第九章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第1課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合[考試要求]

1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.理解排列、組合的概念，能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.會(huì)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列、組合分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．鏈接教材·夯基固本1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_________種不同的方法分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_________種不同的方法m＋nm×n2．排列與組合的概念排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并按照_______________排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合一定的順序3．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)

排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有____________的個(gè)數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有____________的個(gè)數(shù)不同排列不同組合n！111[常用結(jié)論]排列數(shù)、組合數(shù)常用公式一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列．(

)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(

)(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．(

)×√√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P11習(xí)題6.1T2改編)如圖，從甲地到乙地有3條路，從乙地到丁地有2條路；從甲地到丙地有3條路，從丙地到丁地有4條路．則從甲地到丁地的不同路線共有(

)A．12條B．15條C．18條D．72條√C

[若路線為甲乙丁，則有3×2＝6(條)；若路線為甲丙丁，則有3×4＝12(條)，故共有6＋12＝18(條)．故選C.]2．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P19例4改編)從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中選3個(gè)數(shù)字，可以組成的無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A．52 B．56C．48 D．72√3．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P27習(xí)題6.2T13改編)從2名女生，4名男生中選3人參加學(xué)科競(jìng)賽，且至少有1名女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字作答)4．(易錯(cuò)題)(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P12習(xí)題6.1T8改編)五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為__________.五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有____________種．(用數(shù)字作答)1024

625

[五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，可逐個(gè)學(xué)生落實(shí)，每名學(xué)生有4種報(bào)名方法，共有45＝1024(種)不同的報(bào)名方法．五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍，可對(duì)4個(gè)冠軍逐一落實(shí)，每個(gè)冠軍有5種可能性，共有54＝625(種)獲得冠軍的可能性．]典例精研·核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及綜合應(yīng)用[典例1]

(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(

)A．24 B．18C．12 D．9√(2)中國(guó)是世界上最早發(fā)明雨傘的國(guó)家，傘是中國(guó)勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字1,2,3，…，8，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域(如區(qū)域1與區(qū)域5)所涂顏色相同．若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有(

)A．1050種B．1260種C．1302種D．1512種√(3)(2023·上海高考)已知空間中的三點(diǎn)A，B，C滿足AB＝AC＝BC＝1，在空間中任取不同的兩點(diǎn)(不計(jì)順序)，使得這兩點(diǎn)與點(diǎn)A，B，C可以組成正四棱錐，則不同的取法有________種．(用數(shù)字作答)(1)B

(2)C

(3)9

[(1)由題意可知，從E到F共有6條最短路徑，從F到G共有3條最短路徑，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×3＝18(條)最短路徑．(2)由題意可得，只需確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色．先涂區(qū)域1，有7種選擇；再涂區(qū)域2，有6種選擇；當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域3有5種選擇，剩下的區(qū)域4有5種選擇；當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域4有6種選擇．故不同的涂色方案有7×6×(5×5＋1×6)＝1302(種)．故選C.(3)由題意得△ABC為正三角形．根據(jù)正四棱錐的定義知，正四棱錐的底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是正方形的中心，故所給正三角形ABC的任意一條邊可以為底面正方形的一條邊或?qū)蔷€．將△ABC的一條邊作為底面正方形的一條邊，若將BC作為底面正方形的一條邊，可在△ABC的左側(cè)取不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使得這兩點(diǎn)與A，B，C構(gòu)成正四棱錐A-BCEF，在△ABC的右側(cè)取不同的兩點(diǎn)E′，F(xiàn)′，使得這兩點(diǎn)與A，B，C構(gòu)成正四棱錐A-BCE′F′，如圖1，同樣，AB，AC也可作為底面正方形的一條邊，所以方案數(shù)為3×2＝6；將△ABC的一條邊作為底面正方形的對(duì)角線時(shí)，若將BC作為底面正方形的對(duì)角線，可構(gòu)造一個(gè)正四棱錐，如圖2，同樣AB，AC也可作為底面正方形的對(duì)角線，所以方案數(shù)為3.故不同的取法有6＋3＝9(種)．圖1

圖2

][拓展變式]若本例(1)中

CD段馬路由于正在維修(如圖)，暫時(shí)不通，則從E到G的最短路徑有________條．

利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理解決問題的步驟提醒：涂色問題的兩種常用解題方法：按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析；以顏色為主分類討論，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)某旅游景區(qū)有如圖所示的A至H共8個(gè)停車位，現(xiàn)有2輛不同的白車和2輛不同的黑車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方法總數(shù)為(

)A．288種B．336種C．576種D．1680種√(2)如圖，用4種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法種數(shù)為(

)A．144種 B．73種C．48種 D．32種(3)(2025·棗莊模擬)已知一個(gè)不透明的袋子中放有編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,7的7個(gè)大小、形狀相同的小球．小明從袋子中有放回地取3次球，每次只取一個(gè)球，且3次取出的球的編號(hào)相乘的結(jié)果為偶數(shù)、相加的結(jié)果為奇數(shù)，則不同的取球方法種數(shù)為(

)A．712

B．216

C．108

D．72√√(1)B

(2)C

(3)C

[(1)第一步：排白車，第一行選一個(gè)位置，則第二行有三個(gè)位置可選，由于車是不相同的，故白車的停法有4×3×2＝24(種)，第二步，排黑車，若白車選AF，則黑車有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG共7種選擇，黑車是不相同的，故黑車的停法有2×7＝14(種)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有24×14＝336(種)．故選B.(2)先對(duì)區(qū)域B涂色，有4種選擇，其次再對(duì)區(qū)域C涂色，有3種選擇，然后再對(duì)區(qū)域A，D涂色，有兩種情況：①若區(qū)域A，D同色，有2種選擇；②若區(qū)域A，D不同色，有2×1＝2(種)選擇．綜上所述，不同的涂法種數(shù)為4×3×(2＋2)＝48(種)．故選C.(3)根據(jù)3次取出的球的編號(hào)相乘的結(jié)果為偶數(shù)、相加的結(jié)果為奇數(shù)可知，有一次取出的球的編號(hào)為奇數(shù)，2次取出的球的編號(hào)為偶數(shù)，先確定哪一次得到奇數(shù)號(hào)球，然后從4個(gè)奇數(shù)號(hào)球中取一個(gè)，再每次都從3個(gè)偶數(shù)號(hào)球中任取一個(gè)(有放回取球)，故滿足題意的取球方法有3×4×3×3＝108(種)．故選C.]

考點(diǎn)二排列、組合問題[典例2]

(1)(2024·新高考Ⅱ卷)在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有____________種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是____________.11213140122233421322334315243444(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種．(用數(shù)字作答)(1)24

112

(2)64

[(1)第一步，從第一行任選一個(gè)數(shù)，共有4種不同的選法；第二步，從第二行選一個(gè)與第一個(gè)數(shù)不同列的數(shù)，共有3種不同的選法；第三步，從第三行選一個(gè)與第一、二個(gè)數(shù)均不同列的數(shù)，共有2種不同的選法；第四步，從第四行選一個(gè)與第一、二、三個(gè)數(shù)均不同列的數(shù)，只有1種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為4×3×2×1＝24.先按列分析，每列必選出一個(gè)數(shù)，故所選4個(gè)數(shù)的十位上的數(shù)字分別為1,2,3,4.再按行分析，第一、二、三、四行個(gè)位上的數(shù)字的最大值分別為1,3,3,5，故從第一行選21，從第二行選33，從第三行選43，從第四行選15，此時(shí)個(gè)位上的數(shù)字之和最大．故選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值為21＋33＋43＋15＝112.

求解排列、組合應(yīng)用問題的六種常用方法提醒：先選后排，先組合后排列，恰當(dāng)?shù)姆诸悾侠淼姆植剑诸悩?biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏；分步要步步獨(dú)立，步驟完整．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)7人排成一排，限定甲要排在乙的左邊，乙要排在丙的左邊，甲、乙相鄰，乙、丙不相鄰，則不同排法的種數(shù)是(

)A．60 B．120C．240 D．360(2)從2艘驅(qū)逐艦和6艘護(hù)衛(wèi)艦中選出3艘艦艇分別擔(dān)任防空、反潛、巡邏任務(wù)，要求其中至少有一艘驅(qū)逐艦，則不同的安排方法種數(shù)為(

)A．336 B．252C．216 D．180√√(3)(2025·臨沂模擬)若一個(gè)三位數(shù)M的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為8，則稱M是一個(gè)“叔同數(shù)”，例如“125,710”都是“叔同數(shù)”，那么“叔同數(shù)”共有____個(gè)．(3)三位數(shù)各位數(shù)字的和為8可能的組合有116,125,134,224,233,017,026,035,044,008，

考點(diǎn)三分組、分配問題[典例3]

(1)把9個(gè)入團(tuán)名額分給6個(gè)班級(jí)，每班至少一人，不同的分法種數(shù)為(

)A．41種 B．56種C．156種 D．252種(2)某教育局為振興鄉(xiāng)村教育，將5名教師安排到3所鄉(xiāng)村學(xué)校支教，若每名教師僅去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排1名教師，則不同的安排情況有(

)A．300種 B．210種C．180種 D．150種√√

分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種：(1)相同元