專練二次函數綜合題二次函數壓軸題常考題型與方法總結類型常考問題設計解題通用技法母題如圖Z2-1，拋物線y=x2+bx+c的頂點為D（-1，-4），與y軸相交于點C（0，-3），與x軸交于點A，B（點A在點B的左邊），求拋物線的解析式.

圖Z2-1由待定系數法將點D，C的坐標代入，求得b，c的值進而得出解析式

圖Z2-1以下對于上述母題設計若干常考問題，并進行分析類型常考問題設計解題通用技法二次函數與特殊三角形（直角三角形）（1）如圖Z2-2，連接AC，CD，AD.試判斷△ACD的形狀，并說明理由.

圖Z2-2先應用勾股定理或平面內兩點間的距離公式，求出三角形各邊的長，再根據勾股定理的逆定理判定三角形的形狀

圖Z2-2類型常考問題設計解題通用技法二次函數與特殊三角形（等腰三角形與動點）（2）如圖Z2-3，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCB是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由.

圖Z2-3設出動點P的坐標為（-1，t）后，分三種情況，若∠BPC為頂角，則PB=PC；若∠PBC為頂角，則BP=BC；若∠PCB為頂角，則CP=CB，分別用兩點間的距離公式求出或表示各線段的長度，再根據上述等式列方程求解即可

圖Z2-3

圖Z2-3類型常考問題設計解題通用技法二次函數與角度（3）如圖Z2-4，若點P在拋物線上，且∠PCA=45°，求點P的坐標.

圖Z2-4利用直線AC的解析式與△AOC的特點，數形結合，列出有關的方程，即可求出點P的坐標解：∵A（-3，0），C（0，-3），∴在Rt△AOC中，OA=OC=3.∴∠OAC=45°.∵∠OAC=∠PCA=45°，點P在拋物線上，∴CP∥x軸.令y=-3，得x2+2x-3=-3.解得x1=0，x2=-2.∴點P的坐標為（-2，-3）.圖Z2-4類型常考問題設計解題通用技法二次函數與相似

（4）如圖Z2-5，△ACD與△COB是否相似？請說明理由.

圖Z2-5用兩點間的距離公式分別求出兩個三角形的各邊長度，再用相似的判定方法進行判定.注意相似中沒有指明對應邊時，要進行分類討論

圖Z2-5類型常考問題設計解題通用技法二次函數與相似（動點、動線）（5）如圖Z2-6，若Q是線段AB上的一個動點（不與點A，B重合），QE∥AC交BC于點E，當△QCE的面積最大時，求動點Q的坐標.

圖Z2-6△QCE是三邊均動的動三角形，把該三角形分割成大三角形減去小三角形的差.根據平行線的性質得出兩個三角形相似，從而有面積的比等于對應邊的比的平方，最后該動三角形的面積可表示為與動點Q（t，0）的坐標有關的開口向下的二次函數，根據二次函數的性質即可求解

圖Z2-6

圖Z2-6類型常考問題設計解題通用技法二次函數與特殊四邊形（6）如圖Z2-7，若E為x軸上的一個動點，F為拋物線上的一個動點，當C，A，E，F構成平行四邊形時，求點E的坐標.

圖Z2-7以其中一個已知點（如：點A）作為起點，列出所有對角線的情況（如：AC，AF，AE），分別設出兩個動點（點E，點F）的坐標，運用中點坐標公式，求出每一種情況下，兩條對角線的中點坐標.因為兩條對角線的中點重合，所以兩個中點的坐標對應相等，列出方程組，求解即可

圖Z2-7

圖Z2-7

圖Z2-7類型常考問題設計解題通用技法二次函數與線段的和差（最值問題）（7）如圖Z2-8，試在x軸上找一點P，使PC+PD的值最小，并求出其最小值以及點P的坐標.

圖Z2-8在兩定點中任選一個點（為了方便計算，常常選擇軸上的點），求出該點關于題中的動點運動所經過的那條直線的對稱點的坐標，再把此對稱點與另一個定點相連，連線與動點所在直線的交點即為所求的點

答圖Z2-1

答圖Z2-1類型常考問題設計解題通用技法二次函數與周長（最值問題）

（8）如圖Z2-9，在y軸上是否存在點P，使△PAD的周長最小？若存在，求出點P的坐標，并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由.

圖Z2-9注意到AD是定線段，其長度是個定值，因此只需求PA+PD的最小值，再加上定值AD即可

答圖Z2-2

答圖Z2-2類型常考問題設計解題通用技法二次函數與面積（最值問題）（9）如圖Z2-10，P為直線AC下方的拋物線上一動點，當△APC的面積最大時，求出其最大值及點P的坐標.圖Z2-10

答圖Z2-3

答圖Z2-3類型常考問題設計解題通用技法二次函數與面積（最值問題）（10）如圖Z2-11，P為直線AC下方的拋物線上一動點，當四邊形AOCP的面積最大時，求出其最大值及點P的坐標.圖Z2-11四邊形AOCP是不規則圖形，通常用割補法求解，則S四邊形AOCP=S△AOC+S△ACP或S四邊形AOCP=S△COP+S△AOP

圖Z2-11類型常考問題設計解題通用技法二次函數與距離（最值問題）（11）如圖Z2-12，P為直線AC下方的拋物線上一動點，當點P到直線AC的距離最大時，求出最大距離及點P的坐標.

圖Z2-12已知AC是定線段，當△ACP的面積最大時，也就是點P到直線AC的距離最大

圖Z2-12類型常考問題設計解題通用技法二次函數與面積（12）如圖Z2-13，在拋物線上是否存在點P，使S△PBC=2S△ACD？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

圖Z2-13

圖Z2-13

答圖Z2-4

圖Z2-14

答圖Z2-5（2）若△OAB的內切圓半徑為1，求此拋物線的函數表達式；

答圖Z2-6（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使△POB是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

答圖Z2-7

題型二：二次函數與特殊四邊形、面積例2.如果一條拋物線與x軸有兩個交點，那么以這兩個交點和該拋物線的頂點、對稱軸上一點為頂點的四邊形稱為這條拋物線的“拋物四邊形”.如圖Z2-15①，拋物線y=ax2+bx+c（a<0）與x軸交于A，C兩點，B為拋物線的頂點，點D在拋物線的對稱軸上，則四邊形ABCD為“拋物四邊形”，已知A（-1，0），C（3，0）.（1）若圖Z2-15①中的“拋物四邊形”ABCD為菱形，且∠ABC=60°，則頂點B的坐標為

；

圖Z2-15（2）如圖Z2-15②，若“拋物四邊形”ABCD為正方形，邊AB與y軸交于點E，連接CE.①求這條拋物線的函數解析式；

圖Z2-15②P為第一象限拋物線上一個動點，設△PEC的面積為S，點P的橫坐標為m，求S關于m的函數關系式，并求S的最大值；圖Z2-15

答圖Z2-8③如圖Z2-15③，連接OB，拋物線上是否存在點Q，使直線QC與直線BC所夾銳角等于∠OBD？若存在，請直接寫出點Q的橫坐標：若不存在，說明理由.圖Z2-15

圖Z2-16

圖Z2-16（1）求拋物線的解析式；（2）求證：OE⊥AB；

答圖Z2-9

答圖Z2-9（3）P為拋物線上的一動點，直線PO交AD于點M，是否存在這樣的點P，使以A，O，M為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求點P的橫坐標；若不存在，請說明理由.

圖Z2-16

答圖Z2-10

答圖Z2-111.

（2024·海南）如圖Z2-17①，拋物線y=-x2+bx+4經過點A（-4，0），B（1，0），交y軸于點C（0，4），P是拋物線上一動點.（1）求該拋物線的函數表達式；圖Z2-17解：（1）由題意，得y=-（x+4）（x-1）=-（x2+3x-4）=-x2-3x+4.（2）當點P的坐標為（-2，6）時，求四邊形AOCP的面積；

答圖Z2-12（3）當∠PBA=45°時，求點P的坐標；（3）當∠PBA=45°時，則直線BP的表達式為y=±（x-1）.聯立上式和拋物線的表達式，得-x2-3x+4=x-1或-x+1=-x2-3x+4.解得x=-5或-3或1（舍去）.∴點P的坐標為（-5，-6）或（-3，4）.圖Z2-17（4）過點A，O，C的圓交拋物線于點E，F，如圖Z2-17②.連接AE，AF，EF，判斷△AEF的形狀，并說明理由.（4）△AEF為等邊三角形.理由如下：如答圖Z2-12②，連接AC，由于∠AOC=90°，則AC為圓的直徑.連接EC，EA，則∠AEC=90°.過點E作x軸的平行線交y軸于點N，交過點A和y軸的平行線于點M.設點E（m，-m2-3m+4），則EN=-m，ME=m+4，AM=-m2-3m+4，CN=-m2-3m+4-4=-m2-3m.答圖Z2-12

答圖Z2-12

圖Z2-18

圖Z2-18（2）P是二次函數圖象上的一個動點，當點P在直線AB上方時，過點P作PE⊥x軸于點E，與直線AB交于點D，設點P的橫坐標為m.①m為何值時線段PD的長度最大，并求出最大值；

答圖Z2-13②是否存在點P，使得△BPD與△AOC相似.若存在，請求出點P坐標；若不存在，請說明理由.②存在.∵∠PDB=∠ADE，∠ADE=∠ACO，∴∠BDP=∠ACO.∵△AOC是直角三角形，∴要使△BPD與△AOC相似，只有保證△BPD是直角三角形就可以.答圖Z2-13（Ⅰ）當△BPD∽△AOC時，如答圖Z2-14.∴∠BPD=∠AOC=90°.此時BP∥x軸，B，P關于對稱軸對稱，∴P（3，3）；答圖Z2-14

答圖Z2-15

3.

（2024·濟南）在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：y=x2+bx+c經過點A（0，2），B（2，2），頂點為D；拋物線C2：y=x2-2mx+m2-m+2（m≠1），頂點為Q.（1）求拋物線C1的表達式及頂點D的坐標；

圖