高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省宿州市省、市示范高中2024-2025學年高一上學期1月期末教學質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得，解得或.故選：D.2.若冪函數在上是減函數，則實數m等于（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】由冪函數在上是減函數，得，所以.故選：A.3.點在平面直角坐標系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因為，，即為第二象限角，為第四象限角，所以，，所以點在平面直角坐標系中位于第三象限.故選：C.4.已知是實數，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當，時，滿足，此時，即充分性不滿足；因為，所以，所以，因為，所以，即必要性滿足，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.已知，，，則、、的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為對數函數、在上均為增函數，所以，，因為指數函數在上為減函數，則，即，因此，.故選：D.6.函數在區間的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，且定義域為R，所以為奇函數，其圖象關于原點對稱，C錯誤；觀察A，B，D項圖象的差異，主要在于函數值的正負．當時，單調遞增，且，所以當時，，而當時，，當時，，所以當時，，當時，，可得B，D錯誤.故選：A．7.已知，則函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則，，，，函數的值域為.故選：C.8.已知函數在上存在最值，且在上單調，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，當時，，因為函數在上存在最值，則，解得，當時，，因為函數在上單調，則，所以其中，解得，所以，解得，又因為，則，當時，；當時，；當時，．又因為，所以的取值范圍是.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若集合，集合，則下列說法正確的是（

）A． B．C．， D．，【答案】BC【解析】對于AB，，則，，A錯誤，B正確；對于C，，，C正確；對于D，，，D錯誤.故選：BC.10.已知函數，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為B．函數的圖象關于點對稱C．函數的圖象向右移個單位長度后，圖象關于軸對稱，則的最小值為D．若關于的方程在上有兩個實數根，則實數的取值范圍為【答案】ACD【解析】對A，，則的最小正周期為，故A正確；對B，因為，所以函數的圖象關于點對稱，故B錯誤；對C，將函數的圖象向右移個單位長度后可得函數的圖象，因為的圖象關于軸對稱，所以，即，又，所以的最小值為，故C正確；對D，由得，，若，則，若關于的方程有兩個實數根，則與圖象有兩個交點，所以，解得，故D正確.故選：ACD.11.已知定義在上的函數在區間上單調遞減，且滿足，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因為，所以，所以.因為，取，得.因為，取，得，又，所以，故A正確；由在區間上單調遞減，得，又，且，所以，故B正確；因為，所以函數的圖象關于點對稱，因為函數在區間上單調遞減，所以在區間上單調遞減，因為，則，所以，故C錯誤；由，取，得，又，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若函數是定義在上的奇函數，則.【答案】1【解析】由題意得，，解得，所以.13.已知，且，，則.【答案】【解析】因為，，所以，即，所以，由，得，則.14.已知關于的函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是.【答案】【解析】令，則，因為在上單調遞減，所以在上單調遞減，且，所以，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知關于的不等式的解集為.（1）求實數，的值；（2）若正實數，滿足，求的最小值.解：（1）由題意得，，是方程的兩根，則，解得.（2）由（1）得，正實數，滿足，所以，當且僅當，且，即時等號成立，所以的最小值為.16.“大禹門前樹，千年苔子茶.”11月21日18時許，中央廣播電視總臺綜合頻道推出系列紀錄片《農耕探文明》，本期正好關注到《四川北川苔子茶復合栽培系統》.北川苔子茶的“毛峰綠茶”以其外形勻整、挺秀，湯色碧綠，香氣濃烈等優異品質聞名遐邇，深受廣大消費者青睞.經驗表明，在室溫下，該茶用的水泡制，湯色青綠明亮，入口滋味較薄有熟栗子香，無苦澀感，再等到茶水溫度降至50°C時飲用，可以產生最佳飲用口感.經過研究發現，設茶水溫度從開始，經過分鐘后的溫度為且滿足.（1）求常數的值；（2）經過測試可知，求在室溫下，剛泡好的該茶大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？（參考數據：，）解：（1）茶水溫度從開始，當時，，.（2）當時，，當時，，，，，剛泡好的茶水大約需要放置9.5分鐘才能達到最佳飲用口感.17.已知.（1）化簡；（2）若，求的值；（3）若為第三象限角，且，求的值.解：（1）由題意可得.（2）若，則.（3）因為，所以，又為第三象限角，所以，所以.18.已知函數為奇函數.（1）求實數a的值；（2）設函數，若對任意的，總存在，使得成立，求實數的取值范圍.解：（1）由題意可得，函數的定義域為R，因為是奇函數，所以，可得，經檢驗，對于，成立，所以．（2）由（1）可得，因為，所以，，，，，所以當時的值域，又，，設，，則，當時，取最小值為，當時，取最大值為，即在上的值域，又對任意的，總存在，使得成立，即，所以，解得，即實數m的取值范圍是．19.若函數滿足：存在實數，，使得對于定義域內的任意實數，均有成立，則稱函數為“可平衡”函數；有序數對稱為函數的“平衡”數對.（1）若，當滿足什么條件時，為“可平衡”函數，并說明理由；（2）是否存在為函數的“平衡”數對，若存在，求的值；若不存在，請說明理由.解：（1）當為“可平衡”函數時，由題意可得對于定義域內的任意實數成立，即對于定義域內的任意實數成立，所以，即對于定義域內的任意實數成立，則，解得，綜上，當，時，函數為“可平衡”函數.（2）假設存在實數，，使得對于定義域內的任意實數，均有成立，則對于定義域內的任意實數成立，即，即，即對于定義域內的任意實數成立，因為，所以，所以，即，，解得，綜上，當，時，函數為“可平衡”函數.安徽省宿州市省、市示范高中2024-2025學年高一上學期1月期末教學質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得，解得或.故選：D.2.若冪函數在上是減函數，則實數m等于（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】由冪函數在上是減函數，得，所以.故選：A.3.點在平面直角坐標系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因為，，即為第二象限角，為第四象限角，所以，，所以點在平面直角坐標系中位于第三象限.故選：C.4.已知是實數，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當，時，滿足，此時，即充分性不滿足；因為，所以，所以，因為，所以，即必要性滿足，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.已知，，，則、、的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為對數函數、在上均為增函數，所以，，因為指數函數在上為減函數，則，即，因此，.故選：D.6.函數在區間的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，且定義域為R，所以為奇函數，其圖象關于原點對稱，C錯誤；觀察A，B，D項圖象的差異，主要在于函數值的正負．當時，單調遞增，且，所以當時，，而當時，，當時，，所以當時，，當時，，可得B，D錯誤.故選：A．7.已知，則函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則，，，，函數的值域為.故選：C.8.已知函數在上存在最值，且在上單調，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，當時，，因為函數在上存在最值，則，解得，當時，，因為函數在上單調，則，所以其中，解得，所以，解得，又因為，則，當時，；當時，；當時，．又因為，所以的取值范圍是.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若集合，集合，則下列說法正確的是（

）A． B．C．， D．，【答案】BC【解析】對于AB，，則，，A錯誤，B正確；對于C，，，C正確；對于D，，，D錯誤.故選：BC.10.已知函數，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為B．函數的圖象關于點對稱C．函數的圖象向右移個單位長度后，圖象關于軸對稱，則的最小值為D．若關于的方程在上有兩個實數根，則實數的取值范圍為【答案】ACD【解析】對A，，則的最小正周期為，故A正確；對B，因為，所以函數的圖象關于點對稱，故B錯誤；對C，將函數的圖象向右移個單位長度后可得函數的圖象，因為的圖象關于軸對稱，所以，即，又，所以的最小值為，故C正確；對D，由得，，若，則，若關于的方程有兩個實數根，則與圖象有兩個交點，所以，解得，故D正確.故選：ACD.11.已知定義在上的函數在區間上單調遞減，且滿足，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因為，所以，所以.因為，取，得.因為，取，得，又，所以，故A正確；由在區間上單調遞減，得，又，且，所以，故B正確；因為，所以函數的圖象關于點對稱，因為函數在區間上單調遞減，所以在區間上單調遞減，因為，則，所以，故C錯誤；由，取，得，又，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若函數是定義在上的奇函數，則.【答案】1【解析】由題意得，，解得，所以.13.已知，且，，則.【答案】【解析】因為，，所以，即，所以，由，得，則.14.已知關于的函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是.【答案】【解析】令，則，因為在上單調遞減，所以在上單調遞減，且，所以，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知關于的不等式的解集為.（1）求實數，的值；（2）若正實數，滿足，求的最小值.解：（1）由題意得，，是方程的兩根，則，解得.（2）由（1）得，正實數，滿足，所以，當且僅當，且，即時等號成立，所以的最小值為.16.“大禹門前樹，千年苔子茶.”11月21日18時許，中央廣播電視總臺綜合頻道推出系列紀錄片《農耕探文明》，本期正好關注到《四川北川苔子茶復合栽培系統》.北川苔子茶的“毛峰綠茶”以其外形勻整、挺秀，湯色碧綠，香氣濃烈等優異品質聞名遐邇，深受廣大消費者青睞.經驗表明，在室溫下，該茶用的水泡制，湯色青綠明亮，入口滋味較薄有熟栗子香，無苦澀感，再等到茶水溫度降至50°C時飲用，可以產生最佳飲用口感.經過研究發現，設茶水溫度從開始，經過分鐘后的溫度為且滿足.（1）求常數的值；（2）經過測試可知，求在室溫下，剛泡好的該茶大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？（參考數據：，）解：（1）茶水溫度從開始，當時，，.（2）當時，，當時，，，，，剛泡好的茶水大約需要放置9.5分鐘才能達到最佳飲用口感.17.已知.（1）化簡；（2）若，求的值；（3）若為第三象限角，且，求的值.解：（1）由題意可得.（2）若，則.（3）因為，所以，又為第三象限角，所以，所以.18.已知函數為奇函數.（1）求實數a的值；（2）設函數，若對任意的，總存在，使得成立，求實數的取值范圍.解：（1）由題意可得，函數的定義域為R，因為是奇函數，所以，可得，經檢驗，對于，成立，所以．（2）由（1）可得，因為，所以，，，，，所以當時的值域，又，，設，，則，當時，取最小值為，當時，取最大值為，即在上的值域，又對任意的，總存在，使得成立，即，所以，解得，即實數m的取值范圍是．19.若函數滿足：存在實數，，使得對于定義域內的任意實數，均有成立，則稱函數為