第4課時事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式[考試要求]1.了解兩個事件相互獨立的含義.2.理解隨機事件的獨立性和條件概率的關系，會利用全概率公式計算概率．1．事件的相互獨立性概念對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立性質若事件A與事件B相互獨立，則A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)2．條件概率(1)概念：一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率，簡稱條件概率．(2)兩個公式①利用古典概型：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).3．全概率公式一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)，我們稱該公式為全概率公式．[常用結論]1．事件的關系與運算(1)A，B都發生的事件為AB；A，B都不發生的事件為eq\x\to(A)eq\x\to(B).(2)A，B恰有一個發生的事件為Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B；A，B至多有一個發生的事件為eq\x\to(A)B＋Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)eq\x\to(B).2．*貝葉斯公式：設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiPB|Ai,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1，2，…，n.3．P(AB)求法(1)古典概型；(2)相互獨立事件：P(AB)＝P(A)·P(B)；(3)概率的乘法公式P(AB)＝P(A)·P(B|A)．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)相互獨立事件就是互斥事件．(×)(2)對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)·P(B)都成立．(×)(3)P(B|A)表示在事件A發生的條件下，事件B發生的概率，P(AB)表示事件A，B同時發生的概率．(√)(4)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．(√)二、教材經典衍生1．(多選)(人教A版必修第二冊P266復習參考題10T1改編)袋內有3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”記為B，其對立事件記為C，那么事件A與B，A與C的關系是()A．A與B相互獨立 B．A與C相互獨立C．A與C互斥 D．A與B互斥AB[由于摸球過程是有放回地，所以第一次摸球的結果對第二次摸球的結果沒有影響，故事件A與B，A與C均相互獨立，且A與B，A與C均有可能同時發生，說明A與B，A與C均不互斥．]2．(人教A版選擇性必修第三冊P46例1改編)在5道題中有3道代數題和2道幾何題．如果不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到幾何題的條件下，第2次抽到代數題的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(3,4)D[根據題意，在第1次抽到幾何題后，還剩4道題，其中有3道代數題，則第2次抽到代數題的概率P＝eq\f(3,4).故選D.]3．(人教A版必修第二冊P253練習T3改編)天氣預報：元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假設在這段時間內兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為()A．0.2 B．0.3C．0.38 D．0.56C[設“甲地降雨”為事件A，“乙地降雨”為事件B，則兩地恰有一地降雨為Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B，所以P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.]4．(人教A版選擇性必修第三冊P50例4改編)某同學喜愛籃球和跑步．在暑假期間，該同學下午去打籃球的概率為eq\f(3,4).若該同學下午去打籃球，則晚上一定去跑步；若下午不去打籃球，則晚上去跑步的概率為eq\f(2,3).已知該同學在某天晚上去跑步，則下午打過籃球的概率為.eq\f(9,11)[設“下午打籃球”為事件A，“晚上跑步”為事件B，易知P(A)＝P(AB)＝eq\f(3,4)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，所以P(B)＝P(AB)＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)＋P(eq\x\to(A))·P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(11,12)，所以P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(9,11).]考點一事件的相互獨立性[典例1](1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標有數字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則()A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立(2)已知從甲袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,3)，從乙袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,2)，現從兩袋中各摸出一個球，下列結論錯誤的是()A．兩個球都是紅球的概率為eq\f(1,6)B．兩個球中恰有1個紅球的概率為eq\f(1,2)C．兩個球不都是紅球的概率為eq\f(1,3)D．至少有1個紅球的概率為eq\f(2,3)(1)B(2)C[(1)事件甲發生的概率P(甲)＝eq\f(1,6)，事件乙發生的概率P(乙)＝eq\f(1,6)，事件丙發生的概率P(丙)＝eq\f(5,6×6)＝eq\f(5,36)，事件丁發生的概率P(丁)＝eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6).事件甲與事件丙同時發生的概率為0，P(甲丙)≠P(甲)·P(丙)，A錯誤；事件甲與事件丁同時發生的概率為eq\f(1,6×6)＝eq\f(1,36)，P(甲丁)＝P(甲)·P(丁)，B正確；事件乙與事件丙同時發生的概率為eq\f(1,6×6)＝eq\f(1,36)，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，C錯誤；事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨立事件，D錯誤．故選B.(2)兩個球都是紅球的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，A正確；兩個球中恰有1個紅球的概率為eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，B正確；兩個球不都是紅球的對立事件為兩個球都是紅球，所以所求概率為1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)，C錯誤；至少有1個紅球包含兩個球都是紅球、兩個球中恰有一個紅球，所以概率為eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)，D正確．故選C.]1.兩個事件是否相互獨立的判斷(1)直接法：由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響．(2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，則事件A，B為相互獨立事件．2．求相互獨立事件同時發生的概率的方法(1)首先判斷幾個事件的發生是否相互獨立．(2)求相互獨立事件同時發生的概率的方法主要有：①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解．②正面計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算．[跟進訓練]1．(1)(2024·上海高考)有四個禮盒，前三個里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現從中任選一個盒子，設事件A：所選盒中有中國結，事件B：所選盒中有記事本，事件C：所選盒中有筆袋，則()A．事件A與事件B互斥B．事件A與事件B相互獨立C．事件A與事件B∪C互斥D．事件A與事件B∩C相互獨立(2)11分制乒乓球比賽，每贏1球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．已知甲、乙兩位同學進行11分制乒乓球比賽，雙方10∶10平后，甲先發球，假設甲發球時甲得分的概率為0.5，乙發球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立．①求事件“兩人又打了2個球比賽結束”的概率；②求事件“兩人又打了4個球比賽結束且甲獲勝”的概率．(1)B[(1)對于A，事件A和事件B可以同時發生，即第四個禮盒中可以既有中國結，又有記事本，事件A與事件B不互斥，故A錯誤；對于B，因為P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(A∩B)＝eq\f(1,4)，所以P(A)P(B)＝P(A∩B)，故B正確；對于C，事件A與事件B∪C可以同時發生，即第四個禮盒中可以既有中國結，又有記事本或筆袋，故C錯誤；對于D，因為P(A)＝eq\f(1,2)，P(B∩C)＝eq\f(1,4)，P(A∩(B∩C))＝eq\f(1,4)，所以P(A)P(B∩C)≠P(A∩(B∩C))，所以A與B∩C不獨立，故D錯誤．故選B.](2)解：①設雙方10∶10平后的第k個球甲獲勝為事件Ak(k＝1,2,3，…)，又打了X個球比賽結束，則P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(eq\x\to(A1)eq\x\to(A2))＝P(A1)P(A2)＋P(eq\x\to(A1))P(eq\x\to(A2))＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.②P(X＝4且甲獲勝)＝P(A1eq\x\to(A2)A3A4)＋P(eq\x\to(A1)A2A3A4)＝P(A1)P(eq\x\to(A2))P(A3)P(A4)＋P(eq\x\to(A1))P(A2)P(A3)P(A4)＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1.考點二條件概率[典例2](1)(2023·全國甲卷)某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰，50%的同學愛好滑雪，70%的同學愛好滑冰或愛好滑雪．在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為()A．0.8 B．0.6C．0.5 D．0.4(2)一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，若從中一次性任取3球，則恰有一個白球的概率是________；若從中不放回地取球2次，每次任取1球，記“第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到紅球”為事件B，則P(B|A)＝________.(1)A(2)eq\f(3,5)eq\f(3,5)[(1)法一(圖示法)：如圖，左圓表示愛好滑冰的學生所占比例，右圓表示愛好滑雪的學生所占比例，A表示愛好滑冰且不愛好滑雪的學生所占比例，B表示既愛好滑冰又愛好滑雪的學生所占比例，C表示愛好滑雪且不愛好滑冰的學生所占比例，則0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若該學生愛好滑雪，則他也愛好滑冰的概率為eq\f(B,B＋C)＝eq\f(0.4,0.5)＝0.8.故選A.法二(運用條件概率的計算公式求解)：令事件A，B分別表示“該學生愛好滑冰”“該學生愛好滑雪”，事件C“表示該學生愛好滑雪的條件下也愛好滑冰”，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(0.4,0.5)＝0.8.故選A.(2)恰有一個白球的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)；由題可知A＝“第一次取到紅球”，B＝“第二次取到紅球”，則P(A)＝eq\f(2,3)，P(AB)＝eq\f(4×3,6×5)＝eq\f(2,5)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,5).]求條件概率的兩種方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，這是求條件概率的通法．(2)縮小樣本空間法，借助古典概型概率公式，先求事件A包含的樣本點數n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的樣本點數n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).[跟進訓練]2．(1)(2024·天津高考)有A，B，C，D，E五個活動，甲、乙都要選擇三個活動參加．甲選到A的概率為；已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為___________.(2)(2022·天津高考)現有52張撲克牌(去掉大小王)，每次取一張，取后不放回，則兩次都抽到A的概率為________；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為________________．(1)eq\f(3,5)eq\f(1,2)(2)eq\f(1,221)eq\f(1,17)[(1)法一：從五個活動中選三個的情況有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10種，其中甲選到A的情況有6種：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，所以甲選到A的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).乙選A活動的情況有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，共6種，乙同時選了A，B兩個活動的情況有ABC，ABD，ABE，共3種，所以乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).法二：設甲、乙選到A活動分別為事件M，N，乙選到B活動為事件Q，則甲選到A的概率為P(M)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)；乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為P(Q|N)＝eq\f(PNQ,PN)＝eq\f(\f(C\o\al(1,3),C\o\al(3,5)),\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5)))＝eq\f(1,2).(2)由題意，設“第一次抽到A”為事件B，“第二次抽到A”為事件C，則P(BC)＝eq\f(4×3,52×51)＝eq\f(1,221)，又P(B)＝eq\f(4,52)＝eq\f(1,13)，所以P(C|B)＝eq\f(PBC,PB)＝eq\f(\f(1,221),\f(1,13))＝eq\f(1,17).]考點三全概率公式的應用[典例3]假設有兩個密閉的盒子，第一個盒子里裝有3個白球、2個紅球，第二個盒子里裝有2個白球、4個紅球，這些小球除顏色外完全相同．(1)每次從第一個盒子里隨機取出一個球，取出的球不再放回，經過兩次取球，求取出的兩球中有紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率．(2)若先從第一個盒子里隨機取出一個球放入第二個盒子中，搖勻后，再從第二個盒子里隨機取出一個球，求從第二個盒子里取出的球是紅球的概率．解：(1)依題意，記事件Ai表示第i次從第一個盒子里取出紅球，記事件B表示兩次取球中有紅球，則P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3×2,5×4)＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10)，P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A2))B)＝eq\f(PA2B,PB)＝eq\f(PA1A2＋P\x\to(A1)A2,PB)＝eq\f(\f(2×1,5×4)＋\f(3×2,5×4),\f(7,10))＝eq\f(4,7).(2)記事件C1表示從第一個盒子里取出紅球，記事件C2表示從第一個盒子里取出白球，記事件D表示從第二個盒子里取出紅球，則P(D)＝P(C1)P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(D))C1)＋P(C2)·P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(D))C2)＝eq\f(2,5)×eq\f(5,7)＋eq\f(3,5)×eq\f(4,7)＝eq\f(22,35).“化整為零”求多事件的全概率問題(1)如圖，P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)．(2)已知事件B的發生有各種可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B發生的可能性，就是各種可能情形Ai發生的可能性與已知在Ai發生的條件下事件B發生的可能性的乘積之和．[跟進訓練]3．(1)(2024·上海高考)某校舉辦科學競技比賽，有A，B，C3種題庫，A題庫有5000道題，B題庫有4000道題，C題庫有3000道題．小申已完成所有題，已知小申完成A題庫的正確率是0.92，B題庫的正確率是0.86，C題庫的正確率是0.72.現他從所有的題中隨機選一題，正確率是________.(2)有一批同規格的產品，由甲、乙、丙三家工廠生產，其中甲、乙、丙工廠分別生產3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工廠的次品率依次為6%,5%,5%，現從這批產品中任取一件，則取到次品的概率為________；若取到的是次品，則其來自甲廠的概率為.(1)0.85(2)eq\f(53,1000)eq\f(18,53)[(1)由題意知，A，B，C題庫的比例為5∶4∶3，各占比分別為eq\f(5,12)，eq\f(4,12)，eq\f(3,12)，則根據全概率公式知所求正確率p＝eq\f(5,12)×0.92＋eq\f(4,12)×0.86＋eq\f(3,12)×0.72＝0.85.(2)設“任取一件產品來自甲廠”為事件A1、“來自乙廠”為事件A2、“來自丙廠”為事件A3，則A1，A2，A3彼此互斥，且A1∪A2∪A3＝Ω，P(A1)＝eq\f(3000,3000＋3000＋4000)＝eq\f(3,10)，P(A2)＝eq\f(3000,3000＋3000＋4000)＝eq\f(3,10)，P(A3)＝eq\f(4000,3000＋3000＋4000)＝eq\f(2,5)，設“任取一件產品，取到的是次品”為事件B，則P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)·P(Beq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(A1))＋P(A2)P(Beq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(A2)))＋P(A3)P(Beq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(A3)))＝eq\f(3,10)×eq\f(6,100)＋eq\f(3,10)×eq\f(5,100)＋eq\f(2,5)×eq\f(5,100)＝eq\f(53,1000).如果取到的零件是次品，那么它是來自甲廠生產的概率為P(A1eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(B)))＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(A1)),PB)＝eq\f(\f(3,10)×\f(6,100),\f(53,1000))＝eq\f(18,53).]課時分層作業(六十六)(本試卷共92分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．在一段時間內，若甲去參觀市博物館的概率為0.6，乙去參觀市博物館的概率為0.5，且甲、乙兩人各自行動，則在這段時間內，甲、乙兩人至少有一人去參觀市博物館的概率是()A．0.3 B．0.32C．0.8 D．0.84C[依題意，在這段時間內，甲、乙都不去參觀市博物館的概率為P1＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2，所以在這段時間內，甲、乙兩人至少有一人去參觀市博物館的概率是P＝1－P1＝1－0.2＝0.8.故選C.]2．現有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部．若已知某人報名足球俱樂部，則其報名乒乓球俱樂部的概率為()A．0.8 B．0.4C．0.2 D．0.1A[根據題意，在報名足球或乒乓球俱樂部的70人中，設某人報足球俱樂部為事件A，報乒乓球俱樂部為事件B，則P(A)＝eq\f(50,70)＝eq\f(5,7)，由于有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，則同時報名兩個俱樂部的有50＋60－70＝40(人)，則P(AB)＝eq\f(40,70)＝eq\f(4,7)，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(4,7),\f(5,7))＝0.8.故選A.]3．(2025·濱州模擬)已知某地市場上供應的一種電子產品中，甲廠產品占60%，乙廠產品占40%，甲廠產品的合格率是95%，乙廠產品的合格率是90%，則從該地市場上買到一個合格產品的概率是()A．0.92 B．0.93C．0.94 D．0.95B[從某地市場上購買一個電子產品，設買到的電子產品是甲廠產品為事件A，設買到的電子產品是乙廠產品為事件B，則由題意可知P(A)＝60%，P(B)＝40%.從甲廠電子產品中購買一個，設買到的電子產品是合格產品為事件C，從乙廠電子產品中購買一個，設買到的電子產品是合格產品為事件D，則由題意可知P(C)＝95%，P(D)＝90%.由題意可知A，B，C，D互相獨立，故從該地市場上買到一個合格產品的概率是P(AC)＋P(BD)＝P(A)·P(C)＋P(B)P(D)＝60%×95%＋40%×90%＝0.93.故選B.]4．已知P(B)＝0.4，P(B|A)＝0.8，P(B|eq\x\to(A))＝0.3，則P(A)＝()A．eq\f(3,4) B．eq\f(3,8)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,5)D[P(B)＝P(AB＋eq\x\to(A)B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))·P(B|eq\x\to(A))，即0.4＝0.8P(A)＋0.3[1－P(A)]，解得P(A)＝0.2＝eq\f(1,5).故選D.]5．從1，2，3，4，5中隨機選取三個不同的數，若這三個數之積為偶數，則它們之和大于8的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,9) D．eq\f(5,9)D[從1，2，3，4，5中隨機選取三個不同的數可得基本事件為(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10種情況，若這三個數之積為偶數，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共9種情況，它們之和大于8有(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共5種情況．從1，2，3，4，5中隨機選取三個不同的數，若這三個數之積為偶數，則它們之和大于8的概率為P＝eq\f(5,9).故選D.]6．已知事件A，B滿足P(A|B)＝0.7，P(eq\x\to(A))＝0.3，則()A．P(A∩B)＝0.3 B．P(B|A)＝0.3C．事件A，B相互獨立 D．事件A，B互斥C[由題設P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝0.7＝P(A|B)，所以P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(A)P(B)，即A，B相互獨立，同一試驗中不互斥．而P(B)未知，無法確定P(A∩B)，P(B|A)．故選C.]7．(2025·東營模擬)籃球隊的5名隊員進行傳球訓練，每位隊員把球傳給其他4人的概率相等，由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的概率為()A．eq\f(15,64) B．eq\f(9,32)C．eq\f(27,64) D．eq\f(33,64)D[由題意可知每位隊員把球傳給其他4人的概率都為eq\f(1,4)，由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的情況可分為：只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，則概率為eq\f(1,4)×1×eq\f(3,4)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,4)×1＋eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(33,64).故選D.]8．設某醫院倉庫中有10盒同樣規格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產的，且甲、乙、丙三廠生產該種X光片的次品率依次為eq\f(1,10)，eq\f(1,15)，eq\f(1,20).現從這10盒中任取1盒，再從這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為()A．0.08 B．0.1C．0.15 D．0.2A[以事件A1，A2，A3分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產的，事件B表示取得的X光片為次品，則P(A1)＝eq\f(5,10)，P(A2)＝eq\f(3,10)，P(A3)＝eq\f(2,10)，P(B|A1)＝eq\f(1,10)，P(B|A2)＝eq\f(1,15)，P(B|A3)＝eq\f(1,20).由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝eq\f(5,10)×eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)×eq\f(1,15)＋eq\f(2,10)×eq\f(1,20)＝0.08.故選A.]二、多項選擇題9．隨機事件A，B滿足P(A)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(A)|B)＝eq\f(3,4)，則下列說法正確的是()A．事件A，B不相互獨立B．P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝eq\f(3,8)C．P(A＋B)＝eq\f(3,4)D．P(AB|A＋B)P(eq\x\to(A)B)＝[P(A)P(B)]2ACD[因為P(eq\x\to(B))＝eq\f(2,3)，所以P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，又P(eq\x\to(A)|B)＝eq\f(P\x\to(A)B,PB)＝eq\f(3,4)，所以P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)，所以P(AB)＝P(B)－P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,12)，而P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，所以P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互獨立，故A正確；P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))－P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，故B錯誤；P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4)，故C正確；P(AB|A＋B)P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(PAB,PA＋B)·P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(\f(1,12),\f(3,4))×eq\f(1,4)＝eq\f(1,36)，[P(A)P(B)]2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,3)))2＝eq\f(1,36)，所以P(AB|A＋B)P(eq\x\to(A)B)＝[P(A)P(B)]2，故D正確．故選ACD.]10．一工廠將兩盒產品送檢，甲盒中有4個一等品、3個二等品和3個三等品，乙盒中有5個一等品、2個二等品和3個三等品．先從甲盒中隨機取出一個產品放入乙盒，分別以A1，A2和A3表示由甲盒中取出的產品是一等品、二等品和三等品的事件；再從乙盒中隨機取出一個產品，以B表示由乙盒中取出的產品是一等品的事件．則下列結論中正確的是()A．P(B)＝eq\f(27,55)B．P(B|A1)＝eq\f(6,11)C．事件B與事件A1相互獨立D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件ABD[由題意可得P(A1)＝eq\f(2,5)，P(A2)＝P(A3)＝eq\f(3,10)，P(B|A1)＝eq\f(6,11)，P(B|A2)＝P(B|A3)＝eq\f(5,11)，故B正確；P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(2,5)×eq\f(6,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(5,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(5,11)＝eq\f(27,55)，故A正確；P(A1B)＝P(B|A1)·P(A1)＝eq\f(6,11)×eq\f(2,5)＝eq\f(12,55)，顯然P(A1B)≠P(A1)P(B)，所以事件B與事件A1不相互獨立，故C錯誤；從甲盒中隨機取出一個產品，當A1發生時，此時事件A2，A3一定不會發生，即A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，故D正確．故選ABD.]三、填空題11．(2025·青島模擬)“端午節”是我國四大傳統節日之一，是集拜神祭祖、祈福辟邪、歡慶娛樂和飲食為一體的民俗大節，其民間活動也是豐富多彩，有賽龍舟、吃粽子、飲雄黃、懸艾葉、驅五毒等.某市為迎接端午，組織各式活動，其中賽龍舟競爭最為激烈，最終甲、乙兩隊爭奪賽事第一，若奪標賽為“三局兩勝制”，甲隊在每局比賽中獲勝的概率為eq\f(3,5)，且每場比賽結果相互獨立，則在甲隊獲得冠軍的條件下，甲、乙兩隊進行了3局比賽的概率為______.eq\f(4,9)[記“甲獲得冠軍”為事件A，則P(A)＝eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(81,125)，記“甲、乙兩隊進行了3局比賽”為事件B，則P(AB)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(36,125)，故甲獲得冠軍的條件下，甲、乙兩隊進行了3局比賽的概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(4,9).]12．隨著城市經濟的發展，早高峰問題越發嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式有三種，某天早上他選擇自駕、坐公交車、騎共享單車的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，而他自駕、坐公交車、騎共享單車遲到的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,5)，eq\f(1,6)，結果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是________.eq\f(15,37)[法一：由題意設事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D表示“遲到”，則P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,3)，P(D|A)＝eq\f(1,4)，P(D|B)＝eq\f(1,5)，P(D|C)＝eq\f(1,6)，所以P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)·P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,5)＋\f(1,6)))＝eq\f(37,180).小明遲到了，由貝葉斯公式得他自駕去上班的概率是P(A|D)＝eq\f(PAD,PD)＝eq\f(PAPD|A,PD)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,4),\f(37,180))＝eq\f(15,37).法二：在遲到的條件下，他自駕去上班的概率P＝eq\f(\f(1,4),\f(1,4)＋\f(1,5)＋\f(1,6))＝eq\f(15,37).]四、解答題13．(15分)“好時節，愿得年年，常見中秋月”，中秋節是我國的傳統節日，每逢中秋佳節，人們互相饋贈月餅，吃團圓飯，觀燈賞月，寓意團團圓圓．現盤中有9塊月餅，其中有3塊是蛋黃月餅，甲、乙、丙三人依次拿1塊進行不放回抽取，求丙拿到蛋黃月餅的概率．解：記事件A＝{甲拿到