．若O為正多邊形的中心，則∠OAD的度數為（）A．14° B．40° C．30° D．15°4．（2023?姜堰區二模）一個正多邊形，它的每個內角是與其相鄰外角的3倍，則這個多邊形的邊數是（）A．6 B．7 C．8 D．95．（2023?宜興市二模）已知正多邊形的一個外角為72°，則該正多邊形的邊數是（）A．5 B．6 C．8 D．106．（2023?丹陽市模擬）如圖，邊長相等的正五邊形和正六邊形如圖拼接在一起，則∠ABC的度數為（）A．22° B．23° C．24° D．25°7．（2022秋?南京期末）如圖，AB，CD分別是⊙O的內接正十邊形和正五邊形的邊，AD，BC交于點P，則∠APC的度數為（）A．126° B．127° C．128° D．129°8．（2022秋?宿城區期末）如圖，A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心．若∠ADB＝18°，則這個正多邊形的邊數為（）A．7 B．8 C．9 D．109．（2023?儀征市二模）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，點F在弧AE上．若∠CDF＝95°，則∠FCD的大小為（）A．38° B．42° C．49° D．58°10．（2023?惠山區校級模擬）如圖，面積為6的正六邊形ABCDEF中，點M，N分別為邊BC，EF上的動點，則陰影部分面積為（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空題（共8小題）11．（2023?鎮江一模）如圖，點A、B、C、D、E是圓O上的五等分點，該圖形繞點O至少旋轉度后與自身重合．12．（2023?連云港）以正六邊形ABCDEF的頂點C為旋轉中心，按順時針方向旋轉，使得新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點D′落在直線BC上，則正六邊形ABCDEF至少旋轉°．13．（2023?蘇州模擬）已知正六邊形的半徑為，則它的周長＝．14．（2023?蘇州二模）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，⊙O的半徑為1，過O作OM垂直AB，交AB于點M，則OM的長為．15．（2023?南京三模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，⊙O經過點E，且與AB，BC相切．若⊙O的半徑為4，則正六邊形的邊長為．16．（2023?寶應縣二模）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖，已知A點的坐標是，則B點的坐標是．17．（2023?玄武區一模）如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，以AB為邊在正六邊形ABCDEF的內部作正方形ABMN，連接OD，ON，則∠DON＝°．?18．（2023?高港區二模）如圖，點M在正六邊形的邊EF上運動．若∠ABM＝x°，寫出一個符合條件的x的值．三．解答題（共7小題）19．（2022秋?鹽都區校級月考）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．（1）求∠CPD的度數；（2）當點P為的中點時，CP是⊙O的內接正n邊形的一邊，求n的值．20．（2020秋?灌云縣月考）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，P為上一點，連接DP，CP．（1）∠CPD＝°；（2）若DC＝4，CP＝，求DP的長．21．（2023?鼓樓區二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接矩形，點E、F分別在射線AB、AD上，OE＝OF，且點C、E、F在一條直線上，EF與⊙O相切于點C．?（1）求證：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，則正方形ABCD的面積是．22．（2022秋?南通期末）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心．若OA長為6，求正六邊形ABCDEF的面積．23．（2022秋?鎮江期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延長AB到D，連接CD，AC＝CD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）以BC為邊的圓內接正多邊形的周長等于．24．（2020秋?玄武區月考）【閱讀理解】[閱讀與思考]如圖①，在正三角形ABC中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝CM，∠NOC＝；如圖②，在正方形ABCD中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝DM，∠NOD＝；如圖③，在正五邊形ABCDE中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝EM，∠NOE＝；[理解與運用]在正六邊形ABCDEF中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝FM，∠NOF＝；在正十邊形ABCDEFGHIJ中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝JM，∠NOJ＝；[歸納與總結]根據以上規律，在正n邊形A1A2A3A4…An中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點M，N是A1A2，A2A3上的點，且A1M＝A2N，A1N與AnM相交于O．也會有類似的結論，你的結論是．25．（2021?鼓樓區二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，以AD為對角線作正方形APDQ，AP、DP與BC分別交于M、N．（1）∠BAM＝°；（2）若AB＝4，求MN的長．（參考數據：≈1.73，結果精確到0.1，可以直接利用（1）的結論）一．選擇題（共7小題）1．（2022?岳池縣模擬）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形，則正五邊形的中心角∠COD的度數是（）A．72° B．60° C．48° D．36°2．（2022?達拉特旗一模）如圖，在擰開一個邊長為a的正六角形螺帽時，扳手張開的開口b＝10mm，則這個正六邊形的面積為（）A．mm2 B．300mm2 C．150mm2 D．75mm23．（2022?德城區模擬）將正方形紙片按圖①方式依次對折得圖②的△ABC，點D是AC邊上一點，沿線段BD剪開，展開后得到一個正八邊形，則點D應滿足（）A．BD⊥AC B．AD＝AB C．∠ADB＝60° D．AD＝DB4．（2022?天府新區模擬）如圖，圓形螺帽的內接正六邊形的邊心距為2cm，則圓形螺帽的面積是（）A．8cm2 B．16cm2 C．8πcm2 D．16πcm25．（2022?成華區模擬）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，點P在劣弧上，則∠P的度數為（）A．15° B．30° C．45° D．60°6．（2022?宜興市一模）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點，則∠AOC的度數是（）A．108° B．129° C．130° D．144°7．（2022?蚌埠二模）已知矩形MNPQ的頂點M，N，P，Q分別在正六邊形ABCDEF的邊DE，FA，AB，CD上，且MN∥BC．在點M從E移向D（與D不重合）的過程中，下列的判斷中，正確的是（）A．矩形MNPQ的面積與周長保持不變 B．矩形MNPQ的面積逐漸減小，周長逐漸增大 C．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸增大 D．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸減小二．填空題（共6小題）8．（2022?和平區一模）已知圓的周長是6π，則該圓的內接正三角形的邊心距是．9．（2022?新城區模擬）如圖，AC、AD為正六邊形ABCDEF的兩條對角線，若該正六邊形的邊長為2，則△ACD的周長為．10．（2022?西山區一模）如圖，五邊形DEFGH是邊長為1的正五邊形，⊙O是正五邊形DEFGH的外接圓，過點D作⊙O的切線，與GH，FE的延長線交分別于點B和C，延長HG，EF相交于點A，連接GD，DF，下列結論正確的是．①∠HDE＝108°；②△ABC為等腰三角形；③四邊形AGDF為菱形；④△ABC的周長為．11．（2022?徐州一模）如圖，AF是正五邊形ABCDE的外接圓的切線，則∠CAF＝°．12．（2022?石家莊一模）如圖所示，在正四邊形、正五邊形中，相鄰兩條對角線的夾角分別為α4，α5，則α5為°，以此類推，正n邊形相鄰兩條對角線的較大夾角為°．13．（2022?北侖區二模）如圖，在正六邊形ABCDEF內取一點O，作⊙O與邊DE，EF相切，并經過點B，已知⊙O的半經為，則正六邊形的邊長為．三．解答題（共5小題）14．（2021秋?信都區期末）已知正六邊形ABCDEF的中心為O，半徑OA＝6．（1）求正六邊形的邊長；（2）以A為圓心，AF為半徑畫弧BF，求．15．（2021秋?昌邑區校級期末）已知，如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的外接圓半徑R、邊心距r6、面積S6．16．（2021秋?新榮區月考）閱讀與思考請閱讀下列材料，并完成相應的任務：克羅狄斯?托勒密（約90年﹣168年），是希臘數學家，天文學家，地理學家和占星家．在數學方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的內容如下：圓的內接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和．即：如圖1，若四邊形ABCD內接于⊙O，則有．任務：（1）材料中劃橫線部分應填寫的內容為．（2）如圖2，正五邊形ABCDE內接于⊙O，AB＝2，求對角線BD的長．17．（2021秋?許昌月考）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形．（1）求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．（2）設⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結果保留π）．18．（2020秋?武漢期末）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，E是的中點，連接AE，DE，CE．（1）求證：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四邊形AECD的面積．

第11講正多邊形與圓（3種題型）1.了解正多邊形和圓的有關概念及對稱性；2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系，會應用正多邊形和圓的有關知識畫正多邊形；3.會進行正多邊形的有關計算.正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關系把一個圓分成n（n是大于2的自然數）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．題型一：求正多邊形的中心角一、單選題1．（2022·江蘇·九年級假期作業）中心角為45°的正n邊形的邊數n等于（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】C【分析】根據正多邊形的中心角，計算即可．【詳解】由題意得，45°，解得n＝8，故選：C．【點睛】本題考查正多邊形中心角，解答這類題往往一些學生因對正多邊形的基本知識不明確，將正多邊形的中心角與內角混淆而造成錯誤計算．2．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習）如圖，五邊形是的內接正五邊形，則正五邊形中心角的度數是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據正多邊形的中心角的計算公式：計算即可．【詳解】解：∵五邊形是的內接正五邊形，∴五邊形的中心角的度數為，故選D．【點睛】本題考查圓內接正多邊形的中心角．熟練掌握正多邊形的中心角的計算公式：，是解題的關鍵．3．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習）若一個圓內接正多邊形的中心角是，則這個多邊形是（）A．正九邊形 B．正八邊形 C．正七邊形 D．正六邊形【答案】A【分析】根據正多邊形的中心角的計算公式計算即可．【詳解】解：設這個多邊形的邊數是n，由題意得解得，，故選：A【點睛】本題考查的是正多邊形和圓的有關知識，掌握正多邊形的中心角的計算公式是解題的關鍵．4．（2022秋·九年級單元測試）如圖，是由邊長為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計算出1個正六邊形的面積，利用矩形的面積減去圖中未涂色部分的面積即可．【詳解】解：如圖所示，∵正六邊形的中心角為60°，∴每個邊長為1的正六邊形由六個全等的等邊三角形組成，∴，，，因此每個正六邊形的面積為：，圖中未涂色部分面積等于16個正六邊形的面積：．整個圖形是一個矩形，長為12，寬為，矩形的面積為：，因此圖中陰影部分的面積是：，故選C．【點睛】本題考查等邊三角形相關計算，利用等邊三角形計算出每個正六邊形的面積是解題的關鍵．二、填空題5．（2022秋·九年級課時練習）五角星繞其中心旋轉一定的角度與原圖形重合，則這個旋轉角至少為_______度．【答案】72【分析】把五角星看成正五邊形，求出正五邊形的中心角即可解決問題；【詳解】解：∵把五角星看成正五邊形，正五邊形的中心角==72°，∴繞它的中心旋轉72°角度后能夠與自身重合，故選：72．【點睛】本題考查旋轉對稱圖形，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．6．（2022秋·江蘇·九年級期中）線段AB是圓內接正十邊形的一條邊，則AB所對的圓周角的度數是__度．【答案】或/162或18【分析】作出圖形，求出一條邊所對的圓心角的度數，再根據圓周角和圓心角的關系解答．【詳解】解：如下圖，圓內接正十邊形的邊AB所對的圓心角，則，根據圓周角等于同弧所對圓心角的一半，AB所對的圓周角的度數是或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了正多邊形的中心角、圓周角定理等知識，解題關鍵是熟練掌握圓周角和圓心角的關系，并要注意分兩種情況討論．三、解答題7．（江蘇泰州·九年級統考階段練習）如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，點E在弧AD上，連接OA、OD、OE、AE、DE．（1）求∠AED的度數；（2）當∠DOE＝90°時，AE恰好為⊙O的內接正n邊形的一邊，求n的值．【答案】（1）∠AED=120°；（2）12.【分析】（1）如圖，連接BD，由已知條件證△ABD是等邊三角形，得到∠ABD=60°，從而由圓內接四邊形的性質可得∠AED=120°；（2）如圖，連接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，結合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，從而可得；【詳解】解：（1）如圖，連接BD，∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠BAD+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠BAD=60°，∵AB=AD，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ABD=60°，∵四邊形ABDE是⊙O的內接四邊形，∴∠AED+∠ABD=180°，∴∠AED=120°；（2）連接OA，∵∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°，∵∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，∴．題型二：已知正多邊形的中心角求邊數一、單選題1．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）有一個正n邊形的中心角是36°，則n為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根據正多邊形的中心角和為360°計算即可．【詳解】解：，故選：D．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角的和是360°是解題的關鍵．2．（2022秋·九年級課時練習）如圖，邊AB是⊙O內接正六邊形的一邊，點C在上，且BC是⊙O內接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根據中心角的度數=360°÷邊數，列式計算分別求出∠AOB，∠BOC的度數，可得∠AOC=15°，然后根據邊數n=360°÷中心角即可求得答案．【詳解】解：連接OC，∵AB是⊙O內接正六邊形的一邊，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O內接正八邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質、正八邊形、正二十四邊形的性質；根據題意求出中心角的度數是解題的關鍵．3．（2023·江蘇·九年級專題練習）一個圓的內接正多邊形中，一條邊所對的圓心角為，則該正多邊形的邊數是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據正多邊形的中心角=計算即可．【詳解】解：設正多邊形的邊數為n．由題意=72°，∴n=5，故選：C．【點睛】本題考查正多邊形的有關知識，解題的關鍵是記住正多邊形的中心角=．4．（2022秋·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校校考階段練習）如圖，點、、、為一個正多邊形的頂點，點為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數為（

）A．5 B．10 C．12 D．20【答案】B【分析】作正多邊形的外接圓，連接AO，BO，根據圓周角定理得到，根據中心角的定義即可求解．【詳解】解：如圖，作正多邊形的外接圓，連接AO，BO，∴，∴這個正多邊形的邊數為=10．故選：B．【點睛】此題主要考查正多邊形的性質，解題的關鍵是熟知圓周角定理．二、填空題5．（2022秋·江蘇南通·九年級南通田家炳中學校考階段練習）一個正多邊形的中心角是30°，則這個多邊形是正____邊形．【答案】十二【分析】根據正多邊形的邊數=周角÷中心角，計算即可得．【詳解】解：∵一個正多邊形的中心角是30°，∴這個多邊形是：360°÷30°＝12，即正十二邊形，故答案為：十二．【點睛】本題考查了正多邊形的性質，解題的關鍵是掌握正多邊形的中心角與邊數的關系．6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）正n邊形的中心角為72°，則______．【答案】5【分析】根據正多邊形的中心角之和為360°計算即可．【詳解】根據題意有：，故答案為：5．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角之和為360°是解答本題的關鍵．7．（2022秋·江蘇泰州·九年級校聯考階段練習）一個正n邊形繞它的中心至少旋轉36°才能與原來的圖形完全重合，則n的值為______．【答案】10【分析】直接利用旋轉圖形的性質結合正多邊形中心角相等進而得到答案【詳解】∵一個正n邊形繞它的中心至少旋轉36°才能與原來的圖形完全重合∴n的值為：故答案為：10【點睛】本題主要考查了旋轉對稱圖形，正確把握正多邊形的性質是解題關鍵．8．（2023秋·江蘇揚州·九年級校考期末）一個正n邊形的中心角為，則n為___________．【答案】10【分析】根據正多邊形的中心角和為計算即可．【詳解】解：，故答案為：10．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角和為是解答此題的關鍵．9．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學校考模擬預測）如圖，內接于，，弦是圓內接正多邊形的一邊，則該正多邊形的邊數是________．【答案】5【分析】如圖所示，連接，由圓周角定理得到，則該多邊形的中心角為，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∴，∴該正多邊形是正五邊形，故答案為：5．【點睛】本題考查了正多邊形和圓的知識，解題的關鍵是構造同弧所對的圓心角，難度不大．三、解答題10．（2022秋·九年級課時練習）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點．設等邊的面積為S，通過證明可得，則．【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．【拓展應用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．【答案】【類比探究】四邊形的面積=．【拓展應用】6【分析】類比探究：通過證明可得，則．拓展應用：通過證明可得，則．【詳解】解：類比探究：如圖2，∵為正方形的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，∵繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．拓展應用：如圖3，∵為正六邊形EF的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，∵繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．∵四邊形面積為，∴正六邊形的面積為6．【點睛】本題考查了旋轉，正多邊形的性質，正多邊形的中心角，三角形的全等，圖形的割補，熟練掌握旋轉的性質，正多邊形的性質是解題的關鍵．題型三：正多邊形和圓一、單選題1．（2023·江蘇揚州·統考二模）如圖，正五邊形內接于，點F在弧上．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，，，根據五邊形是正五邊形，可求出的度數，由，可得的度數，再根據圓周角定理進一步求解即可．【詳解】如圖，連接，，，

∵五邊形是正五邊形，∴，∵，∴，∴，∵正五邊形內接于，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理、正多邊形的內角和，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．2．（2023春·江蘇南京·九年級校聯考階段練習）如圖，是正六邊形的邊上一點，則的度數不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作正六邊形的外接圓，延長交于點，連接，根據圓周角定理求得，再由三角形的外角性質即可得出結論．【詳解】解：如圖，作正六邊形的外接圓，延長交于點，連接，是正六邊形，，，，，A、B、C、D四個選項中，只有A選項符合題意，故選：A．【點睛】本題考查了正多邊形外接圓，圓周角定理，三角形的外角的性質，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．3．（2023·江蘇徐州·模擬預測）如圖，面積為6的正六邊形中，點，分別為邊，上的動點，則陰影部分面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】如圖，連接，，，交點為，設與的距離為，根據正六邊形的性質以及平行線間距離相等可得則，進而可求，同理可求的值，根據計算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，，交點為，由正六邊形可得，即，，設與的距離為，則，∵，∴，同理可得，∴，故選：A．【點睛】本題考查了正六邊形的性質，平行線間的距離相等．解題的關鍵在于確定陰影部分面積為正六邊形的面積與空白部分面積的差．二、填空題4．（2023春·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校校考階段練習）正方形內接于，E是的中點，連接，則________°．【答案】22.5【分析】連接，根據圓內接正方形的性質得到，得到，再利用圓周角定理求出的度數．【詳解】解：連接，如圖所示．∵四邊形是圓內接正方形，∴．∵E是的中點，∴，∴．故答案為：22.5．【點睛】此題考查了正多邊形和圓，圓周角定理，正確理解圓內接正方形的性質是解題的關鍵．5．（2023秋·江蘇南京·九年級統考期末）如圖，正五邊形內接于，是的直徑，是上的一點（不與點，重合），則的度數為______°．【答案】或/或【分析】根據正五邊形的性質和圓周角定理，分當點在劣弧上時和當點在優弧上時，結合圖形求解即可．【詳解】①如圖所示：當點在劣弧上時，連接、、，∵是正五邊形，是的直徑，∵是正五邊形，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴（為優弧所對的圓心角）∴；②如圖所示：當點在優弧上時，連接、、，∵是正五邊形，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：或．【點睛】本題主要考查正五邊形的性質、圓周角定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．6．（2023·江蘇泰州·統考二模）如圖，正六邊形與相切于點、，則______°．

【答案】120【分析】根據正多邊形內角和公式可求出、，根據切線的性質可求出、，從而可求出的度數．【詳解】解：六邊形是正六邊形，．、與相切，，，故答案為：120．【點睛】本題主要考查了切線的性質、正六邊形的性質、多邊形的內角和公式、熟練掌握切線的性質是解決本題的關鍵．7．（2022秋·江蘇徐州·九年級校考階段練習）劉徽是中國古代卓越的數學家之一，他在《九章算術》中提出了“割圓術”，即用內接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積．設的半徑為，若用的內接正六邊形的面積來近似估計的面積，則的面積約為________．【答案】【分析】連接、，根據正多邊形和圓的關系可判斷出為等邊三角形，過點作于點，再利用勾股定理即可求出長，進而可求出的面積，最后利用的面積約為即可計算出結果．【詳解】解：如圖，連接、

由題意可得：∵∴為等邊三角形，∴過點作于點，則在中，∴∴的面積約為故答案為：．【點睛】本題主要考查正多邊形與圓、勾股定理等，正確應用正六邊形的性質是解題關鍵．8．（2023·江蘇南京·統考一模）如圖，點O是正六邊形的中心，以為邊在正六邊形的內部作正方形連接，則______°．

【答案】105【分析】連接，，根據正六邊形的性質可得，是等邊三角形，再證明四邊形是菱形，以及是等腰三角形，分別求出，從而可得出結論．【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，∴∵四邊形是正方形，∴連接，，如圖，

則是等邊三角形，∴∴∴四邊形是菱形，，∴∴，故答案為：105．【點睛】本題主要考查了正六邊形的性質，正方形的性質，菱形的判定與性質以及等腰三角形的性質，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．三、解答題9．（2022·江蘇·九年級假期作業）如圖，已知⊙O內接正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的邊心距r6、面積S6．【答案】【分析】連接OB，OG⊥CB于G，證明△COB是等邊三角形，繼而可得正六邊形的外接圓半徑R，然后由勾股定理求得邊心距，又由S正六邊形＝6S△OBC求得答案．【詳解】解：如下圖所示，連接OB，設OG⊥CB于G，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，∴∠COB＝60°，OC＝OB，∴△COB是等邊三角形，∴OC＝OB＝6cm，即⊙O的半徑R＝6cm，∵OC＝OB＝6，OG⊥CB，∴，在Rt△COG中，（cm），∴（cm2）．【點睛】本題考查了正六邊形的性質、等邊三角形的判定與性質以及勾股定理，解題的關鍵是掌握正六邊形的相關知識．10．（2022秋·江蘇·九年級期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結果保留π）．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖，連接AE，AD，AC，根據正六邊形的性質得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到結論；（2）如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設⊙O的半徑為r，推出△ODE是等邊三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根據勾股定理得到OGr，根據三角形和圓的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）證明：如圖，連接AE，AD，AC，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，∴EF＝ED＝CD＝BC，∴，∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，∴過頂點A的三條對角線四等分∠BAF；（2）解：如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設⊙O的半徑為r，∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，∴△ODE是等邊三角形，∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，∴∠EOG＝30°，∴EGr，∴OGr，∴正六邊形ABCDEF的面積＝6rrr2，∵⊙O的面積＝πr2，∴．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數；(2)當點P為的中點時，CP是⊙O的內接正n邊形的一邊，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接OD，OC，根據正方形ABCD內接于⊙O，結合圓周角定理可得∠CPD；（2）結合正多邊形的性質以及圓周角定理得出∠COP的度數，進而得出答案．【詳解】（1）解：連接OD，OC，∵正方形ABCD內接于⊙O，∴∠DOC＝90°，∴．（2）解：連接PO，OB，如圖所示：∵正方形ABCD內接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵點P為的中點，∴，∴，∴n＝360÷45＝8．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質，解題的關鍵是熟練掌握同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．12．（2023·江蘇·九年級專題練習）[閱讀與思考]如圖①，在正三角形中，點，是，上的點，且，則，；如圖②，在正方形中，點，是，上的點，且，則，；如圖③，在正五邊形中，點，是，上的點，且，則，；[理解與運用]在正六邊形中，點，是，上的點，且，則，；在正十邊形中，點，是，上的點，且，則，；[歸納與總結]根據以上規律，在正邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點，是，上的點，且，與相交于；也會有類似的結論，你的結論是．【答案】；；；；；以上所求的角恰好等于正n邊形的內角【分析】根據等邊三角形的性質得出，，進而利用全等三角形的判定與性質得出，；根據正方形的性質以及全等三角形的判定與性質得出：；根據正五邊形的性質以及全等三角形的判定與性質得出：；根據以上所求結論即可得正六邊形中，；根據以上所求結論即可得正十邊形中，；根據以上所求得出在正n邊形中，類似的結論．【詳解】解：閱讀與思考:∵在正三角形中，點M，N是，上的點，且，∵在和中故答案為：；∵在正方形中，點M，N是，上的點，且在和中答案為：；∵在正五邊形中，點M，N是，上的點，且，則∵在和中，故答案為：；理解與運用：∵正三角形的內角度數為：；正方形的內角度數為：；正五邊形的內角度數為：；∴同理可得：在正六邊形中，點M，N是，上的點，且，則，；故答案為：；同理可得：在正十邊形中，點M，N是，上的點，且，則，；故答案為：；歸納與總結：根據以上所求的角恰好等于正n邊形的內角，所以所求的角恰好等于正n邊形的內角故答案為：以上所求的角恰好等于正n邊形的內角【點睛】此題主要考查了正多邊形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，熟練利用三角形的外角性質是解題關鍵．13．（2022秋·江蘇徐州·九年級統考期中）如圖，在正方形網格中，每一個小正方形的邊長都為1，點、都在格點上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．(1)在圖①中畫的一個內接正四邊形，___________；(2)在圖②中畫的一個內接正六邊形，__________．【答案】(1)圖見解析，32(2)圖見解析，【分析】（1）只需要作直徑、，并使得即可；（2）如圖所示，取格點B，C，D，E，F，然后順次連接A、B、C、D、E、F得到正六邊形，再求出求面積．【詳解】（1）解：如圖所示，正四邊形即為所求；，故答案為32；（2）解：如圖所示，正六邊形即為所求；過點O作于H，∵正六邊形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，等邊三角形的性質與判定，熟知正多邊形和圓的相關知識是解題的關鍵．題型四：尺規作圖一、解答題1．（2022秋·九年級課時練習）如圖1，等邊內接于⊙O，連接CO并延長交⊙O于點D．（1）可以證明CD垂直平分AB，寫出與的數量關系：___．（2）請你僅使用無刻度的直尺按要求作圖：①在圖1中作出一個正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結果用實線表示）．②請在圖2中作出⊙O的內接正六邊形ADBECF的一條不經過頂點的對稱軸，保留作圖痕跡(作圖過程用虛線表示，作圖結果用實線表示）．

【答案】（1）；（2）①見解析，②見解析【分析】（1）結合外心的定義和等邊三角形的性質推斷出CD垂直平分AB，從而利用垂徑定理得出結論即可；（2）①結合（1）的結論，可直接連接AO，BO，分別延長與圓相交，再順次連接各交點即可；②如圖，延長AF，EC，交于一點，此時可構成等邊三角形，從而連接交點與圓心的直線即為所求的對稱軸．【詳解】（1），∵O為三角形的外心，∴O為三角形三邊中垂線的交點，又∵三角形為等邊三角形，∴可得CD垂直平分AB，根據垂徑定理可得：；（2）①如圖所示，在（1）的基礎之上，連接AO，并延長至E，連接BO，并延長至F，順次連接圓周上各點即可；②如圖所示：（方法不唯一）【點睛】本題主要考查復雜作圖，以及正多邊形與圓之間的關系，熟練掌握正多邊形的性質是解題關鍵．2．（2022秋·九年級課時練習）如圖，已知AC為的直徑．請用尺規作圖法，作出的內接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）【答案】見解析【分析】作AC的垂直平分線交⊙O于B、D，則四邊形ABCD就是所求作的內接正方形．【詳解】解：如圖，正方形ABCD為所作．∵BD垂直平分AC，AC為的直徑，∴BD為的直徑，∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，∴四邊形ABCD是的內接正方形．【點睛】本題考查了作圖?復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓的基本性質，正方形的判定．3．（2022·江蘇·九年級專題練習）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.（1）如圖1，A為圓E上一點，請用直尺（不帶刻度）和圓規作出圓內接正方形；（2）我們知道，三角形具有性質，三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質：三條高交于同一點，請運用上述性質，只用直尺（不帶刻度）作圖：①如圖2，在□ABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F;②圖3，在由小正方形組成的網格中，的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高AH

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析.【分析】(1)作直徑AC，分別以A、C為圓心，以大于AC的一半長為半徑畫弧，在AC的兩側分別交于點M、N，作直線MN交圓于點B，D，四邊形ABCD即為所求；(2)①連接AC、BD交于點O，則O為BD的中點，連接BE交CO于點G，連接DG并延長交BC于點F，則F即為所求；②如圖，利用網格特點連接BM，則可得直線BM⊥AC，連接CN，則可得直線CN⊥AB，兩線交于點E，連接AE并延長交BC于點H，則AH即為所求.【詳解】(1)如圖所示，四邊形ABCD即為所求；(2)①如圖所示，點F即為所求；②如圖所示，AH即為所求.【點睛】本題考查了尺規作圖，無刻度直尺作圖，熟練掌握尺規作圖的方法以及無刻度直尺作圖的方法是解題的關鍵.4．（2021秋·江蘇·九年級專題練習）已知正五邊形，請僅用無刻度直尺作圖．（1）在圖1中作點P，使得是等腰三角形：（2）在圖2中作點，使點稱為正五邊形的中心．【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析．【分析】（1）直接利用正多邊形的性質得出頂點P的位置；（2）利用正五邊形的性質，得出對角線交點，進而得出其中心P點位置．【詳解】解：（1）如圖所示：點P為所求；（2）如圖所示：點O為所求；【點睛】此題主要考查了復雜作圖以及等腰三角形的性質和正多邊形的性質，正確應用正五邊形的性質是解題關鍵．5．（2021·江蘇無錫·九年級專題練習）已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖．（1）在圖①中，以AB為邊作等邊三角形；（2）在圖②中，作一個含30°的直角三角形．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）連接AD，BE交于點O，即可得到所求三角形；（2）連接AC，CF，即可得到所求三角形；【詳解】（1）如圖①所示：?AOB即為所求三角形；（2）如圖②所示：?ACF即為所求三角形．【點睛】本題主要考查正六邊形的性質，熟練掌握正六邊形的每條邊都相等，每個內角都等于120°，是解題的關鍵．6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）請用圓規和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：⊙O，點A在圓上．求作：以A為一頂點作圓內接正方形ABCD．【答案】見解析【分析】作直徑AC，過點O作BD⊥AC交⊙O于B，D，連接AB，BC，CD，AD即可．【詳解】如圖，四邊形ABCD即為所求作．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．二、填空題7．（2021秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內接正五邊形ABCDE的部分尺規作圖步驟如下：①作出半徑OF的中點H．②以點H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點G．③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點B，C，D，E．已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝__．（結果保留根號）【答案】【分析】連接AG，由作圖可知，OA＝2，H為OF中點，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可．【詳解】解：連接AG，由作圖可知，OA＝2，OH＝1，H為OF中點，∴OH=，在Rt△OAH中，由勾股定理∴AH＝，∵AH＝HG＝，∴OG＝GH﹣OH＝﹣1，在Rt△AOG中，由勾股定理得，∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2．故答案為：10﹣2．【點睛】本題考查尺規作圓內接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧，掌握圓內接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧的方法是解題關鍵．一．選擇題（共10小題）1．（2023?工業園區校級二模）閱讀理解：如圖1，在平面內選一定點O，引一條有方向的射線Ox，再選定一個單位長度，那么平面上任一點M的位置可由∠MOx的度數θ與OM的長度m確定，有序數對（θ，m）稱為M點的“極坐標”，這樣建立的坐標系稱為“極坐標系”．應用：在圖2的極坐標系下，如果正六邊形的邊長為4，有一邊OA在射線Ox上，則正六邊形的頂點C的極坐標應記為（）A．（60°，8） B．（45°，8） C． D．【分析】設正六邊形的中心為D，連接AD，判斷出△AOD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得OD＝OA，∠AOD＝60°，再求出OC，然后根據“極坐標”的定義寫出即可．【解答】解：如圖，設正六邊形的中心為D，連接AD，∵∠ADO＝360°÷6＝60°，OD＝AD，∴△AOD是等邊三角形，∴OD＝OA＝4，∠AOD＝60°，∴OC＝2OD＝2×4＝8，∴正六邊形的頂點C的極坐標應記為（60°，8）．故選：A．【點評】本題考查了正多邊形和圓，坐標確定位置，主要利用了正六邊形的性質，讀懂題目信息，理解“極坐標”的定義是解題的關鍵．2．（2023?鼓樓區模擬）下列圖形中，正多邊形內接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長最小的是（）A． B． C． D．【分析】根據圓內接多邊形的周長小于圓周長，再利用夾逼法對即可選擇答案．【解答】解：隨著圓內接正多邊形邊數的增加，它的周長和面積越來越接近圓周長和圓面積．故選：A．【點評】此題主要考查了正多邊形與圓，關鍵是知道圓內接多邊形的周長小于圓周長．3．（2023?梁溪區二模）如圖所示，A、B、C、D是一個外角為40°的正多邊形的頂點．若O為正多邊形的中心，則∠OAD的度數為（）A．14° B．40° C．30° D．15°【分析】連接OB、OC，利用任意凸多邊形的外角和均為360°，正多邊形的每個外角相等即可求出多邊形的邊數，再根據多邊形的內角和公式計算即可．【解答】解：連接OB、OC，多邊形的每個外角相等，且其和為360°，據此可得多邊形的邊數為：＝9，∴∠AOB＝，∴∠AOD＝40°×3＝120°．∴∠OAD＝＝＝30°．故選：C．【點評】本題主要考查了正多邊形的外角以及內角，熟記公式是解答本題的關鍵．4．（2023?姜堰區二模）一個正多邊形，它的每個內角是與其相鄰外角的3倍，則這個多邊形的邊數是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根據“多邊形的內角與其相鄰外角互補”可求出這個外角的度數，再根據正多邊形的外角和是360°即可求出答案．【解答】解：這個內角相鄰的外角為x，則這個內角為3x，由題意得，x+3x＝180°，解得x＝45°，由正多邊形的外角和是360°，所以這個正多邊形的邊數為360°÷45°＝8（條），故選：C．【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正多邊形的內角與其相鄰的外角互補以及外角和是360°是正確解答的前提．5．（2023?宜興市二模）已知正多邊形的一個外角為72°，則該正多邊形的邊數是（）A．5 B．6 C．8 D．10【分析】正多邊形的外角和是360°，這個正多邊形的每個外角相等，因而用360°除以外角的度數，就得到外角和中外角的個數，外角的個數就是多邊形的邊數．【解答】解：這個正多邊形的邊數：360°÷72°＝5．故選：A．【點評】本題考查了多邊形的內角與外角的關系，熟記正多邊形的邊數與外角的關系是解題的關鍵．6．（2023?丹陽市模擬）如圖，邊長相等的正五邊形和正六邊形如圖拼接在一起，則∠ABC的度數為（）A．22° B．23° C．24° D．25°【分析】根據正多邊形的內角和定理求得正五邊形和正六邊形的內角，根據周角的定義即可得到結論．【解答】解：由題意得：正六邊形的每個內角都等于120°，正五邊形的每個內角都等于108°，∴∠BAC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝＝24°，故選：C．【點評】本題考查了正多邊形和圓、熟練掌握正五邊形的內角，正六邊形的內角是解題的關鍵．7．（2022秋?南京期末）如圖，AB，CD分別是⊙O的內接正十邊形和正五邊形的邊，AD，BC交于點P，則∠APC的度數為（）A．126° B．127° C．128° D．129°【分析】連接OA、OB、OC、OD、BD，根據正多邊形的性質分別求出∠AOB、∠COD，再根據圓周角定理分別求出∠ADB、∠CBD，根據三角形內角和定理、對頂角相等解答即可．【解答】解：如圖，連接OA、OB、OC、OD、BD，∵AB，CD分別是⊙O的內接正十邊形和正五邊形的邊，∴∠AOB＝＝36°，∠COD＝＝72°，∴∠ADB＝∠AOB＝18°，∠CBD＝∠COD＝36°，∴∠APC＝∠BPD＝180°﹣18°﹣36°＝126°，故選：A．【點評】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的求法、圓周角定理是解題的關鍵．8．（2022秋?宿城區期末）如圖，A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心．若∠ADB＝18°，則這個正多邊形的邊數為（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】連接OA，OB，根據圓周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，即可得到結論．【解答】解：連接OA，OB，∵A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心，∴點A、B、C、D在以點O為圓心，OA為半徑的同一個圓上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴這個正多邊形的邊數＝＝10．故選：D．【點評】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確地理解題意是解題的關鍵．9．（2023?儀征市二模）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，點F在弧AE上．若∠CDF＝95°，則∠FCD的大小為（）A．38° B．42° C．49° D．58°【分析】連接OE，OD，CE，根據正五邊形的性質得出∠CDE的度數，從而得出∠FDE的度數即∠FCE的度數，再根據正五邊形ABCDE內接于⊙O，得出∠ECD的度數即可求解．【解答】解：如圖，連接OE，OD，CE，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∵∠CDF＝95°，∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝108°﹣95°＝13°，∴∠FCE＝13°，∵正五邊形ABCDE內接于⊙O，∴∠EOD＝360°÷5＝72°，∴∠ECD＝＝36°，∴∠FCD＝∠FCE+∠ECD＝36°+13°＝49°，故選：C．【點評】本題考查了正多邊形的性質，圓周角定理，根據正五邊形的性質得出∠CDE與∠EOD的度數是解題的關鍵．10．（2023?惠山區校級模擬）如圖，面積為6的正六邊形ABCDEF中，點M，N分別為邊BC，EF上的動點，則陰影部分面積為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】如圖，連接AD，BE，CF，交點為O，設EF與AD的距離為h，根據正六邊形的性質以及平行線間距離相等可得則，進而可求S△ADN，同理可求S△ADM的值，根據S陰影＝S正六邊形ABCDEF﹣S△ADM﹣S△ADN計算求解即可．【解答】解：如圖，連接AD，BE，CF，交點為O，由正六邊形ABCDEF可得，EF＝AO＝DO，即，AD∥EF∥BC，設EF與AD的距離為h，則，∵，∴S△ADN＝2，同理可得S△ADM＝2，∴S陰影＝S正六邊形ABCDEF﹣S△ADM﹣S△ADN＝2，故選：A．【點評】本題考查了正六邊形的性質，平行線間的距離相等．解題的關鍵在于確定陰影部分面積為正六邊形的面積與空白部分面積的差．二．填空題（共8小題）11．（2023?鎮江一模）如圖，點A、B、C、D、E是圓O上的五等分點，該圖形繞點O至少旋轉72度后與自身重合．【分析】分別找出外圍五等分所得圓弧、⊙O、△ACD各自至少旋轉至少度后與自身重合，綜合即可求解．【解答】解：外圍五等分所得圓弧旋轉至少72°后與自身重合，⊙O旋轉任意角度后與自身重合．故答案為：72．【點評】本題考查了旋轉對稱圖形的定義，理解定義是解題的關鍵．12．（2023?連云港）以正六邊形ABCDEF的頂點C為旋轉中心，按順時針方向旋轉，使得新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點D′落在直線BC上，則正六邊形ABCDEF至少旋轉60°．【分析】以正六邊形ABCDEF的頂點C為旋轉中心，按順時針方向旋轉，即∠DCD'是旋轉角，∠BCD＝120°，要使新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點D′落在直線BC上，則∠DCD'至少要旋轉60°．【解答】解：∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BCD＝120°，要使新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點D′落在直線BC上，則∠DCD'至少要旋轉60°．故答案為：60°．【點評】本題考查多邊形的性質和旋轉的性質，熟悉性質是解題關鍵．13．（2023?蘇州模擬）已知正六邊形的半徑為，則它的周長＝6．【分析】根據正六邊形的半徑等于邊長進行解答即可．【解答】解：∵正六邊形的半徑等于邊長，∴正六邊形的邊長，正六邊形的周長l＝6a＝6，故答案為：6．【點評】本題考查的是正六邊形的性質，解答此題的關鍵是熟知正六邊形的邊長等于半徑．14．（2023?蘇州二模）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，⊙O的半徑為1，過O作OM垂直AB，交AB于點M，則OM的長為．【分析】連接OB、OA．先證明△OBA是等邊三角形，求出BA、BM，再根據勾股定理求出OM即可．【解答】解：如圖，連接OB、OA．∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOA＝60°，OB＝OA＝1，∴△OBA是等邊三角形，∴BA＝OB＝OA＝1，∵OM⊥BA，∴BM＝AM＝，在Rt△OBM中，OM＝＝，故答案為：．【點評】本題考查正多邊形與圓、等邊三角形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握正六邊形的性質和等邊三角形的判定與性質是解題的關鍵，屬于中考常考題型．15．（2023?南京三模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，⊙O經過點E，且與AB，BC相切．若⊙O的半徑為4，則正六邊形的邊長為4+2．?【分析】先連接OB、OM、ON，根據題意可得△OBM≌△OBN，從而得出OB所在直線是正六邊形的一條對稱軸，再根據正六邊形的性質和勾股定理可得MB＝4，OB＝8，再根據軸對稱的性質得出B、O、E在一條直線上，即可得到BE的長，進而求出正六邊形的邊長．【解答】解：連接OB、OM、ON，如圖：∵⊙O與AB，BC相切．∴OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，OM＝ON，又∵OB＝OB，∴Rt△OBM≌Rt△OBN（HL），∴OB所在直線是正六邊形的一條對稱軸，在正六邊形ABCDEF中，∠ABC＝120°，∴∠MON＝60°，∴∠MOB＝30°，∵OM＝4，∴MB＝4，OB＝8，∵圓的對稱軸是直徑所在的直線，且經過點E，∴O、B、E三點共線，∴BE＝8+4，根據正六邊形的性質可得BC＝BE＝4+2，故答案為：4+2，【點評】本題考查正六邊形的性質和與圓有關的位置關系，軸對稱等知識，關鍵是判定出O、B、E三點共線，16．（2023?寶應縣二模）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖，已知A點的坐標是，則B點的坐標是．【分析】如圖，延長正六邊形的邊BM與x軸交于點E，過A作AN⊥x軸于N，連接AO，BO，證明∠BOE＝∠AON，可得A，O，B三點共線，可得A，B關于O對稱，從而可得答案．【解答】解：如圖，延長正六邊形的邊BM與x軸交于點E，過A作AN⊥x軸于N，連接AO，BO，∴三個正六邊形，O為原點，∴BM＝MO＝OH＝AH，∠BMO＝∠OHA＝120°，∴△BMO≌△OHA（SAS），∴OB＝OA，∴，∴∠BOE＝60°，∠BEO＝90°，同理：∠AON＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∠OAN＝90°﹣60°＝30°，∴∠BOE＝∠AON，∴A，O，B三點共線，∴A，B關于O對稱，∴．故答案為：．【點評】本題考查的是坐標與圖形的性質，全等三角形的判定與性質，關于原點成中心對稱的兩個點的坐標特點，正多邊形的性質，熟練的應用正多邊形的性質解題是解本題的關鍵．17．（2023?玄武區一模）如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，以AB為邊在正六邊形ABCDEF的內部作正方形ABMN，連接OD，ON，則∠DON＝105°．?【分析】連接OA，OB，OE，OF，利用正六邊形的性質得到OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，則△OAB為等邊三角形，D，O，A在一條直線上；利用正方形的性質，等邊三角形的性質和等腰三角形的性質求得∠AON的度數，則結論可得．【解答】解：連接OA，OB，OE，OF，如圖，∵點O是正六邊形ABCDEF的中心，∴OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，∴△OAB為等邊三角形，∠AOF+∠FOE+∠EOD＝180°，∴D，O，A在一條直線上，∠OAB＝60°，OA＝AB．∵以AB為邊在正六邊形ABCDEF的內部作正方形ABMN，∴∠NAB＝90°，AB＝AN，∴∠NAO＝30°，OA＝AN，∴∠AON＝∠ANO＝＝75°，∴∠NOD＝180°﹣∠AON＝105°．故答案為：105．【點評】本題主要考查了正六邊形的性質，等邊三角形的性質，正方形的性質，等腰三角形的判定與性質，三角形的內角和定理，連接正六邊形的半徑，證得D，O，A在一條直線上是解題的關鍵．18．（2023?高港區二模）如圖，點M在正六邊形的邊EF上運動．若∠ABM＝x°，寫出一個符合條件的x的值50°（答案不唯一）．【分析】由正多邊形的性質和平行線的性質求得∠ABF＝30°，∠ABE＝60°可得x的取值范圍30°≤x≤60°，即可得到答案．【解答】解：連接BF，BE，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AF∥BE，∴∠A＝∠ABC＝∠AFE＝＝120°，AB＝AF，∴∠ABF＝＝30°，∠ABE＝180°﹣∠A＝60°，∵點M在正六邊形的邊EF上運動，∠ABM＝x°，∴30°≤x≤60°，∴x＝50°．故答案為：50°（答案不唯一）．【點評】本題主要考查了正多邊形和圓，根據正多邊形的性質和平行線的性質求得∠ABF＝30°，∠ABE＝60°得到x的取值范圍是解決問題的關鍵．三．解答題（共7小題）19．（2022秋?鹽都區校級月考）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．（1）求∠CPD的度數；（2）當點P為的中點時，CP是⊙O的內接正n邊形的一邊，求n的值．【分析】（1）連接OD，OC，根據正方形ABCD內接于⊙O，結合圓周角定理可得∠CPD；（2）結合正多邊形的性質以及圓周角定理得出∠COP的度數，進而得出答案．【解答】解：（1）連接OD，OC，∵正方形ABCD內接于⊙O，∴∠DOC＝90°．∴；（2）連接PO，OB，∵正方形ABCD內接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵點P為BC的中點，∴＝，∴，∴n＝360÷45＝8．【點評】此題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質，正確掌握正方形的性質是解題關鍵．20．（2020秋?灌云縣月考）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，P為上一點，連接DP，CP．（1）∠CPD＝45°；（2）若DC＝4，CP＝，求DP的長．【分析】（1）連接BD，根據正方形ABCD內接于⊙O，可得∠CPD＝∠DBC＝45°；（2）作CH⊥DP于H，因為CP＝2，∠CPD＝45°，可得CH＝PH＝2，因為DC＝4，所以DH＝，即DP＝PH+DH＝2+2．【解答】解：（1）如圖，連接BD，∵正方形ABCD內接于⊙O，P為上一點，∴∠DBC＝45°，∵∠CPD＝∠DBC，∴∠CPD＝45°．故答案為：45；（2）如圖，作CH⊥DP于H，∵CP＝2，∠CPD＝45°，∴CH＝PH＝2，∵DC＝4，∴DH＝＝＝2，∴DP＝PH+DH＝2+2．【點評】本題考查圓周角定理，正方形的性質，勾股定理．解題的關鍵是掌握圓周角定理．21．（2023?鼓樓區二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接矩形，點E、F分別在射線AB、AD上，OE＝OF，且點C、E、F在一條直線上，EF與⊙O相切于點C．?（1）求證：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，則正方形ABCD的面積是10．【分析】（1）連接AC，證明△AOF≌△AOE（SAS），可得AF＝AE，然后證明AB＝CB，即可解決問題；（2）根據勾股定理求出OC＝2，進而可以求出正方形ABCD的面積．【解答】（1）證明：如圖，連接AC，∵四邊形ABCD是⊙O的內接矩形，∴AC是⊙O的直徑，∵EF與⊙O相切于點C，∴AC⊥EF，∵OE＝OF，∴CF＝CE，∠FOC＝∠EOC，∴∠AOF＝∠AOE，∵OA＝OA，∴△AOF≌△AOE（SAS），∴AF＝AE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠FAE＝90°，∴AC＝EF＝CF＝CE，∴∠CAE＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝CB，∴矩形ABCD是正方形；（2）解：∵OC＝AC，AC＝CF，∴CF＝2OC，∵OF＝10，OF2＝OC2+CF2，∴102＝OC2+4OC2，∴OC＝2，∴AB＝OC＝，∴AB2＝10，∴正方形ABCD的面積是10．故答案為：10．【點評】本題考查的是正多邊形和圓，矩形的性質，正方形的判定