九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)的字母代號(hào)填在下表中相應(yīng)的題號(hào)下）

1.下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（）

A.y=ax2+bx+cB.x2+y-2=0C.y2-ax=-2D.x2-y2+l=0

2.在同一坐標(biāo)系中，作y=2x\y=-2x?、y=0.5x2的圖象，它們共同特點(diǎn)是（）

A.都是關(guān)于x軸對(duì)稱，拋物線開口向上

B.都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，頂點(diǎn)都是原點(diǎn)

C.都是關(guān)于y軸對(duì)稱，拋物線開口向下

D.都是關(guān)于y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)都是原點(diǎn)

3.拋物線y=x2-m為（）

A.0R.1C.-1D±1

4.把二次函數(shù)y=x2-2x-l配方成頂點(diǎn)式為（）

A.y=（x-1）2B.y=（x+l）2-2C.y=（x+1）2+lD.y=（x-1）2-2

5.如圖所示，^ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為（）

6.如圖，從熱氣球C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30。、45。，如果此時(shí)

熱氣球C處的高度CD為100米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離

是（）

C

A.200米B.200百米C.220正米D.100（a+1）米

7.如圖，在R3ABC中，ZC=90\AB=6,cosB=^,則BC的長為（）

8.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,若a>0,cVO,那么它的圖象大致是（）

9.如圖，PA,PB切。。于A、B兩點(diǎn)，CD切。O于點(diǎn)E,交PA,PB于C,D.若

。。的半徑為r,Z\PCD的周長等于3r,則tan/APB的值是（）

3

10.己知拋物線y=a（x+1）（x-）與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,則

a

能使4ABC為等腰三角形的a的值有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

二、填空題：（本大題共8小題，每小題2分，共16分.不需寫出解答過程，請(qǐng)

將答案直接填寫在下面答題欄內(nèi)的相應(yīng)位置）

11.（2分）若銳角0滿足2sin__V2=0,則0=o.

12.（2分）函數(shù)y=（m-l.xm+1-2m=.

13.（2分）拋物線y=-x2-2x+3與x軸交點(diǎn)為.

14.（2分）拋物線y=x2-=.

15.（2分）拋物線y=x2+4x+3在x軸上截得的線段的長度是.

16.（2分）如圖，在由邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都

在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P,則cos/APD=

17.（2分）如圖，某公園入口處原有三級(jí)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階高為18cm,深為30cm,

為方便殘疾人士，擬將臺(tái)階改為斜坡，設(shè)臺(tái)階的起點(diǎn)為A,斜坡的起始點(diǎn)為C,

現(xiàn)設(shè)計(jì)斜坡BC的坡度i=l：5,則AC的長度是cm.

B

18.（2分）如圖，邊長為5的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB,將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接HN.則在

點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段HN長度的最小值是—.

三、解答題（本大題共有10小題，共84分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過

程或演算步驟）

19.(8分)解方程：

(1)x2-5x+6=0；

(2)x(x-6)=4.

20.(8分)求下列各式的值

(1)sin260o+cos600tan45°；

cos300,

(2-.々c+tan60.

l+sin30

21.（6分）如圖，豎立在點(diǎn)B處的標(biāo)桿AB高2.4m,站立在點(diǎn)F處的觀察者從

點(diǎn)E處看到標(biāo)桿頂A、樹頂C在一條直線上，設(shè)BD=8m,FB=2m,EF=1.6m,求

樹高CD.

22.（6分）根據(jù)條件求函數(shù)的關(guān)系式

（1）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過（-2,5）和（2,-3）兩點(diǎn)，求該函數(shù)的

關(guān)系式；

（2）已知二次函數(shù)的圖象以A（-1,4）為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)B（2,-5）,求該

函數(shù)的關(guān)系式.

23.（8分）如圖，小島A在港口P的南偏東45。方向，距離港口100海里處.甲

船從A出發(fā)，沿AP方向以10海里/小時(shí)的速度駛向港口，乙船從港口P出發(fā)，

沿北偏東30。方向，以20海里/小時(shí)的速度駛離港口.現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā)，出發(fā)后

兒小時(shí)乙船在甲船的正北方向？（結(jié)果精確到0.1小時(shí)）（參考數(shù)據(jù)^^1.41,

的比1.73）

西

24.（10分）由于霧霾天氣對(duì)人們健康的影響，市場(chǎng)上的空氣凈化器成了熱銷

產(chǎn)品.某公司經(jīng)銷一種空氣凈化器，每臺(tái)凈化器的成本價(jià)為200元.經(jīng)過一段時(shí)

間的銷售發(fā)現(xiàn)，每月的銷售量y（臺(tái)）與銷售單價(jià)X（元）的關(guān)系為y=-2X+1000.

（1）該公司每月的利潤為w元，寫出利潤w與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若要使每月的利潤為40000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

（3）公司要求銷售單價(jià)不低于250元，也不高于400元，求該公司每月的最高

利潤和最低利潤分別為多少？

25.（8分）有一座拋物線形拱橋，正常水位時(shí)橋下水面寬度為20m,拱頂距離

水面4m.

（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的解析式；

（2）設(shè)正常水位時(shí)橋下的水深為2m,為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬

度不得小于18m,求水深超過多少米時(shí)就會(huì)影響過往船只在橋下的順利航行.

26.（10分）如圖，已知直線I的函數(shù)表達(dá)式為x+3,它與x軸、y軸的交點(diǎn)

分別為A、B兩點(diǎn).

（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)F是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，?P經(jīng)過點(diǎn)B且與x軸相切于點(diǎn)F設(shè)。P的圓心坐標(biāo)

為P（x,y）,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在這樣的。P,既與x軸相切又與直線I相切于點(diǎn)B?若存在，求出

27.（10分）如圖1,在菱形ABCD中，AB=2/5,tanZABC=2,點(diǎn)E從點(diǎn)D出

發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

（秒），將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角a（a=NBCD）,得到對(duì)應(yīng)線段CF.

（1）求證：BE=DF；

（2）當(dāng)1=秒時(shí)，DF的長度有最小值，最小值等于；

(3)如圖2,連接BD、EF、BD交EC、EF于點(diǎn)P、Q,當(dāng)t為何值時(shí)，Z\EPQ是

直角三角形？

(4)如圖3,將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角a(a=ZBCD),得到對(duì)應(yīng)線

段CG.在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F位于直線AD上方時(shí)，直接寫出點(diǎn)

F到直線AD的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式.

28.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)0(0,0),A(5,0),B

(4,4).

(1)求過0、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式.

(2)在第一象限的拋物線上存在點(diǎn)M,使以0、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形面枳

最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)作直線的值.

?江蘇省無錫市東湖塘中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12

月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)的字母代號(hào)填在下表中相應(yīng)的題號(hào)下）

1.下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（）

A.y=ax2+bx+cB.x2+y-2=0C.y2-ax=-2D.x2-y2+l=0

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的定義.

【分析】利用二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a

W0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)解答.

【解答】解：A、y=ax2+bx+c,應(yīng)說明aWO,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、x2+y-2=0可變?yōu)閥=-x2+2,是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)止確；

C、y2?ax=-2不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、x2-y2+l=0不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握二次區(qū)數(shù)定義.

2.在同一坐標(biāo)系中，作y=2x2>y=-2x\v=05x2的圖象，它們共同特點(diǎn)是（）

A.都是關(guān)于x軸對(duì)稱，拋物線開口向上

B.都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，頂點(diǎn)都是原點(diǎn)

C.都是關(guān)于y軸對(duì)稱，拋物線開口向下

D.都是關(guān)于y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)都是原點(diǎn)

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】根據(jù)拋物線y=ax?的特征進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：在二次函數(shù)尸ax?中，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)為原點(diǎn)，

Vy=2x2sy=-2x\y=0.5x?都是y=ax?類型的二次函數(shù)，

Ay=2x\y=-2x\y=O.5x2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且頂點(diǎn)都是原點(diǎn).

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握y=ax?的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)

為原點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3.拋物線y=x2-m為()

A.0B.1C.-ID.±1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【分析】把原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線2

y=x-m24.i=0,

所以m=±l.

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，點(diǎn)在圖象上，將點(diǎn)代入函數(shù)解析式即可求

得.

4.把二次函數(shù)y=x2-2x-l配方成頂點(diǎn)式為()

A.y=(x-1)2B.y=(x+1)2-2C.y=(x+1)2+lD.y=(x-1)2-2

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的三種形式.

【分析】利用配方法把一般式配成頂點(diǎn)式即可.

【解答】解：y=x2-2x+l-2

=(x-1)2-2.

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的三種形式：一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常

數(shù)，aWO),該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是

(0,c)；頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a,h,k是常數(shù)，aWO),其中(h,k)

為頂點(diǎn)坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)；

交點(diǎn)式：是常數(shù)，該形式的優(yōu)勢(shì)是能

y=a(x-xi)(x-x2)(a,b,ca^O),

直接根據(jù)解析式得到拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)

x(X1,0),(x2,0).

5.如圖所示，^ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為()

喑D-^

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理.

【分析】利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答.

【解答】解：如圖：在B點(diǎn)正上方找一點(diǎn)D,使BD=BC,連接CD交AB于0,

根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，CD1AB,

在RtAAOC中，

8唇？丸

Ac由四；

則sinAS看舍.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，作出輔助線CD并利用網(wǎng)

格構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，從熱氣球C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30。、45。，如果此時(shí)

熱氣球C處的高度CD為100米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離

D.100伊1）米

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【分析】圖中兩個(gè)直角三角形中，都是知道已知角和對(duì)邊，根據(jù)正切函數(shù)求出鄰

邊后，相加求和即可.

【解答】解：由己知,得/A=30°,ZB=45%CD=100,

???CD_LAB于點(diǎn)D.

,,CD

???在RtZAXACD中，ZCDA=90°,tanA而,

CD100V3

.-.ADtanA返=100

V

在Rt^BCD中，ZCDB=90°,ZB=45°

ADB=CD=1OO米，

.?.AB=AD+DB=IO/3+IOO=IOO/3+1）米.

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是利用CD為直角△

ABC斜邊上的高，將三角形分成兩個(gè)三角形，然后求解.分別在兩三角形中求出

AD與RD的長.

2

7.如圖，在RtaABC中，ZC=90°,AB=6,cosBg,則BC的長為（）

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【分析】根據(jù)cosB-f,可深j,再把AB的長代人可以計(jì)算出CB的長.

2

【解答】解：TcosB5,

CB2

AB~3，

VAD=6,

2

ACByX6=4,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握余弦：銳角A的鄰邊

b與斜邊c的比叫做NA的余弦.

8.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,若a>0,c<0,那么它的圖象大致是（）

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】根據(jù)a的符號(hào)確定拋物線的開口方向，根據(jù)c的符號(hào)確定拋物線與y軸

的交點(diǎn).

【解答】解：..,二次函數(shù)y=ax2+bx+c,a>0,c<0,

，拋物線開口向上，與y軸交點(diǎn)在x軸的下方，

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于一次函數(shù)y=Ax2+hx+c

（a^O）來說，①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)aVO時(shí)，拋物線向下開口；|a|還可以決定開

口大小，|a|越大開口就越小；②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸

的位置.

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0）,對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab<0）,

對(duì)稱軸在y軸右（簡(jiǎn)稱：左同右異）；③常數(shù)項(xiàng)c決定勉物線與y軸交點(diǎn).拋物

線與y軸交于（0,c）；④拋物線與X軸交點(diǎn)個(gè)數(shù).△=b2-4ac>0時(shí)，拋物線

與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△ubZ-dacV

0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

9.如圖，PA,PB切。。于A、B兩點(diǎn)，CD切。。于點(diǎn)E,交PA,PB于C,D.若

。。的半徑為r,Z\PCD的周長等于3r,則tan/APB的值是（）

A

c

?o

5V13123V132V13

A&B至C可叼

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.

【分析】（1）連接OA、OB、0P,延長B0交PA的延長線于點(diǎn)F.利用切線求

32

得CA=CE,DB=DE,PA=PB再得出PA=PB5r.利用RtABFP^RTAOAF得出AFg

FB,在RTZkFBP中,利用勾股定理求出BF,再求tan/APB的值即可.

【解答】解：連接OA、OB、0P,延長B0交PA的延長線于點(diǎn)F.

VPA,PB切。0于A、B兩點(diǎn)，CD切。0于點(diǎn)E

AZOAF=ZPBF=90°,CA=CE,DB=DE,PA=PB,

VAPCD的周長=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r,

3

??.PA=PB萬］.

在RtAPBF和RtAOAFd1，

(ZFA0=ZFBP

IZOFA=ZPFB，

:.RtAPBF^RtAOAF.

AFAOr2

FBBP3-?,

2r

2

.?.AFgFB,

在RtAFBP中，

VPF2-PB2=FB2

:.(PA+AF)2-PB2=FB2

323

BF)2-yr)2=BF2,

IO

解得BF-丁r,

BF1812

PB5「5

AtanZAPB=?=,

Tr

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形及三角函數(shù)的定義，解決本題

的關(guān)鍵是切線與相似三角形相結(jié)合，找準(zhǔn)線段及角的關(guān)系.

3

10.已知拋物線y=a(xi1)(x—)與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,則

能使aABC為等腰三角形的a的值有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；等腰三角形的判定.

【分析】整理拋物線解析式,確定出拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A和y軸的交點(diǎn)C,

然后求出AC的長度，再分①a>0時(shí)，點(diǎn)B在x軸正半軸時(shí)，分AC=BC、AC=AB、

AB=BC三種情況求解；②aVO時(shí)，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸時(shí)，點(diǎn)B只能在點(diǎn)A的

左邊，只有AC=AB一種情況列式計(jì)算即可.

3

【解答】解：解法1：y=a(x+1)(x-)=(x+1)(ax-3),

所以，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),C(0,-3),

222

ACV0A+0CV1+3貝，

3

點(diǎn)B坐標(biāo)為二，0),

①k>0時(shí)，點(diǎn)B在x正半軸上，

若AC=BC,(-1)2+32=V1C?解得a=3,

_鳥2/1C膝徂府+1

彳1ACr-AABD?(t41，解用a3，

若AB=BC,m+1^(-1)2+32,解得；

②kVO時(shí)，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸，點(diǎn)B只能在點(diǎn)A的左側(cè)，

只有AC=AB,則?1孑1丘，解得a=受—1,

a3

所以，能使^ABC為等腰三角形的a的值有4個(gè).

解法2：易得拋物線一定過兩個(gè)定點(diǎn)：(-1,0),(0,-3),連接這兩個(gè)定

點(diǎn)，得到一條線段，以這條線段為底邊可以在橫軸上找一點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，以

這條線段為腰，分別以兩個(gè)定點(diǎn)為頂點(diǎn)可以在橫軸上找到三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形,

所以共有四個(gè)點(diǎn)可以與定點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，從而可以確定四個(gè)形狀不同的拋物

線，所以a有四個(gè)值.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，根據(jù)拋物線的解析式確定出拋物

線經(jīng)過的兩個(gè)定點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論，此題有一定的難度.

二、填空題：(本大題共8小題，每小題2分，共16分.不需寫出解答過程，請(qǐng)

將答案直接填寫在下面答題欄內(nèi)的相應(yīng)位置)

11.若銳角8滿足2sin「'&二C,則0=45

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.

【分析】先根據(jù)題意得出sin。的值，再由特殊角的三角函數(shù)值即可得出結(jié)論.

【解答】解：..?2sin;&二0,

，2sine貝，

???e為銳角，

.,.e=45°.

故答案為：45.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答

此題的關(guān)鍵.

2

12.函數(shù)y=(m-+1-2m=-1.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的定義.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列出不等式求解即可.

2

【解答】解：由y=(m?+1-2mx+l是拋物線，得

ID^+1=2

m-17t0,

解得m=?l,m=l(不符合題意舍去)，

故答案為：?1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零是解題關(guān)鍵.

13.拋物線v=?x2?2x+3與x軸交點(diǎn)為(?3,0),(1,0).

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).

【分析】直接得出y=0時(shí)K的值，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：當(dāng)y=0,則0=-X2?2X+3,

x2+2x-3=0,

則(x+3)(x-1)=0,

解得：Xi=-3,x2=l?

故拋物線y=?x2?2x+3與x軸交點(diǎn)為：(?3,0),(1,0).

故答案為：(-3,0),(1,0).

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)求法，正確解方程是解題關(guān)鍵.

14.拋物線y=x2-="J__.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】把拋物線方程化為頂點(diǎn)式，令其縱坐標(biāo)為。即可求得m.

【解答】解：*/y=x2-x+m=(x-^)2+m^,

,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為￡,nr|),

???頂點(diǎn)在x軸上，

??.m]=0,解得其.

故答案為言.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杏二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)

鍵.

15.拋物線y=x2+4x+3在x軸上截得的線段的長度是2.

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).

【分析】先設(shè)出拋物線與X軸的交點(diǎn)，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出X1+X2及XJX2

的值，再由完全平方公式求解即可.

【解答】解：設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)為：(xi,0),(x2,0),

*.*X1+X2=-4,XI”2=3,

:.Xi-X211+x2)_2_4』i_x23=2,

???拋物線V=X2+4X+3在x粕上截得的線段的長度是2.

故答案為:2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳的是拋物線與X軸的交點(diǎn)問題，能由根與系數(shù)的關(guān)系得到X1+X2

及X1?X2的值是解答此題的關(guān)鍵.

16.如圖，在由邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小

正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P,則COS/APD=Y轡.

If

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.

【分析】作AE1CD于E,由DB：AC=1：3,求出4APC的面積，線段AP、PC

的長,在RTZXAPE中可以求出cos/APD.

【解答】解：如圖作AE_LCD交CD的延長線于E,

DBPBPD_1

ACPAPC?,

2Z

7DCV1+1或，AB，％”浜SAABC^-3-l=1

.SAp上a13^2W2/森亞

??ASPC428，^^4人q，分產(chǎn)4人4

19

2eCPeAE8，

,3衣

??AE-^~,

22

APE7AP-AE等

.____罵71^

..cosZAPD-^p

故答案嘴

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、平行線性質(zhì)、三角形的面積的計(jì)算、三角函數(shù)等

知識(shí)，構(gòu)造直角三角形是解三角函數(shù)問題的常用方法，用面積法求高是解題的關(guān)

鍵.

17.如圖，某公園入口處原有三級(jí)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階高為18cm,深為30cm,為方

便殘疾人士，擬將臺(tái)階改為斜坡，設(shè)臺(tái)階的起點(diǎn)為A,斜坡的起始點(diǎn)為C,現(xiàn)設(shè)

計(jì)斜坡BC的坡度i=l：5,則AC的長度是210cm.

B

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【分析】首先過點(diǎn)B作BD_LAC于D,根據(jù)題意即可求得AD與BD的長，然后由

斜坡BC的坡度i=l：5,求得CD的長，繼而求得答案.

【解答】解：過點(diǎn)B作BD_LAC于D,

根據(jù)題意得：AD=2X30=60(cm),BD=18X3=54(cm),

,?,斜坡BC的坡度i=l：5,

ABD：CD=1：5,

ACD=5BD=5X54=270(cm),

AAC=CD-AD=270-60=210(cm).

AAC的長度是210cm.

故答案為：210.

B

一d一:一

【點(diǎn)評(píng)】此題考杳/解直角三角形的應(yīng)用：坡度問題.此題難度適中，注意掌握

坡度的定義，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法.

18.如圖，邊長為5的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

連接MB,將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接HN.則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)

過程中，線段HN長度的最小值是1.25.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；垂線段最短；等邊三角形的性質(zhì).

【分析】取CB的中點(diǎn)G,連接MG,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BD=BG,再求

出NHBN=NMBG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB=NB,然后利用“邊角邊〃證明，△MBG

名△NBH,再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得HN=MG,然后根據(jù)垂線段最短可

得MG_LCH時(shí)最短，再根據(jù)NBCH=30。求解即可.

【解答】解：如圖，取BC的中點(diǎn)G,連接MG,

???旋轉(zhuǎn)角為60。,

???/MBH+NHBN=60°,

XVZMBH+ZMBC=ZABC=60°,

.*.ZHBN=ZGBM,

VCH是等邊AABC的對(duì)稱軸，

1

:.m-2AB,

.'.HB=BG,

又〈MB旋轉(zhuǎn)到BN,

ABM=BN,

在△MBG和△NBH中,

BG二BH

<NMBG=NNBH,

MB-NB

AAMBG^ANBH(SAS),

，MG=NH,

根據(jù)垂線段最短，MGJ_CH時(shí)，MG最短，即HN最短,

…111

此時(shí)?.?NBCH方X60°=30°,CG方AB^X5=2.5,

11

AMG-2CG~2X2.5=1.25,

/.HN=1.25,

故答案為：1.25.

/檢

A

“白3

V

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

垂線段最短的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

三、解答題（本大題共有10小題，共84分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過

程或演算步驟）

19.解方程：

（1）x2-5x+6=0；

（2）x（x-6）=4.

【考點(diǎn)】解一元二次方程?因式分解法；解一元二次方程?配方法.

【分析】（1）利用因式分解法解方程；

（2）先利用配方法把方程變形為（x-3）2=13,然后利用直接開平方法解方程.

【解答】解：（1）（x-3）（x-2）=0,

x-3=0或x-2=0,

所以Xi=3,X2=2；

（2）x2-6x=4,

x2-6x+9=13,

（x-3）2=13,

x-3=?^,

所以Xi=3^^,X2=3^^.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0,再

把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有

可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次,

把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）.也考查了

配方法解一元二次方程.

20.求下列各式的值

(1)sin2600+cos60otan45°：

cos300

+tan60°

(2l+sin30

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.

【分析】（1）、（2）直接把各特殊角的二角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：（1）原式=空）XI

31

7-2

5

4；

V3Vs

2

(2)原式一r-+

當(dāng)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答

此題的關(guān)鍵.

21.如圖，豎立在點(diǎn)B處的標(biāo)桿AB高2.4m,站立在點(diǎn)F處的觀察者從點(diǎn)E處

看到標(biāo)桿頂A、樹頂C在一條直線上，設(shè)BD=8m,FB=2m,EF=1.6m,求樹高CD.

C

【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用.

【分析】延長CE交DF的延長線于點(diǎn)G,可證明△GFES^GBA,得GF的長；可

證明△GDCs/\GBA,樹高CD的長即可知.

【解答】解：延長CE交DF的延長線于點(diǎn)G,設(shè)GF為xm,

VEF//AB,

/.△GFE^AGBA,

GF二跌x1.6

解得x=4,

VCD/7AB,

AAGDC^AGBA,

GD^CD14二CD

解得CD=5.6,

答：樹高CD為5.6m.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形在實(shí)際問題中的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確作出輔

助線構(gòu)造相似三角形.

22.根據(jù)條件求函數(shù)的關(guān)系式

（1）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過（?2,5）和（2,?3）兩點(diǎn)，求該函數(shù)的

關(guān)系式；

（2）已知二次函數(shù)的圖象以A（-1,4）為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)B（2,-5）,求該

函數(shù)的關(guān)系式.

【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.

【分析】（1）直接把（?2,5）和（2,-3）代入y=x2+bx+c得到關(guān)于b、c的

方程組，然后解方程組求出b、c即可；

（2）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)頂點(diǎn)式，將點(diǎn)B（2,-5）代入求a,即可確定

函數(shù)關(guān)系式.

r4-2b+c=5

【解答】解：根據(jù)題意（4+2b+c=-3，

V-2

解c二-3?

所以該二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x-3；

（2）由A（?1,4）為拋物線頂點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）2+4,

將點(diǎn)B（2,-5）代入，得9a+4=-5,解得-1,

所以該函數(shù)的關(guān)系式為y=?（x+1）2+4,即y=?x2?2x+3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次

函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入

數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三

元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式

來求解；當(dāng)已知拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解.

23.如圖，小島A在港口P的南偏東45。方向，距離港口100海里處.甲船從A

出發(fā)，沿AP方向以10海里/小時(shí)的速度駛向港口，乙船從港口P出發(fā)，沿北偏

東30。方向，以20海里/小時(shí)的速度駛離港U.現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā)，出發(fā)后幾小時(shí)

乙船在甲船的正北方向？（結(jié)果精確到0.1小時(shí)）（參考數(shù)據(jù)^^1.4173%

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，過點(diǎn)P作PEJ_CD,根據(jù)余弦的定義分別表示出PE,

列出方程，解方程即可.

【解答】解：設(shè)出發(fā)后x小時(shí)乙船在甲船的正北方向.

此時(shí)甲、乙兩船的位置分別在點(diǎn)C、D處.

連接CD,過點(diǎn)P作PE_LCD,垂足為E.則點(diǎn)E在點(diǎn)P的正東方向.

在RtZXCEP中,ZCPE=45°,

，PE=PC?cos450,

在RtAPED'|1,ZCPD=60\

.,.PE=PD?cos600,

:.PC?cos45°=PD?cos60°,

:.(100-lOx)?cos45°=20x?cos600.

解這個(gè)方程，得XQ4.1,

答：出發(fā)后約4.1小時(shí)乙船在甲船的正東方向.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確標(biāo)注方向角、靈

活運(yùn)用銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

?4.（10分）（秋?無錫盟末）由于霧霾天氣對(duì)人們健康的影響，市場(chǎng)上的空氣

凈化器成了熱銷產(chǎn)品.某公司經(jīng)銷一種空氣凈化器，每臺(tái)凈化器的成本價(jià)為200

元.經(jīng)過一段時(shí)間的銷售發(fā)現(xiàn)，每月的銷售量y（臺(tái)）與銷售單價(jià)X（元）的關(guān)

系為y=?2X+1000.

（1）該公司每月的利潤為W元，寫出利潤W與銷售單價(jià)X的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若要使每月的利潤為40000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

（3）公司要求銷售單價(jià)不低于250元，也不高于400元，求該公司每月的最高

利潤和最低利潤分別為多少？

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】（1）根據(jù)銷售利潤=每天的銷售量X（銷售單價(jià)-成本價(jià)），即可列出

函數(shù)關(guān)系式；

（2）令y=40000代入解析式，求出滿足條件的x的值即可;

（3）根據(jù)（1）得到銷售利潤的關(guān)系式，利用配方法可求最大值.

【解答】解；（1）由題意得；w=（x200）y=（x200）（2x+1000）=2x2+1400x

-00；

(2)令w=-2x2+1400x-00=40000,

解得：x=300或x=400,

故要使每月的利潤為40000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為300或400元;

（3）y=-2x2+1400x-00=-2（x-350）2+45000,

當(dāng)x=250時(shí)y=-2X2502+1400X250-00=25000；

故最高利潤為45000元，最低利潤為25000元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是熟練學(xué)

握利用配方法求二次函數(shù)的最大值.

25.有一座拋物線形拱橋，正常水位時(shí)橋卜冰面寬度為20m,拱頂距離水面4m.

（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的解析式；

（2）設(shè)正常水位時(shí)橋下的水深為2m,為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬

度不得小于18m,求水深超過多少米時(shí)就會(huì)影響過往船只在橋下的順利航行.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】（1）設(shè)該拋物線的解析式是y=”2,結(jié)合圖象，只需把（10,-4）代

入求解；

（2）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)解析式，把x=9代入求得y的值，再進(jìn)一步求得水

深超過多少米時(shí)就會(huì)影響過往船只在橋下的順利航行.

【解答】解：（1）設(shè)該拋物線的解析式是y=ax2,

結(jié)合圖象，把（10,-4）代入，得

100a=-4,

1

a=25，

則該拋物線的解析式是戶表X2.

（2）當(dāng)x=9時(shí)，則有丫=專X81=-3.24,

4+2-3.24=2.76（米）.

所以水深超過2.76米時(shí)就會(huì)影響過往船只在橋下的順利航行.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，能夠熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求

得二次函數(shù)的解析式.

3

26.（10分）（秋?無錫期末）如圖，已知直線I的函數(shù)表達(dá)式為x+3,它與

x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn).

（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)F是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，0P經(jīng)過點(diǎn)B且與x軸相切于點(diǎn)F設(shè)。P的圓心坐標(biāo)

為P（x,y）,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在這樣的。P,既與x軸相切乂與直線I相切于點(diǎn)B?若存在，求出

圓心P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明埋山.

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得以A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4,0）,B點(diǎn)

坐標(biāo)為（0,3）；

（2）過點(diǎn)P作PD_Ly軸于D,則PD=|x|,BD=|3?y|,根據(jù)切線的性質(zhì)得PF=y,

則PB=y,在RtZ\BDP中，根據(jù)勾股定理得到y(tǒng)?=x2+（3-y）?,然后整理得到

A：

（3）由于。P與x軸相切于點(diǎn)F,且與直線I相切于點(diǎn)B,根據(jù)切線長定理得到

AB=AF,而AB=5,所以AF=|x+4|=5,解得x=l或x=-9,再把x=l和x=-9分別

13

代入qX2,計(jì)算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，即可確定P點(diǎn)坐標(biāo).

3

【解答】解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，yzx+3=3；

3

當(dāng)y=0時(shí)彳x+3=0,解得x=-4,

所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（?4,0）,B點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）；

（2）過點(diǎn)P作PDJ_y軸于D,如圖1,則PD=|x|,BD=|3-y|,

V0P經(jīng)過點(diǎn)B且與x軸相切于點(diǎn)F

.\PB=PF=y,

在RtABDP中，

.?.PB2=PD2+BD2,

y2=x2+（3-y）2,

（3）存在.

二'（DP與x軸相切于點(diǎn)F,且與直線I相切于點(diǎn)B,

AAB=AF

VAB2=OA2+OB2=52,

AAF=5,

VAF=|X+4|,

/.|x+4|=5,

x=l或x=-9,

,「13135

當(dāng)X=1時(shí)，;

1313

當(dāng)x=-9時(shí)，y1x2-^^*X（-9）2]=15,

5

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ly）或（-9,15）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)和切線長定理、一次函數(shù)

的性質(zhì)；會(huì)利用坐標(biāo)表示線段和運(yùn)用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算.

27.（10分）（?鎮(zhèn)江）如圖1,在菱形ABCD中，AB垂,tan/ABC=2,點(diǎn)E

從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為t（秒），將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角a（a=ZBCD）,得到對(duì)應(yīng)

線段CF.

（1）求證：BE=DF：

（2）當(dāng)1=或+6秒時(shí),DF的長度有最小值，最小值等于12；

（3）如圖2,連接BD、EF、BD交EC、EF于點(diǎn)P、Q,當(dāng)t為何值時(shí)，Z\EPQ是

直角三角形？

（4）如圖3,將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角a（a=ZBCD）,得到對(duì)應(yīng)線

段CG.在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F位于直線AD上方時(shí)，直接寫出點(diǎn)

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【分析】（1）由NECF=/BCD得/DCF=/BCE,結(jié)合DC=BC、CE=CF證ADCF經(jīng)

△BCE即可得；

（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E時(shí)，由DF=BE知此時(shí)DF最小，求得BE2AE，即可得答案;

(3)①NEQP=90°時(shí),由NECF=NBCD、BC=DC>EC=FC得NBCP=NEQP=90°,根

據(jù)AB=CD=4,tan/ABC=tan/ADC=2即可求得DE；

②NEPQ=90。時(shí)，由菱形ABCD的對(duì)角線AC1BD知EC與AC重合，可得DE="；

(4)連接GF分別交直線AD、BC于點(diǎn)M、N,過點(diǎn)F作FH_LAD于點(diǎn)H,W:A

DCE絲Z\GCF可得N3=/4=Nl=/2,即GF〃CD,從而知四邊形CDMN是平行四

邊形，由平行四邊形得MN=CD=4；再由/CGN=ZDCN=ZCNG知

CN=CG=CD=y^,根據(jù)tanZABC=tanZCGN=2可得GM=V^+12,由GF=DE=t得

FM=t--12,

利用tanZFMH=tanZABC=2即可得FH.

【解答】解：(1)VZECF=ZBCD,即NBCE+NDCE=NDCF+NDCE,

AZDCF=ZBCE,

???四邊形ABCD是菱形，

ADC=BC,

在4DCF和4BCE中，

rCF=CE

<NDCF=NBCE,

CD=CB

AADCF^ABCE(SAS),

ADF=BE：

(2)如圖1,

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E，時(shí)，DF=BE\此時(shí)DF最小,

在RtaABE'中，AB=4,tan/ABC=tanNBAE'=2,

，設(shè)AE'=x,則BE'=2x,

，AB犯x#,

則AE'=6

ADEz=y^46,DF=BE/=12,

故答案為：擊+6,12；

(3)VCE=CF,

??./CEQ<90°,

①當(dāng)NEQP=90。時(shí)，如圖2①,

VZECF=ZBCD,BC=DC,EC=FC,

AZCBD=ZCEF,

VZBPC=ZEPQ,

.*.ZBCP=ZEQP=90°,

VAB=CD=^,

tanZABC=tanZADC=2,

ADE=6,

???t=6秒;

②當(dāng)NEPQ=90。時(shí),如圖2②,

圖2②

???菱形ABCD的對(duì)角線AC1BD,

，EC與AC重合，

??.DE=4,

：.t#秒;

,、2a24A/5

(4)y—t-12—

如圖3,連接GF分別交直線AD、BC于點(diǎn)M、N,過點(diǎn)F作FH_LAD于點(diǎn)H,

由(1)知N1=N2,

XVZ1+ZDCE=Z2+ZGCF,

AZDCE=ZGCF,

在ADCEfllAGCF中，

'EC二FC

<ZDCE=ZGCF,

DC=GC

AADCE^AGCF(SAS),

AZ3=Z4,

VZ1=Z3,Z1=Z2,

AZ2=Z4,

，GF〃CD,

又丁AH〃BN,

???四邊形CDMN是平行四邊形，

.?.MN=CD=^,

VZBCD=ZDCG,

AZCGN=ZDCN=ZCNG,

.?.CN=CG=CD=^,

VtanZABC=tanZCGN=2,

AGN=12,

；?GM#+12,

VGF=DE=t,

AFM=t-^-12,

VtanZFMH=tanZABC=2,

?,.FH（t-聲-12）,

5

2V5.-2隊(duì)年

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