湘教版

八年級下冊第1章

直角三角形1.2.3勾股定理的逆定理道縣第四中學吳軍慶2025年“湘道杯”優質教學資源評選活動在我們的生活中，隨處可見直角或直角三角形的形象……情境引入而遙遠的古代，沒有三角板、量角器等作圖工具，古人是如何構造直角的呢?“典籍”中的數學左準繩，右規矩，載四時，以通九州。——《史記》“典籍”中的數學左準繩，右規矩，載四時，以通九州。——《史記》準繩規矩將一根長繩打上等距離的13個結，然后以3個結間距、4個結間距、5個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中有一個角便是直角.故事情境抽象數學情境“典籍”中的數學探究新知畫一畫1算一算2量一量3以這些數字為邊長畫出三角形(單位：cm)①3,4,5;②6,8,10;③2.5,6,6.5.三角形的三邊長分別滿足怎樣的數量關系？用量角器量一量角度，你有什么發現嗎？①3,4,5;②6,8,10;③2.5,6,6.5.①3,4,5;②6,8,10;③2.5,6,6.5.32+42=5262+82=1022.52+62=6.52猜一猜4若三角形的三邊長分別為a,b,c，提出你的猜想.如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.由上面的幾個例子，我們猜想：證一證5已知：如圖，△ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2.求證：△ABC是直角三角形．只需證△ABC≌△A′B′C′

只需證∠C是直角要證△ABC是直角三角形構造兩直角邊分別為a，b的Rt△A′B′C′ABCabcA'B'C'ab證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b.∴

△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴

∠C=∠C′=90°.

根據勾股定理得A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2，∵

a2+b2=c2，∴

A′B′2=c2.∴

A′B′=c.在△ABC和△A′B′C′中，∵

BC=B′C′=a，AC=A′C′=b，AB=A′B′=c，∴

△ABC是直角三角形.新知歸納勾股定理的逆定理：

如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.幾何語言：ABCabc∵△ABC的三邊a,b,c滿足

a2+b2=c2，∴

△ABC是直角三角形.新知歸納勾股定理的逆定理：

如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.作用：ABCabc判定一個三角形是否為直角三角形.“數”的關系式“形”的特征典例精析例1

判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形.(1)a=6，b=8，c=10;(2)a=12，b=15，c=20.分析：根據勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.例1

判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形.(1)a=6，b=8，c=10;(2)a=12，b=15，c=20.解：(1)∵62+82=100，102=100，

∴62+82=102,

∴這個三角形是直角三角形.(2)∵122+152=369，202=400，

∴122+152≠202,∴這個三角形不是直角三角形.例2

如圖，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求DC的長.解:在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，

∵62+82=102,即AD2+BD2=AB2,

∴△ADB為直角三角形.

∴∠ADB=90°.

∴∠ADC=180°－∠ADB=90°.

在Rt△ADC中，由勾股定理得

DC2=AC2－AD2,

實際應用

如圖，某港口位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠航”號每小時航行16海里,“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半小時后分別位于點Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠航”號沿東方向航行,能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？實際應用解:根據題意得，PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.∵242+182=302,即

PQ2+PR2=QR2,∴QPR=∠90°又∵∠1=45°，∴∠2=45°.即“海天”號沿西北方向航行.能力提升

大禹治水后測得一四邊形田地相關數據如圖，在四邊形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°，求該四邊形ABCD的面積.【解題思路】連接AC.由∠B=90°，依據勾股定理求出AC的長,再由勾股定理的逆定理判斷出△ACD是直角三角形，最后分別求出Rt△ABC和Rt△ACD的面積，進而可求出四邊形ABCD的面積.能力提升

大禹治水后測得一四邊形田地相關數據如圖，在四邊形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°，求該四邊形ABCD的面積.

課堂小結

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2