第3課時(shí)圓的方程[考試要求]1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題．1．圓的定義及方程定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心(a，b)，半徑r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)提醒：當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一個(gè)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；當(dāng)D2＋E2－4F＜0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0沒有意義，不表示任何圖形．2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[常用結(jié)論]1．圓的三個(gè)性質(zhì)(1)圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線.2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(√)(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個(gè)圓．(×)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0.(√)(4)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P85練習(xí)T3改編)已知點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝eq\r(2)C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4A[法一：AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，|AB|＝eq\r([1－(－1)]2＋(－1－1)2)＝2eq\r(2)，所以圓的方程為x2＋y2＝2.法二(應(yīng)用常用結(jié)論)：以AB為直徑的圓的方程為(x－1)·(x＋1)＋(y＋1)(y－1)＝0，即x2＋y2＝2.]2．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P84例3改編)過點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C[法一：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.因?yàn)閳A心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二：由已知條件得AB的垂直平分線方程l1：y＝x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))所以圓心坐標(biāo)為(1,1)，所以r2＝(1－1)2＋[1－(－1)]2＝4，所以圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.]3．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P88練習(xí)T2改編)若點(diǎn)P(1,1)在圓C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(－2，＋∞) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))) D．(－2,2)C[由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋1＋1－1＋k＞0，,1＋1－4k＞0，))解得－2＜k＜eq\f(1,2)，故選C.]4．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P86例4改編)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為________.x2＋y2－2x＝0[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,2＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝0.))所以圓的方程為x2＋y2－2x＝0.]考點(diǎn)一圓的方程[典例1](1)(多選)過四點(diǎn)(0,0)，(4,0)，(－1，1)，(4,2)中的三點(diǎn)的圓的方程為()A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－2)2＋(y－3)2＝13C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝22D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq\f(9,5)(2)(2022·全國甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________.(1)AB(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5[(1)點(diǎn)(0,0)，(4,0)，(4,2)在圓(x－2)2＋(y－1)2＝5上，A正確；點(diǎn)(0,0)，(4,0)，(－1,1)在圓(x－2)2＋(y－3)2＝13上，B正確；點(diǎn)(0,0)，(－1,1)都不在圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝22上，C錯(cuò)誤；點(diǎn)(4,0)，(－1,1)都不在圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq\f(9,5)上，D錯(cuò)誤．故選AB.(2)法一(三點(diǎn)共圓)：因?yàn)辄c(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，所以設(shè)點(diǎn)M為(a,1－2a)．又因?yàn)辄c(diǎn)(3,0)和(0,1)均在⊙M上，所以點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，所以eq\r((a－3)2＋(1－2a)2)＝eq\r(a2＋(－2a)2)＝R，a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，所以M(1，－1)，R＝eq\r(5)，⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法二(圓的幾何性質(zhì))：由題意可知，點(diǎn)M是以(3,0)和(0,1)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線y＝3x－4與直線2x＋y－1＝0的交點(diǎn)(1，－1)．又圓的半徑R＝eq\r(5)，所以⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.]求圓的方程的兩種方法(1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．(2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)若一個(gè)圓的圓心坐標(biāo)為(2，－3)，一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________，半徑是________.(1)A(2)(－2，－4)5[(1)易得該直徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)，(0，－6)，可得直徑長(zhǎng)為2eq\r(13)，則半徑長(zhǎng)為eq\r(13)，所以所求圓的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.(2)由已知方程表示圓，得a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.當(dāng)a＝2時(shí)，原方程不滿足表示圓的條件，故舍去．當(dāng)a＝－1時(shí)，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓．]考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題斜率型、截距型、距離型最值問題[典例2]已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．解：原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．(1)eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值(如圖1)，此時(shí)eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值(如圖2)，此時(shí)eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6).所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，x2＋y2在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖3)．又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).建立函數(shù)關(guān)系求最值[典例3]設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)，則·的最大值為________.12[法一：由題意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4.由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圓的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以當(dāng)y＝4時(shí)，·的值最大，最大值為6×4－12＝12.法二：由向量的極化恒等式，得·＝2－2＝2－4，由于點(diǎn)P在圓：x2＋(y－3)2＝1上，則當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,4)時(shí)，2取得最大值16，所以·的最大值為16－4＝12.]利用對(duì)稱性求最值[典例4]已知M，N分別是曲線C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－2x＝0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為直線x＋y＋1＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．3D[曲線C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0是以C1(2,2)為圓心，半徑為1的圓，C2：x2＋y2－2x＝0是以C2(1,0)為圓心，半徑為1的圓．由圓的對(duì)稱性可得|PM|的最小值為|PC1|－1，|PN|的最小值為|PC2|－1.過C2作直線x＋y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)B，設(shè)坐標(biāo)為(m，n)，可得eq\f(n,m－1)＝1，eq\f(m＋1,2)＋eq\f(n,2)＋1＝0，解得m＝－1，n＝－2，即B(－1，－2)．連接BC1，交直線于點(diǎn)P，連接PC2，可得|PC1|＋|PC2|＝|PC1|＋|PB|≥|BC1|＝eq\r((2＋1)2＋(2＋2)2)＝5.當(dāng)且僅當(dāng)B，P，C1三點(diǎn)共線可得|PC1|＋|PC2|的最小值為5，則|PM|＋|PN|的最小值為5－2＝3.故選D.]1.與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法(1)斜率型：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題．(2)截距型：形如t＝ax＋by形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題．(3)距離型：形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題．2．建立函數(shù)關(guān)系式求最值問題的解題策略根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、單調(diào)法等，利用基本不等式求最值．3．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：(1)“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；(2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對(duì)稱性解決．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)已知點(diǎn)P(x，y)為圓C：x2＋y2－4x＋3＝0上一點(diǎn)，C為圓心，則·(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的取值范圍是()A．[－3,1] B．[－1,1]C．[－1,3] D．[1,3](2)(2025·棗莊模擬)若坐標(biāo)原點(diǎn)O在方程x2＋y2－x＋y＋m＝0所表示的圓的外部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.(3)已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上動(dòng)點(diǎn)，P是x軸上動(dòng)點(diǎn)，則|PN|－|PM|的最大值是________.(1)C(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))(3)4＋eq\r(2)[(1)將圓C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化為(x－2)2＋y2＝1，所以圓心C的坐標(biāo)為(2,0)．所以＝(2－x，－y)，而＝(－x，－y)，所以·＝x2＋y2－2x.因?yàn)閤2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以·＝4x－3－2x＝2x－3.因?yàn)?x－2)2＋y2＝1，所以1≤x≤3.因此－1≤2x－3≤3，從而·的取值范圍為[－1,3]．故選C.(2)因?yàn)镈2＋E2－4F>0，所以(－1)2＋12－4m>0，解得m<eq\f(1,2).又因?yàn)辄c(diǎn)O(0,0)在圓的外部，所以0＋0－0＋0＋m>0，解得m>0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).(3)由題意，C1(2,3)且半徑r1＝1，C2(3,4)且半徑r2＝3，所以|C1C2|＝eq\r((3－2)2＋(4－3)2)＝eq\r(2)＜r2－r1＝2，即圓C2包含圓C1.又M，N分別是圓C1，C2上動(dòng)點(diǎn)，P是x軸上動(dòng)點(diǎn)，要使|PN|－|PM|的值最大，P，M，N，C1，C2共線且M，N在C1，C2的兩側(cè)，所以(|PN|－|PM|)max＝|C1C2|＋r2＋r1＝4＋eq\r(2).]考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題[典例5]已知點(diǎn)A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點(diǎn)，點(diǎn)B(1,1)是圓內(nèi)一點(diǎn)，P為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程；(2)求過點(diǎn)B的弦的中點(diǎn)T的軌跡方程.解：(1)設(shè)線段AP的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)(x≠2)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．(2)設(shè)T(x，y)．因?yàn)辄c(diǎn)T是弦的中點(diǎn)，所以O(shè)T⊥BT或B，T重合(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．法一：當(dāng)斜率存在時(shí)，有kOT·kBT＝－1，即eq\f(y,x)·eq\f(y－1,x－1)＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0.當(dāng)x＝0或x＝1時(shí)，點(diǎn)(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圓上．故所求軌跡方程為x2＋y2－x－y＝0.法二：所以⊥，·＝(x，y)·(x－1，y－1)＝0，整理得x2＋y2－x－y＝0.法三：由圓的幾何性質(zhì)可知，點(diǎn)T一定在以線段OB為直徑的圓上，此時(shí)圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，半徑為eq\f(1,2)|OB|＝eq\f(\r(2),2)，所以點(diǎn)T的軌跡方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2，整理得x2＋y2－x－y＝0.求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解．(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解．(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解．(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解．提醒：注意特殊點(diǎn)的取舍．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖，兩根桿分別繞著定點(diǎn)A和B(AB＝2a)在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，并且轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩桿保持互相垂直，求桿的交點(diǎn)P的軌跡方程．解：如圖，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－a,0)，B(a,0)．設(shè)P(x，y)，因?yàn)镻A⊥PB，所以eq\f(y,x＋a)·eq\f(y,x－a)＝－1(x≠±a)．化簡(jiǎn)得x2＋y2＝a2(x≠±a)．當(dāng)x＝±a時(shí)，點(diǎn)P與A或B重合，此時(shí)y＝0，滿足上式．故點(diǎn)P的軌跡方程是x2＋y2＝a2.如圖，點(diǎn)A，B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝λ|PB|.當(dāng)λ＝1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線；當(dāng)λ>0且λ≠1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，稱之為阿波羅尼斯圓．證明：設(shè)|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(－m,0)，B(m,0)．又設(shè)P(x，y)，則由|PA|＝λ|PB|得eq\r((x＋m)2＋y2)＝λeq\r((x－m)2＋y2)，兩邊平方并化簡(jiǎn)整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．當(dāng)λ＝1時(shí)，x＝0，軌跡為線段AB的垂直平分線；當(dāng)λ>0且λ≠1時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(λ2＋1,λ2－1)m))2＋y2＝eq\f(4λ2m2,(λ2－1)2)，軌跡為以點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋1,λ2－1)m，0))為圓心，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2λm,λ2－1)))為半徑的圓．[典例](1)(多選)已知在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，A(－2,0)，B(4,0)．點(diǎn)P滿足eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB)))＝eq\f(1,2).設(shè)點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是()A．C的方程為(x＋4)2＋y2＝16B．在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)(1,1)的距離為10C．在C上存在點(diǎn)M，使得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MO))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MA))D．C上的點(diǎn)到直線3x－4y－13＝0的最大距離為9(2)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(3，0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在點(diǎn)P，使得|PA|＝eq\r(2)|PB|，|PC|＝|PD|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(1)AD(2)[－2eq\r(2)－1,2eq\r(2)－1][(1)由題意可設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由A(－2,0)，B(4,0)，eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB)))＝eq\f(1,2)，得eq\f(\r((x＋2)2＋y2),\r((x－4)2＋y2))＝eq\f(1,2)，化簡(jiǎn)得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，A正確；點(diǎn)(1,1)到圓上的點(diǎn)的最大距離為eq\r((－4－1)2＋(0－1)2)＋4<10，故不存在點(diǎn)D符合題意，B錯(cuò)誤；設(shè)M(x0，y0)，由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MO))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MA))，得eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝2eq\r((x0＋2)2＋y\o\al(2,0))，又(x0＋4)2＋yeq\o\al(2,0)＝16，聯(lián)立方程消去y0得x0＝2，解得y0無解，C錯(cuò)誤；C的圓心(－4,0)到直線3x－4y－13＝0的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3×(－4)－13)),5)＝5，且曲線C的半徑為4，則C上的點(diǎn)到直線3x－4y－13＝0的最大距離為d＋r＝5＋4＝9，D正確．故選AD.(2)設(shè)P(x，y)，則eq\r((x－1)2＋y2)＝eq\r(2)·eq\r((x－3)2＋y2)，整理得(x－5)2＋y2＝8，即動(dòng)點(diǎn)P在以(5,0)為圓心，2eq\r(2)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．另一方面，由|PC|＝|PD|知?jiǎng)狱c(diǎn)P在線段CD的垂直平分線y＝a＋1上運(yùn)動(dòng)，因而問題就轉(zhuǎn)化為直線y＝a＋1與圓(x－5)2＋y2＝8有交點(diǎn)．所以|a＋1|≤2eq\r(2).故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－2eq\r(2)－1，2eq\r(2)－1]．]課時(shí)分層作業(yè)(五十二)(本試卷共92分．單項(xiàng)選擇題每題5分，多項(xiàng)選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項(xiàng)選擇題1．(2022·北京高考)若直線2x＋y－1＝0是圓(x－a)2＋y2＝1的一條對(duì)稱軸，則a＝()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．1 D．－1A[若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過圓心，圓心坐標(biāo)(a,0)，所以由2a＋0－1＝0，解得a＝eq\f(1,2).]2．若點(diǎn)P(1,1)在圓C：x2＋y2＋2x－m＝0的外部，則m的取值范圍為()A．(－1,4) B．(－4,1)C．(－1，＋∞) D．(－∞，4)A[將圓C：x2＋y2＋2x－m＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得(x＋1)2＋y2＝m＋1，圓心C(－1,0)，圓的半徑滿足r2＝m＋1>0，解得m>－1.又因?yàn)辄c(diǎn)P(1,1)在圓C：x2＋y2＋2x－m＝0的外部，所以|PC|2>r2，即(－1－1)2＋(0－1)2>m＋1，解得m<4.綜上所述，m的取值范圍為(－1,4)．]3．若與y軸相切的圓C與直線l：y＝eq\f(\r(3),3)x也相切，且圓C經(jīng)過點(diǎn)P(2，eq\r(3))，則圓C的直徑為()A．2 B．2或eq\f(14,3)C．eq\f(7,4) D．eq\f(7,4)或eq\f(16,3)B[因?yàn)橹本€l：y＝eq\f(\r(3),3)x的傾斜角為30°，所以圓C的圓心在兩切線所成角的角平分線y＝eq\r(3)x上．設(shè)圓心C(a，eq\r(3)a)，則圓C的方程為(x－a)2＋(y－eq\r(3)a)2＝a2，將點(diǎn)P(2，eq\r(3))的坐標(biāo)代入，得(2－a)2＋(eq\r(3)－eq\r(3)a)2＝a2，整理得3a2－10a＋7＝0，解得a＝1或a＝eq\f(7,3).所以圓C的直徑為2或eq\f(14,3).故選B.]4．如果實(shí)數(shù)x，y滿足(x－1)2＋y2＝eq\f(3,4)，那么eq\f(y,x)的最大值是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\r(3)D[顯然x≠0，令eq\f(y,x)＝k，即y＝kx，代入(x－1)2＋y2＝eq\f(3,4)，得(1＋k2)x2－2x＋eq\f(1,4)＝0，所以Δ＝4－4×(1＋k2)×eq\f(1,4)≥0，解得－eq\r(3)≤k≤eq\r(3).所以k的最大值為eq\r(3).故選D.]5．已知點(diǎn)O(0,0)，點(diǎn)P滿足|PO|＝1，則點(diǎn)P到直線l：x－my－3＝0的距離的最大值為()A．1 B．2C．3 D．4D[如圖，因?yàn)辄c(diǎn)P滿足|PO|＝1，所以點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓．又直線l：x－my－3＝0經(jīng)過定點(diǎn)(3,0)，由圖知，要使點(diǎn)P到直線x－my－3＝0的距離最大，只需使圓心O到直線l的距離最大，即當(dāng)且僅當(dāng)l⊥x軸時(shí)，點(diǎn)P到直線x－my－3＝0的距離最大，為3＋1＝4.]6．(2025·東營模擬)已知A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)．若|AB|＝6，則點(diǎn)P的軌跡方程為()A．(x－4)2＋(y－2)2＝16B．(x－2)2＋(y－4)2＝11C．(x－2)2＋(y－4)2＝16D．(x－4)2＋(y－2)2＝11C[由題意，A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，|AB|＝6，圓的半徑為5，可得|PC|＝eq\r(25－9)＝4，所以點(diǎn)P的軌跡方程為(x－2)2＋(y－4)2＝16.故選C.]7．(2025·青島模擬)一束光線從點(diǎn)A(－3,2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長(zhǎng)度是()A．4 B．5C．5eq\r(2)－1 D．2eq\r(6)－1C[根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，且A(－3,2)，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(－3，－2)．又由|A′C|＝eq\r(25＋25)＝5eq\r(2)，則A′到圓C上的點(diǎn)的最短距離為5eq\r(2)－1.故這束光線從點(diǎn)A(－3,2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長(zhǎng)度是5eq\r(2)－1.故選C.]8．如圖，在等腰直角三角形OAB中，OB＝1，以AB為直徑作一個(gè)半圓，點(diǎn)P為半圓上任意一點(diǎn)，則·的最大值是()A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(2)＋1,2)D[如圖，以O(shè)A，OB所在直線分別為y軸、x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,1)，B(1,0)，以AB為直徑作一個(gè)半圓，點(diǎn)P為半圓上任意一點(diǎn)，半圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)，0≤x≤eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2).設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則＝(1,0)，＝(x，y)，所以·＝x≤eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)＋1,2).故·的最大值是eq\f(\r(2)＋1,2).故選D.]二、多項(xiàng)選擇題9．已知方程x2＋y2＋2x－m＝0，下列敘述正確的是()A．方程表示的是圓B．方程表示的圓的圓心在x軸上C．方程表示的圓的圓心在y軸上D．當(dāng)m＝0時(shí)，方程表示以(－1,0)為圓心，1為半徑的圓BD[對(duì)于A，因?yàn)镈＝2，E＝0，F(xiàn)＝－m，由方程表示圓的條件得D2＋E2－4F>0，即22＋02－4·(－m)>0，解得m>－1，所以只有當(dāng)m>－1時(shí)方程才表示圓，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，因?yàn)椋璭q\f(D,2)＝－1，－eq\f(E,2)＝0，若方程表示圓，則圓心坐標(biāo)為(－1,0)，圓心在x軸上，故B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)m＝0時(shí)，半徑r＝eq\f(1,2)×eq\r(D2＋E2－4F)＝eq\f(1,2)×eq\r(22＋02－4×0)＝1，故D正確．故選BD.]10．已知點(diǎn)A(1,0)，B(－2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝2，則下面結(jié)論正確的為()A．點(diǎn)P的軌跡方程為(x＋3)2＋y2＝4B．點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最大值為5C．△PAB面積的最大值為4D．PA?PBABD[設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則由eq\f(|PA|,|PB|)＝2，得eq\f(\r((x－1)2＋y2),\r((x＋2)2＋y2))＝2，即(x－1)2＋y2＝4[(x＋2)2＋y2]，化簡(jiǎn)得x2＋y2＋6x＋5＝0，即(x＋3)2＋y2＝4，A正確；因?yàn)辄c(diǎn)P軌跡是圓心為(－3,0)，半徑為2的圓，所以點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離最大值為eq\r((－3－0)2＋(0－0)2)＋2＝5，B正確；又A，B和點(diǎn)P軌跡的圓心都在x軸上，且|AB|＝3，所以當(dāng)圓的半徑垂直于x軸時(shí)，△PAB的面積取得最大值eq\f(1,2)×3×2＝3，C錯(cuò)誤；又PA?PB＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2＝x2＋y2＋x－2，因?yàn)閥2＝－x2－6x－5(－5≤x≤－1)，所以PA?PB＝－5x－7(－5≤x≤－1)，則PA?PB≤－5×(－5)－7三、填空題11．在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別在x軸、y軸的正半軸上移動(dòng)，AB＝2.若點(diǎn)P滿足·＝2，則OP的取值范圍為________.[eq\r(3)－1，eq\r(3)＋1][取AB的中點(diǎn)為C，連接PC(圖略)，則PA?PB=所以PC＝eq\r(3)，故點(diǎn)P在以C為圓心，eq\r(3)為半徑的圓上．由條件知，O在以AB為直徑的半圓上，故OP∈[eq\r(3)－1，eq\r(3)＋1]．]12．已知等腰三角形ABC，其中頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0)，底邊的一個(gè)端點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,1)，則另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程為________.x2＋y2＝2(除去點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(－1，－1))[設(shè)C(x，y)，根據(jù)在等腰三角形ABC中，|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考慮到A，B，C三點(diǎn)要構(gòu)成三角形，因此點(diǎn)C不能為(1,1)和(－1，－1)．所以點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2＝2(除去