第二章函數的概念與性質第2課時函數的單調性與最值[考試要求]

1.借助函數圖象，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值.2.理解函數的單調性、最大值、最小值的作用和實際意義．鏈接教材·夯基固本1．函數的單調性(1)單調函數的定義

增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為D，區間I?D，如果?x1，x2∈I當x1<x2時，都有___________，那么就稱函數f(x)在區間I上單調遞增．特別地，當函數f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數當x1<x2時，都有____________，那么就稱函數f(x)在區間I上單調遞減．特別地，當函數f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)

增函數減函數圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調區間的定義如果函數y＝f(x)在區間I上____________或____________，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，_______叫做y＝f(x)的單調區間．提醒：若函數有多個單調區間應分開寫，不能用符號“∪”聯結，也不能用“或”聯結，只能用“逗號”或“和”聯結．單調遞增單調遞減區間I2．函數的最值前提一般地，設函數y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數M滿足條件①?x∈D，都有___________；②?x0∈D，使____________①?x∈D，都有___________；②?x0∈D，使得___________結論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M[常用結論]1．函數單調性的兩個等價結論設?x1，x2∈D(x1≠x2)，則2．若函數f(x)，g(x)在區間D上具有單調性，則在區間D上具有以下性質：(1)當f(x)，g(x)都是增(減)函數時，f(x)＋g(x)是增(減)函數；(2)若k＞0，則kf(x)與f(x)單調性相同，若k＜0，則kf(x)與f(x)單調性相反；(4)復合函數y＝f(g(x))的單調性與y＝f(u)和u＝g(x)的單調性有關，簡記為“同增異減”．3．最值定理：閉區間上的連續函數必有最值，最值產生于區間端點或極值點處．(2)若函數y＝f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，則函數y＝f(x)的單調遞增區間是[1，＋∞)．(

)(3)如果一個函數在定義域內的某幾個子區間上都是單調遞增的，那么這個函數在定義域上是增函數．(

)(4)若函數在閉區間上具有單調性，則其最值一定在區間端點取到．(

)×××√二、教材經典衍生1．(人教A版必修第一冊P85習題3.2T1改編)如圖是函數y＝f(x)，x∈[－4,3]的圖象，則下列說法正確的是(

)A．f(x)在[－4，－1]上單調遞減，在[－1,3]上單調遞增B．f(x)在區間(－1,3)上的最大值為3，最小值為－2C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，最大值3D．當直線y＝t與f(x)的圖象有三個交點時，－1<t<2√2．(人教A版必修第一冊P78例1改編)若函數y＝(2k＋1)x＋b在R上是減函數，則k的取值范圍是________.3．(人教A版必修第一冊P100復習參考題3T4改編)若函數f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上單調遞增，則實數m的取值范圍是________.(－∞，2]

[由題意知，[2，＋∞)?[m，＋∞)，所以m≤2.]典例精研·核心考點考點一確定函數的單調性(單調區間)

圖象法、性質法確定函數的單調性√(2)函數f(x)＝－x2＋2|x|＋1的單調遞增區間為________.畫出函數圖象如圖所示，可知函數f(x)＝－x2＋2|x|＋1的單調遞增區間為(－∞，－1]和[0,1]．][拓展變式]本例(2)的函數換成“y＝|－x2＋2x＋1|”，其單調遞增區間是________.

定義法、導數法確定函數的單調性所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數f(x)在(－1,1)上單調遞減；當a<0時，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數f(x)在(－1,1)上單調遞增．當a>0時，f′(x)<0，函數f(x)在(－1,1)上單調遞減；當a<0時，f′(x)>0，函數f(x)在(－1,1)上單調遞增．

確定函數單調性的四種方法(1)定義法：取值、作差、變形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定號、下結論．(2)復合法：同增異減，即內、外函數的單調性相同時為增函數，不同時為減函數．(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象直觀地判斷函數單調性．(4)導數法：利用導函數的正負判斷函數的單調性．提醒：定義域先行，單調區間是定義域的子集．[跟進訓練]1．(1)函數f(x)＝3－x2－2x的單調遞增區間是(

)A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，0) D．(0，＋∞)(2)(2023·北京高考)下列函數中，在區間(0，＋∞)上單調遞增的是(

)√√(1)B

(2)C

[(1)f(x)＝3－x2－2x分解為y＝3u和u＝－x2－2x兩個函數，y＝3u在R上單調遞增，u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1]上單調遞增，在[－1，＋∞)上單調遞減，根據復合函數的單調性可得函數f(x)＝3－x2－2x在(－∞，－1]上單調遞增．(2)對于A，y＝lnx在(0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)＝－lnx在(0，＋∞)上單調遞減，A選項錯誤；√考點二函數單調性的應用

比較函數值的大小A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c

解抽象不等式√√

求參數的取值范圍[典例5]

(1)已知函數f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上單調遞增，則a的取值范圍是(

)A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)A．(－∞，0] B．[－1,0]C．[－1,1] D．[0，＋∞)√(1)D

(2)B

[(1)由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函數f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函數y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上單調遞增，在(－∞，－1)上單調遞減，所以函數f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上單調遞增，所以a≥5.故選D.(2)因為f(x)在R上單調遞增，且x≥0時，f(x)＝ex＋ln(x＋1)單調遞增，

函數單調性應用問題的解題策略(1)比較函數值的大小時，轉化到同一個單調區間內，然后利用函數的單調性解決．(2)解與抽象函數有關的不等式，由條件脫去“f”，轉化為自變量間的大小關系，一般轉化為不等式組，應注意等價轉化和函數的定義域．(3)利用單調性求參數的取值(范圍)，根據函數的單調性可以直接構建參數滿足的方程(組)(或不等式(組))，也可以先得到函數圖象的升降，再結合圖象求解．對于分段函數，要注意銜接點的取值，在銜接點處需建立一個不等式．√√(2)(2023·新高考Ⅰ卷)設函數f(x)＝2x(x－a)在區間(0,1)上單調遞減，則a的取值范圍是(

)A．(－∞，－2] B．[－2,0)C．(0,2] D．[2，＋∞)√(2)因為函數y＝2x在R上單調遞增，而函數f(x)＝2x(x－a)在區間(0,1)上單調遞減，考點三求函數的值域或最值[典例6]

(1)(2025·濱州模擬)已知max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，例如max{1,2,3}＝3，若函數f(x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，則f(x)的最小值為(

)A．2.5 B．3C．4 D．5√A．[－1,2] B．[－1,0]C．[1,2] D．[0,2]√(1)B

(2)D

[(1)在同一平面直角坐標系中作出函數y＝－x2＋4，y＝－x＋2，y＝x＋3的圖象，因為f(x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，所以f(x)的圖象如圖實線所示，因為f(x)的最小值為f(0)，所以當x≤0時，f(x