課時分層作業(五十三)(本試卷共102分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．已知點P(x0，y0)為圓C：x2＋y2＝2上的動點，則直線l：x0x－y0y＝2與圓C的位置關系為()A．相交 B．相離C．相切 D．相切或相交C[由題意可得xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2，于是圓心C到直線l的距離d＝eq\f(2,\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)))＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)＝r，所以直線和圓相切．故選C.]2．(2024·北京高考)圓x2＋y2－2x＋6y＝0的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為()A．eq\r(2) B．2C．3 D．3eq\r(2)D[化圓的方程為標準方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以該圓的圓心(1，－3)到直線x－y＋2＝0的距離為eq\f(|1－－3＋2|,\r(12＋－12))＝eq\f(6,\r(2))＝3eq\r(2).故選D.]3．已知直線l經過點P(2,1)，且與圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝9相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為()A．x－y－1＝0或7x＋y－15＝0B．x－2y＝0或7x＋y－15＝0C．4x＋3y－11＝0或3x＋4y－10＝0D．4x－3y－5＝0或3x－4y－2＝0A[已知弦長|AB|＝2，半徑r＝3.根據垂徑定理知圓心到直線l的距離為d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2).把r＝3，|AB|＝2代入可得d＝eq\r(9－1)＝2eq\r(2).當直線l的斜率不存在時，直線l方程為x＝2，此時圓心C(－1,2)到直線x＝2的距離為2－(－1)＝3≠2eq\r(2)，所以直線l的斜率不存在不滿足條件．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0.根據點到直線的距離公式，以及圓心C(－1，2)到直線kx－y－2k＋1＝0的距離d＝2eq\r(2)，可得eq\f(|－k－2－2k＋1|,\r(k2＋1))＝2eq\r(2)，即eq\f(|－3k－1|,\r(k2＋1))＝2eq\r(2)，兩邊平方得eq\f(3k＋12,k2＋1)＝8，展開得9k2＋6k＋1＝8k2＋8，解得k＝1或k＝－7.當k＝1時，直線l的方程為y－1＝x－2，即x－y－1＝0.當k＝－7時，直線l的方程為y－1＝－7·(x－2)，即7x＋y－15＝0.綜上可得，直線l的方程為x－y－1＝0或7x＋y－15＝0.故選A.]4．已知A，B分別為x軸、y軸上的動點，O為坐標原點，若以AB為直徑的圓與直線2x＋y－4＝0相切，則該圓面積的最小值為()A．eq\f(π,5) B．eq\f(2π,5)C．eq\f(4π,5) D．πC[因為AB為圓的直徑，∠AOB＝90°，所以O點必在圓上．由點O向直線2x＋y－4＝0作垂線，垂足為D(圖略)，當點D恰好為圓與直線的切點時，圓的半徑最小，此時圓的直徑為O(0,0)到直線2x＋y－4＝0的距離d＝eq\f(|0＋0－4|,\r(22＋12))＝eq\f(4\r(5),5)，即半徑r＝eq\f(2\r(5),5)，所以圓的最小面積Smin＝πr2＝eq\f(4π,5).故選C.]5．若一條光線從點A(－2，－3)射出，經y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)D[點(－2，－3)關于y軸的對稱點為(2，－3)，由題意知，反射光線所在的直線一定過點(2，－3)．設反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切，得eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).故選D.]6．(2023·新高考Ⅰ卷)過點(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝()A．1 B．eq\f(\r(15),4)C．eq\f(\r(10),4) D．eq\f(\r(6),4)B[如圖，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圓心坐標為(2,0)，半徑r＝eq\r(5)，所以圓心到點(0，－2)的距離為eq\r(2－02＋0＋22)＝2eq\r(2).由于圓心與點(0，－2)的連線平分角α，所以sineq\f(α,2)＝eq\f(r,2\r(2))＝eq\f(\r(5),2\r(2))＝eq\f(\r(10),4)，所以coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),4)，所以sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝2×eq\f(\r(10),4)×eq\f(\r(6),4)＝eq\f(\r(15),4).故選B.]7．已知直線y＝x＋b與曲線y＝eq\r(1－x2)恰有一個公共點，則實數b的取值范圍為()A．[－1,1) B．[1，eq\r(2))C．[－1,1)∪{eq\r(2)} D．(－1,1]∪{－eq\r(2)}C[由y＝eq\r(1－x2)，得x2＋y2＝1(y≥0)表示圓心為(0,0)，半徑為r＝1的上半圓(含半圓端點)，如圖，由于直線y＝x＋b與曲線y＝eq\r(1－x2)有且只有一個公共點，則當直線與半圓相切時，圓心到直線y＝x＋b的距離為d＝eq\f(|b|,\r(12＋－12))＝1，解得b＝eq\r(2)或b＝－eq\r(2)(舍去)；當直線與半圓相交時，代入(－1，0)，得0＝－1＋b，解得b＝1，代入(1,0)得0＝1＋b，解得b＝－1，則當b∈[－1,1)時，直線與半圓有一個交點，所以實數b的取值范圍為[－1,1)∪{eq\r(2)}．故選C.]8．在平面直角坐標系Oxy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，則圓心C的橫坐標a的取值范圍為()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，\f(12,5))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5)))D[因為圓心C的橫坐標為a，則圓心C的坐標為(a,2a－4)，所以圓C的方程為(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1.設M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，可得eq\r(x2＋y－32)＝2eq\r(x2＋y2)，整理得x2＋(y＋1)2＝4，則圓(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1與圓x2＋(y＋1)2＝4有公共點，則2－1≤eq\r(0－a2＋－1－2a＋42)≤2＋1，即1≤5a2－12a＋9≤9，解得0≤a≤eq\f(12,5).故選D.]二、多項選擇題9．(2025·濱州模擬)已知圓O：x2＋y2＝4，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)·x＋(m＋1)y－7m－4＝0，P(2,4)，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B.下列說法正確的是()A．圓C與圓O相交B．直線l過定點(3,1)C．圓C被直線l截得的弦長的最小值為4eq\r(5)D．直線AB的方程為x＋2y－2＝0BCD[由圓O：x2＋y2＝4，得圓心O(0,0)，半徑r1＝2，由圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，得圓心C(1,2)，半徑r2＝5，則兩圓心之間的距離eq\r(5)<5－2＝3，所以圓C與圓O內含，故A錯誤；l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，所以2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))所以直線l過定點Q(3,1)，故B正確；當直線l與CQ垂直時，弦長最小，則圓心C到直線l的距離為d＝|CQ|＝eq\r(3－12＋1－22)＝eq\r(5)，所以最小弦長為2eq\r(r\o\al(2,2)－d2)＝2eq\r(25－5)＝4eq\r(5)，故C正確；過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，則P，A，O，B四點所在圓的圓心為PO的中點(1,2)，半徑為eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以P，A，O，B四點所在圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5，故直線AB為圓(x－1)2＋(y－2)2＝5與圓O：x2＋y2＝4的公共弦，(x－1)2＋(y－2)2＝5與圓O：x2＋y2＝4兩式相減得x＋2y－2＝0，故D正確．故選BCD.]10．(2021·新高考Ⅰ卷)已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點A(4,0)，B(0,2)，則()A．點P到直線AB的距離小于10B．點P到直線AB的距離大于2C．當∠PBA最小時，|PB|＝3eq\r(,2)D．當∠PBA最大時，|PB|＝3eq\r(,2)ACD[設圓(x－5)2＋(y－5)2＝16的圓心為M(5,5)，由題易知直線AB的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，則圓心M到直線AB的距離d＝eq\f(|5＋2×5－4|,\r(,5))＝eq\f(11,\r(,5))＞4，所以直線AB與圓M相離，所以點P到直線AB的距離的最大值為4＋d＝4＋eq\f(11,\r(,5))，4＋eq\f(11,\r(,5))＜5＋eq\r(,\f(125,5))＝10，故A正確；易知點P到直線AB的距離的最小值為d－4＝eq\f(11,\r(,5))－4，eq\f(11,\r(,5))－4＜eq\r(,\f(125,5))－4＝1，故B錯誤；過點B作圓M的兩條切線，切點分別為N，Q，如圖所示，連接MB，MN，MQ，則當∠PBA最小時，點P與點N重合，|PB|＝eq\r(,|MB|2－|MN|2)＝eq\r(,52＋5－22－42)＝3eq\r(,2)，當∠PBA最大時，點P與點Q重合，|PB|＝3eq\r(,2)，故C，D都正確．故選ACD.]三、填空題11．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為eq\f(8,5)”的m的一個值：________.2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一個均可))[設直線x－my＋1＝0為直線l，由條件知⊙C的圓心C(1,0)，半徑R＝2，C到直線l的距離d＝eq\f(2,\r(1＋m2))，|AB|＝2eq\r(R2－d2)＝2eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(1＋m2))))2)＝eq\f(4|m|,\r(1＋m2)).由S△ABC＝eq\f(8,5)，得eq\f(1,2)×eq\f(4|m|,\r(1＋m2))×eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(8,5)，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±eq\f(1,2).故答案可以為2.]12．(2025·青島模擬)已知圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)只有一條公切線，則a＋b的最小值為________.－eq\r(2)[圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0的圓心C1(－a,0)，半徑r1＝2，圓C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0的圓心C2(0，b)，半徑r2＝1，由兩個圓只有一條公切線可得兩個圓內切，圓心距|C1C2|＝eq\r(a2＋b2)＝2－1＝1，所以可得a2＋b2＝1.設a＝cosα，b＝sinα，α∈R，所以a＋b＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，當且僅當α＋eq\f(π,4)＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即α＝－eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z時，a＋b的最小值為－eq\r(2).]13．已知點P為直線l：x－y＋1＝0上的動點，若在圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1上存在兩點M，N，使得∠MPN＝60°，則點P的橫坐標的取值范圍為___________．[0,2][圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的圓心為C(2，1)，半徑r＝1，當PM，PN與圓C相切且∠MPN＝60°時，|PC|＝2r＝2.以C(2,1)為圓心，半徑為2的圓的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,x－22＋y－12＝4，))消去y并化簡，得x2－2x＝0，解得x＝0或x＝2，所以點P的橫坐標的取值范圍為[0,2]．]14．已知⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：x＋2y＋2＝0，M為直線l上的動點，過點M作⊙C的切線MA，MB，切點為A，B，當四邊形MACB的面積取最小值時，直線AB的方程為________.x＋2y＋1＝0[⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4，則圓心C(1,1)，半徑r＝2.因為四邊形MACB的面積S＝2S△CAM＝|CA|·|AM|＝2|AM|＝2eq\r(|CM|2－4)，所以要使四邊形MACB的面積最小，則需|CM|最小，此時CM與直線l垂直，直線CM的方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x＋2y＋2＝0，))解得M(0，－1)．則|CM|＝eq\r(5)，所以以CM為直徑的圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2＝eq\f(5,4).與⊙C的方程作差可得直線AB的方程為x＋2y＋1＝0.]四、解答題15．(15分)已知圓C：(x＋2)2＋y2＝1，直線x－y＋m＝0與圓C交于E，F兩點．(1)若|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，求實數m的值；(2)求eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))的取值范圍(O為坐標原點)．解：(1)由題意得，圓心C(－2,0)，r＝1，圓心到直線x－y＋m＝0的距離d＝eq\f(|－2＋m|,\r(2))＝eq\f(|m－2|,\r(2))<1，則2－eq\r(2)<m<2＋eq\r(2).又因為|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(m－22,2))＝eq\r(3)，解得m＝2＋eq\f(\r(2),2)或m＝2－eq\f(\r(2),2)，所以m的值為2＋eq\f(\r(2),2)或2－eq\f(\r(2),2).(2)設E(x1，y1)，F(x2，y2)，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋22＋y2＝1，,x－y＋m＝0，))得2x2＋2(m＋2)x＋3＋m2＝0.由題意得Δ＝4(m＋2)2－8(3＋m2)>0，即2－eq\r(2)<m<2＋eq\r(2).由根與系數的關系得x1＋x2＝－m－2，x1x2＝eq\f(3＋m2,2)，eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)·(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2－2m＋3＝(m－1)2＋2.又因為2－eq\r(2)<m<2＋eq\r(2)，所以當m＝1時，eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))有最小值2，當m＝2＋eq\r(2)時，eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))有最大值5＋2eq\r(2)，故eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))的取值范圍為[2,5＋2eq\r(2))．16．(15分)(2021·全國甲卷)拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x＝1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ.已知點M(2,0)，且⊙M與l相切．(1)求C，⊙M的方程；(2)設A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切．判斷直線A2A3與⊙M的位置關系，并說明理由．解：(1)由題意，直線x＝1與C交于P，Q兩點，且OP