第九章計數原理、概率、隨機變量及其分布第6課時二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布[考試要求]

1.理解二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題.2.借助正態(tài)曲線了解正態(tài)分布的概念，并進行簡單應用．鏈接教材·夯基固本1．n重伯努利試驗與二項分布(1)n重伯努利試驗把只包含____________結果的試驗叫做伯努利試驗．將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為_____________________.兩個可能n重伯努利試驗(2)二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事件A發(fā)生的次數，則X的分布列為P(X＝k)＝____________，k＝0,1,2，…，n，則稱隨機變量X服從___________，記作X～_________.(3)兩點分布與二項分布的均值、方差①若隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)＝p，D(X)＝__________.②若X～B(n，p)，則E(X)＝______，D(X)＝_____________.二項分布B(n，p)p(1－p)npnp(1－p)2．超幾何分布(1)定義在含有M件次品的N件產品中，隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X＝k)＝______，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，稱隨機變量X服從超幾何分布．(2)超幾何分布的均值若X服從參數為N，M，n的超幾何分布，則E(X)＝___.3．正態(tài)曲線與正態(tài)分布(2)若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為________________.特別地，當μ＝___，σ＝___時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布．X～N(μ，σ2)01(3)正態(tài)曲線的特點①曲線是單峰的，它關于直線_________對稱；③當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸．x＝μx＝μ(4)正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內取值的概率①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__________.在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計學中稱為3σ原則．0.68270.95450.9973(5)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝___，D(X)＝______.提醒：正態(tài)分布是連續(xù)型隨機變量，要注意它是用面積表示概率，解決問題一定要注意對稱性的應用．μσ2一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)X表示n次重復拋擲一枚骰子出現(xiàn)點數是3的倍數的次數，則X服從二項分布．(

)(2)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數X服從超幾何分布．(

)(3)對于不放回抽樣，當n遠遠小于N時，超幾何分布可以用二項分布近似．(

)(4)正態(tài)曲線與x軸圍成的面積隨參數μ，σ的變化而變化.(

)√√√×二、教材經典衍生1．(人教A版選擇性必修第三冊P79例6改編)袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是(

)√2．(人教A版選擇性必修第三冊P78探究改編)設50個產品中有10個次品，任取產品20個，取到的次品可能有X個，則E(X)＝(

)A．4 B．3C．2 D．1√3．(人教A版選擇性必修第三冊P87練習T2改編)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)＝(

)A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977C

[因為μ＝0，所以P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，所以P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.]√4．(人教A版選擇性必修第三冊P78例5改編)在含有3件次品的10件產品中，任取4件，X表示取到的次品的件數，則P(X＝2)＝________.典例精研·核心考點

考點一二項分布

二項分布的期望(1)求比賽結束時恰好打了7局的概率；(2)若現(xiàn)在是小明6∶2的比分領先，記X表示結束比賽還需打的局數，求X的分布列及期望．

二項分布的性質A．P(X＝k)≤P(X＝50) B．P(X＝k)≤P(X＝32)C．P(X＝k)≤P(X＝33) D．P(X＝k)≤P(X＝49)√

二項分布問題的解題關鍵定型①在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同．②各次試驗中的事件是相互獨立的．③在每一次試驗中，試驗的結果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生定參確定二項分布中的兩個參數n和p，即試驗發(fā)生的次數和試驗中事件發(fā)生的概率提醒：下列問題能轉化為二項分布①條件不變，重復進行試驗，一般取球后再放回；②某地區(qū)人數多或不知總體，從中抽取幾個；③某產品服從正態(tài)分布，若干個產品服從二項分布；④用頻率表示概率，有時轉化為二項分布．[跟進訓練]1．某地區(qū)鼓勵農戶利用荒坡種植果樹．某農戶考察三種不同的果樹苗A，B，C，經引種試驗后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹苗B，C的自然成活率均為p(0.7≤p≤0.9)．(1)任取樹苗A，B，C各一棵，估計自然成活的棵數為X，求X的分布列及數學期望E(X)．(2)將(1)中的E(X)取得最大值時p的值作為B種樹苗的自然成活率．該農戶決定引種n棵B種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有75%的樹苗可經過人工栽培技術處理，處理后的成活率為0.8，其余的樹苗不能成活．①求一棵B種樹苗最終成活的概率；②若每棵B種樹苗最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種B種樹苗多少棵？(2)當p＝0.9時，E(X)取得最大值．①一棵B種樹苗最終成活的概率為0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.②記Y為n棵B種樹苗的成活棵數，M為n棵B種樹苗的利潤，則Y～B(n,0.96)，E(Y)＝0.96n，M＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，E(M)＝350E(Y)－50n＝286n，要使E(M)≥200000，則有n＞699.所以該農戶為獲利不低于20萬元，需至少引種700棵B種樹苗．

考點二超幾何分布[典例3]某公司采購部需要采購一箱電子元件，供貨商對該電子元件整箱出售，每箱10個．在采購時，隨機選擇一箱并從中隨機抽取3個逐個進行檢驗．若其中沒有次品，則直接購買該箱電子元件；否則，不購買該箱電子元件．(1)若某箱電子元件中恰有1個次品，求該箱電子元件能被直接購買的概率；(2)若某箱電子元件中恰有2個次品，記對隨機抽取的3個電子元件進行檢驗時次品的個數為X，求X的分布列及期望．

超幾何分布的特征：(1)研究對象分兩類且已知各類對象的個數；(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數；(3)超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型．[跟進訓練]2．已知一個袋子中裝有大小、形狀完全相同的3個白球和2個黑球．(1)若從袋中一次任取3個球，設取到的3個球中有X個黑球，求X的分布列及數學期望；(2)若從袋中每次隨機取出一個球，記下顏色后將球放回袋中，重復此過程，直至他連續(xù)2次取到黑球才停止，設他在第Y次取球后停止取球，求P(Y＝5)．

考點三正態(tài)分布[典例4]

(1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測量結果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，則下列結論中不正確的是(

)A．σ越小，該物理量一次測量結果落在(9.9,10.1)內的概率越大B．該物理量一次測量結果大于10的概率為0.5C．該物理量一次測量結果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等D．該物理量一次測量結果落在(9.9,10.2)內的概率與落在(10,10.3)內的概率相等√A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8√√因為X～N(1.8,0.12)，所以P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)．因為P(X<1.8＋0.1)≈0.8413，所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.8413＝0.1587<0.2.而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)<P(X>1.8＋0.1)<0.2，故B正確，A錯誤．故選BC.]

解決正態(tài)分布問題的三個關鍵點(1)對稱軸x＝μ；(2)標準差σ；(3)分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進行轉化，使分布區(qū)間轉化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．μ決定正態(tài)曲線的位置，σ的大小決定正態(tài)曲線的穩(wěn)定與波動大小．注意只有在標準正態(tài)分布下正態(tài)曲線的對稱軸才為x＝0.[跟進訓練]A．μ1<μ2，σ1<σ2

B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2√(2)(多選)若隨機變量X～N(1，σ2)，且其正態(tài)密度曲線如圖所示，則下列選項中，可以表示圖中陰影部分面積的是(

)√√√(3)為了解高三復習備考情況，某校組織了一次階段考試．經數據分析，高三全體考生的數學成績X近似服從正態(tài)分布N(100，17.52)．已知成績在117.5分以上(不含117.5分)的學生有80人，則此次參加考試的學生成績低于82.5分的概率為________；如果成績大于135分的為特別優(yōu)秀，那么本次數學考試成績特別優(yōu)秀的大約有________人．(若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545)微點突破8二項分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系

超幾何分布二項分布區(qū)別描述的是不放回抽樣問題，一次性取描述的是有放回抽樣問題，一個一個的取考察對象分為兩類每一次試驗都是伯努利試驗

已知各類對象的個數聯(lián)系(當總體容量很大時)超幾何分布可近似看作二項分布[典例]某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本稱出它們的質量(單位：g)，質量的分組區(qū)間為(490,495]，(495，500]，…，(510,515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖(如圖)．(1)根據頻率分布直方圖，求質量超過505g的產品數量；(2)在上述抽取的40件產品中任取2件，設X為質量超過505g的產品數量，求X的分布列；(3)從該流水線上任取2件產品，設Y為質量超過505g的產品數量，求Y的分布列．[賞析]

(1)質量超過505g的產品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以質量超過505g的產品數量為40×0.3＝12.突破點1：總體一定，不放回抽樣，超幾何分布突破點2：總體容量大，不放回抽樣，視為二項分布所以Y的分布列為

抓住超幾何分布與二項分布的各自特征，明確兩者間的區(qū)別與聯(lián)系是解決此類問題的關鍵所在．[跟進訓練]1．一個袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中有1個紅球、2個黑球，現(xiàn)隨機等可能地取出小球．當有放回地依次取出2個小球時，記取出的紅