高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省邢臺市四縣兄弟學校聯考2024-2025學年高一上學期1月期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.2.如果，，那么下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于A、B，若，，則，不成立，故AB錯誤；對于C，若，，則不成立，故C錯誤；對于D，因為，，所以，故D正確.故選：D.3.設是定義在上奇函數，當時，，則（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】因為是定義在上的奇函數，且當時，，所以.故選：D.4.若代數式有意義，則實數的取值范圍為（）A. B.C D.【答案】D【解析】由題可得，解得或，故實數的取值范圍為．故選：D.5.若，則函數的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以．當且僅當，即時取等號，即最小值為.故選：B.6.若，為第四象限角，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，利用可得；可得；又為第四象限角，所以，即.故選：D.7.若冪函數的圖象經過點，則（）A. B. C. D.4【答案】D【解析】設冪函數，由于圖象經過點，所以，即，所以，則.故選：D.8.（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.的最大值為2B.函數的圖象關于點對稱C.直線是函數圖象的一條對稱軸D.函數區間上單調遞增【答案】AB【解析】函數，對于選項A，，A正確；對于選項B和C，將代入函數的解析式，得，函數的圖象關于點對稱，B正確，C錯誤；對于選項D，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，D不正確.故選：AB.10.下列命題中，是存在量詞命題且是真命題的是（）A.有些菱形是正方形 B.若，則C.， D.，【答案】ACD【解析】對于A，命題等價于存在一個菱形是正方形，顯然正方形都滿足該條件，故A正確；對于B，等價于，則，這不是存在量詞命題，故B錯誤；對于C，對有，故C正確；對于D，對有，故D正確.故選：ACD.11.下列函數既是偶函數，又在上單調遞減的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】選項A：冪函數的定義域為R，為偶函數，且在上單調遞增，故A錯誤；選項B：指數函數的定義域為R，為非奇非偶函數，且上單調遞增，故B錯誤；選項C：該函數的定義域R，記，則，所以是偶函數，當時，，所以在上單調遞減，故C正確；選項D：冪函數的定義域為，為偶函數，且在上單調遞減，故D正確.故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數在區間上是增函數，則實數a的取值范圍是_______．【答案】【解析】函數的單調遞增區間是，而函數在上單調遞增，則，即，解得，所以實數a的取值范圍為.13.二倍角的正弦公式__________，其中，簡記為．【答案】【解析】略14.__________．【答案】【解析】.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）證明：函數在區間上是增函數；（2）當，求函數的值域.解：（1）任取，且，由，因，故，，故，即函數在區間上是增函數.（2）由（1）已證：函數在區間上是增函數，故在上也是增函數，則，即，故函數的值域為.16.已知冪函數經過點.（1）求此冪函數的表達式和定義域；（2）已知點，點在此冪函數的圖象上，且滿足，求實數的取值范圍.解：（1）冪函數經過點，，即，解得，；因為，所以的定義域為.（2）由于函數在其定義域上單調遞減，又因為點，點在此冪函數的圖象上，且滿足，可得，解得，所以.17.已知函數的部分圖象，如圖所示．（1）求函數的解析式；（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，當時，求函數的值域．解：（1）由圖象可知函數的最大值為，最小正周期，可得，，所以．將代入，可得，由，則，解得，所以．（2）將函數的圖象向右平移個單位后，可得的圖象，再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象．由，可得，又函數在上單調遞增，在單調遞減，，，函數在的值域．18.設函數，其中，解不等式：.解：因函數的定義域為，且是嚴格的增函數，故由可得，由①可得，或；由②可得，.故不等式的解集為.19.已知二次函數．（1）當時，求函數在區間上的最大值和最小值；（2）若對一切實數都成立，求的取值范圍；（3）求關于的不等式的解集．解：（1）因為，當時，，則為圖象的對稱軸，所以，，函數在區間上的最大值為，最小值為.（2）因為對一切實數都成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得，即.（3）依題意，即，當時，解得或；當時，即，解得；當時，解得或；綜上可得，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為.河北省邢臺市四縣兄弟學校聯考2024-2025學年高一上學期1月期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.2.如果，，那么下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于A、B，若，，則，不成立，故AB錯誤；對于C，若，，則不成立，故C錯誤；對于D，因為，，所以，故D正確.故選：D.3.設是定義在上奇函數，當時，，則（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】因為是定義在上的奇函數，且當時，，所以.故選：D.4.若代數式有意義，則實數的取值范圍為（）A. B.C D.【答案】D【解析】由題可得，解得或，故實數的取值范圍為．故選：D.5.若，則函數的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以．當且僅當，即時取等號，即最小值為.故選：B.6.若，為第四象限角，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，利用可得；可得；又為第四象限角，所以，即.故選：D.7.若冪函數的圖象經過點，則（）A. B. C. D.4【答案】D【解析】設冪函數，由于圖象經過點，所以，即，所以，則.故選：D.8.（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.的最大值為2B.函數的圖象關于點對稱C.直線是函數圖象的一條對稱軸D.函數區間上單調遞增【答案】AB【解析】函數，對于選項A，，A正確；對于選項B和C，將代入函數的解析式，得，函數的圖象關于點對稱，B正確，C錯誤；對于選項D，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，D不正確.故選：AB.10.下列命題中，是存在量詞命題且是真命題的是（）A.有些菱形是正方形 B.若，則C.， D.，【答案】ACD【解析】對于A，命題等價于存在一個菱形是正方形，顯然正方形都滿足該條件，故A正確；對于B，等價于，則，這不是存在量詞命題，故B錯誤；對于C，對有，故C正確；對于D，對有，故D正確.故選：ACD.11.下列函數既是偶函數，又在上單調遞減的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】選項A：冪函數的定義域為R，為偶函數，且在上單調遞增，故A錯誤；選項B：指數函數的定義域為R，為非奇非偶函數，且上單調遞增，故B錯誤；選項C：該函數的定義域R，記，則，所以是偶函數，當時，，所以在上單調遞減，故C正確；選項D：冪函數的定義域為，為偶函數，且在上單調遞減，故D正確.故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數在區間上是增函數，則實數a的取值范圍是_______．【答案】【解析】函數的單調遞增區間是，而函數在上單調遞增，則，即，解得，所以實數a的取值范圍為.13.二倍角的正弦公式__________，其中，簡記為．【答案】【解析】略14.__________．【答案】【解析】.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）證明：函數在區間上是增函數；（2）當，求函數的值域.解：（1）任取，且，由，因，故，，故，即函數在區間上是增函數.（2）由（1）已證：函數在區間上是增函數，故在上也是增函數，則，即，故函數的值域為.16.已知冪函數經過點.（1）求此冪函數的表達式和定義域；（2）已知點，點在此冪函數的圖象上，且滿足，求實數的取值范圍.解：（1）冪函數經過點，，即，解得，；因為，所以的定義域為.（2）由于函數在其定義域上單調遞減，又因為點，點在此冪函數的圖象上，且滿足，可得，解得，所以.17.已知函數的部分圖象，如圖所示．（1）求函數的解析式；（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，當時，求函數的值域．解：（1）由圖象可知函數的最大值為，最小正周期，可得，，所以．將代入，可得，由，則，解得，所以．（2）將函數的圖象向右平移個單位后，可得的圖象，再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象．由，可得，又函數在上單調遞增，在單調遞減，，，函數在的值域．18.設函數，其中，解不等式：.解：因函數的定義域為，且是嚴格的增函數，故由可得，由①可得，或；由②可得，.故