專題十一模型專題（4）板塊模型【重點模型解讀】一、模型認識類型圖示規律分析木板B帶動物塊A，物塊恰好不從木板上掉下的臨界條件是物塊恰好滑到木板左端時二者速度相等，則位移關系為xB＝xA＋L物塊A帶動木板B，物塊恰好不從木板上掉下的臨界條件是物塊恰好滑到木板右端時二者速度相等，則位移關系為xB＋L＝xA力F作用在物塊A上討論相關的臨界情況力F作用在木板B上討論相關的臨界情況二、板塊類問題的解題思路與技巧：1．通過受力分析判斷滑塊和木板各自的運動狀態（具體做什么運動）；2．判斷滑塊與木板間是否存在相對運動。滑塊與木板存在相對運動的臨界條件是什么？⑴運動學條件：若兩物體速度或加速度不等，則會相對滑動。⑵動力學條件：假設兩物體間無相對滑動，先用整體法算出共同加速度，再用隔離法算出其中一個物體“所需要”的摩擦力f；比較f與最大靜摩擦力fm的關系，若f>fm，則發生相對滑動；否則不會發生相對滑動。3.分析滑塊和木板的受力情況，根據牛頓第二定律分別求出滑塊和木板的加速度；4.對滑塊和木板進行運動情況分析，找出滑塊和木板之間的位移關系或速度關系，建立方程．特別注意滑塊和木板的位移都是相對地面的位移.5.計算滑塊和木板的相對位移（即兩者的位移差或位移和）；6.如果滑塊和木板能達到共同速度，計算共同速度和達到共同速度所需要的時間；7.滑塊滑離木板的臨界條件是什么？當木板的長度一定時，滑塊可能從木板滑下，恰好滑到木板的邊緣達到共同速度（相對靜止）是滑塊滑離木板的臨界條件。三、注意點：分析“板塊”模型時要抓住一個轉折和兩個關聯【典例講練突破】【例1】如圖所示，光滑水平面上放置質量分別為m、2m的物塊A和木板B，A、B間的最大靜摩擦力為μmg，現用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度運動，求拉力F的最大值。

【點撥】為防止運動過程中A落后于B（A不受拉力F的直接作用，靠A、B間的靜摩擦力加速），A、B一起加速的最大加速度由A決定。【解答】物塊A能獲得的最大加速度為：．

∴A、B一起加速運動時，拉力F的最大值為：

．

【變式1】若拉力F作用在A上呢？如圖所示。

【解析】：木板B能獲得的最大加速度為：。

∴A、B一起加速運動時，拉力F的最大值為：

．【變式2】在變式1的基礎上再改為：B與水平面間的動摩擦因數為（認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力），使A、B以同一加速度運動，求拉力F的最大值。

【解答】木板B能獲得的最大加速度為：

設A、B一起加速運動時，拉力F的最大值為Fm，則：

解得：

【練1】(2014?江蘇)如圖所示，A、B兩物塊的質量分別為2m和m，靜止疊放在水平地面上，A、B間的動摩擦因數為μ，B與地面間的動摩擦因數為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，現對A施加一水平拉力F，則()A．當F＜2μmg時，A、B都相對地面靜止B．當F=μmg時，A的加速度為μgC．當F＞3μmg時，A相對B滑動D．無論F為何值，B的加速度不會超過μg【例2】如圖所示，質量為M的長木板A在光滑水平面上，以大小為v0的速度向左運動，一質量為m的小木塊B(可視為質點)，以大小也為v0的速度水平向右沖上木板左端，B、A間的動摩擦因數為μ，最后B未滑離A。已知M＝2m，重力加速度為g。求：(1)A、B達到共同速度的時間和共同速度的大小；(2)木板A的最短長度L。【點撥】(1)分析摩擦力方向→判斷A和B的運動性質→求速度和時間。(2)計算A和B的位移→求相對位移→最短長度。【解析】(1)對A、B分別由牛頓第二定律有μmg＝MaA，μmg＝maB又M＝2m，可得aA＝eq\f(1,2)μg，aB＝μg規定水平向右為正方向，經時間t兩者達到共同速度v，則v＝v0－aBt＝－v0＋aAt解得t＝eq\f(2v0,aA＋aB)＝eq\f(4v0,3μg)，v＝－eq\f(v0,3)。(2)在時間t內：A的位移xA＝eq\f(－v0＋v,2)t＝－eq\f(8veq\o\al(2,0),9μg)B的位移xB＝eq\f(v0＋v,2)t＝eq\f(4veq\o\al(2,0),9μg)木板A的最短長度為兩者的相對位移大小，即L＝Δx＝xB－xA＝eq\f(4veq\o\al(2,0),3μg)。答案(1)eq\f(4v0,3μg)eq\f(v0,3)(2)eq\f(4veq\o\al(2,0),3μg)【以題說法】解決速度臨界問題的思維模板【練2】(2019?江蘇)如圖所示，質量相等的物塊A和B疊放在水平地面上，左邊緣對齊．A與B、B與地面間的動摩擦因數均為μ。先敲擊A，A立即獲得水平向右的初速度，在B上滑動距離L后停下。接著敲擊B，B立即獲得水平向右的初速度，A、B都向右運動，左邊緣再次對齊時恰好相對靜止，此后兩者一起運動至停下．最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g．求：（1）A被敲擊后獲得的初速度大小vA；（2）在左邊緣再次對齊的前、后，B運動加速度的大小aB、aB'；（3）B被敲擊后獲得的初速度大小vB．【解析】（1）由牛頓運動定律知，A加速度的大小aA=μg勻變速直線運動2aAL=vA2解得（2）設A、B的質量均為m對齊前，B所受合外力大小F=3μmg由牛頓運動定律F=maB，得aB=3μg對齊后，A、B所受合外力大小F′=2μmg由牛頓運動定律F′=2maB′，得aB′=μg（3）經過時間t，A、B達到共同速度v，位移分別為xA、xB，A加速度的大小等于aA則v=aAt，v=vB–aBt且xB–xA=L解得。【例3】(2015·全國卷Ⅰ，25，)一長木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物塊；在木板右方有一墻壁，木板右端與墻壁的距離為4.5m，如圖(a)所示。t＝0時刻開始，小物塊與木板一起以共同速度向右運動，直至t＝1s時木板與墻壁碰撞(碰撞時間極短)。碰撞前后木板速度大小不變，方向相反；運動過程中小物塊始終未離開木板。已知碰撞后1s時間內小物塊的v－t圖線如圖(b)所示。木板的質量是小物塊質量的15倍，重力加速度大小g取10m/s2。求：(1)木板與地面間的動摩擦因數μ1及小物塊與木板間的動摩擦因數μ2；(2)木板的最小長度；(3)木板右端離墻壁的最終距離。【模型解析】第一步：分析研究對象模型。設小物塊和木板的質量分別為m和M。小物塊可以看作質點(初始條件v0未知，如圖甲所示)。第二步：分解過程模型。(1)認為地面各點的粗糙程度相同，小物塊和木板一起向右做勻變速運動，到速度大小為v1，如圖乙所示。(2)木板與墻壁碰撞過程：小物塊受到滑動摩擦力(設置的初始條件)，由于碰撞時間極短(Δt→0)，故碰后小物塊速度不變，木板的速度方向突變(設置的初始條件)，如圖丙所示。(3)然后小物塊向右減速，木板向左減速，經1s小物塊速度減小為零(如圖丁所示)。由于木板的加速度較小，故小物塊速度為零時，木板仍有速度．然后小物塊向左加速，木板向左減速，到二者達到共同速度v3(如圖戊所示)。(4)分析臨界條件，包括時間關系和空間關系，如圖戊所示。(5)在小物塊和木板具有共同速度后，兩者向左做勻變速直線運動直至停止(如圖己所示)。第三步：選擇計算方法。上面的每一個過程都有特定條件要求，應根據各自的物理規律，選擇相應的計算方法解題。【規范步驟】(1)根據圖象可以判定碰撞前小物塊與木板共同速度為v＝4m/s碰撞后木板速度水平向左，大小也是v＝4m/s小物塊受到滑動摩擦力而向右做勻減速直線運動，加速度大小a2＝eq\f(v－0,t)＝eq\f(4－0,1)m/s2＝4m/s2。根據牛頓第二定律有μ2mg＝ma2，解得μ2＝0.4木板與墻壁碰撞前，勻減速運動時間t＝1s，位移x＝4.5m，末速度v＝4m/s其逆運動則為勻加速直線運動可得x＝vt＋eq\f(1,2)a1t2解得a1＝1m/s2小物塊和木板整體受力分析，滑動摩擦力提供合外力，由牛頓第二定律得：μ1(m＋15m)g＝(m＋15m)a1，即μ1g＝a1解得μ1＝0.1(2)碰撞后，木板向左做勻減速運動，依據牛頓第二定律有μ1(15m＋m)g＋μ2mg＝15ma3可得a3＝eq\f(4,3)m/s2對滑塊，加速度大小為a2＝4m/s2由于a2＞a3，所以滑塊速度先減小到0，所用時間為t1＝1s的過程中，木板向左運動的位移為x1＝vt1－eq\f(1,2)a3teq\o\al(2,1)＝eq\f(10,3)m,末速度v1＝v－a3t1＝eq\f(8,3)m/s滑塊向右運動的位移x2＝eq\f(v＋0,2)t1＝2m此后，小物塊開始向左加速，加速度大小仍為a2＝4m/s2木板繼續減速，加速度大小仍為a3＝eq\f(4,3)m/s2假設又經歷t2二者速度相等，則有a2t2＝v1－a3t2解得t2＝0.5s此過程中，木板向左運動的位移x3＝v1t2－eq\f(1,2)a3teq\o\al(2,2)＝eq\f(7,6)m，末速度v3＝v1－a3t2＝2m/s滑塊向左運動的位移x4＝eq\f(1,2)a2teq\o\al(2,2)＝0.5m此后小物塊和木板一起勻減速運動，二者的相對位移最大為Δx＝x1＋x2＋x3－x4＝6m小物塊始終沒有離開木板，所以木板最小的長度為6m(3)最后階段滑塊和木板一起勻減速直到停止，整體加速度大小為a1＝1m/s2向左運動的位移為x5＝eq\f(veq\o\al(2,3),2a1)＝2m所以木板右端離墻壁最遠的距離為x＝x1＋x3＋x5＝6.5m答案(1)0.10.4(2)6m(3)6.5m【練3】如圖所示，木板靜止于水平地面上，在其最右端放一可視為質點的木塊。已知木塊的質量m＝1kg，木板的質量M＝4kg，長L＝2.5m，上表面光滑，下表面與地面之間的動摩擦因數μ＝0.2。現用水平恒力F＝20N拉木板，g取10m/s2。(1)求木板加速度的大小；(2)要使木塊能滑離木板，求水平恒力F作用的最短時間；(3)如果其他條件不變，假設木板的上表面也粗糙，其上表面與木塊之間的動摩擦因數為μ1＝0.3，欲使木板能從木塊的下方抽出，對木板施加的拉力應滿足什么條件？(4)若木板的長度、木塊質量、木板的上表面與木塊之間的動摩擦因數、木板與地面間的動摩擦因數都不變，只將水平恒力增加為30N，則木塊滑離木板需要多長時間？【答案】(1)2.5m/s2(2)1s(3)F＞25N(4)2s【解析】(1)木板受到的摩擦力Ff＝μ(M＋m)g＝10N木板的加速度a＝＝2.5m/s2。(2)設拉力F作用時間t后撤去，F撤去后，木板的加速度為a′＝－＝－2.5m/s2，可見|a′|＝a木塊滑離木板時，兩者的位移關系為x木板－x木塊＝L，即a′木板t2－a′木塊t2＝L代入數據解得：t＝2s。【在線測試】1．如圖所示，在光滑水平面上有一質量為m1的足夠長的木板，其上疊放一質量為m2的木塊。假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等。現給木塊施加一隨時間t增大的水平力F＝kt(k是常量)，木板和木塊加速度的大小分別為a1和a2。下列反映a1和a2隨時間t變化的圖線中正確的是()解析開始時木板和木塊一起做加速運動，有F＝(m1＋m2)a，解得a＝eq\f(F,m1＋m2)＝eq\f(kt,m1＋m2)，即木板和木塊的加速度相同且與時間成正比。當木板與木塊間的摩擦力達到μm2g后兩者發生相對滑動，對木塊有F－μm2g＝m2a2，a2＝eq\f(F－μm2g,m2)＝eq\f(kt,m2)－μg，故其圖線的斜率增大；對木板，在發生相對滑動后，有μm2g＝m1a1，故a1＝eq\f(μm2g,m1)為定值。所以選項A正確。答案A2．如圖所示，物體A放在物體B上，物，相對BB.當拉力F＞12N時，A相對B滑動C.D.無論拉力F多大，A相對B始終靜止3．(多選)如圖2甲所示，一質量為m1的薄木板(厚度不計)靜止在光滑水平地面上，現有一質量為m2的滑塊以一定的水平初速度v0，從木板的左端開始向木板的右端滑行，滑塊和木板的水平速度大小隨時間變化的情況如圖乙所示，根據圖象可知以下判斷正確的是()圖2A．滑塊始終與木板存在相對運動B．滑塊未能滑出木板C．滑塊的質量m2大于木板的質量m1D．在t1時刻，滑塊從木板上滑出解析滑塊以水平初速度v0滑上木板，滑塊減速，木板加速，滑塊和木板的加速度的大小分別為a2＝eq\f(μm2g,m2)＝μg，a1＝eq\f(μm2g,m1)，由v－t圖象可知，滑塊的速度一直大于木板的速度，即兩者之間始終存在相對運動，在t1時刻，滑塊滑出木板，各自做勻速直線運動。由v－t圖象分析可知a2＜a1，即μg＜eq\f(μm2g,m1)，則m1＜m2，選項A、C、D正確。答案ACD4．如圖所示，一塊足夠長的輕質長木板放在光滑水平地面上，質量分別為mA＝1kg和mB＝2kg的物塊A、B放在長木板上，A、B與長木板間的動摩擦因數均為μ＝0.4，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。現用水平拉力F拉A，取重力加速度g＝10m/s2。改變拉力F的大小，B的加速度大小可能為()圖3A．1m/s2 B．2.5m/s2 C．3m/s2 D．4m/s2解析A、B放在輕質長木板上，長木板質量為0，所受合力始終為0，即A、B所受摩擦力大小相等。由于A、B受到長木板的最大靜摩擦力的大小關系為fAmax<fBmax，所以B始終相對長木板靜止，當拉力增加到一定程度時，A相對長木板滑動，B受到的最大合力等于A的最大靜摩擦力，即fB＝fAmax＝μmAg，由fB＝mBaBmax，可知B的加速度最大為2m/s2，選項A正確。答案A【備選】很薄的木板a在水平地面上向右滑行，可視為質點的物塊b以水平速度從右端向左滑上木板。二者按原方向一直運動至分離，分離時木板的速度為，物塊的速度為，所有接觸面均粗糙，則（ABC）A越大，越大B木板下表面越粗糙，越小C物塊質量越小，越大D木板質量越大，越小【備選】一小圓盤靜止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央．桌布的一邊與桌的AB邊重合，如圖．已知盤與桌布間的動摩擦因數為1，盤與桌面間的動摩擦因數為2．現突然以恒定加速度a將桌布抽離桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB邊．若圓盤最后未從桌面掉下，則加速度a滿足的條件是什么？（以g表示重力加速度）【分析與解】本題涉及到圓盤和桌布兩種運動，先定性分析清楚兩者運動的大致過程，形成清晰的物理情景，再尋找相互間的制約關系，是解決這一問題的基本思路。x2x2aL/2xx1桌布桌布從圓盤下抽出的過程中，圓盤的初速度為零，在水平方向上受桌布對它的摩擦力F1=1mg作用，做初速為零的勻加速直線運動。桌布從圓盤下抽出后，圓盤由于受到桌面對它的摩擦力F2=2mg作用，做勻減速直線運動。設圓盤的質量為m，桌長為L，在桌布從圓盤下抽出的過程中，盤的加速度為a1，則根據牛頓運動定律有1mg=ma1，桌布抽出后，盤在桌面上做勻減速運動，以a2表示加速度的大小，有2mg=ma2。設盤剛離開桌布時的速度為v1，移動的距離為x1，離開桌布后在桌面上再運動距離x2后便停下，則有，，盤沒有從桌面上掉下的條件是