2024-2025學年江西省景德鎮市八年級（下）期中數學試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．等腰三角形的頂角為，則它的底角度數為A． B． C．或 D．或2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是A． B． C． D．3．下列不等式變形正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則4．在直角坐標系中，點繞原點逆時針旋轉，得到的點的坐標是A． B． C． D．5．如果不等式組恰有4個整數解，則的取值范圍是A． B． C． D．6．如圖，已知中，，，將繞點逆時針旋轉得到△，以下結論：①，②，③，④，正確的有A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．不等式的解集為．8．用反證法證明某一命題的結論“”時，應假設．9．若點坐標為，將點向右平移3個單位長度后落在軸上，則．10．如圖，在中，，，，將繞點按順時針旋轉一定角度得到，當點的對應點恰好落在邊上時，則的長為．11．如圖，平面直角坐標系中，經過點的直線與直線相交于點，則不等式的解集為．12．已知中，如果過頂點的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為的關于點的二分割線．如圖1，中，顯然直線是的關于點的二分割線．在圖2的中，，若直線是的關于點的二分割線，則的度數是．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（1）用不等式表示“的4倍與5的差大于7”；（2）若關于的不等式可化為，求的取值范圍．14．解不等式組，并把解集在數軸上表示出來．15．如圖，在△中，，，．將△沿著點到點的方向平移到△的位置，與交于點，．（1）求平移的距離；（2）求陰影部分的面積．16．如圖，在中，，，垂直平分線段分別交，于點，，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）在圖（1）中，作的平分線；（2）如圖（2），點是的中點，作的平分線．17．如圖，一次函數l1：y＝2x﹣2的圖象與一次函數l2：y＝kx+b的圖象交于點C（m，2），一次函數l2：y＝kx+b的圖象與x軸交于點A，且經過點B（3，1）．（1）求點C的坐標和一次函數l2：y＝kx+b的解析式；（2）根據圖象，直接寫出kx+b＞2x﹣2的解集．四、（本大題3小題，每小題8分，共24分）18．在中，是的中點，，，垂足分別是，．（1）若，求證：是的角平分線．（2）若是的角平分線，求證：．19．已知關于、的方程組的解是非負數．（1）求的取值范圍；（2）化簡：．20．如圖，在四邊形中，點是邊上一點，且，．（1）求證：；（2）若，時，求△的面積．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．某公交公司有，型兩種客車，它們的載客量和租金如表：載客量（人輛）4530租金（元輛）400300希望中學根據實際情況，計劃租用，型客車共9輛，同時送八年級師生到基地校參加社會實踐活動，設租用型客車輛，根據要求回答下列問題：（1）用含的式子填寫下表：車輛數（輛載客量租金（元①②（2）若要保證租車費用不超過3400元，求的最大值；（3）在（2）的條件下，若八年級師生共有360人，寫出最省錢的租車方案．22．對于任意實數，，定義一種關于的運算：．例如：．（1）若，求的取值范圍；（2）若關于的不等式組的解集為滿足，求的值；（3）若，求的取值范圍．六、（本大題共12分）23．問題初探：數學課外興趣小組活動時，數學馬老師提出了如下問題：在△中，，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖：延長到，使得；再連接，把，，集中在△中：利用上述方法求出的取值范圍是．（1）問題：請利用圖1說明與的位置關系；感悟：數學馬老師給學生們總結解這類問題時，條件中若出現“中點”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，或通過引平行線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．（2）類比分析：如圖2，在四邊形中，，點是的中點，若是的平分線，試判斷，，之間的等量關系；（3）問題解決：如圖3，，與交于點，且點是的中點，點在線段上，且，若，，求的值．

參考答案一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．等腰三角形的頂角為，則它的底角度數為A． B． C．或 D．或解：等腰三角形的頂角為，它的底角度數為，故選：．2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是A． B． C． D．解：是軸對稱圖形，但它不是中心對稱圖形，不符合題意，不是軸對稱圖形，但它是中心對稱圖形，不符合題意，是軸對稱圖形，但它不是中心對稱圖形，不符合題意，是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意，故選：．3．下列不等式變形正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則解：、，兩邊減去得：，故本選項不符合題意；、，（當時，，故本選項不符合題意；、，，，故本選項符合題意；、，當時，；當時，；故本選項不符合題意；故選：．4．在直角坐標系中，點繞原點逆時針旋轉，得到的點的坐標是A． B． C． D．解：過點作軸，過點作軸，垂足分別為、，點的坐標為，，，，，，，，在和中，，，，，點的坐標為．故選：．5．如果不等式組恰有4個整數解，則的取值范圍是A． B． C． D．解：不等式組的解集為，不等式組恰有4個整數解，這4個整數解為，，0，1，．故選：．6．如圖，已知中，，，將繞點逆時針旋轉得到△，以下結論：①，②，③，④，正確的有A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④解：①繞點逆時針旋轉得到△，．故①正確；②繞點逆時針旋轉，．，．，．．故②正確；③在中，，，．．與不垂直．故③不正確；④在中，，，．．故④正確．①②④這三個結論正確．故選：．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．不等式的解集為．解：原不等式移項得：，解得：．故答案為：．8．用反證法證明某一命題的結論“”時，應假設．解：用反證法證明“”時，應先假設．故答案為：．9．若點坐標為，將點向右平移3個單位長度后落在軸上，則5．解：由題意可得：，解得．故答案為：5．10．如圖，在中，，，，將繞點按順時針旋轉一定角度得到，當點的對應點恰好落在邊上時，則的長為2．解：繞點按順時針旋轉一定角度得到，點的對應點恰好落在邊上，，，為等邊三角形，，．故答案為2．11．如圖，平面直角坐標系中，經過點的直線與直線相交于點，則不等式的解集為．解：由條件可知不等式的解集為．故答案為：．12．已知中，如果過頂點的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為的關于點的二分割線．如圖1，中，顯然直線是的關于點的二分割線．在圖2的中，，若直線是的關于點的二分割線，則的度數是，，．解：如圖1中，當，時，滿足條件．如圖2中，當，時，可得，．如圖3中，當，時，，，綜上所述，滿足條件的的值為，，．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（1）用不等式表示“的4倍與5的差大于7”；（2）若關于的不等式可化為，求的取值范圍．解：（1）用不等式表示“的4倍與5的差大于7為：．（2）關于的不等式可化為，，解得：．14．解不等式組，并把解集在數軸上表示出來．解：，解不等式①得，解不等式②得，不等式組的解集為．在數軸上表示為：．15．如圖，在△中，，，．將△沿著點到點的方向平移到△的位置，與交于點，．（1）求平移的距離；（2）求陰影部分的面積．解：（1）由題意可得：，，，，，，，平移的距離為；（2），，，，，，，即，．16．如圖，在中，，，垂直平分線段分別交，于點，，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）在圖（1）中，作的平分線；（2）如圖（2），點是的中點，作的平分線．解：（1）如圖（1），即為所求，；，，，，垂直平分，，，，，平分；（2）如圖（2），即為所求，連接、相交于一點，連接交于，交于，連接交于，即為所求，、分別為、的中點，、是的中線，等腰三角形的頂角的角平分線、底邊的中線、底邊的高線三條線相互重合，三角形的三條中線、三條角平分線均相交于一點，即為的平分線．17．如圖，一次函數l1：y＝2x﹣2的圖象與一次函數l2：y＝kx+b的圖象交于點C（m，2），一次函數l2：y＝kx+b的圖象與x軸交于點A，且經過點B（3，1）．（1）求點C的坐標和一次函數l2：y＝kx+b的解析式；（2）根據圖象，直接寫出kx+b＞2x﹣2的解集．解：（1）由條件可知2m﹣2＝2，解得：m＝2，∴C（2，2），∵一次函數y＝2x﹣2的圖象與一次函數y＝kx+b的圖象交于點C（m，2），y＝kx+b的圖象經過點B（3，1），∴，解得：，∴一次函數l2：y＝kx+b的解析式為y＝﹣x+4．（2）由圖象可知：kx+b＞2x﹣2的解集為：x＜2．四、（本大題3小題，每小題8分，共24分）18．在中，是的中點，，，垂足分別是，．（1）若，求證：是的角平分線．（2）若是的角平分線，求證：．【解答】證明：（1），，是直角三角形．在與中，，，，又，，是的角平分線；（2）是的角平分線，于，于，，是邊的中線，，在和中，，，．19．已知關于、的方程組的解是非負數．（1）求的取值范圍；（2）化簡：．解：（1），，關于，的方程組的解是非負數，，解得：；（2）由（1）可知：，，，．20．如圖，在四邊形中，點是邊上一點，且，．（1）求證：；（2）若，時，求△的面積．【解答】（1）證明：，，即，，在△和△中，，△△，，；（2）解：，，如圖，過點作于，由（1）知，，△是等邊三角形，，，，在直角三角形中，由勾股定理得：，．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．某公交公司有，型兩種客車，它們的載客量和租金如表：載客量（人輛）4530租金（元輛）400300希望中學根據實際情況，計劃租用，型客車共9輛，同時送八年級師生到基地校參加社會實踐活動，設租用型客車輛，根據要求回答下列問題：（1）用含的式子填寫下表：車輛數（輛載客量租金（元①②（2）若要保證租車費用不超過3400元，求的最大值；（3）在（2）的條件下，若八年級師生共有360人，寫出最省錢的租車方案．解：（1）型車輛，每輛載客30人，每輛租金300元，租用型客車輛，型車載客為人，租金是元；故答案為：，；（2）型車租金為元，型車租金元，租車費用不超過3400元，，整理得，，解得，的最大值為7．（3）型車載客量為人，型車載客量為人，八年級師生共有360人，，整理得，，解得，由（2）可知：，為整數，或，當時，，當時，，，最省錢的租車方案為：型車6輛，型車3輛．22．對于任意實數，，定義一種關于的運算：．例如：．（1）若，求的取值范圍；（2）若關于的不等式組的解集為滿足，求的值；（3）若，求的取值范圍．解：（1）根據題意得，，解得；（2）根據題意得，，解得，關于的不等式組的解集為滿足，，，，，；（3），，，，，解得．六、（本大題共12分）23．問題初探：數學課外興趣小組活動時，數學馬老師提出了如下問題：在△中，，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖：延長到，使得；再連接，把，，集中在△中：利用上述方法求出的取值范圍是．（1）問題：請利用圖1說明與的位置關系；感悟：數學馬老師給學生們總結解這類問題時，條件中若出現“中點”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，或通過引平行線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．（2）類比分析：如圖