答案第=page11頁，共=sectionpages22頁6.2排列與組合第六章計數原理6.2排列與組合6.2.1排列例1某省中學生足球賽預選賽每組有6支隊，每支隊都要與同組的其他各隊在主、客場分別比賽1場，那么每組共進行多少場比賽？分析：每組任意2支隊之間進行的1場比賽，可以看作是從該組6支隊中選取2支，按“主隊、客隊”的順序排成的一個排列．解：可以先從這6支隊中選1支為主隊，然后從剩下的5支隊中選1支為客隊．按分步乘法計數原理，每組進行的比賽場數為．例2（1）一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？（2）學校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學每人從中選一種，共有多少種不同的選法？分析：3名同學每人從5盤不同的菜中取1盤菜，可看作是從這5盤菜中任取3盤，放在3個位置（給3名同學）的一個排列；而3名同學每人從食堂窗口的5種菜中選1種，每人都有5種選法，不能看成一個排列．解：（1）可以先從這5盤菜中取1盤給同學甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學丙．按分步乘法計數原理，不同的取法種數為．（2）可以先讓同學甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學乙從5種菜中選1種，也有5種選法；最后讓同學丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法．按分步乘法計數原理，不同的選法種數為．練習1．寫出：（1）用0~4這5個自然數組成的沒有重復數字的全部兩位數；（2）從a，b，c，d中取出2個字母的所有排列.2．一位老師要給4個班輪流做講座，每個班講1場，有多少種輪流次序？3．（1）5名運動員中有3名參加乒乓球團體比賽，如果前三場單打比賽每名運動員各出場1次，那么前三場單打比賽的順序有幾種？（2）乒乓球比賽規定，團體比賽采取5場單打3勝制，每支球隊由3名運動員參賽，前三場各出場1次，其中第1，2個出場的運動員分別還將參加第4，5場比賽.寫出甲、乙、丙三人參加比賽可能的全部順序.6.2.2排列數例3計算：（1）；（2）；（3）；（4）．解：根據排列數公式，可得（1）；（2）；（3）；（4）．例4用0～9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？分析：在0～9這10個數字中，因為0不能在百位上，而其他9個數字可以在任意數位上，因此0是一個特殊的元素．一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來考慮問題．解法1：由于三位數的百位上的數字不能是0，所以可以分兩百位十位個位步完成：第1步，確定百位上的數字，可以從1～9這9個數字中取出1個，有種取法；第2步，確定十位和個位上的數字，可以從剩下的9個數字中取出2個，有種取法（圖6.2-5）．根據分步乘法計數原理，所求的三位數的個數為．圖6.2-5解法2：如圖6.2-6，符合條件的三位數可以分成三類：第1類，每一位數字都不是0的三位數，可以從1～9這9個數字中取出3個，有種取法；第2類，個位上的數字是0的三位數，可以從剩下的9個數字中取出2個放在百位和十位，有種取法；第3類，十位上的數字是0的三位數，可以從剩下的9個數字中取出2個放在百位和個位，有種取法．圖6.2-6根據分類加法計數原理，所求三位數的個數為．解法3：從0～9這10個數字中選取3個的排列數為，其中0在百位上的排列數為，它們的差就是用這10個數組成的沒有重復數字的三位數的個數，即所求三位數的個數為．練習4．先計算，然后用計算工具檢驗（1）；（2）；（3）；（4）.5．求證：（1）；（2）.6．一個火車站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火車，現要停放4列不同的火車，共有多少種不同的停放方法？6.2.3組合例5平面內有A，B，C，D共4個點．（1）以其中2個點為端點的有向線段共有多少條？（2）以其中2個點為端點的線段共有多少條？分析：（1）確定一條有向線段，不僅要確定兩個端點，還要考慮它們的順序，是排列問題；（2）確定一條線段，只需確定兩個端點，而不需考慮它布的順序，是組合問題．解：（1）一條有向線段的兩個端點要分起點和終點．以平面內4個點中的2個為端點的有向線段的條數，就是從4個不同元素中取出2個元素的排列數，即有向線段條數為．這12條有向線段分別數，，，，，，，，，，，．（2）由于不考慮兩個端點的順序，因此將（1）中端點相向、方向不同的2條有向線段作為一條線段，就是以平面內4個點中的2個點為端點的線段的條數，共有如下6條：，，，，，．練習7．甲、乙、丙、丁4支足球隊舉行單循環賽.（1）列出所有各場比賽的雙方；（2）列出所有冠、亞軍的可能情況.8．已知平面內A，B，C，D這4個點中任何3個點都不在一條直線上，寫出以其中任意3個點為頂點的所有三角形.9．現有1，3，7，13這4個數.（1）從這4個數中任取2個相加，可以得到多少個不相等的和？（2）從這4個數中任取2個相減，可以得到多少個不相等的差？6.2.4組合數例6計算：（1）；（2）；（3）；（4）．解：根據組合數公式，可得（1）；（2）；（3）；（4）．例7在100件產品中，有98件合格品，2件次品．從這100件產品中任意抽出3件．（1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次．品的抽法有多少種？分析：（1）從100件產品中任意拈出3件，不需考慮順序，因此這是一個組合問題；（2）可以先從2件次品中抽出1件，再從98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一個分步完成的組合問題；（3）從100件產品抽出的3件中至少看1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情況，因此可以看作是一個分類完成的組合問題．解：（1）所有的不同抽法種數，就是從100件產品中抽出3件的組合數，所以抽法種數為；（2）從2件次品中抽出1件的抽法有種，從98件合格品中抽出2件的抽法有種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法種數為．（3）方法1從100件產品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況，因此根據分類力口法計數原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數為．方法2抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數，就是從100件產品中抽出3件的抽法種數減去3件都是合格品的抽法種數，即．練習10．先計算，然后用計算工具檢驗：（1）；（2）；（3）；（4）.11．求證：.12．有政治、歷史、地理、物理、化學、生物這6門學科的學業水平考試成績，現要從中選3門成績.（1）共有多少種不同的選法？（2）如果物理和化學恰有1門被選，那么共有多少種不同的選法？（3）如果物理和化學至少有1門被選，那么共有多少種不同的選法.習題6.2復習鞏固13．先計算，然后用計算工具檢驗：（1）；（2）.14．先計算，然后用計算工具檢驗：（1）；（2）；（3）；（4）.15．壹圓、伍圓、拾圓、貳拾圓的人民幣各1張，一共可以組成多少種幣值？16．填空題.（1）有3張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數是________；（2）要從5件不同的禮物中選出3件分別送3位同學，不同方法的種數是________；（3）5名工人各自在3天中選擇1天休息，不同方法的種數是________；（4）集合A有m個元素，集合B有n個元素，從兩個集合中各取1個元素，不同方法的種數是________.17．一名同學有4本不同的數學書，5本不同的物理書，3本不同的化學書，現要將這些書放在一個單層的書架上.（1）如果要選其中的6本書放在書架上，那么有多少種不同的放法？（2）如果要將全部的書放在書架上，且不使同類的書分開，那么有多少種不同的放法？18．（1）空間中有8個點，其中任何4個點不共面，過每3個點作一個平面，可以作多少個平面？（2）空間中有10個點，其中任何4個點不共面，過每4個點為頂點作一個四面體，可以作多少個四面體？19．在一次考試的選做題部分，要求在第1題的4個小題中選做3個小題，在第2題的3個小題中選做2個小題，在第3題的2個小題中選做1個小題，有多少種不同的選法.綜合運用20．求證：（1）；（2）.21．學校要安排一場文藝晚會的個節目的演出順序.除第個節目和最后個節目已確定外，個音樂節目要求排在第的位置，個舞蹈節目要求排在第的位置，個曲藝節目要求排在第的位置，有多少種不同的排法？22．班上每個小組有12名同學，現要從每個小組選4名同學組成一支代表隊，與其他小組進行辯論賽.（1）每個小組的代表隊有多少種選法？（2）如果每支代表隊還必須指定1名隊長，那么每個小組的代表隊有多少種選法？（3）如果每支代表隊還要分別指定第一、二、三、四辯手，那么每個小組的代表隊有多少種選法？23．一個有個數的數值方陣，最上面一行中有n個互不相同的數.能否由這n個數以不同的順序形成其余的每一行，并使任意兩行的順序都不相同？如果一個數陣有m行，而且每行有n個互不相同的數，為使每一行都不重復，m可以取多大的值？24．（1）從0，2，4，6中任取3個數字，從1，3，5中任取2個數字，一共可以組成多少個沒有重復數字的五位數？（2）由數字0，1，2，3，4，5，6可以組成多少個沒有重復數字，并且比5000000大的正整數.25．從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項創新大賽.（1）如果4人中男生女生各選2人，那么有多少種選法？（2）如果男生中的甲和女生中的乙必須在內，那么有多少種選法？（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內，那么有多少種選法？（4）如果4人中必須既有男生又有女生，那么有多少種選法？26．一個宿舍的6名同學被邀請參加一個晚會.（1）如果必須有人去，去幾個人自行決定，有多少種不同的去法？（2）如果其中甲和乙兩位同學要么都去，要么都不去，有多少種去法？27．從含有3件次品的100件產品中，任意抽取5件進行檢驗.（1）抽出的產品都是合格品的抽法有多少種？（2）抽出的產品中恰好有2件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的產品中至少有2件是次品的抽法有多少種？（4）抽出的產品中至多有2件是次品的抽法有多少種？拓廣探索28．根據某個福利彩票方案，每注彩票號碼都是從1~37這37個數中選取7個數.如果所選7個數與開出的7個數一樣（不管排列順序），彩票即中一等獎.（1）多少注不同號碼的彩票可有一個一等獎？（2）如果要將一等獎的中獎機會提高到以上且不超過，可在37個數中取幾個數？29．如圖，現要用5種不同的顏色對某市的4個區縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？30．移動互聯網給人們的溝通交流帶來了方便.某種移動社交軟件平臺，既可供用戶彼此添加“好友”單獨交流，又可供多個用戶建立一個“群”（“群里”的人彼此不