高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省邢臺市名校協作體2024-2025學年高二下學期4月期中考試數學試題一?單項選擇題1.5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同報名方法有（）A.10種 B.20種 C.25種 D.32種【答案】D【解析】由題意，每個同學有2種選擇，故不同報名方式為.故選：D.2.下列說法中，錯誤的命題是（）A.在刻畫回歸模型的擬合效果時，的值越大，說明擬合的效果越好B.線性相關系數越大，兩個變量的線性相關性越強，反之，線性相關性越弱C.設隨機變量服從正態分布，則D.對分類變量與，若計算出的越大，則判斷“與有關系”的犯錯誤的概率越小【答案】B【解析】對于A：在刻畫回歸模型的擬合效果時，的值越大，說明擬合的效果越好，正確；對于B：線性相關系數越大，兩個變量的線性相關性越強，反之，線性相關性越弱，錯誤；對于C：由正太密度曲線的對稱性可知：，正確；對于D：對分類變量與，若計算出的越大，則判斷“與有關系”的犯錯誤的概率越小，正確.故選：B3.某班要從8名班干部（其中5名男生，3名女生）中選取3人參加學校優秀班干部評選，事件：男生甲被選中，事件：有兩名女生被選中，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，事件男生甲與兩名女生被選中，則，因此，.故選：B.4.已知，則為（）A.180 B.150 C.120 D.200【答案】A【解析】因，其通項公式為：，令，可得：.故選：A5.從5位同學中選派4位同學在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有()A.40種 B.60種 C.100種 D.120種【答案】B【解析】根據題意，首先從5人中抽出兩人星期五參加活動，有種情況，再從剩下的3人中，抽取兩人安排在星期六、星期日參加活動，有種情況，則由分步計數原理，可得不同的選派方法共有=60種.故選B．6.已知隨機變量的分布列如下，則的最大值為（）X123Pab2b—aA. B.3C.6 D.5【答案】C【解析】因為分布列中概率和為，故可得，解得，又，則，又，故可得，則當時，的最大值為，又，故的最大值為.故選：C.7.從非洲蔓延到東南亞的蝗蟲災害嚴重威脅了國際農業生產，影響了人民生活．世界性與區域性溫度的異常、旱澇頻繁發生給蝗災發生創造了機會．已知蝗蟲的產卵量與溫度的關系可以用模型（其中為自然底數）擬合，設，其變換后得到一組數據：由上表可得線性回歸方程，則當時，蝗蟲的產卵量的估計值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由表格數據知：，，代入，得，，即，，時，，故選：B．8.已知甲盒中有2個球且都為紅球，乙盒中有3個紅球和4個藍球，從乙盒中隨機抽取個球放入甲盒中.（1）放入個球后，甲盒中含有紅球的個數記為；（2）放入個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】從乙盒中取1個球時，甲盒紅球個數記為，則的所有可能取值為2，3，則從乙盒中隨機抽取1個籃球放入甲盒中的概率是,乙盒中隨機抽取1個紅球放入甲盒中的概率是,從乙盒中取2個球時，甲盒紅球數記為，則的可能取值為，,．故選：A．二?多項選擇題9.在某次數學測試中，學生的成績，則（）A. B.若越大，則越大C. D.【答案】AC【解析】因為，所以，A正確；當時，，當時，，B不正確；因為，所以，C正確；根據正態曲線的對稱性，D不正確.故選：AC.10.下列選項中正確的有（）.A.隨機變量，則B.將兩顆骰子各擲一次，設事件“兩個點數不相同”，“至少出現一個6點”，則概率C.口袋中有7個紅球、2個藍球和1個黑球.從中任取兩個球，記其中含紅球的個數為隨機變量.則的數學期望D.已知某種藥物對某種疾病的治愈率為，現有3位患有該病的患者服用了這種藥物，3位患者是否會被治愈是相互獨立的，則恰有1位患者被治愈的概率為【答案】AC【解析】對于A，隨機變量服從二項分布，．則，故A正確；對于B，根據條件概率的含義，其含義為在發生的情況下，發生的概率，即在“至少出現一個6點”的情況下，“兩個點數都不相同”的概率，“至少出現一個6點”的情況數目為，“兩個點數都不相同”則只有一個6點，共種，故，故B錯誤；對于C，的所有可能取值為0，1，2，，可得，，．的分布列012，故C正確；對于D，某種藥物對某種疾病的治愈率為，現有3位患有該病的患者服用了這種藥物，3位患者是否會被治愈是相互獨立的，則恰有1位患者被治愈的概率為，故D錯誤．故選：AC．11.已知紅箱內有6個紅球、3個白球，白箱內有3個紅球、6個白球，所有小球大小、形狀完全相同．第一次從紅箱內取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內取出一球，然后再放回去，依此類推，第次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內取出一球，然后再放回去．記第次取出的球是紅球的概率為，則下列說法正確的是（）A. B.C.第5次取出的球是紅球的概率為 D.前3次取球恰有2次取到紅球的概率是【答案】AC【解析】依題意，設第次取出球是紅球的概率為，則白球概率為，對于第次，取出紅球有兩種情況．①從紅箱取出的概率為，②從白箱取出的概率為，對應，即，故B錯誤；所以，令，則數列為等比數列，公比為，因為，所以，故，所以，故選項A，C正確；第1次取出球是紅球的概率為，第2次取出球是紅球的概率為，第3次取出球是紅球的概率為，前3次取球恰有2次取到紅球的概率是，故D錯誤；故選：AC．三?填空題12.若的二項展開式中，所有二項式系數和為，則該展開式中的常數項為________．【答案】15【解析】在二項展開式中二項式系數和為，故，，展開式通項為，要求常數項，則令，，因此常數項為.13.某學校組織學生進行答題比賽，已知共有4道類試題，8道類試題，12道類試題，學生從中任選1道試題作答，學生甲答對這3類試題的概率分別為，，.若學生甲答對了所選試題，則這道試題是類試題的概率為_____________.【答案】【解析】設學生選道類試題為事件，學生選道類試題為事件，學生選道類試題為事件，設學生答對試題為事件，則，，，，，，所以，所以.故答案為：14.某次大型聯考10000名學生參加,考試成績(滿分100分)近似服從正態分布（其中和分別為樣本的均值和標準差），若本次考試平均成績為65分，87分以上共有228人，學生甲的成績為76分，則學生甲的名次大致是__________名.附：若隨機變量服從正態分布，則，【答案】1587【解析】已知本次模擬考試成績都近似服從正態分布，由題意可得．，而即，解得．甲市學生在該次考試中成績為76分，且，又，即．學生在甲市本次考試的大致名次為1587名．故答案：1587四?解答題15.用0，1，2，3，4，5這六個數字，能組成多少個符合下列條件的數字？（運算結果以數字作答）（1）無重復數字的四位偶數；（2）無重復數字且為5的倍數的四位數；（3）無重復數字且比1230大的四位數．解：（1）符合要求的四位偶數可分為兩類．第一類，0在個位時有個；第二類，2或4在個位時，首位從1，3，4（或2），5中選（有種情況），十位和百位從余下的數字中選（有種情況），于是有個．由分類加法計數原理知，共有四位偶數（個）．（2）符合要求的數可分為兩類：第一類：0在個位時有個；第二類：5在個位時有個．故滿足條件的四位數共有（個）．（3）符合要求的比1230大的四位數可分為四類：第一類：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有個；第二類：形如13□□，14□□，15□□，共有個；第三類：形如124□，125□，共有個；第四類：形如123□，共有個．由分類加法計數原理知，無重復數字且比1230大的四位數共有（個）．16.已知在的展開式中,前3項的系數分別為,且滿足.求：（1）展開式中二項式系數最大項的項；（2）展開式中系數最大的項；（3）展開式中所有有理項.解：（1）因為展開式的通項公式為，，所以依題意得，即，由已知,所以，所以的展開式有9項，二項式系數最大的項為第5項，所以.（2）由（1）知，，設展開式中系數最大的項為第項，則，即，即，解得，所以或，所以展開式中系數最大的項為和.（3）由為有理項知，為整數，得，，所以展開式中所有有理項為和.17.某市為吸引大學生人才來本市就業，大力實行人才引進計劃，提供現金補貼，為了解政策的效果，收集了2011-2020年人才引進就業人數數據（單位：萬），統計如下（年份代碼1-10分別代表2011-2020年）其中，，,.年份代碼12345678910引進人數3.45.77.38.59.610.210.811.311.611.8（1）根據數據畫出散點圖，并判斷，，，哪一個適合作為該市人才引進就業人數y關于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）5.59.022.141.5182.54.8472.29.6718.41（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；（所有過程保留兩位小數）（3）試預測該市2022年的人才引進就業人數.參考公式：，.解：（1）圖像：適合作為該市人才引進就業人數y關于年份代碼x的回歸方程類型（2），（3）將x=12代入得．18.2021年7月，臺風“煙花”導致多地受災，某調查小組調查了某受災小區的100戶居民由于臺風造成的經濟損失(單位：元)，將收集的數據分成，，，，五組，并作出如圖所示的頻率分布直方圖．（1）遭受臺風后居委會號召小區居民為臺風重災區捐款，小張調查的100戶居民捐款情況如下表所示，在表格空白處填寫正確數字，并判斷能否在小概率值α＝0.05的獨立性檢驗下，認為捐款數額超過或不超過500元和自家經濟損失是否超過4000元有關；項目經濟損失不超過4000元經濟損失超過4000元總計捐款超過500元60捐款不超過500元10總計100（2）將上述調查所得的頻率視為概率，現在從該地區大量受災居民中，采用隨機抽樣的方法每次抽取1戶居民，抽取3次，記被抽取的3戶居民中自家經濟損失超過4000元的戶數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求ξ的分布列，期望和方差．附：，n＝a＋b＋c＋d.α0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）由頻率分布直方圖可得，在抽取的100戶中，經濟損失不超過4000元的有70戶，經濟損失超過4000元的有30戶，補全表格數據如下：項目經濟損失不超過4000元經濟損失超過4000元總計捐款超過500元602080捐款不超過500元101020總計7030100零假設：捐款數額超過或不超過500元和自家經濟損失否超過4000元無關，則，根據小概率值的獨立性檢驗，可以認為不成立，即認為捐款數額超過或不超過500元和自家經濟損失是否超過4000元有關；（2）由頻率分布直方圖可知抽到自家經濟損失超過4000元的居民的頻率為0.3，將頻率視為概率，由題意知的可能取值為0，1，2，3，且，，，，，從而ξ的分布列為：0123P，.19.某校在90周年校慶到來之際，為了豐富教師的學習和生活，特舉行了答題競賽．在競賽中,每位參賽教師答題若干次，每一次答題的賦分方法如下：第1次答題,答對得20分，答錯得10分，從第2次答題開始，答對則獲得上一次答題所得分數兩倍的得分，答錯得10分，教師甲參加答題競賽，每次答對的概率均為，每次答題是否答對互不影響.（1）求甲前3次答題得分之和為70分的概率．（2）記甲第i次答題所得分數的數學期望為．（ⅰ）求，，，并猜想當時，與之間的關系式；（ⅱ）若，求n的最小值．解：（1）由題意，前3次的得分分別為20（對），40（對），10（錯）或10（錯），20（對），40（對），所以甲前3次答題的得分之和為70分的概率為.（2）（ⅰ）甲第1次答題得分20分，10分的概率分別為，則，甲第2次答題得分40分，20分，10分的概率分別為，則，甲第3次答題得分80分，40分，20，10嗯分的概率分別為，則，當時，因為甲第次答題所得分數的數學期望為，所以第次答對題所得分數為，答錯題所的分數為分，其概率為，所以，可猜想：.（ⅱ）由（i）知數列是以15為首項，5為公差的等差數列，根據等差數列的求和公式，可得，當時，，當時，，所以實數最小值為.河北省邢臺市名校協作體2024-2025學年高二下學期4月期中考試數學試題一?單項選擇題1.5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同報名方法有（）A.10種 B.20種 C.25種 D.32種【答案】D【解析】由題意，每個同學有2種選擇，故不同報名方式為.故選：D.2.下列說法中，錯誤的命題是（）A.在刻畫回歸模型的擬合效果時，的值越大，說明擬合的效果越好B.線性相關系數越大，兩個變量的線性相關性越強，反之，線性相關性越弱C.設隨機變量服從正態分布，則D.對分類變量與，若計算出的越大，則判斷“與有關系”的犯錯誤的概率越小【答案】B【解析】對于A：在刻畫回歸模型的擬合效果時，的值越大，說明擬合的效果越好，正確；對于B：線性相關系數越大，兩個變量的線性相關性越強，反之，線性相關性越弱，錯誤；對于C：由正太密度曲線的對稱性可知：，正確；對于D：對分類變量與，若計算出的越大，則判斷“與有關系”的犯錯誤的概率越小，正確.故選：B3.某班要從8名班干部（其中5名男生，3名女生）中選取3人參加學校優秀班干部評選，事件：男生甲被選中，事件：有兩名女生被選中，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，事件男生甲與兩名女生被選中，則，因此，.故選：B.4.已知，則為（）A.180 B.150 C.120 D.200【答案】A【解析】因，其通項公式為：，令，可得：.故選：A5.從5位同學中選派4位同學在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有()A.40種 B.60種 C.100種 D.120種【答案】B【解析】根據題意，首先從5人中抽出兩人星期五參加活動，有種情況，再從剩下的3人中，抽取兩人安排在星期六、星期日參加活動，有種情況，則由分步計數原理，可得不同的選派方法共有=60種.故選B．6.已知隨機變量的分布列如下，則的最大值為（）X123Pab2b—aA. B.3C.6 D.5【答案】C【解析】因為分布列中概率和為，故可得，解得，又，則，又，故可得，則當時，的最大值為，又，故的最大值為.故選：C.7.從非洲蔓延到東南亞的蝗蟲災害嚴重威脅了國際農業生產，影響了人民生活．世界性與區域性溫度的異常、旱澇頻繁發生給蝗災發生創造了機會．已知蝗蟲的產卵量與溫度的關系可以用模型（其中為自然底數）擬合，設，其變換后得到一組數據：由上表可得線性回歸方程，則當時，蝗蟲的產卵量的估計值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由表格數據知：，，代入，得，，即，，時，，故選：B．8.已知甲盒中有2個球且都為紅球，乙盒中有3個紅球和4個藍球，從乙盒中隨機抽取個球放入甲盒中.（1）放入個球后，甲盒中含有紅球的個數記為；（2）放入個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】從乙盒中取1個球時，甲盒紅球個數記為，則的所有可能取值為2，3，則從乙盒中隨機抽取1個籃球放入甲盒中的概率是,乙盒中隨機抽取1個紅球放入甲盒中的概率是,從乙盒中取2個球時，甲盒紅球數記為，則的可能取值為，,．故選：A．二?多項選擇題9.在某次數學測試中，學生的成績，則（）A. B.若越大，則越大C. D.【答案】AC【解析】因為，所以，A正確；當時，，當時，，B不正確；因為，所以，C正確；根據正態曲線的對稱性，D不正確.故選：AC.10.下列選項中正確的有（）.A.隨機變量，則B.將兩顆骰子各擲一次，設事件“兩個點數不相同”，“至少出現一個6點”，則概率C.口袋中有7個紅球、2個藍球和1個黑球.從中任取兩個球，記其中含紅球的個數為隨機變量.則的數學期望D.已知某種藥物對某種疾病的治愈率為，現有3位患有該病的患者服用了這種藥物，3位患者是否會被治愈是相互獨立的，則恰有1位患者被治愈的概率為【答案】AC【解析】對于A，隨機變量服從二項分布，．則，故A正確；對于B，根據條件概率的含義，其含義為在發生的情況下，發生的概率，即在“至少出現一個6點”的情況下，“兩個點數都不相同”的概率，“至少出現一個6點”的情況數目為，“兩個點數都不相同”則只有一個6點，共種，故，故B錯誤；對于C，的所有可能取值為0，1，2，，可得，，．的分布列012，故C正確；對于D，某種藥物對某種疾病的治愈率為，現有3位患有該病的患者服用了這種藥物，3位患者是否會被治愈是相互獨立的，則恰有1位患者被治愈的概率為，故D錯誤．故選：AC．11.已知紅箱內有6個紅球、3個白球，白箱內有3個紅球、6個白球，所有小球大小、形狀完全相同．第一次從紅箱內取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內取出一球，然后再放回去，依此類推，第次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內取出一球，然后再放回去．記第次取出的球是紅球的概率為，則下列說法正確的是（）A. B.C.第5次取出的球是紅球的概率為 D.前3次取球恰有2次取到紅球的概率是【答案】AC【解析】依題意，設第次取出球是紅球的概率為，則白球概率為，對于第次，取出紅球有兩種情況．①從紅箱取出的概率為，②從白箱取出的概率為，對應，即，故B錯誤；所以，令，則數列為等比數列，公比為，因為，所以，故，所以，故選項A，C正確；第1次取出球是紅球的概率為，第2次取出球是紅球的概率為，第3次取出球是紅球的概率為，前3次取球恰有2次取到紅球的概率是，故D錯誤；故選：AC．三?填空題12.若的二項展開式中，所有二項式系數和為，則該展開式中的常數項為________．【答案】15【解析】在二項展開式中二項式系數和為，故，，展開式通項為，要求常數項，則令，，因此常數項為.13.某學校組織學生進行答題比賽，已知共有4道類試題，8道類試題，12道類試題，學生從中任選1道試題作答，學生甲答對這3類試題的概率分別為，，.若學生甲答對了所選試題，則這道試題是類試題的概率為_____________.【答案】【解析】設學生選道類試題為事件，學生選道類試題為事件，學生選道類試題為事件，設學生答對試題為事件，則，，，，，，所以，所以.故答案為：14.某次大型聯考10000名學生參加,考試成績(滿分100分)近似服從正態分布（其中和分別為樣本的均值和標準差），若本次考試平均成績為65分，87分以上共有228人，學生甲的成績為76分，則學生甲的名次大致是__________名.附：若隨機變量服從正態分布，則，【答案】1587【解析】已知本次模擬考試成績都近似服從正態分布，由題意可得．，而即，解得．甲市學生在該次考試中成績為76分，且，又，即．學生在甲市本次考試的大致名次為1587名．故答案：1587四?解答題15.用0，1，2，3，4，5這六個數字，能組成多少個符合下列條件的數字？（運算結果以數字作答）（1）無重復數字的四位偶數；（2）無重復數字且為5的倍數的四位數；（3）無重復數字且比1230大的四位數．解：（1）符合要求的四位偶數可分為兩類．第一類，0在個位時有個；第二類，2或4在個位時，首位從1，3，4（或2），5中選（有種情況），十位和百位從余下的數字中選（有種情況），于是有個．由分類加法計數原理知，共有四位偶數（個）．（2）符合要求的數可分為兩類：第一類：0在個位時有個；第二類：5在個位時有個．故滿足條件的四位數共有（個）．（3）符合要求的比1230大的四位數可分為四類：第一類：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有個；第二類：形如13□□，14□□，15□□，共有個；第三類：形如124□，125□，共有個；第四類：形如123□，共有個．由分類加法計數原理知，無重復數字且比1230大的四位數共有（個）．16.已知在的展開式中,前3項的系數分別為,且滿足.求：（1）展開式中二項式系數最大項的項；（2）展開式中系數最大的項；（3）展開式中所有有理項.解：（1）因為展開式的通項公式為，，所以依題意得，即，由已知,所以，所以的展開式有9項，二項式系數最大的項為第5項，所以.（2）由（1）知，，設展開式中系數最大的項為第項，則，即，即，解得，所以或，所以展開式中系數最大的項為和.（3）由為有理項知，為整數，得，，所以展開式中所有有理項為和.17.某市為吸引大學生人才來本市就業，大力實行人才引進計劃，提供現金補貼，為了解政策的效果，收集了2011-2020年人才引進就業人數數據（單位：萬），統計如下（年份代碼1-10分別代表2011-2020年）其中，，,.年份代碼12345678910引進人數3.45.77.38.59.610.210.811.311.611.8（1）根據數據畫出散點圖，并判斷，，，哪一個適合作為該市人才引進就業人數y關于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）5.59.022.141.5182.54.8472.29.6718.41（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；（所有過程保留兩位小數）（3）試預測該市2022年的人才引進就業人數.參考公式：，.解：（1）圖像：適合作為該市人才引進就業人數y關于年份代碼x的回歸方程類型（2），（3）將x=12代入得．18.2021年7月，臺風“煙花”導致多地受災，某調查小組調查了某受災小區的100戶居民由于臺風造成的經濟損失(單位：元)，將收集的數據分成，，，，五組，并作出如圖所示的頻率分布直方圖．（1）遭受臺風后居委會號召小區居民為臺風重災區捐款，小張調查的100戶居民捐款情況如下表所示，在表格空白處填寫正確數字，并判斷能否在小概率值α＝0.05的獨立性檢驗下，認為捐款數額超過或不超過500元和自家經濟損失是否超過4000元有關；項目經濟損失不超過4