高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省宜昌市協作體2024-2025學年高二下學期期中聯考數學試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色，墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷，草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊第六章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數在處的導數等于（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】函數，求導得，所以.故選：A2.算盤是中國古代的一項重要發明，迄今已有2600多年的歷史.現有一算盤，取其兩檔（如圖一），自右向左分別表示十進制數的個位和十位，中間一道橫梁把算珠分為上下兩部分，梁上一珠撥下，記作數字5，梁下四珠，上撥一珠記作數字1（如圖二算盤表示整數51）.若撥動圖1的兩枚算珠，則可以表示不同整數的個數為（）A.6 B.8 C.10 D.15【答案】B【解析】撥動兩枚算珠可分為以下三類（1）在個位上撥動兩枚，可表示2個不同整數.（2）同理在十位上撥動兩枚，可表示2個不同整數.（3）在個位、十位上分別撥動一枚，由分步乘法計數原理易得，可表示個不同整數.所以，根據分類加法計數原理，一共可表示個不同整數.故選：B.3.在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中重心相對于水面的高度（單位：）與起跳后的時間（單位：）存在函數關系，則該運動員在時的瞬時速度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，令，得，即該運動員在時的瞬時速度為.故選：C.4.有3名男生和3名女生去影院觀影，他們買了同一排相連的6個座位，若3名女生必須相鄰，則不同的坐法有（）A.24種 B.48種 C.96種 D.144種【答案】D【解析】先把3名女生看成一個整體，有種排法，再把這個整體與另外3名男生排列，有種排法，則不同的坐法有種坐法.故選：D.5化簡：（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C.6.某5位同學排成一排準備照相時，又來了2位同學要加入，如果保持原來5位同學的相對順序不變，則不同的加入方法種數為（）A.21 B.30 C.42 D.60【答案】C【解析】7位同學排成一排準備照相時，共有種排法，如果保持原來5位同學的相對順序不變，則有種排法.故選：C7.已知函數及其導函數的定義域均為,若,且,則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，因為，所以，所以在上單調遞減；又，所以，因此不等式可化為，所以，解得，即不等式的解集為.故選：A8.如圖為我國數學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經》作注時驗證勾股定理的示意圖,現在用7種顏色給5個小區域（，，，，）涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有（）A.2520種 B.3360種 C.3570種 D.4410種【答案】D【解析】分4步進行分析：①對于區域，有7種顏色可選；②對于區域，與區域相鄰，有6種顏色可選；③對于區域，與、區域相鄰，有5種顏色可選；④對于區域、若與顏色相同，區域有5種顏色可選，若與顏色不相同，區域有4種顏色可選，區域有4種顏色可選，則區域、有種選擇.綜上所述，不同的涂色方案有種.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，則滿足不等式的的值為（）A.6 B.3 C.8 D.4【答案】BD【解析】因為，所以，即，解得；又，，所以或4，故選：BD.10已知，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A選項，令，得，故A正確；對于B選項，令，得，故B錯誤；對于C選項，令，得，故C錯誤；對于D選項，將，兩式相加，得，即，故D正確.故選：AD11.給出定義：若函數在上可導，即存在，且導函數在上也可導，則稱在上存在二階導函數，記．若在上恒成立，則稱在上是“下凸函數”．下列函數中在定義域上是“下凸函數”的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】A.定義域為，，，故A正確.B.定義域為，，，故B正確.C.定義域為，，，故C正確.D.定義域為，，，當時，，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某校羽毛球隊有5名男隊員，6名女隊員，現在需要派1名男隊員，1名女隊員作為一個組合參加市羽毛球混雙比賽，則不同的組合方式有______種.【答案】30【解析】根據題意可知，第一步，派1名男隊員共有種；第二步，派1名男隊員共有種，所以由分步乘法計數原理可得不同的組合方式有種.故答案為：13.已知函數，則______.【答案】【解析】令，由復合函數的求導公式，得，故.故答案為：.14.設為函數的導函數的圖象上一點，為函數的圖象上一點，當關于直線對稱時，稱是一組對稱點．若恰有3組對稱點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】，設，則，所以，，所以，因為與的圖象若恰有3組對稱點，所以有三組解，可得即有三個解，令，即函數與的圖象有3個不同的交點，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞減，所以，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數．（1）求的值；（2）求曲線在點處的切線方程．解：（1）由，得，因為，所以，解得．（2）由上問得，所以，則，因為，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即．16.在的二項展開式中，所有項的二項式系數之和為64.（1）求展開式中的常數項；（2）求展開式中二項式系數最大的項.解：（1）由題意可得，解得，所以該二項式為，則通項公式為：．令，解得，所以該二項式的展開式中的常數項為．（2）因為，易知：展開式第四項二項式系數最大，即,所以展開式中二項式系數最大的項.17.已知函數在處有極小值3．（1）求的解析式；（2）求在上的值域．解：（1）由題意得函數，則，由題意得，解得當時，，令，解得．則當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增，則是極小值點，符合題意，故．（2）由（1）知，則當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增，則當時，函數取得極小值，當時，函數取得極大值，而，故在上的值域為．18.實施鄉村振興戰略，優先發展教育事業.教育既承載著傳播知識、塑造文明鄉風的功能,更為鄉村建設提供了人才支撐，為了補齊落后地區教育發展的短板，解決落后地區優秀教師資源匱乏的問題，某教育局抽調6名優秀教師按照以下要求分配到3所鄉村學校去任教.（1）若三所學校中甲學校1人、乙學校2人、丙學校3人，有多少種分配方法？（2）若三所學校中一學校4人，另外兩校各1人，有多少種分配方法？（3）若三所學校每所學校至少一人，有多少種分配方法？解：（1）6名教師選1名到甲學校任教有種方法，從剩余的5名教師中選2名到乙學校有種方法，剩余3名教師都分配到丙學校去任教有種方法，則三所學校中甲學校1人、乙學校2人、丙學校3人共有種分配方法；（2）6名教師按，，分為三個組，有種方法，則三所學校中一校4人，另外兩校各1人共有種分配方法.（3）由題可得教師的分配方案可以是：①，，；②1，1，4；③2，2，2，①6名教師按，，分為三個組有種方法，則6人分配到三所學校共有種分配方法；②6名教師按，，分為三個組有種分法，則6人分配到三所學校共有種分配方法；③6名教師平均分配到3所學校有種方法則6人分配到三所學校每所學校至少一人一共有：種方法19.若對且，函數，滿足：，則稱函數是函數在區間上的級控制函數．（1）判斷函數是否是函數在區間上的1級控制函數，并說明理由；（2）若函數是函數在區間上的級控制函數，求實數的取值范圍；（3）若函數是函數在區間上的級控制函數,且函數在區間上存在兩個零點，求證．解：（1）函數是函數在區間上的1級控制數．理由如下：因為，且，所以，所以，即成立，所以函數是函數在區間上的1級控制函數．（2）由函數是函數在區間上的級控制函數，得，又，由指數函數性質得在上單調遞增，所以，即恒成立．令，所以當，且時，恒成立，故在上恒成立．因為，所以在上恒成立，則恒成立，即，由指數函數性質在上單調遞增，故，則，由題意得，所以，綜上，可以得到實數的取值范圍是．（3）因為函數在區間上存在兩個零點，所以我們不妨設，且，因為函數是函數在區間上的級控制函數，所以，即，可以得到．要證，即證，即證，即證，令，構造，所以，所以在上單調遞增，所以，即時，，即成立，所以得證．湖北省宜昌市協作體2024-2025學年高二下學期期中聯考數學試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色，墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷，草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊第六章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數在處的導數等于（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】函數，求導得，所以.故選：A2.算盤是中國古代的一項重要發明，迄今已有2600多年的歷史.現有一算盤，取其兩檔（如圖一），自右向左分別表示十進制數的個位和十位，中間一道橫梁把算珠分為上下兩部分，梁上一珠撥下，記作數字5，梁下四珠，上撥一珠記作數字1（如圖二算盤表示整數51）.若撥動圖1的兩枚算珠，則可以表示不同整數的個數為（）A.6 B.8 C.10 D.15【答案】B【解析】撥動兩枚算珠可分為以下三類（1）在個位上撥動兩枚，可表示2個不同整數.（2）同理在十位上撥動兩枚，可表示2個不同整數.（3）在個位、十位上分別撥動一枚，由分步乘法計數原理易得，可表示個不同整數.所以，根據分類加法計數原理，一共可表示個不同整數.故選：B.3.在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中重心相對于水面的高度（單位：）與起跳后的時間（單位：）存在函數關系，則該運動員在時的瞬時速度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，令，得，即該運動員在時的瞬時速度為.故選：C.4.有3名男生和3名女生去影院觀影，他們買了同一排相連的6個座位，若3名女生必須相鄰，則不同的坐法有（）A.24種 B.48種 C.96種 D.144種【答案】D【解析】先把3名女生看成一個整體，有種排法，再把這個整體與另外3名男生排列，有種排法，則不同的坐法有種坐法.故選：D.5化簡：（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C.6.某5位同學排成一排準備照相時，又來了2位同學要加入，如果保持原來5位同學的相對順序不變，則不同的加入方法種數為（）A.21 B.30 C.42 D.60【答案】C【解析】7位同學排成一排準備照相時，共有種排法，如果保持原來5位同學的相對順序不變，則有種排法.故選：C7.已知函數及其導函數的定義域均為,若,且,則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，因為，所以，所以在上單調遞減；又，所以，因此不等式可化為，所以，解得，即不等式的解集為.故選：A8.如圖為我國數學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經》作注時驗證勾股定理的示意圖,現在用7種顏色給5個小區域（，，，，）涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有（）A.2520種 B.3360種 C.3570種 D.4410種【答案】D【解析】分4步進行分析：①對于區域，有7種顏色可選；②對于區域，與區域相鄰，有6種顏色可選；③對于區域，與、區域相鄰，有5種顏色可選；④對于區域、若與顏色相同，區域有5種顏色可選，若與顏色不相同，區域有4種顏色可選，區域有4種顏色可選，則區域、有種選擇.綜上所述，不同的涂色方案有種.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，則滿足不等式的的值為（）A.6 B.3 C.8 D.4【答案】BD【解析】因為，所以，即，解得；又，，所以或4，故選：BD.10已知，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A選項，令，得，故A正確；對于B選項，令，得，故B錯誤；對于C選項，令，得，故C錯誤；對于D選項，將，兩式相加，得，即，故D正確.故選：AD11.給出定義：若函數在上可導，即存在，且導函數在上也可導，則稱在上存在二階導函數，記．若在上恒成立，則稱在上是“下凸函數”．下列函數中在定義域上是“下凸函數”的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】A.定義域為，，，故A正確.B.定義域為，，，故B正確.C.定義域為，，，故C正確.D.定義域為，，，當時，，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某校羽毛球隊有5名男隊員，6名女隊員，現在需要派1名男隊員，1名女隊員作為一個組合參加市羽毛球混雙比賽，則不同的組合方式有______種.【答案】30【解析】根據題意可知，第一步，派1名男隊員共有種；第二步，派1名男隊員共有種，所以由分步乘法計數原理可得不同的組合方式有種.故答案為：13.已知函數，則______.【答案】【解析】令，由復合函數的求導公式，得，故.故答案為：.14.設為函數的導函數的圖象上一點，為函數的圖象上一點，當關于直線對稱時，稱是一組對稱點．若恰有3組對稱點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】，設，則，所以，，所以，因為與的圖象若恰有3組對稱點，所以有三組解，可得即有三個解，令，即函數與的圖象有3個不同的交點，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞減，所以，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數．（1）求的值；（2）求曲線在點處的切線方程．解：（1）由，得，因為，所以，解得．（2）由上問得，所以，則，因為，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即．16.在的二項展開式中，所有項的二項式系數之和為64.（1）求展開式中的常數項；（2）求展開式中二項式系數最大的項.解：（1）由題意可得，解得，所以該二項式為，則通項公式為：．令，解得，所以該二項式的展開式中的常數項為．（2）因為，易知：展開式第四項二項式系數最大，即,所以展開式中二項式系數最大的項.17.已知函數在處有極小值3．（1）求的解析式；（2）求在上的值域．解：（1）由題意得函數，則，由題意得，解得當時，，令，解得．則當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增，則是極小值點，符合題意，故．（2）由（1）知，則當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增，則當時，函數取得極小值，當時，函數取得極大值，而，故在上的值域為．18.實施鄉村振興戰略，優先發展教育事業.教育既承載著傳播知識、塑造文明鄉風的功能,更為鄉村建設提供了人才支撐，為了補齊落后地區教育發展的短板，解決落后地區優秀教師資源匱乏的問題，某教育局抽調6名優秀教師按照以下要求分配到3所鄉村學校去任教.（1）若三所學校中甲學校1人、乙學校2人、丙學校3人，有多少種分配方法？（2）若三所學校中一學校4人，