方法技巧專題26平面向量解析版一、平面向量知識框架二、平面向量的線性運算及其坐標表示【一】向量的概念1.向量有關概念：1.向量有關概念：（1）向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．（2）零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的．（3）單位向量：長度等于1個單位的向量．（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規定：0與任一向量共線．（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量．（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量．2.有關平面向量概念易錯點：（1）相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．（2）共線向量即為平行向量，它們均與起點無關．（3）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數圖象的移動混淆．（4）非零向量與的關系：是與同方向的單位向量，是與反方向的單位向量．（5）兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的模可以比較大小．（6）兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件．1.例題【例1】給出下列結論：①數軸上相等的向量，它們的坐標相等；反之，若數軸上兩個向量的坐標相等，則這兩個向量相等；②對于任何一個實數，數軸上存在一個確定的點與之對應；③數軸上向量的坐標是一個實數，實數的絕對值為線段AB的長度，若起點指向終點的方向與數軸同方向，則這個實數取正數，反之取負數；④數軸上起點和終點重合的向量是零向量，它的方向不確定，它的坐標是0.其中正確結論的個數是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】①向量相等，則它們的坐標相等，坐標相等，則向量相等，①正確；②實數和數軸上的點是一一對應的關系，即有一個實數就有一個點跟它對應，有一個點也就有一個實數與它對應，②正確；③數軸用一個實數來表示向量，正負決定其方向，絕對值決定其長度，③正確；④數軸上零向量其起點和終點重合，方向不確定，大小為0，其坐標也為0，④正確.【例2】下列命題中，正確的個數是（）①單位向量都相等；②模相等的兩個平行向量是相等向量；③若，滿足且與同向，則；④若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；⑤若，則．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【解析】對于①，單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①錯誤；對于②，模相等的兩個平行向量是相等向量或相反向量，故②錯誤；對于③，向量是有方向的量，不能比較大小，故③錯誤；對于④，向量是可以自由平移的矢量，當兩個向量相等時，它們的起點和終點不一定相同，故④錯誤；對于⑤，時，，，則與不一定平行．綜上，以上正確的命題個數是0．2.鞏固提升綜合練習【練習1】給出下列命題：①若則；②若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③的充要條件是且；④若，則；其中正確命題的序號是.【答案】①②【解析】①正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.②正確．∵，∴且，又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且，，因此，.③不正確．當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．④不正確．考慮b＝0這種特殊情況．綜上所述，正確命題的序號是①②.【二】平面向量的線性表示1.平面向量的線性運算技巧：1.平面向量的線性運算技巧：（1）不含圖形的情況：可直接運用平行四邊形法則和三角形法則求解；（2）含圖形的情況：將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質，把未知向量用已知向量表示出來求解．2．利用平面向量的線性運算求參數的一般思路：（1）沒有圖形的準確作出圖形，確定每一個點的位置；（2）利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉化，轉化為要求的向量形式；（3）比較、觀察可知所求.3.兩個重要結論：（1）位線段的中點;（2）為的重心.4.關于平面向量的線性運算的考查，命題角度主要有兩個：一是平面向量的線性運算，二是利用向量線性運算求參數.解題過程中應注意：（1）常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．（2）找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉化到同一個平行四邊形或三角形中求解．1.例題【例1】在中，為邊上的中線，為的中點，則（）A.B.C.D.【解析】根據向量的運算法則，可得，所以，故選A.【例2】在梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))B．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))D．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))【解析】在線段AB上取點E，使BE＝DC，連接DE，則四邊形BCDE為平行四邊形，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))；故選D.【例3】已知A，B，C為圓O上的三點，若則與的夾角為__________．【解析】由可得O為BC的中點，則BC為圓O的直徑，即∠BAC＝90°，故與的夾角為90°.2.鞏固提升綜合練習【練習1】在正方形中，為的中點，若，則的值為（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由題得,.故選：B【練習2】已知A，B，C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，動點P滿足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)，則P一定為△ABC的()A．重心B．AB邊中線的三等分點(非重心)C．AB邊中線的中點D．AB邊的中點【解析】如圖所示：設AB的中點是E，∵O是三角形ABC的重心，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OE,\s\up6(→))＋2\o(OC,\s\up6(→))))，∵2eq\o(EO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\o(EO,\s\up6(→))＋\o(OE,\s\up6(→))))＝eq\o(EO,\s\up6(→))，∴P在AB邊的中線上，是中線的三等分點，不是重心，故選B.【練習3】如圖，在平面四邊形ABCD中，若點E為邊CD上的動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，.設=所以當時，上式取最小值，選A.【三】向量共線的應用1.共線向量定理：1.共線向量定理：向量()與共線，當且僅當有唯一一個實數，使得2.平面向量共線定理的三個應用：3.求解向量共線問題的注意事項：（1）向量共線的充要條件中，當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數法和方程思想的運用；（2）證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線；（3）直線的向量式參數方程：三點共線(為平面內任一點，)．1.例題【例1】設兩個非零向量與不共線．(1)若，，，求證：三點共線；(2)試確定實數，使和共線．【答案】（1）見解析；（2）k＝±1.【解析】(1)證明：∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up16(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up16(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up16(→))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BD,\s\up16(→))共線．又∵它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)假設ka＋b與a＋kb共線，則存在實數λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.【例2】已知點，，則與向量的方向相反的單位向量是（）A. B. C. D.【解析】,向量的方向相反的單位向量為，2.鞏固提升綜合練習【練習1】設P是△ABC所在平面內的一點，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，則△PAB與△PBC的面積的比值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)【解析】因為eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\f(|\o(CP,\s\up6(→))|,|\o(PA,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,1)，又△PAB在邊PA上的高與△PBC在邊PC上的高相等，所以eq\f(S△PAB,S△PBC)＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(CP,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2).【練習2】設向量，不平行，向量與平行，則實數_________．【解析】因為向量與平行，所以，則所以．【四】平面向量基本定理及應用1.平面向量基本定理:1.平面向量基本定理:如果是一平面內的兩個不共線向量，那么對于這個平面內任意向量，有且只有一對實數，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．2.平面向量基本定理的實質及解題思路：（1）應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算；（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．1.例題【例1】如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由平面向量基本定理，化簡，所以，即，【例2】在中，點滿足，當點在射線（不含點）上移動時，若，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】因為點在射線（不含點）上，設，又，所以，所以，，故的取值范圍.2.鞏固提升綜合練習【練習1】如圖，在平行四邊形ABCD中，E和F分別在邊CD和BC上，且eq\o(DC,\s\up6(→))＝3eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BF,\s\up6(→))，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AE,\s\up6(→))＋neq\o(AF,\s\up6(→))，其中m，n∈R，則m＋n＝________.【解析】由題設可得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AE,\s\up6(→))＋neq\o(AF,\s\up6(→))，故eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)neq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\f(1,3)m＋n)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(m＋eq\f(1,3)n)eq\o(AD,\s\up6(→))，而eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)m＋n＝\f(1,2),m＋\f(1,3)n＝\f(1,2)))?m＋n＝eq\f(3,2).故應填答案eq\f(3,2).【練習2】如圖，在中，是的中點，在邊上，，與交于點.若，則的值是_____.【解析】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC中點，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【五】平面向量的坐標運算1.平面向量的坐標運算:1.平面向量的坐標運算:（1）若，則；（2）若，則；（3）設，則，.2.平面向量坐標運算的技巧：（1）向量的坐標運算主要是利用向量的加、減、數乘運算的法則來進行求解，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．要注意點的坐標和向量的坐標之間的關系，一個向量的坐標等于向量終點的坐標減去始點的坐標．（2）解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解．1.例題【例1】已知向量，，則（）A．B．2C．5D．50【答案】A【解析】由已知，，所以，故選A【例2】在平面直角坐標系中，向量n＝(2,0)，將向量n繞點O按逆時針方向旋轉eq\f(π,3)后得向量m，若向量a滿足|a－m－n|＝1，則|a|的最大值是()A．2eq\r(3)－1B．2eq\r(3)＋1C．3D.eq\r(6)＋eq\r(2)＋1【解析】由題意得m＝(1，eq\r(3))．設a＝(x，y)，則a－m－n＝(x－3，y－eq\r(3))，∴|a－m－n|2＝(x－3)2＋(y－eq\r(3))2＝1，而(x，y)表示圓心為(3，eq\r(3))的圓上的點，求|a|的最大值，即求該圓上點到原點的距離的最大值，最大值為2eq\r(3)＋1.【例3】在平面直角坐標系中，O為原點，A(－1,0)，B(0，eq\r(3))，C(3,0)，動點D滿足|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，則|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的取值范圍是()A．[4,6]B．[eq\r(19)－1，eq\r(19)＋1]C．[2eq\r(3)，2eq\r(7)]D．[eq\r(7)－1，eq\r(7)＋1]【解析】法一：設出點D的坐標，利用向量的坐標運算公式及向量模的運算公式求解．設D(x，y)，則由|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，C(3,0)，得(x－3)2＋y2＝1.又∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝(x－1，y＋eq\r(3))，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\r(x－12＋y＋\r(3)2).∴|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的幾何意義為點P(1，－eq\r(3))與圓(x－3)2＋y2＝1上點之間的距離，由|PC|＝eq\r(7)知，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的最大值是1＋eq\r(7)，最小值是eq\r(7)－1.故選D.法二：根據向量eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))的平行四邊形法則及減法法則的幾何意義，模的幾何意義求解．如圖，設M(－1，eq\r(3))，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，取N(1，－eq\r(3))，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(ON,\s\up6(→)).由|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，可知點D在以C為圓心，半徑r＝1的圓上，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(ND,\s\up6(→))，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|＝|eq\o(ND,\s\up6(→))|，∴|eq\o(ND,\s\up6(→))|max＝|eq\o(NC,\s\up6(→))|＋1＝eq\r(7)＋1，|eq\o(ND,\s\up6(→))|min＝eq\r(7)－1.2.鞏固提升綜合練習【練習1】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λ＋μ的最大值為()A．3B．2eq\r(2) C.eq\r(5) D．2【解析】如圖所示，建立平面直角坐標系：設A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)，P(x，y)，根據等面積公式可得圓的半徑r＝eq\f(2,\r(5))，即圓C的方程是(x－2)2＋y2＝eq\f(4,5)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y－1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，－1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2,0)，若滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2μ,y－1＝－λ))，μ＝eq\f(x,2)，λ＝1－y，所以λ＋μ＝eq\f(x,2)－y＋1，設z＝eq\f(x,2)－y＋1，即eq\f(x,2)－y＋1－z＝0，點P(x，y)在圓(x－2)2＋y2＝eq\f(4,5)上，所以圓心到直線的距離d≤r，即eq\f(|2－z|,\r(\f(1,4)＋1))≤eq\f(2,\r(5))，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.【練習2】如圖，正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))，則λ＋μ＝()A．2B.eq\f(8,3)C.eq\f(6,5)D.eq\f(8,5)【解析】法一如圖以AB，AD為坐標軸建立平面直角坐標系，設正方形邊長為1，eq\o(AM,\s\up6(→))＝，eq\o(BN,\s\up6(→))＝，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,1)．∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))＝λ＋μ＝，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))故λ＋μ＝eq\f(8,5).法二以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))作為基底，∵M，N分別為BC，CD的中點，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，因此eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－\f(μ,2)＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解得λ＝eq\f(6,5)且μ＝eq\f(2,5).所以λ＋μ＝eq\f(8,5)【六】向量共線（平行）的坐標表示1.1.平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略：（1）利用兩向量共線的條件求向量坐標．一般地，在求與一個已知向量共線的向量時，可設所求向量為，然后結合其他條件列出關于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．(2)利用兩向量共線求參數．如果已知兩向量共線，求某些參數的取值時，利用“若，則”解題比較方便．主要命題角度：利用向量共線求向量或點的坐標；利用向量共線求參數，總體難度不大.1.例題【例1】已知向量，，若，則實數等于（）A. B. C.或 D.0【答案】C【解析】.【例2】若，則與同方向的單位向量____________【答案】【解析】與同方向的單位向量2.鞏固提升綜合練習【練習1】如圖，在平面四邊形中，，，，點為線段的中點．若()，則的值為_______．【解析】以A為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，不妨設AB＝BC＝2，則有A（0,0），B（2,0），C（2,2），E（2,1），AC＝2，AD＝2×tan30°＝，過D作DF⊥x軸于F，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°，DF＝sin45°＝，所以D（，），＝（2,2），＝（，），＝（2,1），因為，所以，（2,2）＝（，）+（2,1），所以，，解得：的值為故答案為：【練習2】已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，則向量a與向量c的夾角的余弦值是()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(1,5)C．－eq\f(\r(5),5)D．－eq\f(1,5)【解析】∵a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，∴a－c＝(3－k,3)，∵(a－c)∥b，∴(3－k)·3＝3×1，∴k＝2，∴a·c＝3×2＋1×(－2)＝4，∴|a|＝eq\r(10)，|c|＝2eq\r(2)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·c,|a|·|c|)＝eq\f(4,\r(10)·2\r(2))＝eq\f(\r(5),5)，故選A.三、平面向量的數量積【一】平面向量數量積的概念1.兩個向量的夾角：1.兩個向量的夾角：（1）定義：已知兩個非零向量和，作，，則叫做向量與的夾角．（2）范圍：向量夾角的范圍是；與同向時，夾角＝0°；與反向時，夾角＝180°.（3）向量垂直：如果向量與的夾角是90°，則與垂直，記作.2.平面向量的數量積的概念：（1）已知兩個非零向量與，則數量叫做與的數量積，記作，即：=，其中是與的夾角．規定：；（2）的幾何意義：數量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積．3.數量積的運算律：（1）交換律：；（2）分配律：；（3）對，．4.計算向量數量積的三種常用方法：（1）定義法：已知向量的模與夾角時，可直接使用數量積的定義求解，即=，其中是與的夾角．（2）基向量法：計算由基底表示的向量的數量積時，應用相應運算律，最終轉化為基向量的數量積，進而求解．（3）坐標法：若向量選擇坐標形式，則向量的數量積可應用坐標的運算形式進行求解．1.例題【例1】在如圖的平面圖形中，已知,則的值為（）A．B．C．D．0【答案】C【解析】如圖所示，連結MN，由可知點分別為線段上靠近點的三等分點，則，由題意可知：，，結合數量積的運算法則可得：.本題選擇C選項.【例2】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=（）A．-3B．-2 C．2D．3【答案】C【解析】由，，得，則，．故選C．2.鞏固提升綜合練習【練習1】如圖，是半圓的直徑，、是弧的三等分點，，是線段的三等分點．若，則的值是（）A.12 B. C.26 D.36【答案】C【解析】連接，由、是弧的三等分點，得∠AOD＝∠BOC＝60°，．【練習2】已知為單位向量，且=0，若，則___________.【解析】因為，，所以，，所以，所以．【練習3】已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，則t＝__________.【解析】∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.又∵|a|＝|b|＝1，且a與b夾角為60°，b⊥c，∴0＝t|a||b|cos60°＋(1－t)，0＝＋1－t.∴t＝2.【二】平面向量數量積的性質1.1.向量數量積的性質：（1）如果是單位向量，則；（2）；（3）；（4）.(為與的夾角)；（5）；2.數量積的坐標運算：設則：（1）；（2）；（3）；（4）.(為與的夾角).3.求向量夾角問題的方法：（1）當是非坐標形式時，求與的夾角，需求出及，或得出它們之間的關系；（2）若已知，則.(為與的夾角)；.4.平面向量模問題的類型及求解方法（1）求向量模的常用方法①若向量是以坐標形式出現的，求向量的模可直接利用公式；②若向量是以非坐標形式出現的，求向量的模可應用公式：；或，先求向量模的平方，再通過向量數量積的運算求解；（2）求向量模的最值(范圍)的方法①代數法：把所求的模表示成某個變量的函數，再用求最值的方法求解．②幾何法(數形結合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結合動點表示的圖形求解．5.平面向量垂直問題的類型及求解方法：（1）判斷兩向量垂直①計算出這兩個向量的坐標；②根據數量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數量積為0即可．（2）已知兩向量垂直求參數根據兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數．1.例題【例1】已知平面向量不共線，且，，記與的夾角是，則最大時，（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則，，所以.易得，，當時，取得最小值，取得最大值，此時.故選C.【例2】已知為單位向量，且=0，若，則___________.【解析】因為，，所以，，所以，所以．【例3】設向量=（1,0），=（?1,m）,若，則m=_________.【解析】，，由得：，，即.2.鞏固提升綜合練習【練習1】若兩個非零向量，滿足，則向量與的夾角是（）A. B. C. D.【解析】將平方得：，解得：..所以向量與的夾角是.【練習2】已知非零向量與滿足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．【解析】因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．【練習3】已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(10)，則|b|＝________.【解析】由|2a－b|＝eq\r(10)，得4a2－4a·b＋b2＝10，得4－4×|b|×cos45°＋|b|2＝10，即－6－2eq\r(2)|b|＋|b|2＝0，解得|b|＝3eq\r(2)或|b|＝－eq\r(2)(舍去)．【三】平面向量的綜合應用1.向量與平面幾何綜合問題的解法：1.向量與平面幾何綜合問題的解法：（1）坐標法把幾何圖形放在適當的坐標系中，則有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決．（2）基向量法適當選取一組基底，溝通向量之間的聯系，利用向量間的關系構造關于未知量的方程進行求解．2.向量在解析幾何中的作用（解析幾何專題中詳講）：（1）載體作用：向量在解析幾何問題中出現，多用于“包裝”，解決此類問題時關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的關系，從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題．（2）工具作用：利用；，可解決垂直、平行問題，特別是向量垂直、平行的坐標表示在解決解析幾何中的垂直、平行問題時經常用到．3.向量與三角的綜合應用（三角函數專題中詳講）：解決這類問題的關鍵是應用向量知識將問題準確轉化為三角問題，再利用三角知識進行求解．1.例題【例1】已知是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】設，則由得，由得因此的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.【例2】在，若，且，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等邊三角形 D.無法判斷【答案】C【解析】由題意可得：，故，，且：，則，結合可知△ABC為等邊三角形.【例3】如圖所示，直線x＝2與雙曲線C：eq\f(x2,4)－y2＝1的漸近線交于E1，E2兩點．記eq\o(OE1,\s\up6(→))＝e1，eq\o(OE2,\s\up6(→))＝e2，任取雙曲線C上的點P，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝ae1＋be2(a，b∈R)，則ab的值為()A.eq\f(1,4)B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,8)【解析】由題意易知E1(2,1),E2(2，－1)，∴e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，故eq\o(OP,\s\up6(→))＝ae1＋be2＝(2a＋2b，a－b)，又點P在雙曲線上，∴eq\f(2a＋2b2,4)－(a－b)2＝1，整理可得4ab＝1，∴ab＝eq\f(1,4).【答案】A2.鞏固提升綜合練習【練習1】在平面四邊形中，，，若，則的最小值為____．【答案】【解析】如圖，以的中點為坐標原點，以方向為軸正向，建立如下平面直角坐標系.則，，設，則，，因為所以，即：整理得：，所以點在以原點為圓心，半徑為的圓上.在軸上取，連接可得，所以，所以由圖可得：當三點共線時，即點在圖中的位置時，最小.此時最小為.【練習2】已知向量（1）若a∥b,求x的值；（2）記,求的最大值和最小值以及對應的的值.【答案】（1）（2）時，QUOTE取得最大值，為3；時，QUOTE取得最小值，為.【解析】解：（1）因為，，a∥b，（2）.因為QUOTE，所以，從而.于是，當，即時，QUOTE取到最大值3；當，即時，QUOTE取到最小值.四、課后自我檢測1.已知O,A,B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以,所以，故選：A.2.已知是的重心，是的中點則____________【答案】4【解析】因為是的中點，G是的重心，則，即又，所以,所以,故答案為：.3.在平面直角坐標系中，已知點、，、是軸上的兩個動點，且，則的最小值為____．【答案】-3【解析】根據題意，設E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；當a=b+2時，；∵b2+2b﹣2的最小值為；∴的最小值為﹣3，同理求出b=a+2時，的最小值為﹣3．故答案為：﹣3．4.在四邊形中，，，，，點在線段的延長線上，且，則__________.【答案】.【解析】建立如圖所示的直角坐標系，則，.因為∥，，所以，因為，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為.由得，，所以.所以.5.已知數列為等差數列，且滿足，若（），點為直線外一點，則（）A．B．C．D．【答案】D6.設向量a，b滿足，，則a·b＝()．A．1B．2C．3D．5【解析】∵，∴(a＋b)2＝10，即a2＋b2＋2a·b＝10.①∵，∴(a－b)2＝6，即a2＋b2－2a·b＝6.②由①②可得a·b＝1.故選A.7.已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b與a＋λb平行，則λ＝________.【解析】∵a＝(3,2)，b＝(2，－1)，∴λa＋b＝(3λ＋2，2λ－1)，a＋λb＝(3＋2λ，2－λ)，∵λa＋b∥a＋λb，∴(3λ＋2)(2－λ)＝(2λ－1)(3＋2λ)，解得λ＝±18.在平行四邊形ABCD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，cosA＝eq\f(3,5)，則|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝()A.eq\r(14)B．2eq\r(5)C．4eq\r(2)D．2eq\r(11)【解析】如圖，取AE的中點G，連接BG∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(GB,\s\up6(→))，∴|eq\o(GB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－AG|2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))2＝52－2×5×1×eq\f(3,5)＋1＝20，∴|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝|eq\o(GB,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，故選B.9.已知銳角△ABC的外接圓的半徑為1，∠B＝eq\f(π,6)，則eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的取值范圍為__________．【解析】如圖，設|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝c，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝a，△ABC的外接圓的半徑為1，∠B＝eq\f(π,6).由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝2，∴a＝2sinA，c＝2sinC，C＝eq\f(5π,6)－A，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2),0<\f(5π,6)－A<\f(π,2)))，得eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2)，∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝cacoseq\f(π,6)＝4×eq\f(\r(3),2)sinAsinC＝2eq\r(3)sinAsin＝2eq\r(3)sinA＝eq\r(3)sinAcosA＋3sin2A＝eq\f(\r(3),2)sin2A＋eq\f(31－cos2A,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2A＋eq\f(3,2)cos2A＋eq\f(3,2)＝eq\r(3)sin＋eq\f(3,2).∵eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,3)<2A－eq\f(π,3)<eq\f(2π,3)，∴eq\f(\r(3),2)<sin≤1，∴3<eq\r(3)sin＋eq\f(3,2)≤eq\r(3)＋eq\f(3,2).∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的取值范圍為.10.已知點O，N，P在△ABC所在的平面內，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，則點O，N，P依次是△ABC的()A．重心、外心、垂心B．重心