高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省湛江市2024-2025學年高二下學期4月期中聯考數學試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試題卷，草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區域內．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.數列的一個通項公式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可知題干數列是交替出現，故其通項公式可以寫成或利用三角函數來寫，對于A，的第一項為，不符合題意，故A錯誤；對于B，即為，對應的余弦值為，符合題意，故B正確；對于C，的前兩項依次為，不符合題意，故C錯誤；對于D，的第一項為，不符合題意，故D錯誤；故選：B.2.已知數列為等比數列，其中，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據，a，可得：，；解得，故.故選：B.3.函數在區間上的平均變化率等于時的瞬時變化率,則（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】函數在區間上的平均變化率為，在時的瞬時變化率為，所以．故選：C4.若數列滿足，則，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】，，，，故為周期數列，一個周期為4，故.故選：D5.從1，2，5，7中任取3個數字，從4，6，9中任取2個數字，則一共可以組成沒有重復數字的五位數的個數為（）A.720 B.1200 C.1440 D.1728【答案】C【解析】從1，2，5，7中任取3個數字有種方法，從4，6，9中任取2個數字有種方法，再把取出的5個數全排列共有，故一共可以組成1440個沒有重復數字的五位數．故選：C．6.已知函數在處取得極大值，則（）A.0 B.12 C.16 D.96【答案】A【解析】因為，由題意，所以或，經檢驗時，，可知時，取得極小值，不符合題意.所以，因此.故選：A.7.某高校的一個宿舍的6名同學被邀請參加校運動會的表演，要求必須有人去，其中甲和乙兩名同學關系要好，商量決定要么都去，要么都不去，則該宿舍同學的去法共有（）A.15種 B.28種 C.31種 D.63種【答案】C【解析】若甲和乙兩名同學都去，則去的人數可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以滿足條件的去法數為種；若甲和乙兩名同學都不去，則去的人數可能是1人，2人，3人，4人，則滿足條件的去法有種；故該宿舍同學的去法共有種．故選：C．8.函數在上的零點和極值點個數之和為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】令，所以或，又，所以，，即在區間有5個零點，，令，解得或，又，所以在區間上有2個解，設為，且，在區間上有2個解，設為，且，當時，，，故在上單調遞減，當時，，故在單調遞增，故在[0，上有4個變號零點，即在上有4個極值點，所以在上的零點和極值點個數之和為9.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.2025年春節檔共上映6部電影全國電影票房達95.1億元，刷新了中國影史春節檔票房記錄.其中，《哪吒之魔童鬧?！泛汀短铺?900》分居票房第一、第二的寶座.小數想要觀看這6部電影，則（）A.若將《哪吒之魔童鬧?！泛汀短铺?900》放在相鄰次序觀看，則共有120種觀看順序B.若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分坝^看，則共有360種觀看順序C.若將6部電影每2部一組隨機分為3組，則共有90種分組方式D.若將6部電影隨機分為2組，則共有31種分組方式【答案】BD【解析】若將《哪吒之魔童鬧?！泛汀短铺?900》放在相鄰次序觀看，可將這兩部電影看作一個整體，與其余4部電影全排列，再將這兩部電影內部進行全排列，所以觀看順序為種，故A錯誤；若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分坝^看，則在6部電影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分暗那闆r占總情況的一半，故共有種觀看順序，故B正確；若將6部電影每2部一組隨機分為3組，則可以從6部電影中先選出2部，再從4部電影中選出2部，最后除以消除重復情況，故分組方式為，故C錯誤；若將6部電影隨機分為2組，則可按兩組分別有1和5部、2和4部、3和3部電影的三種情況分組，按1和5，有種分組方式；按2和4，有種分組方式；按3和3，有種分組方式，所以共有31種分組方式，故D正確.故選：BD.10.設函數，直線與曲線相切于點,則（）A.對于給定的，任意的恒過定點 B.對于給定的，存在一條直線，與的交點為定點C.與的交點的橫坐標存在最小值 D.與的交點的縱坐標存在最大值【答案】ABD【解析】對于A，，因此切線方程為，也即，恒過定點），故A正確；對于B，由A知存在一條直線，使得與交于點，故B正確；對于CD，根據定義域知，設，下面研究值域，因為，當單調遞增，當單調遞減，所以存在極大值（也就是最大值），且當，所以的值域為，也就是橫縱坐標均存在最大值1，不存在最小值，故D正確，C錯誤．故選：ABD．11.已知前兩項均為1的數列滿足，記的前項和為，則（）A. B.C.和均為等比數列 D.【答案】AC【解析】對于A，令可得，令可得，故A正確；對于B，因為，所以，所以．故，故B錯誤；對于C，由題意可得，所以數列是首項為，公比為2的等比數列，所以，①，同理可得，所以數列是首項為，公比為-1的等比數列，所以，②，故C正確；對于D，①－②得．所以，故D錯誤.故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知為首項和公差均為1的等差數列，則滿足的的最小值為_____.【答案】11【解析】由等差數列的定義可得，則，所以令，解得，所以滿足條件的的最小值為11.故答案為：11.13.在2024年巴黎奧運會志愿者活動中，甲、乙、丙、丁4人要參與到，，三個項目的志愿者工作中，每個項目必須有志愿者參加，每個志愿者只能參加一個項目，若甲只能參加項目，那么不同的志愿者分配方案共有_______種（用數字表示）.【答案】12【解析】分兩種情況：（1）只有甲參加C項目，則有種分配方案；（2）甲與另外一人共同參與C項目，則有種分配方案.綜上：共有12種分配方案.故答案為：1214.已知是函數圖象上一點，函數滿足，則圖象上的點到在處的切線的距離為_________．【答案】【解析】，因為在上，且，可知與在處的切線平行或重合，又因為，即，解得，故在處的切線方程為，分別整理得切線方程為，直線為0，由平行直線間距離公式知，兩直線間距離為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.甲、乙、丙做四項工作，每項工作只需且必須有1人完成，每人至少完成1項工作．（1）共有多少種不同的情況；（2）求甲做工作的概率．解：（1）甲、乙、丙做四項工作，每項工作只需1人完成，每人至少完成1項工作，故有1人做兩項工作，其余2人各做一項工作，共有種情況．（2）甲做工作的情況有2種：①甲只做工作，共有種情況；②甲做工作及中的任意一項工作，共有種情況，所以甲做工作的情況有種，故所求概率為．16.已知為數列的前n項和，，.（1）求的通項公式；（2）設數列的前n項的和為，，，求正整數的最小值.解：（1）當時，，因為，兩式相減，可得，所以，可得，又因為，，…，，累乘得，所以.（2）由（1）知，可得，所以，所以，解得，故的最小值為24.17.已知函數．（1）當時，求在上的最值；（2）求的單調區間．解：（1）當時，，則，則在上單調遞減，所以，無最小值．（2），（i）若，則，所以在單調遞減；（ii）若，則由得．當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增．綜上所述，當時，的單調減區間為（）；無單調增區間．當時，的單調減區間為，單調增區間為．18.已知函數，點均為曲線圖象上的點，且,，.（1）當時，證明：是等比數列；（2）求的取值范圍；（3）證明：直線的斜率隨的增大而增大.解：（1）由，得，又，即，所以數列是以為首項，為公比的等比數列.（2）由，得，則，因此數列與分別是以與為首項，6為公差的等差數列，，由，，得，.等價于對于任意成立，即，即，即，解得，由點均為圖象上的點，且，得，所以的取值范圍是.（3）直線的斜率.任取，設函數，求導得令函數，求導得，當時，；當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，則當時，，，函數在和上都單調遞增，而數列單調遞增，取，而，則，取，而，則，所以，即直線的斜率隨單調遞增．19.設函數．（1）時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調性；（3）若有兩個極值點且，證明：．解：（1）的定義域為．所以，，因此曲線在點處的切線方程為，取得．（2）．（i）時，在單調遞增．（ii）時，令，則，，．則單調遞增．單調遞減．綜上所得，當時，上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減.（3）由（2）知，因為是方程的兩根，所以．可得.等價于．其中．因此待證式等價于，兩側同時加，得，即證，等價于，由且得，記，則，記，則，所以單調遞減，所以，則，所以單調遞減，所以，證畢．廣東省湛江市2024-2025學年高二下學期4月期中聯考數學試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試題卷，草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區域內．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.數列的一個通項公式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可知題干數列是交替出現，故其通項公式可以寫成或利用三角函數來寫，對于A，的第一項為，不符合題意，故A錯誤；對于B，即為，對應的余弦值為，符合題意，故B正確；對于C，的前兩項依次為，不符合題意，故C錯誤；對于D，的第一項為，不符合題意，故D錯誤；故選：B.2.已知數列為等比數列，其中，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據，a，可得：，；解得，故.故選：B.3.函數在區間上的平均變化率等于時的瞬時變化率,則（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】函數在區間上的平均變化率為，在時的瞬時變化率為，所以．故選：C4.若數列滿足，則，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】，，，，故為周期數列，一個周期為4，故.故選：D5.從1，2，5，7中任取3個數字，從4，6，9中任取2個數字，則一共可以組成沒有重復數字的五位數的個數為（）A.720 B.1200 C.1440 D.1728【答案】C【解析】從1，2，5，7中任取3個數字有種方法，從4，6，9中任取2個數字有種方法，再把取出的5個數全排列共有，故一共可以組成1440個沒有重復數字的五位數．故選：C．6.已知函數在處取得極大值，則（）A.0 B.12 C.16 D.96【答案】A【解析】因為，由題意，所以或，經檢驗時，，可知時，取得極小值，不符合題意.所以，因此.故選：A.7.某高校的一個宿舍的6名同學被邀請參加校運動會的表演，要求必須有人去，其中甲和乙兩名同學關系要好，商量決定要么都去，要么都不去，則該宿舍同學的去法共有（）A.15種 B.28種 C.31種 D.63種【答案】C【解析】若甲和乙兩名同學都去，則去的人數可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以滿足條件的去法數為種；若甲和乙兩名同學都不去，則去的人數可能是1人，2人，3人，4人，則滿足條件的去法有種；故該宿舍同學的去法共有種．故選：C．8.函數在上的零點和極值點個數之和為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】令，所以或，又，所以，，即在區間有5個零點，，令，解得或，又，所以在區間上有2個解，設為，且，在區間上有2個解，設為，且，當時，，，故在上單調遞減，當時，，故在單調遞增，故在[0，上有4個變號零點，即在上有4個極值點，所以在上的零點和極值點個數之和為9.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.2025年春節檔共上映6部電影全國電影票房達95.1億元，刷新了中國影史春節檔票房記錄.其中，《哪吒之魔童鬧海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的寶座.小數想要觀看這6部電影，則（）A.若將《哪吒之魔童鬧海》和《唐探1900》放在相鄰次序觀看，則共有120種觀看順序B.若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分坝^看，則共有360種觀看順序C.若將6部電影每2部一組隨機分為3組，則共有90種分組方式D.若將6部電影隨機分為2組，則共有31種分組方式【答案】BD【解析】若將《哪吒之魔童鬧海》和《唐探1900》放在相鄰次序觀看，可將這兩部電影看作一個整體，與其余4部電影全排列，再將這兩部電影內部進行全排列，所以觀看順序為種，故A錯誤；若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧海》之前觀看，則在6部電影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分暗那闆r占總情況的一半，故共有種觀看順序，故B正確；若將6部電影每2部一組隨機分為3組，則可以從6部電影中先選出2部，再從4部電影中選出2部，最后除以消除重復情況，故分組方式為，故C錯誤；若將6部電影隨機分為2組，則可按兩組分別有1和5部、2和4部、3和3部電影的三種情況分組，按1和5，有種分組方式；按2和4，有種分組方式；按3和3，有種分組方式，所以共有31種分組方式，故D正確.故選：BD.10.設函數，直線與曲線相切于點,則（）A.對于給定的，任意的恒過定點 B.對于給定的，存在一條直線，與的交點為定點C.與的交點的橫坐標存在最小值 D.與的交點的縱坐標存在最大值【答案】ABD【解析】對于A，，因此切線方程為，也即，恒過定點），故A正確；對于B，由A知存在一條直線，使得與交于點，故B正確；對于CD，根據定義域知，設，下面研究值域，因為，當單調遞增，當單調遞減，所以存在極大值（也就是最大值），且當，所以的值域為，也就是橫縱坐標均存在最大值1，不存在最小值，故D正確，C錯誤．故選：ABD．11.已知前兩項均為1的數列滿足，記的前項和為，則（）A. B.C.和均為等比數列 D.【答案】AC【解析】對于A，令可得，令可得，故A正確；對于B，因為，所以，所以．故，故B錯誤；對于C，由題意可得，所以數列是首項為，公比為2的等比數列，所以，①，同理可得，所以數列是首項為，公比為-1的等比數列，所以，②，故C正確；對于D，①－②得．所以，故D錯誤.故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知為首項和公差均為1的等差數列，則滿足的的最小值為_____.【答案】11【解析】由等差數列的定義可得，則，所以令，解得，所以滿足條件的的最小值為11.故答案為：11.13.在2024年巴黎奧運會志愿者活動中，甲、乙、丙、丁4人要參與到，，三個項目的志愿者工作中，每個項目必須有志愿者參加，每個志愿者只能參加一個項目，若甲只能參加項目，那么不同的志愿者分配方案共有_______種（用數字表示）.【答案】12【解析】分兩種情況：（1）只有甲參加C項目，則有種分配方案；（2）甲與另外一人共同參與C項目，則有種分配方案.綜上：共有12種分配方案.故答案為：1214.已知是函數圖象上一點，函數滿足，則圖象上的點到在處的切線的距離為_________．【答案】【解析】，因為在上，且，可知與在處的切線平行或重合，又因為，即，解得，故在處的切線方程為，分別整理得切線方程為，直線為0，由平行直線間距離公式知，兩直線間距離為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.甲、乙、丙做四項工作，每項工作只需且必須有1人完成，每人至少完成1項工作．（1）共有多少種不同的情況；（2）求甲做工作的概率．解：（1）甲、乙、丙做四項工作，每項工作只需1人完成，每人至少完成1項工作，故有1人做兩項工作，其余2人各做一項工作，共有種情況．（2）甲做工作的情況有2種：①甲只做工作，共有種情況；②甲做工作及中的任意一項工作，共有種情況，所以甲做工作的情況有種，故所求概率為．16.已知為數列的前n項