第二章函數的概念與性質第3課時函數的奇偶性、周期性[考試要求]

1.了解函數奇偶性的含義，了解函數的周期性及其幾何意義.2.會依據函數的性質進行簡單的應用．鏈接教材·夯基固本1．函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有－x∈D，且____________，那么函數f(x)就叫做偶函數關于______對稱奇函數一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函數f(x)就叫做奇函數關于______對稱f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點2．周期性(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有_____________，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個______的正數，那么這個____________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小最小正數[常用結論]1．函數奇偶性常用結論(1)如果函數f(x)是奇函數且在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0.如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)．(2)在公共定義域內有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)若y＝f(x＋a)是奇函數，則f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函數，則f(－x＋a)＝f(x＋a)．2．函數周期性常用結論對f(x)定義域內任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)；3．常見奇、偶函數的類型(1)f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)為偶函數；(2)f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)為奇函數；(6)f(x)＝|ax＋b|＋|ax－b|為偶函數；(7)f(x)＝|ax＋b|－|ax－b|為奇函數．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數．(

)(2)存在既是奇函數，又是偶函數的函數．(

)(3)偶函數的圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點．(

)(4)若函數f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，則f(x)是周期為2a的周期函數．(

)×√×√二、教材經典衍生1．(多選)(人教A版必修第一冊P84例6改編)下列函數中為奇函數的是(

)√√2．(人教A版必修第一冊P203練習T4改編)若f(x)是定義在R上的周期為2的函數，當x∈[0,2)時，f(x)＝2－x，則f(2025)＝________.3．(人教A版必修第一冊P86習題3.2T11改編)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝2x－2x＋a，則a＝_____；當x<0時，f(x)＝______________.－1－2－x－2x＋1

[因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1，所以當x≥0時，f(x)＝2x－2x－1.設x<0，則－x>0，所以f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1.又f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝2－x＋2x－1，所以f(x)＝－2－x－2x＋1.]4．(人教A版必修第一冊P85練習T1改編)設奇函數f(x)的定義域為[－5,5]，若當x∈[0,5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集為________.(－2,0)∪(2,5]

[由題圖可知，當0<x<2時，f(x)>0；當2<x≤5時，f(x)<0，又f(x)是奇函數，所以當－2<x<0時，f(x)<0，當－5≤x<－2時，f(x)>0.綜上，f(x)<0的解集為(－2,0)∪(2,5]．]典例精研·核心考點考點一函數奇偶性的判斷[典例1]判斷下列函數的奇偶性：因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函數f(x)既是奇函數又是偶函數．由于定義域不關于原點對稱，所以f(x)為非奇非偶函數．(3)顯然函數f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱．當x<0時，－x>0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當x>0時，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．綜上可知，對于定義域內的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，所以函數f(x)為奇函數．(4)顯然函數f(x)的定義域為R，

判斷函數奇偶性的兩個必備條件及方法(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先判斷函數的定義域是不是關于原點對稱；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立．(3)判斷函數奇偶性的方法：①定義法；②圖象法．A．|f(x)|是偶函數B．－f(x)是奇函數C．f(x)|f(x)|是奇函數D．f(|x|)f(x)是偶函數√√√因為f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函數，所以f(|x|)f(x)是奇函數，所以D錯誤．](2)解：由題意知，函數定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，當a＝0時，f(x)＝2x2，f(－x)＝2(－x)2＝2x2＝f(x)，f(x)是偶函數；當a≠0時，f(1)＝2＋a，f(－1)＝2－a，f(1)≠f(－1)，f(－1)≠－f(1)，f(x)是非奇非偶函數．√考點二函數奇偶性的應用

利用奇偶性求值(解析式)(2)由函數f(x)是R上的奇函數，得f(0)＝0，而當x＜0時，－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)

(1)選擇、填空題中，已知奇偶性求參數值，可采用特值法，如f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(1)．(2)利用奇偶性求解析式，求誰設誰，自變量轉移．√

利用奇偶性解不等式[典例3]

(1)(2025·菏澤調研)已知函數f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定義在[－2c－1，c＋3]上的奇函數，則不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)＞0的解集為(

)A．(－2,4] B．(－3,5]√(2)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，且f(3)＝0，則不等式(2x－5)f(x－1)＜0的解集為(

)(1)C

(2)C

[(1)因為函數f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定義在[－2c－1，c＋3]上的奇函數，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，因為y＝x3與y＝2x在定義域[－5,5]上單調遞增，所以f(x)在定義域[－5,5]上單調遞增，則不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)＞0，即f(2x＋1)＋f(4)＞0，等價于f(2x＋1)＞f(－4)，(2)依題意，函數的大致圖象如圖所示．因為f(x)是定義在R上的偶函數，在[0，＋∞)上單調遞減，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0]上單調遞增，且f(－3)＝0，則當x＞3或x＜－3時，f(x)＜0；當－3＜x＜3時，f(x)＞0.

(1)利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的函數值或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值．(2)利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合圖象直觀求解相關問題．√√考點三函數的周期性(2)已知函數y＝f(x)，對任意x∈R，都有f(x＋2)·f(x)＝k(k為常數)，且當x∈[0,2]時，f(x)＝x2＋1，則f(2025)＝________.(1)A

(2)2

[(1)由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，又f(x)是定義在R上的奇函數，(2)因為對任意x∈R，都有f(x＋2)·f(x)＝k為常數，所以f(x＋4)·f(x＋2)＝k，從而f(x＋4)＝f(x)，即f(x)的周期為4，所以f(2025)＝f(1)＝2.]

利用函數的周期性，可將其他區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已知區間上，進而解決問題；利用函數的周期性，能實現自變量的轉移，把自變量大化小．[跟進訓練]3．設f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.(1)f(x)的最小正周期是________；(2)當x∈[2,4]時，f(x)＝________；(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝____________.(1)4

(2)x2－6x＋8

(3)0

[(1)因為f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．所以f(x)是周期為4的周期函數．(2)當x∈[－2,0]時，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f