§1.1集合課標要求1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關系，理解集合間的包含和相等關系.3.會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關系和基本運算．知識梳理1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：______________、____________、____________.(2)元素與集合的關系是________或________，用符號____________或____________表示．(3)集合的表示法：__________、____________、____________.(4)常見數集的記法集合非負整數集(或自然數集)正整數集整數集有理數集實數集符號N*(或N＋)2.集合的基本關系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中________________都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作______(或B?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且________，就稱集合A是集合B的真子集，記作________(或BA)．(3)相等：若A?B，且________，則A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是__________的子集，是____________的真子集．3．集合的基本運算表示運算集合語言圖形語言記法并集交集補集常用結論1．若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，2n－1個真子集．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.4．?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1,0,1}．()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.()(4)對任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)．()2．(必修第一冊P14T4改編)設集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，則(?RA)∩B等于()A．{x|2<x≤3}B．{x|7<x<10}C．{x|2<x<3或7≤x<10}D．{x|2<x≤3或7<x<10}3．(必修第一冊P35T9改編)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，則實數a＝________.4．(必修第一冊P9T5改編)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B?A，則實數a的取值范圍為________________.題型一集合的含義與表示例1(1)(2023·長春模擬)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，則A∩B的子集個數為()A．1B．2C．3D．4(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，則實數m的值為()A．2B．3C．0D．－2跟蹤訓練1(1)(2023·蘇州模擬)設集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，則C中元素的個數為()A．3B．4C．5D．6(2)若含有3個實數的集合既可表示成eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，又可表示成{a2，a＋b,0}，則a2024＋b2024＝________.題型二集合間的基本關系例2(1)(2023·海口質檢)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，則()A．A?B B．B?AC．A∩B＝? D．A∪B＝R(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B?A，則實數a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C．(－∞，－1)∪[0，＋∞)D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(0,1)思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．(2)已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．跟蹤訓練2(1)已知集合M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，則集合M，N的關系是()A．MN B．NMC．M??RN D．N??RM(2)設集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，當x∈Z時，集合A的非空真子集的個數為________；當B?A時，實數m的取值范圍是_____________________________．題型三集合的基本運算命題點1集合的運算例3(1)(2022·新高考全國Ⅰ)若集合M＝{x|eq\r(x)<4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N等于()A．{x|0≤x<2}B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<2))))C．{x|3≤x<16}D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16))))(2)(多選)已知M，N均為實數集R的子集，且N∩(?RM)＝?，則下列結論中正確的是()A．M∩(?RN)＝?B．M∪(?RN)＝RC．(?RM)∪(?RN)＝?RMD．(?RM)∩(?RN)＝?RM命題點2利用集合的運算求參數的值(范圍)例4(1)(多選)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，則m的值可能為()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．0D．－eq\f(1,2)(2)(2024·本溪模擬)設集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(?RB)＝A，則實數a的取值范圍為()A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)跟蹤訓練3(1)(多選)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，則()A．(?RA)∪B＝{x|0≤x<3}B．(?RA)∩B＝{x|1<x<2}C．A∩B＝{x|2<x<3}D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集(2)已知集合A，B滿足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝?，則實數a的取值范圍為()A．(－∞，1] B．(－∞，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)題型四集合的新定義問題例5(多選)群論是代數學的分支學科，在抽象代數中具有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，“·”是G上的一個代數運算，即對所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的運算還滿足：①?a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②?e∈G，使得?a∈G，有e·a＝a·e＝a；③?a∈G，?b∈G，使a·b＝b·a＝e，則稱G關于“·”構成一個群．則下列說法正確的有()A．G＝{－1,0,1}關于數的乘法構成群B．G＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,k)，k∈Z，k≠0))))∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}關于數的乘法構成群C．實數集關于數的加法構成群D．G＝{m＋eq\r(2)n|m，n∈Z}關于數的加法構成群跟蹤訓練4(多選)設A為非空實數集，若對任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，則稱A為封閉集．下列敘述中，正確的為()A．集合A＝{－2，－1,0,1,2}為封閉集B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}為封閉集C．封閉集一定是無限集D．若A為封閉集，則一定有0∈A

§1.2常用邏輯用語課標要求1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質定理與必要條件、數學定義與充要條件的關系.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進行否定．知識梳理1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的____________條件，q是p的____________條件p是q的____________條件p?q且q?pp是q的____________條件p?q且q?pp是q的____________條件p?qp是q的________________條件p?q且q?p2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“__________”表示．(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“________”表示．3．全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結構對M中任意一個x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記否定?x∈M，綈p(x)常用結論1．充分、必要條件與對應集合之間的關系設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若p是q的充分條件，則A?B；(2)若p是q的充分不必要條件，則AB；(3)若p是q的必要不充分條件，則BA；(4)若p是q的充要條件，則A＝B.2．含有一個量詞命題的否定規律是“改變量詞，否定結論”．3．命題p與p的否定的真假性相反．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)當p是q的充分條件時，q是p的必要條件．()(2)“三角形的內角和為180°”是全稱量詞命題．()(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要條件．()(4)命題“?x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命題．()2．(必修第一冊P30例4(1)改編)(多選)已知命題p：?x∈R，x＋2≤0，則下列說法正確的是()A．p是真命題B．綈p：?x∈R，x＋2>0C．綈p是真命題D．綈p：?x∈R，x＋2>03．(必修第一冊P22T2(5)改編)設x>0，y>0，則“x2>y2”是“x>y”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要條件，則a的取值范圍為________________________.題型一充分、必要條件的判定例1(1)(2023·葫蘆島模擬)已知向量n為平面α的一個法向量，向量m為直線l的一個方向向量，則m∥n是l⊥α的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)在等比數列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}為遞增數列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件思維升華充分、必要條件的三種判定方法(1)定義法：根據p?q，q?p是否成立進行判斷．(2)集合法：根據p，q成立對應的集合之間的包含關系進行判斷．(3)等價轉化法：對所給題目的條件進行一系列的等價轉化，直到轉化成容易判斷充分、必要條件是否成立為止．跟蹤訓練1(1)(2024·貴陽模擬)已知函數f(x)＝cos(2x＋φ)，則“φ＝eq\f(π,2)”是“f(x)是奇函數”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)當命題“若p，則q”為真命題，則“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分條件．也可以這樣說，若q不成立，那么p一定不成立，q對p成立也是很必要的．王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇偉、瑰怪，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．從數學邏輯角度分析，“有志”是“能至”的()A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件題型二充分、必要條件的應用例2在①“x∈A”是“x∈B”的充分條件；②“x∈?RA”是“x∈?RB”的必要條件這兩個條件中任選一個，補充到本題第(2)問的橫線處，并求解下列問題．問題：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．(1)當a＝2時，求A∩B；(2)若________，求實數a的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________充分不必要條件的等價形式p是q的充分不必要條件，等價于綈q是綈p的充分不必要條件．典例已知命題p：|x|≤1，q：x＜a，若綈q是綈p的充分不必要條件，則實數a的取值范圍為________________________________________________________________________．跟蹤訓練2從①“充分不必要條件”，②“必要不充分條件”這兩個條件中任選一個，補充到本題第(2)問的橫線處，并解答下列問題：已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)≤2x≤32))))，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}．(1)若m＝3，求A∪B；(2)若存在正實數m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正實數m的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三全稱量詞與存在量詞命題點1含量詞的命題的否定例3(1)(多選)下列說法正確的是()A．“正方形是菱形”是全稱量詞命題B．?x∈R，ex<ex＋1C．命題“?x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定為“?x∈R，x2－2x＋3≠0”D．命題“?x>1，都有2x＋1>5”的否定為“?x≤1，使得2x＋1≤5”(2)寫出“所有實數都不是無理數”的否定形式：________________________________________________________________________.________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2含量詞的命題的真假判斷例4(多選)下列命題中的真命題是()A．?x∈R,2x－1>0B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x∈R，lgx<1D．?x∈R，tanx＝2命題點3含量詞的命題的應用例5(1)若命題“?x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命題，則實數m的取值范圍是()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．(－∞，2] D．(－∞，5](2)(多選)命題p：?x∈R，x2＋2x＋2－m<0為假命題，則實數m的取值可以是()A．－1B．0C．1D．2跟蹤訓練3(1)下列命題為真命題的是()A．任意兩個等腰三角形都相似B．所有的梯形都是等腰梯形C．?x∈R，x＋|x|≥0D．?x∈R，x2－x＋1＝0(2)(多選)已知命題p：?x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命題q：?x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，則下列說法正確的是()A．命題p的否定是“?x∈[0,1]，不等式2x－2<m2－3m”B．命題q的否定是“?x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0”C．當命題p為真命題時，1≤m≤2D．當命題q為假命題時，a<4

§1.3等式性質與不等式性質課標要求1.掌握等式性質.2.會比較兩個數的大小.3.理解不等式的性質，并能簡單應用．知識梳理1．兩個實數比較大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?ab，,a－b＝0?ab，,a－b<0?ab))(a，b∈R)．2．等式的性質性質1對稱性：如果a＝b，那么________；性質2傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么__________________________；性質3可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性質5可除性：如果a＝b，c≠0，那么____________________________．3．不等式的性質性質1對稱性：a>b?____________；性質2傳遞性：a>b，b>c?____________；性質3可加性：a>b?a＋c>b＋c；性質4可乘性：a>b，c>0?______________________________；a>b，c<0?____________；性質5同向可加性：a>b，c>d?__________________；性質6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?____________；性質7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．常用結論不等式的兩類常用性質(1)倒數性質①a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；②a<b<0?eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；③a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d)；④0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).(2)有關分數的性質若a>b>0，m>0，則①真分數的性質eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)，eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；②假分數的性質eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)，eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩個實數a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關系中的一種．()(2)若eq\f(b,a)>1，則b>a.()(3)同向不等式具有可加性和可乘性．()(4)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則b<a.()2．(必修第一冊P43T8改編)已知非零實數a，b滿足a<b，則下列不等式中一定成立的是()A．lna<lnb B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．a2<b2 D．a3<b33．(必修第一冊P43T10改編)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假設全部溶解)，糖水變甜了．請將這一事實表示成一個不等式為____________________．4．(必修第一冊P42T5改編)已知2<a<3，－2<b<－1，則a＋2b的取值范圍為________________.題型一數(式)的大小比較例1(1)(多選)下列不等式中正確的是()A．x2－2x>－3(x∈R)B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)C．a2＋b2>2(a－b－1)D．若a>b>0，則a2－b2>eq\f(1,a)－eq\f(1,b)(2)若正實數a，b，c滿足c<cb<ca<1，則()A．aa<ab<ba B．aa<ba<abC．ab<aa<ba D．ab<ba<aa思維升華比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論．(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論．(3)構造函數，利用函數的單調性比較大小．跟蹤訓練1(1)若lna>lnb，則()A.eq\f(1,a2)>eq\f(1,b2) B.eq\f(b,a)<eq\f(b－2023,a－2023)C．πa－b<3a－b D．a－b>eq\f(1,a)－eq\f(1,b)(2)已知M＝eq\f(e2023＋1,e2024＋1)，N＝eq\f(e2024＋1,e2025＋1)，則M，N的大小關系為________．題型二不等式的基本性質例2(1)若實數a，b滿足a<b<0，則()A．a＋b>0 B．a－b<0C．|a|<|b| D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))(2)(多選)已知a，b，c為實數，則下列說法正確的是()A．若a>b，則ac2>bc2B．若a>b，則a＋c>b＋cC．若a>b>c>0，則eq\f(a,b)>eq\f(a＋c,b＋c)D．若a>b>c>0，則eq\f(b,a－b)>eq\f(c,a－c)跟蹤訓練2(1)設a，b，c，d為實數，且c<d，則“a<b”是“a－c<b－d”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)(多選)若a>b>0，則下列不等式中正確的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．－a2<－abC．ln|a－1|>ln|b－1|D．2a－b>1題型三不等式性質的綜合應用例3(1)已知0<x<5，－1<y<1，則x－2y的取值范圍是()A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7延伸探究若將條件改為“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)為了加強家校聯系，王老師組建了一個由學生、家長和教師組成的微信群．已知該群中男學生人數多于女學生人數，女學生人數多于家長人數，家長人數多于教師人數，教師人數的兩倍多于男學生人數．則該微信群人數的最小值為()A．20B．22C．26D．28跟蹤訓練3(1)(多選)已知1≤a≤2,3≤b≤5，則()A．a＋b的取值范圍為[4,7]B．b－a的取值范圍為[2,3]C．ab的取值范圍為[3,10]D.eq\f(a,b)的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,5)))(2)已知2<x<4，－3<y<－1，則eq\f(x,x－2y)的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))

§1.4基本不等式課標要求1.了解基本不等式的推導過程.2.會用基本不等式解決簡單的最值問題．知識梳理1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：____________.(2)等號成立的條件：當且僅當____________時，等號成立．(3)其中______________叫做正數a，b的算術平均數，____________叫做正數a，b的幾何平均數．2．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數，如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值__________．(2)已知x，y都是正數，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值__________．注意：利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”．常用結論幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2與eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)等號成立的條件是相同的．()(2)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，則xy的最小值為4.()(4)函數y＝sinx＋eq\f(4,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值為4.()2．(必修第一冊P48習題T1(1)改編)若函數f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3)C．3 D．43．已知0<x<1，則x(1－x)的最大值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,16)D．14．(2023·重慶模擬)已知x>0，y>0，x＋y＝1，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值為________.題型一基本不等式的理解及常見變形例1(1)若0<a<b，則下列不等式一定成立的是()A．b>eq\f(a＋b,2)>a>eq\r(ab)B．b>eq\r(ab)>eq\f(a＋b,2)>aC．b>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>aD．b>a>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)(2)《幾何原本》中的幾何代數法研究代數問題，這種方法是后西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱為無字證明．現有圖形如圖所示，C為線段AB上的點，且AC＝a，BC＝b，O為AB的中點，以AB為直徑作半圓，過點C作AB的垂線交半圓于點D，連接OD，AD，BD，過點C作OD的垂線，垂足為點E，則該圖形可以完成的無字證明為()A.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C.eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0)D.eq\f(a2＋b2,2)≥eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)思維升華基本不等式的常見變形(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2).(2)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．跟蹤訓練1(1)已知p：a>b>0，q：eq\f(a2＋b2,2)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，則p是q成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)(多選)已知a，b∈R，則下列不等式成立的是()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab) B.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(a＋b,2) D．ab≤eq\f(a2＋b2,2)題型二利用基本不等式求最值命題點1直接法例2(1)(多選)下列代數式中最小值為2的是()A．x－eq\f(1,x) B．2x＋2－xC．x2＋eq\f(1,x2) D.eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))(2)已知x，y為正實數，且滿足4x＋3y＝12，則xy的最大值為________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2配湊法例3(1)(2023·許昌模擬)已知a，b為正數，4a2＋b2＝7，則aeq\r(1＋b2)的最大值為()A.eq\r(7)B.eq\r(3)C．2eq\r(2)D．2(2)已知x>1，則eq\f(x2＋3,x－1)的最小值為()A．6B．8C．10D．12與基本不等式模型結構相似的對勾函數模型如圖，對于函數f(x)＝x＋eq\f(k,x)，k＞0，x∈[a，b]，[a，b]?(0，＋∞)．(1)當eq\r(k)∈[a，b]時，f(x)＝x＋eq\f(k,x)≥2eq\r(k)，f(x)min＝f(eq\r(k))＝eq\r(k)＋eq\f(k,\r(k))＝2eq\r(k)；(2)當eq\r(k)＜a時，f(x)＝x＋eq\f(k,x)在區間[a，b]上單調遞增，f(x)min＝f(a)＝a＋eq\f(k,a)；(3)當eq\r(k)＞b時，f(x)＝x＋eq\f(k,x)在區間[a，b]上單調遞減，f(x)min＝f(b)＝b＋eq\f(k,b).因此，只有當eq\r(k)∈[a，b]時，才能使用基本不等式求最值，而當eq\r(k)?[a，b]時只能利用對勾函數的單調性求最值．典例函數f(x)＝x2＋eq\f(3,x2＋2)的最小值是______．命題點3代換法例4(1)已知正數a，b滿足eq\f(8,b)＋eq\f(4,a)＝1，則8a＋b的最小值為()A．54B．56C．72D．81延伸探究已知正數a，b滿足8a＋4b＝ab，則8a＋b的最小值為________．(2)已知正數a，b滿足a＋2b＝3恒成立，則eq\f(1,a＋1)＋eq\f(2,b)的最小值為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(9,4)C．2D．3命題點4消元法例5已知正數a，b滿足a2－2ab＋4＝0，則b－eq\f(a,4)的最小值為()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)命題點5構造不等式法例6若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，則ab的最小值為()A．9B．6C．3D．12跟蹤訓練2(1)(多選)下列四個函數中，最小值為2的是()A．y＝sinx＋eq\f(1,sinx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(π,2)))B．y＝2－x－eq\f(4,x)(x＜0)C．y＝eq\f(x2＋6,\r(x2＋5))D．y＝4x＋4－x(2)(多選)已知正實數a，b滿足ab＋a＋b＝8，下列說法正確的是()A．ab的最大值為2B．a＋b的最小值為4C．a＋2b的最小值為6eq\r(2)－3D.eq\f(1,ab＋1)＋eq\f(1,b)的最小值為eq\f(1,2)

§1.5基本不等式的綜合應用課標要求1.會求與基本不等式有關的恒成立問題.2.理解基本不等式在實際問題中的應用.3.掌握基本不等式在其他知識中的應用．題型一與基本不等式有關的恒(能)成立問題例1(1)已知x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，若2x＋y<m2－8m有解，則實數m的取值范圍為()A．(－∞，－1)∪(9，＋∞)B．(－∞，－1]∪[9，＋∞)C．(－9，－1)D．[－9,1](2)若對于任意的x>0，不等式eq\f(x2＋3x＋1,x)≥a恒成立，則實數a的取值范圍為()A．[5，＋∞) B．(5，＋∞)C．(－∞，5] D．(－∞，5)思維升華?x∈M，使得f(x)≥a，等價于f(x)max≥a；?x∈M，使得f(x)≤a，等價于f(x)min≤a.跟蹤訓練1(1)對任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，則m的取值范圍為()A．{m|－2<m<2} B．{m|m>2}C．{m|m>－2} D．{m|m≤－2}(2)(2023·忻州模擬)已知a2＋b2＝k，若eq\f(4,a2)＋eq\f(9,b2＋1)≥1恒成立，則k的最大值為()A．4B．5C．24D．25題型二基本不等式的實際應用例2第19屆亞運會于2023年9月在杭州舉辦，某公益團隊聯系組委會舉辦一場紀念品展銷會，并將所獲利潤全部用于社區體育設施建設．據市場調查，當每套紀念品(一個會徽和一個吉祥物)售價定為x元時，銷售量可達到(15－0.1x)萬套．為配合這個活動，生產紀念品的廠家將每套紀念品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為50元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數為10.約定不計其他成本，即銷售每套紀念品的利潤＝售價－供貨價格．(1)每套會徽及吉祥物售價為100元時，能獲得的總利潤是多少萬元？(2)每套會徽及吉祥物售價為多少元時，單套的利潤最大？最大值是多少元？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練2第31屆世界大學生夏季運動會于2023年7月28日至8月8日在四川成都舉行，某公司為了競標配套活動的相關代言，決定對旗下的某商品進行一次評估．該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．(1)據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了抓住此次契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入eq\f(1,6)(x2－600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入eq\f(x,5)萬元作為浮動宣傳費用．試問：當該商品改革后的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三基本不等式與其他知識交匯的最值問題例3(1)若“?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得3x2－λx＋1<0成立”是假命題，則實數λ的最大值是()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．4D．5(2)在△ABC中，點D在線段BC上，且滿足|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up6(→))|，點E為線段AD上任意一點，若實數x，y滿足eq\o(BE,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，則eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)的最小值為()A．2eq\r(2) B．4eq\r(3)C．4＋2eq\r(3) D．9＋4eq\r(2)跟蹤訓練3雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為eq\f(π,3)，離心率為e，則eq\f(a2＋e,b)的最小值為()A.eq\f(2\r(6),3)B.eq\f(\r(6),3)C．2eq\r(6)D.eq\r(6)

§1.6一元二次方程、不等式課標要求1.會從實際情景中抽象出一元二次不等式.2.結合二次函數圖象，會判斷一元二次方程的根的個數，以及解一元二次不等式.3.了解簡單的分式、絕對值不等式的解法．知識梳理1．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的對應關系方程的判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數的圖象方程的根有兩個不相等的實數根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數根不等式的解集eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))R2.分式不等式與整式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)?_________________________________________________________；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?_________________________________________________________.3．簡單的絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為______________________________________________________，|x|<a(a>0)的解集為______________________________________________________．常用結論1．一元二次不等式恒成立問題(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立?a>0且Δ<0；(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立?a<0且Δ<0；(3)若a可以為0，需要分類討論，一般優先考慮a＝0的情形．2．對于不等式ax2＋bx＋c>0，求解時不要忘記a＝0時的情形．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0無實數根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.()(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(x1，x2)，則a<0.()(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，則a>0且Δ<0.()(4)不等式eq\f(x－a,x－b)≥0等價于(x－a)(x－b)≥0.()2．(必修第一冊P55T5改編)已知A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，則A∪B＝__________.3．(必修第一冊P58T6改編)若不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0對一切實數x都成立，則k的取值范圍為____________________．4．已知不等式x2－ax－b<0的解集為(2,3)，則a＋b＝________.題型一求解一元二次不等式命題點1不含參的不等式例1(多選)下列選項中，正確的是()A．不等式x2＋x－2>0的解集為{x|x<－2或x>1}B．不等式eq\f(2x＋1,x－2)≤1的解集為{x|－3≤x<2}C．不等式|x－2|≥1的解集為{x|1≤x≤3}D．設x∈R，則“|x－1|<1”是“eq\f(x＋4,x－5)<0”的充分不必要條件命題點2含參的不等式例2已知函數f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3.(1)若不等式f(x)>0的解集為{x|－1<x<3}，求a，b的值；(2)若b＝－a，求不等式f(x)≤1的解集．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華對含參的不等式，應對參數進行分類討論，常見的分類有(1)根據二次項系數為正、負及零進行分類．(2)根據判別式Δ與0的關系判斷根的個數．(3)有兩個根時，有時還需根據兩根的大小進行討論．跟蹤訓練1設函數f(x)＝ax2－(1＋a)x＋1.(1)若a＝－2，解不等式f(x)>0；(2)若a>0，解關于x的不等式f(x)<0.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二三個二次之間的關系例3(1)(多選)已知關于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為{x|x≤－4或x≥5}，則下列說法正確的是()A．a>0B．不等式bx＋c>0的解集為{x|x<－5}C．不等式cx2－bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,5)或x>\f(1,4)))))D．a＋b＋c>0(2)若方程x2－4x＋a＝0的兩根都在區間(1，＋∞)內，則實數a的取值范圍是______________．一元二次方程根的分布解決由一個一元二次方程根的分布情況，確定方程中系數的取值范圍問題，主要從以下三個方面建立關于系數的不等式(組)進行求解．(1)判別式Δ的符號．(2)對稱軸x＝－eq\f(b,2a)與所給區間的位置關系．(3)區間端點處函數值的符號．典例已知關于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩個不相等的實數根，其中一根在區間(－1,0)內，另一根在區間(1,2)內，求實數m的取值范圍；(2)若方程的兩個不相等的實數根均在區間(0,1)內，求實數m的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練2(1)(多選)已知關于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，則下列結論正確的是()A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3C．－1<x1<x2<3 D．x2－x1>4(2)已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(x)<0恰有3個整數解，寫出一個符合題意的函數解析式為f(x)＝________________________.題型三一元二次不等式恒成立問題例4已知函數f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1.(1)若不等式f(x)<1的解集為R，求m的取值范圍；(2)若不等式f(x)≥0對一切x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))恒成立，求m的取值范圍；(3)若不等式f(x)>2對一切m∈(0,2)恒成立，求x的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練3已知函數f(x)＝x2－3x＋a.(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求實數a的取值范圍；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若f(x)<0在x∈(－1,2)上恒成立，求實數a的取值范圍．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________