2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，每小題只有一項(xiàng)符合題目要求。1．已知，，是實(shí)數(shù)，若，，則A． B． C． D．2．若分式的值為0，則等于A． B． C． D．3．許多裝飾圖案中都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)之美，下列圖案是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．4．下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是A． B． C． D．5．參加創(chuàng)客興趣小組的同學(xué)，給機(jī)器人設(shè)定了如圖所示的程序，機(jī)器人從點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)1米后左轉(zhuǎn)，再沿直線前進(jìn)1米，又向左轉(zhuǎn)照這樣走下去，機(jī)器人第一次回到出發(fā)地點(diǎn)時(shí)，一共走的路程是A．10米 B．18米 C．20米 D．36米6．若關(guān)于的分式方程無解，則的值是A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或27．下列說法中，錯(cuò)誤的是A．平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等 B．菱形的兩條對(duì)角線相等 C．正方形的四條邊都相等 D．矩形的四個(gè)角都相等8．若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A． B． C．且 D．9．如圖，△中，，，，，，則的值為A．7 B．4 C．2 D．510．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且，連接，．有如下四個(gè)結(jié)論：①四邊形一定是平行四邊形；②四邊形可能是菱形；③四邊形可能是矩形；④四邊形可能是正方形．所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分，填空題請(qǐng)直接填寫答案。11．如圖，四邊形為平行四邊形，的角平分線交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為．12．如圖，將△沿方向平移得到△（其中點(diǎn)，，分別與點(diǎn)，，對(duì)應(yīng)）．若，則．13．如圖，已知直線與直線交于點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為．14．如圖，一張長(zhǎng)、寬的矩形鐵皮，將其剪去兩個(gè)全等的正方形和兩個(gè)全等的矩形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是的有蓋的長(zhǎng)方體鐵盒，則該鐵盒的體積為．15．囍，是中國(guó)傳統(tǒng)吉祥圖案，婚禮中，剪出大紅雙喜字貼于洞房中堂，指婚姻中男女雙方共同迎接喜慶的一天．如圖囍的剪法圖解③中，已經(jīng)折過2次后的紅紙左右寬，如果在最上層處扎一個(gè)小孔，則在取開展平的囍中會(huì)出現(xiàn)、、另外三個(gè)小孔，已知點(diǎn)距離左側(cè)邊緣為（即，則．①向右對(duì)折紅紙②再向右對(duì)折③剪去陰影部分④逆向展平成品三、解答題：本題共10小題，共90分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明或演算步驟。16．將下列各式因式分解：（1）；（2）．17．解方程：（1）；（2）3x2+2x﹣2＝0．18．解不等式組，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解．19．如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，且．求證：．20．先化簡(jiǎn)，再求值：，試從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中選取一個(gè)你喜歡的數(shù)代入求值．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，請(qǐng)解答下列問題：（1）若經(jīng)過平移后得到△，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為作出△并寫出其余兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△，作出△；（3）若將△繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到△，直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．22．“雨過園亭綠暗時(shí)，櫻桃紅顆壓枝低”，櫻桃富含維生素，嶗山北宅素有“中國(guó)櫻桃之鄉(xiāng)”的美譽(yù)．在2023年櫻桃節(jié)某水果商城為了了解兩種櫻桃市場(chǎng)銷售情況，購(gòu)進(jìn)了一批數(shù)量相等的“櫻珠”和“櫻桃”供客戶對(duì)比品嘗，其中購(gòu)買“櫻桃”用了630元，購(gòu)買“櫻珠”用了1134元，已知每千克“櫻珠”進(jìn)價(jià)比每千克“櫻桃”貴8元．（1）求每千克“櫻珠”和“櫻桃”進(jìn)價(jià)各是多少元？（2）若該水果商城決定再次購(gòu)買同種“櫻珠”和“櫻桃”共60千克，且再次購(gòu)買的費(fèi)用不超過1000元，且每種櫻桃進(jìn)價(jià)保持不變．若“櫻珠”的銷售單價(jià)為30元，“櫻桃”的銷售單價(jià)為18元，則該水果商城應(yīng)如何進(jìn)貨，使得第二批的“櫻珠”和“櫻桃”售完后獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？23．如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于，以、為鄰邊作．（1）證明是菱形；（2）若，連接、，求的度數(shù)；（3）若，，，是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)．（1）求直線的解析式；（2）如圖1，將直線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，與直線交于點(diǎn)，與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)．點(diǎn)是直線上位于第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在直線，上．若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，且，連接，，，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)以及的最小值；（3）如圖2，將△繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與軸于交點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，在平面內(nèi)確定一點(diǎn)，使得四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．25．【問題情景】如圖1，在△中，為△的中線，若，，求的取值范圍．中線倍長(zhǎng)法：如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，可證明△△，由全等得到，從而在△中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可以確定的范圍，進(jìn)一步即可求得的范圍．（1）在上述過程中，證明△△的依據(jù)是，的范圍為；【思考探究】（2）如圖3，在△中，，為中點(diǎn)，、分別為、上的點(diǎn)，連結(jié)、、，，若，，求的長(zhǎng)；【拓展延伸】（3）如圖4，為線段上一點(diǎn)，，分別以、為斜邊向上作等腰直角△和等腰直角△，為中點(diǎn)，連結(jié)，，．①判斷：△的形狀，并說明理由；②若將圖4中的等腰△繞點(diǎn)轉(zhuǎn)至圖5的位置，，不在同一條直線上），連結(jié)，為中點(diǎn)，且，在同側(cè)，連結(jié)，．若，，直接寫出：△和△的面積之差為．

參考答案一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，每小題只有一項(xiàng)符合題目要求。1．已知，，是實(shí)數(shù)，若，，則A． B． C． D．解：，，，，，．故選：．2．若分式的值為0，則等于A． B． C． D．解：若分式的值為0，則且，即，故選：．3．許多裝飾圖案中都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)之美，下列圖案是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)分析判斷如下：、既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．4．下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是A． B． C． D．解：是乘法運(yùn)算，則不符合題意，中，等號(hào)右邊不是積的形式，則不符合題意，符合因式分解的定義，則符合題意，中不是整式，則不符合題意，故選：．5．參加創(chuàng)客興趣小組的同學(xué)，給機(jī)器人設(shè)定了如圖所示的程序，機(jī)器人從點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)1米后左轉(zhuǎn)，再沿直線前進(jìn)1米，又向左轉(zhuǎn)照這樣走下去，機(jī)器人第一次回到出發(fā)地點(diǎn)時(shí)，一共走的路程是A．10米 B．18米 C．20米 D．36米解：解：由題意，得每一個(gè)外角是，，二十邊形米，故選：．6．若關(guān)于的分式方程無解，則的值是A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2解：原方程去分母可得：，，，根據(jù)題意，原分式方程無解，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，整式方程無解，所以原分式方程無解，符合題意；②當(dāng)原分式方程最簡(jiǎn)公分母時(shí)，即，是原分式方程的增根，也符合題意，此時(shí)，，解得；的值是1或2，故選：．7．下列說法中，錯(cuò)誤的是A．平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等 B．菱形的兩條對(duì)角線相等 C．正方形的四條邊都相等 D．矩形的四個(gè)角都相等解：平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等，選項(xiàng)正確，不符合題意；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，不相等，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；正方形的四條邊都相等，選項(xiàng)正確，不符合題意；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的四個(gè)角都相等，選項(xiàng)正確，不符合題意，故選：．8．若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A． B． C．且 D．解：當(dāng)，方程變形為，方程的解為；當(dāng)，△，解得；綜上所知當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根．故選：．9．如圖，△中，，，，，，則的值為A．7 B．4 C．2 D．5解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，，△△，，，，，是△的中位線，，故選：．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且，連接，．有如下四個(gè)結(jié)論：①四邊形一定是平行四邊形；②四邊形可能是菱形；③四邊形可能是矩形；④四邊形可能是正方形．所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④解：①如圖1，軸，，又，四邊形是平行四邊形，故①正確；②設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，，，解得：（不符合題意），，存在的情況，即四邊形可能是菱形，故②正確；③如圖2，點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，存在點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，此時(shí)四邊形是矩形，故③正確；④當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，如圖2所示，四邊形不為正方形，故④錯(cuò)誤，不符合題意；本題正確的結(jié)論有：①②③．故選：．二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分，填空題請(qǐng)直接填寫答案。11．如圖，四邊形為平行四邊形，的角平分線交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為3．解：四邊形是平行四邊形，，，，，平分，，，，．故答案為：3．12．如圖，將△沿方向平移得到△（其中點(diǎn)，，分別與點(diǎn)，，對(duì)應(yīng)）．若，則12．解：由題知，因?yàn)闉⒒伞餮胤较蚱揭频玫剑裕忠驗(yàn)椋裕蚀鸢笧椋?2．13．如圖，已知直線與直線交于點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為．解：將點(diǎn)代入得，，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的圖象不在一次函數(shù)圖象的上方，即，所以關(guān)于的不等式的解集為：．故答案為：．14．如圖，一張長(zhǎng)、寬的矩形鐵皮，將其剪去兩個(gè)全等的正方形和兩個(gè)全等的矩形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是的有蓋的長(zhǎng)方體鐵盒，則該鐵盒的體積為48．解：設(shè)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為，則制成有蓋的長(zhǎng)方體鐵盒的底面長(zhǎng)為，寬為，依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去）．該紙盒的體積為；故答案為：48．15．囍，是中國(guó)傳統(tǒng)吉祥圖案，婚禮中，剪出大紅雙喜字貼于洞房中堂，指婚姻中男女雙方共同迎接喜慶的一天．如圖囍的剪法圖解③中，已經(jīng)折過2次后的紅紙左右寬，如果在最上層處扎一個(gè)小孔，則在取開展平的囍中會(huì)出現(xiàn)、、另外三個(gè)小孔，已知點(diǎn)距離左側(cè)邊緣為（即，則．①向右對(duì)折紅紙②再向右對(duì)折③剪去陰影部分④逆向展平成品解：已經(jīng)折過2次后的紅紙左右寬，經(jīng)過兩次對(duì)折后，紙張被平均分成了4層，且這4層是完全重合的，與關(guān)于第二次對(duì)折的折痕對(duì)稱，與關(guān)于第二次對(duì)折的折痕對(duì)稱，的長(zhǎng)度剛好是折后紅紙寬度的2倍（從對(duì)稱關(guān)系角度理解，到折痕的距離與到折痕的距離相等，二者距離之和就是紙張寬度的2倍）．則．故答案為：．三、解答題：本題共10小題，共90分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明或演算步驟。16．將下列各式因式分解：（1）；（2）．解：（1）；（2）．17．解方程：（1）；（2）3x2+2x﹣2＝0．解：（1），，2x+1＝x﹣2，2x﹣x＝﹣1﹣2，x＝﹣3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣3時(shí)，x﹣2≠0，∴原方程的解為：x＝﹣3；（2）3x2+2x﹣2＝0，a＝3，b＝2，c＝﹣2，Δ＝22﹣4×3×（﹣2）＝4+24＝28＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，．18．解不等式組，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解．解：，解不等式①得，，解不等式②得，，所以不等式組的解集是，所以不等式組的非負(fù)整數(shù)解是0．19．如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，且．求證：．【解答】證明：四邊形是正方形，，，又，，，在與中，，，．20．先化簡(jiǎn)，再求值：，試從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中選取一個(gè)你喜歡的數(shù)代入求值．解：，當(dāng)時(shí)，原式．或者，當(dāng)時(shí)，原式．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，請(qǐng)解答下列問題：（1）若經(jīng)過平移后得到△，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為作出△并寫出其余兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△，作出△；（3）若將△繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到△，直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．解：（1）△如圖所示．點(diǎn)，．（2）△如圖所示．（3）如圖，點(diǎn)即為所求的旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為．22．“雨過園亭綠暗時(shí)，櫻桃紅顆壓枝低”，櫻桃富含維生素，嶗山北宅素有“中國(guó)櫻桃之鄉(xiāng)”的美譽(yù)．在2023年櫻桃節(jié)某水果商城為了了解兩種櫻桃市場(chǎng)銷售情況，購(gòu)進(jìn)了一批數(shù)量相等的“櫻珠”和“櫻桃”供客戶對(duì)比品嘗，其中購(gòu)買“櫻桃”用了630元，購(gòu)買“櫻珠”用了1134元，已知每千克“櫻珠”進(jìn)價(jià)比每千克“櫻桃”貴8元．（1）求每千克“櫻珠”和“櫻桃”進(jìn)價(jià)各是多少元？（2）若該水果商城決定再次購(gòu)買同種“櫻珠”和“櫻桃”共60千克，且再次購(gòu)買的費(fèi)用不超過1000元，且每種櫻桃進(jìn)價(jià)保持不變．若“櫻珠”的銷售單價(jià)為30元，“櫻桃”的銷售單價(jià)為18元，則該水果商城應(yīng)如何進(jìn)貨，使得第二批的“櫻珠”和“櫻桃”售完后獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：（1）設(shè)每千克“櫻珠”進(jìn)價(jià)是元，則每千克“櫻桃”進(jìn)價(jià)是元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，，答：每千克“櫻珠”進(jìn)價(jià)是18元，每千克“櫻桃”進(jìn)價(jià)是10元；（2）設(shè)購(gòu)買千克“櫻珠”，則購(gòu)買千克“櫻桃”，根據(jù)題意得：，解得：，設(shè)總利潤(rùn)為元，根據(jù)題意得：，，最的增大而增大，當(dāng)時(shí)，有最大值，，此時(shí)，，答：該該水果商城應(yīng)購(gòu)買50千克“櫻珠”，10千克“櫻桃”，使得第二批的“櫻珠”和“櫻桃”售完后獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是680元．23．如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于，以、為鄰邊作．（1）證明是菱形；（2）若，連接、，求的度數(shù)；（3）若，，，是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．解：（1）證明：平分，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，又四邊形是平行四邊形，四邊形為菱形；（2）四邊形是平行四邊形，，，，，，由（1）知，四邊形是菱形，，，，，，，是的平分線，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，；（3）如圖2中，連接，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，又由（1）可知四邊形為菱形，，四邊形為正方形．，，為中點(diǎn)，，，在和中，，，，．，是等腰直角三角形．，，，．方法二：，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，又由（1）可知四邊形為菱形，，四邊形為正方形．，，過作于，則是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，，，．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)．（1）求直線的解析式；（2）如圖1，將直線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，與直線交于點(diǎn)，與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)．點(diǎn)是直線上位于第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在直線，上．若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，且，連接，，，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)以及的最小值；（3）如圖2，將△繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與軸于交點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，在平面內(nèi)確定一點(diǎn)，使得四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）直線交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得，即，，，，；設(shè)直線的解析式為，將，代入解析式，得：，解得：，直線的解析式為；（2）在中，當(dāng)時(shí)，，即，，，由（1）可得，，點(diǎn)是直線上位于第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，設(shè)，，，即，，，，，，即；，，，，將直線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，直線的解析式為，直線的解析式為，，，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，解得，即，，，，，如圖，作交于，則四邊形為平行四邊形，，，，，△為等邊三角形，，作交于，則，，將點(diǎn)沿方向平移單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)（即向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度），，則，，四邊形為平行四邊形，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，連接，則，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，，，，，，，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，的最小值為，，的最小值為，的最小值；（3）如圖，四邊形第一次為菱形時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，此時(shí)△為等腰三角形，且，，，由旋轉(zhuǎn)知，，，軸，，，，，，，四邊形為菱形，，，，，，由菱形中，，，是平移來的，點(diǎn)到點(diǎn)的平移方式是水平向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)為點(diǎn)水平向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，