2025安徽中考數學試卷

數學試題

注意事項：

1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．

2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分．“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁．

3．請務必在“答．題．卷．”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．

4．考試結束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回．

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A，B，C，D四個

選項，其中只有一個是符合題目要求的．

1.在2，0，2，5這四個數中，最小的數是（）

A.2B.0C.2D.5

【答案】A

【解析】

【分析】解題思路為：依據有理數大小比較規則，即負數小于0，0小于正數，來比較這四個數的大小，找

出最小數．本題主要考查了有理數的大小比較，熟練掌握“負數小于0，0小于正數”的大小比較規則是

解題的關鍵．

【詳解】解：有理數大小比較規則：負數0正數．

對于2、0、2、5這四個數，

2是負數，0是零，2、5是正數，

2025，

即最小的數是2．

故選：A．

2.安徽省2025年第一季度工業用電量為521.7億千瓦時，其中521.7億用科學記數法表示為（）

A.521.7108B.5.217109C.5.2171010D.0.52171011

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查科學記數法，熟練掌握科學記數法是解題的關鍵；科學記數法的表示形式為a10n的

形式，其中1a10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕

對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于或等于10時，n是正整數；當原數的絕對值小于1時，n

是負整數．

【詳解】解：將數據521.7億用科學記數法表示為5.2171010；

故選C．

3.“陽馬”是由長方體截得的一種幾何體，如圖水平放置的“陽馬”的主視圖為（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了簡單幾何體的主視圖，熟練掌握主視圖的定義（從物體正面觀察得到的平面圖形）

是解題的關鍵．主視圖是從幾何體正面觀察得到的平面圖形，據此分析該“陽馬”正面看到的形狀．

【詳解】解：主視圖是從物體正面看所得到的圖形．觀察水平放置的“陽馬”，從正面看，看到的是一個

三角形．對比四個選項，只有選項A符合從正面看到的圖形特征，其他三項都不符合題意．

故選：A．

4.下列計算正確的是（）

23

A.aaB.3aa

23

C.a3aa4D.a2a6

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查二次根式的性質，求一個數的立方根，冪的乘方計算，同底數冪乘法計算，根據相

關計算法則求出對應選項中式子的結果即可得到答案。

2

【詳解】解；A、aa，原式計算錯誤，不符合題意；

3

B、3aa，原式計算正確，符合題意；

2

C、a3aa3a2a32a5，原式計算錯誤，不符合題意；

3

D、a2a6，原式計算錯誤，不符合題意；

故選；B

5.下列方程中，有兩個不相等的實數根的是（）

A.x210B.x22x10

C.x2x10D.x2x10

【答案】D

【解析】

【分析】解題思路為利用一元二次方程根的判別式b24ac，分別計算四個選項方程的值，根據與

0的大小關系判斷根的情況．本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式

b24ac及根據判斷根的情況是解題的關鍵．

【詳解】解：選項A：x210

a1，b0，c1，

Δ0241140，無實數根，不符合題意；

選項B：x2-2x10

a1，b-2，c1，

2

Δ2411440，有兩個相等的實數根，不符合題意；

選項C：x2x10

a1，b1，c1，

Δ124111430，無實數根，不符合題意；

選項D：x2x10

a1，b1，c-1，

Δ124111450，有兩個不相等的實數根，符合題意；

故選：D．

6.如圖，在VABC中，A120，ABAC，邊AC的中點為D，邊BC上的點E滿足EDAC．若

DE3，則AC的長是（）

A.43B.6C.23D.3

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了等腰三角形性質、含30角的直角三角形性質及勾股定理，熟練掌握這些性質定理，

通過設未知數，利用勾股定理建立方程求解是解題的關鍵．先根據等腰三角形性質求出C的度數，再利

用中點得到線段關系，最后在RtEDC中，結合含30角的直角三角形性質及勾股定理求出AC的長．

【詳解】解：∵在ABC中，ABAC，A120，

180120

C30．

2

D是AC中點，

∴設AC2x，則CDx．

∵EDAC，

EDC是直角三角形，且C30，

EC2DE，

∵DE3，則EC23．在RtEDC中，根據勾股定理EC2DE2CD2，

∴(23)2(3)2x2，

123x2，

x29，

解得x3（x0）．

AC2x，

AC6．

故選：B．

7.已知一次函數ykxbk0的圖象經過點M1,2，且y隨x的增大而增大．若點N在該函數的圖

象上，則點N的坐標可以是（）

A.2,2B.2,1C.1,3D.3,4

【答案】D

【解析】

【分析】根據一次函數過點M1,2得出b與k的關系，再結合y隨x增大而增大得k0，然后將各選項

坐標代入函數，判斷k是否符合條件．本題主要考查了一次函數的性質與圖象上點的坐標特征，熟練掌握

一次函數ykxb中k的意義及點坐標與函數解析式的關系是解題的關鍵．

【詳解】∵一次函數ykxbk0過M1,2，

把1,2代入ykxb得2k1b，即b2k．

又y隨x的增大而增大，

k0．

選項A：點2,2，代入ykxb得2k2b，

把b2k代入得22k2k，

化簡得3k0，解得k0，不滿足k0，舍去．

選項B：點2,1，代入ykxb得1k2b，

把b2k代入得12k2k，

化簡得k1，不滿足k0，舍去．

選項C：點1,3，代入ykxb得3k1b，

把b2k代入得3k2k，

化簡得2k1，解得k0.5，不滿足k0，舍去．

選項D：點3,4，代入ykxb得4k3b，

把b2k代入得43k2k，

化簡得2k2，解得k1，滿足k0．

綜上，只有選項D符合條件，

故選：D．

8.在如圖所示的ABCD中，E，G分別為邊AD，BC的中點，點F，H分別在邊AB，CD上移動

（不與端點重合），且滿足AFCH，則下列為定值的是（）

A.四邊形EFGH的周長B.EFG的大小

C.四邊形EFGH的面積D.線段FH的長

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，熟練掌握平行四邊形對邊平行且相等的性質，通過全

等三角形轉化面積關系，是解題的關鍵．利用平行四邊形的性質，通過證明三角形全等分析四邊形EFGH

各邊、角、面積等是否為定值，重點關注面積能否通過轉化為平行四邊形面積的一部分來判斷．

【詳解】解：連接EG，

在ABCD中，E，G分別為AD，BC中點，

11

ADBC且ADBC，AEAD，BGBC，

22

AEBG且AEBG，

四邊形ABGE是平行四邊形，

ABEG，

同理EGCD，且EGABCD．

∴四邊形DCGE是平行四邊形，

則GEF與GEH的面積分別為ABGE與EGCD面積的一半，

四邊形的面積，

EFGHSGEFSGEH

四邊形EFGH的面積始終為ABCD面積的一半，是定值．

選項A：EF、FG等邊長隨F、H移動變化，周長不定，錯誤．

選項B：EFG隨F位置改變，錯誤．

選項D：FH長度隨F、H移動改變，錯誤．

綜上，四邊形EFGH的面積是定值，

故選：C．

2

9.已知二次函數yaxbxca0的圖象如圖所示，則（）

A.abc0B.2ab0C.2bc0D.abc<0

【答案】C

【解析】

【分析】根據二次函數圖象的開口方向、對稱軸位置、與y軸交點及特殊點的函數值，結合二次函數性質，

逐一分析選項．本題主要考查了二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數中a（開口方向）、b（對稱軸

與a共同決定）、c（與y軸交點）的意義及特殊點函數值的應用是解題的關鍵．

【詳解】解：二次函數yax2bxca0圖象中，開口向上，

a0．

b

對稱軸x0，又a0，

2a

b0，即b0．

拋物線與y軸交點在負半軸，

c0．

選項A：a0，b0，c0，

兩負一正相乘得正，

abc0，該選項錯誤．

bb

選項B：對稱軸x，由圖象知對稱軸x1，即1，

2a2a

又a0，兩邊乘2a得b2a，2ab0，該選項錯誤．

選項C：當x1時，yabc0，即4a4b4c0；當x2時，y4a2bc0，

4a2bc4a4b4c0

2bc0，該選項正確．

選項D：當x1時，yabc，由圖象知x1對應的函數值y0，

abc0，該選項錯誤．

故選C．

10.如圖，在四邊形ABCD中，AABC90，AB4，BC3，AD1，點E為邊AB上的動

點．將線段DE繞點D逆時針旋轉90得到線段DF，連接FB，FC，EC，則下列結論錯．誤．的是（）

A.ECED的最大值是25B.FB的最小值是10

C.ECED的最小值是42D.FC的最大值是13

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要圍繞四邊形中的動點問題展開，解題思路是先通過旋轉的性質得到相關線段和角的關系，

再利用勾股定理建立線段之間的聯系，最后根據點與點之間的位置關系以及幾何性質來分別判斷各個結論

的正確性．

【詳解】解：∵將線段DE繞點D逆時針旋轉90得到線段DF，

∴DEDF，EDF90．

又∵AABC90，AB4，BC3，AD1，

過點D作DGBC于點G，在DG上取一點H，使得DHAD1,延長FH交AB于點I，則四邊形

ABGD是矩形，

∴GDAADEEDG90EDGHDF．

∴ADEHDF，

∴DHF≌DAE（SAS），

∴DHFDAE90,

∴FHDG，即點F在FH上運動，

∴四邊形DAIH和四邊形BGHI是矩形，

∴HIADBG1，AIDH1，BI413，

∵AABC90，AB4，BC3，AD1，

2

∴DE124BE,CE32BE2,

2

∴ECED32BE2124BE，

∴BE最大時，ECED最大，

,

當點E與點A重合時，F與H重合時，BF最小此時EC42325，

2222,

ED1,ECED51425，故A錯誤，符合題意；BFHIBI1310故B正確，

不符合題意；

作點D關于AB的對稱點M，連接MC,則EDEM，ADAM1，BAMBAD90,過M作

MNCB于點N，此時ECEDCM,當C、E、M三點共線時，ECED最小，

∵MNCB,ABN1809090,

∴四邊形AMNB是矩形，

∴BNAM1，CN314，ABMN4,

,

∴ECED的最小值AC424242故C正確，不符合題意；

2222,

當E與A重合時，CFGHCG314113

當E與B重合時，過C作CQFH，則四邊形CQIB是矩形，如下圖，

∴CQIB413，QIBC3，

∵DHF≌DAE，

∴FHAE4，

∴QFFHHIQI4132,

∴FCCQ2FQ2223213，

綜上，FC最大值為13．故D項正確，不符合題意；

故選：A．

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的判定及性質，勾股定理以及幾何

最值問題，熟練掌握旋轉的性質和勾股定理，并能根據幾何圖形的特點準確分析線段之間的關系是解題的

關鍵．

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）

11.計算：51________．

【答案】6

【解析】

【分析】本題主要考查了有理數的減法計算，求一個數的絕對值，先計算絕對值，再根據減去一個數等于

加上這個數的相反數求解即可．

【詳解】解：51516，

故答案為：6．

12.如圖，AB是O的弦，PB與O相切于點B，圓心O在線段PA上．已知P50，則PAB的

大小為________．

【答案】20

【解析】

【分析】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，直角三角形的性質，連接OB，由切線的性質可得

PBO90，根據直角三角形兩銳角互余可得BOP的度數，再由圓周角定理即可得到答案．

【詳解】解；如圖所示，連接OB，

∵PB與O相切于點B，

∴OBPB，

∴PBO90，

∵P50，

∴∠BOP90∠P40，

1

∴PAB∠BOP20，

2

故答案為：20．

13.在一個平衡的天平左、右兩端托盤上，分別放置質量為20g和70g的物品后，天平傾斜（如圖所示）．現

從質量為10g，20g，30g，40g的四件物品中，隨機選取兩件放置在天平的左端托盤上，則天平恢復平

衡的概率為________．

1

【答案】

3

【解析】

【分析】本題考查概率的應用，通過畫樹狀圖或列表羅列出所有等可能的情況，再從中找出符合條件的情

況數，最后利用概率公式求解．

【詳解】解：要使天平恢復平衡，則選取兩件物品的質量和為702050g，

列表如下：

10203040

10304050

20305060

30405070

40506070

∴共有12種可能結果，其中使天平恢復平衡的有4種，

41

∴天平恢復平衡的概率為．

123

1

故答案為：．

3

n

14.對于正整數n，根據n除以3的余數，分以下三種情況得到另一個正整數m：若余數為0．則m；

3

若余數為1，則m2n；若余數為2，則mn1．這種得到m的過程稱為對n進行一次“變換”．對所得

的數m再進行一次變換稱為對n進行二次變換，依此類推．例如，正整數n4，根據4除以3的余數為1，

由428知，對4進行一次變換得到的數為8；根據8除以3的余數為2，由819知，對4進行二次

變換得到的數為9；根據9除以3的余數為0，由933知，對4進行三次變換得到的數為3．

（1）對正整數15進行三次變換，得到的數為________；

（2）若對正整數n進行二次變換得到的數為1，則所有滿足條件的n的值之和為________．

【答案】①.2②.11

【解析】

【分析】本題主要考查了新定義，正確理解新定義是解題的關鍵．

（1）根據15除以3的余數為0可得第一次變換后的數為5，再根據5除以3的余數為2可得第二次變換后

的數，同理可得第三次變換后的數；

1

（2）第二次變換后的結果為1，那么第一次變換后的結果為3或或，再驗證這三個數是否可經過變換

20

后得1即可確定第一次變換后得到的數，據此根據第一次變換得到的數可推出n的三個值，再同理可驗證

符合題意的n，據此可得答案．

【詳解】解；（1）∵15350，

15

∴15進行一次變換后得到的數為5；

3

∵5312，

∴15進行二次變換后得到的數為516；

∵6320，

∴15進行三次變換后得到的數為2，

故答案為：2；

（2）當對正整數n進行第一次變換后，所得的數除以3的余數為0時，則第一次變換后的數為133，

此時符合題意；

1

當對正整數n進行第一次變換后，所得的數除以3的余數為1時，則第一次變換后的數為，此時不符合

2

題意；

當對正整數n進行第一次變換后，所得的數除以3的余數為2時，則第一次變換后的數為110，此時不

符合題意；

綜上所述，第一次變換后所得的數為3，

當n除以3的余數為0時，則n339，符合題意；

3

當n除以3的余數為1時，則n，不符合題意；

2

當n除以3的余數為2時，則n312，符合題意；

∴符合題意的n的值是9或2，

∴所有滿足條件的n的值之和為2911，

故答案為；11．

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

21

15先化簡，再求值：，其中x3．

.x22x1x21

2x2

【答案】，1

x1

【解析】

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把兩個分式的分母分解因式，再把除法變成乘法后約分化簡，

最后代值計算即可得到答案．

21

【詳解】解：

x22x1x21

21

2

x1x1x1

2

2x1x1

x1

2x1

x1

2x2

，

x1

2324

當x3時，原式1．

314

16.如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中建立平面直角坐標系xOy，VABC的頂點和A1

均為格點（網格線的交點）．已知點A和A1的坐標分別為1,3和2,6．

（1）在所給的網格圖中描出邊AB的中點D，并寫出點D的坐標；

（2）以點O為位似中心，將VABC放大得到△A1B1C1，使得點A的對應點為A1，請在所給的網格圖中畫

出△A1B1C1．

【答案】（1）圖見解析；2,1

（2）圖見解析

【解析】

【分析】本題主要考查了中點坐標公式，坐標系中畫位似圖形，熟知中點坐標公式，位似圖形的性質是解

題的關鍵．

（1）根據兩點中點坐標公式可確定點D的坐標，進而描出點D即可；

、、、

（2）根據點A和點A1的坐標可知，把B、C的橫縱坐標都乘以2即可得到B1C1的坐標，描出A1B1C1，

、、

并順次連接A1B1C1即可．

【小問1詳解】

解：如圖所示，點D即為邊AB的中點，

∵A1,3，B3,1，

∴點D的坐標為2,1．

【小問2詳解】

解：如圖所示，△A1B1C1即為所求作的三角形．

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

17.某公司為慶祝新產品上市，在甲樓與乙樓的樓頂之間懸掛彩帶營造喜慶氣氛．如圖所示，甲樓和乙樓分

別用與水平地面垂直的線段AB和CD表示，彩帶用線段AD表示．工作人員在點A處測得點C的俯角為

23.8，測得點D的仰角為36.9．已知AB13.20m，求AD的長（精確到0.1m）．參考數據：

sin23.80.40，cos23.80.91，tan23.80.44，sin36.90.60，cos36.90.80，

tan36.90.75．

【答案】37.5m

【解析】

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，過點A作AECD，垂足為點E，則四邊形ABCE為

矩形，可得CEAB13.20m，解RtACE求出AE的長，再解RtADE求出AD的長即可得到答案．

【詳解】解：過點A作AECD，垂足為點E．

∵線段AB和CD都與地面垂直，

∴四邊形ABCE為矩形，

∴CEAB13.20m．

CE

在RtACE中，tanCAE，

AE

CE13.2013.20

∴AE30.0m．

tanCAEtan23.80.44

AE

在RtADE中，cosDAE，

AD

AE30.030.0

AD37.5m．

cosDAEcos36.90.80

答：AD的長為37.5m．

k

18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數yax4a0與反比例函數yk0的圖象交于

x

A，B兩點．已知點A和B的橫坐標分別為6和2．

（1）求a與k的值；

（2）設直線AB與x軸、y軸的交點分別為C，D，求△COD的面積．

1

【答案】（1）a，k6

2

（2）16

【解析】

【分析】本題主要考查了一次函數與幾何綜合，一次函數與反比例函數綜合，正確求出a、k的值解題的關

鍵．

（1）把A、B橫坐標分別代入兩個函數解析式，根據同一個橫坐標下，兩個函數的函數值相同建立方程組

求解即可；

（2）根據（1）所求可得直線AB的解析式，則可求出點C和點D的坐標，坐標可得OC，OD的長，據

此根據三角形面積計算公式求解即可．

【小問1詳解】

k

6a4

6

解：由題意得，，

k

2a4

2

1

解得a，k6．

2

【小問2詳解】

1

解：由（1）知直線AB對應的一次函數表達式為yx4．

2

1

在yx4中，令y0，得x8，令x0，得y4，

2

∴C8,0，D0,4，

∴OC8．OD4．

11

∴△COD的面積為OCOD8416．

22

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）

19.某景區管理處為了解景區的服務質量，現從該景區5月份的游客中隨機抽取50人對景區的服務質量進

行評分，評分結果用x表示（單位：分），將全部評分結果按以下五組進行整理，并繪制統計表，部分信息

如下：

組別ABCDE

分組45x5555x6565x7575x8585x95

人數3315a10

請根據以上信息，完成下列問題：

（1）a________；

（2）這50名游客對該景區服務質量評分的中位數落在________組；

（3）若游客評分的平均數不低于75，則認定該景區的服務質量良好．分別用50，60，70，80，90作

為A，B，C，D，E這五組評分的平均數，估計該景區5月份的服務質量是否良好，并說明理由．

【答案】（1）19；

（2）D；（3）該景區5月份的服務質量良好，理由見解析．

【解析】

【分析】本題主要考查了中位數、加權平均數，解決本題的關鍵是根據中位數的定義確定中位數在哪一組，

利用加權平均數的公式求出平均數．

（1）根據抽查的總人數和其余4組的人數計算出D組的人數，即為a的值；

（2）根據中位數的定義可知，把這50人的評分結果按照從小到大的順序排列，第25和26個評分結果的

平均數是這組數據的中位數，根據A，B，C組的人數和D組的人數判斷中位數在D組；

（3）利用加權平均數的公式可以求出50名游客評分的平均數為76分，所以該景區5月份的服務質量良好．

【小問1詳解】

解：a5033151019，

故答案為：19；

【小問2詳解】

解：一共抽查了50人，

把這50人的評分結果按照從小到大的順序排列，第25和26個評分結果的平均數是這組數據的中位數，

又331521，33151940，

第25和26個評分結果在D組，

這50名游客對該景區服務質量評分的中位數落在D組，

故答案為：D；

【小問3詳解】

1

解：x35036015701980109076，

50

7675，

該景區5月份的服務質量良好．

20.如圖，四邊形ABCD的頂點都在半圓O上，AB是半圓O的直徑，連接OC，DAB2ABC180．

（1）求證：OC∥AD；

（2）若AD2，BC23，求AB的長．

【答案】（1）詳見解析

（2）6

【解析】

【分析】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理，熟知圓周角定理和垂徑

定理是解題的關鍵．

（1）由圓周角定理可得∠AOC2∠ABC，則可證明DABAOC180，據此可證明OC∥AD．

（2）連接BD，交OC于點E．由題意知，由直徑所對的圓周角是直角得到ADB90，即ADBD，

則可證明OCBD，由垂徑定理可得點E為BD的中點，則OE是△ABD的中位線，即可得到

122

OEAD1．設半圓的半徑為r，則CEr1．由勾股定理知r2123r1，解方程即

2

可得到答案．

【小問1詳解】

證明：∵∠AOC2∠ABC，DAB2ABC180，

∴DABAOC180，

∴OC∥AD．

【小問2詳解】

解：連接BD，交OC于點E．由題意知，

∵AB是O的直徑，

∴ADB90，即ADBD，

∵OC∥AD，

∴OCBD，

∴點E為BD的中點，

又∵O是AB的中點，

∴OE是△ABD的中位線，

1

∴OEAD1．

2

設半圓的半徑為r，則CEr1．

由勾股定理知，OB2OE2BE2BC2CE2，

22

即r2123r1，

解得r13，r22（舍去）．

∴AB2r6．

六、（本題滿分12分）

21.綜合與實踐

【項目主題】

某勞動實踐小組擬用正三角形和正六邊形兩種環保組件改善小區幼兒園室內活動場地．

【項目準備】

（1）密鋪知識學習：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，使圖形之間既沒有空隙也沒

有重疊地鋪成一片，叫做圖形的密鋪．

（2）密鋪方式構建：運用密鋪知識得到圖1、圖2所示的兩種拼接方式，其中正六邊形和正三角形組件的

邊長均為20cm．

（3）密鋪規律探究：為方便研究，稱圖3、圖4分別為圖1、圖2的“拼接單元”．

觀察發現：自左向右拼接圖1時，每增加一個圖3所示的拼接單元，則增加1個正六邊形和2個正三角形，

長度增加40cm，從而x個這樣的拼接單元拼成一行的長度為40x10cm．

自左向右拼接圖2時，每增加一個圖4所示的拼接單元，則增加①個正六邊形和②個正三角形，

長度增加③cm，從而y個這樣的拼接單元拼成一行的長度為④cm．

【項目分析】

（1）項目條件：場地為長7.4m、寬6m的矩形；正三角形和正六邊形組件的單價分別為1元和5元．

（2）基本約定：項目成本僅計算所需組件的費用．

（3）方式確定：

（i）考慮成本因素，采用圖1方式進行密鋪；

（ii）每行用正六邊形組件頂著左墻開始，從左向右用一個正六邊形與兩個正三角形組件按圖1所示方式依

次交替拼接，當不能繼續拼接時，該行拼接結束；

（iii）第一行緊靠墻邊，從前往后按相同方式逐行密鋪，直至不能拼接為止．

（4）方案論證：按上述確定的方式進行密鋪，有以下兩種方案．

方案一：第一行沿著長度為6m的墻自左向右拼接（如圖5）．

根據規律，令40x10600，解得x14.75，所以每行可以先拼14塊拼接單元，即共用去14個正六邊

形和28個正三角形組件，由401410570知，所拼長度為570cm，剩余30cm恰好還可以擺放一個

正六邊形組件（如圖5所示的陰影正六邊形）．最終需用15個正六邊形和28個正三角形組件，由

515128103知，方案一每行的成本為103元．

373

由于每行寬度為203cm（按31.73計算），設拼成s行，則203s740，解得s21.34，

3

故需鋪21行．由103212163知，方案一所需的總成本為2163元．

方案二：第一行沿著長度為7.4m的墻自左向右拼接．

類似于方案一的成本計算，令40x10740

方案二每行的成本為⑤元，總成本為⑥元．

【項目實施】

根據以上分析，選用總成本較少的方案完成實踐活動（略）．

請將上述材料中橫線上所缺內容補充完整：

________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________．

【答案】①1；②6；③60；④60y10；⑤126；⑥2142

【解析】

【分析】本題主要考查了平面鑲嵌，通過觀察圖4所示的拼接單元，數出增加的正六邊形和正三角形的數

量，再根據邊長計算出長度的增加量，進而得出y個拼接單元拼成一行的長度．涉及根據給定的拼接條件

進行不等式計算，以確定拼接單元數量、組件數量，

進而計算每行成本和總成本．方案二的計算方法與方案一類似．

【詳解】解：項目主題：

觀察圖4可知，每增加一個圖4所示的拼接單元，增加1個正六邊形和6個正三角

形；

由正六邊形和正三角形組件的邊長均為20cm，觀察圖4可得

增加的長度為3個邊長，即32060cm

計算y個拼接單元拼成一行的長度第一個拼接單元有一個正六邊形左邊的10cm，每增加一個拼接單元長

度增加60cm，所以y個這樣的拼接單元拼成一行的長度為60y10cm

項目分析：

計算方案二每行可拼接的單元數量令40x10740，

移項可得40x74010，即40x730，

兩邊同時除以40，解得x18.25，

每行可以先拼18塊拼接單元．

計算方案二每行所需的正六邊形和正三角形組件數量

拼18塊拼接單元，

共用去18個正六邊形和21836個正三角形組件．

由401810730知，所拼長度為730cm，

剩余74073010cm，無法再擺放組件．

由5181369036126知，方案二每行的成本為126元．

由于每行寬度為203cm（按31.73計算），設拼成s行，

則203s600，

600

兩邊同時除以203，s10317，

203

故需鋪17行．

計算方案二的總成本126172142．

方案二所需的總成本為2142元．

項目實施：

兩種方案比較可知：21632142．

選方案二完成實踐活動．

故答案為：①1；②6；③60；④60y10；⑤126；⑥2142．

七、（本題滿分12分）

22.已知點A在正方形ABCD內，點E在邊AD上，BE是線段AA的垂直平分線，連接AE，AB．

（1）如圖1，若BA的延長線經過點D，AE1，求AB的長；

（2）如圖2，點F是AA的延長線與CD的交點，連接CA．

①求證：CAF45；

②如圖3，設AF，BE相交于點G，連接CG，DG，DA．若CGCB，判斷ADG的形狀，并說明

理由．

【答案】（1）12

（2）①詳見解析；②ADG為等腰直角三角形，理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據線段的垂直平分線的性質得出AEAE，BABA，證明△EAB≌△EAB，得出

EABEAB90，結合正方形的性質可判斷ADE是等腰直角三角形，求出AEAE1，然后

根據勾股定理求出DE，即可求解；

（2）①由正方形的性質和線段的垂直平分線的性質得出BABABC，根據等邊對等角以及三角形內角

和定理可求出AAC135，即可求解；

②（方法一）作CNBG交BG于點M，交AB于點N．根據三線合一的性質得出M為BG的中點．可

證CN∥AF，根據平行線分線段成比例判斷出N是AB的中點，根據三角形中位線定理得出

111

BNAB．根據AAS證明ABE≌BCN，得出AEBNABAD，則E為AD的中點．結

222

合AGGA，根據三角形中位線定理和平行線的性質得出DAGEGA90．同理可證

ADA≌BAG，得出ADAGAG，即可得出結論；

（方法二）設ABG，則CBG90．根據等邊對等角得出CGBCBG90，根據三

角形內角和定理求出BCG2，由（1）中EAB≌EAB，得出ABGABG，則

CBA902．根據等邊對等角得出BCABAC．根據三角形內角和定理求出

BCA45，由角的和差關系求出GCA45，DCA45，根據SAS證明

ACG≌ACD，得出GADA，CADCAG．結合①中CAF45求出CAG135，

則DAG3602CAG90，即可得出結論．

【小問1詳解】

解：∵四邊形ABCD是正方形，BA的延長線經過點D，

∴ADB45，ADAB，DAB90，

由垂直平分線的性質知，AEAE，BABA，

又BEBE，

∴△EAB≌△EAB，

∴EABEAB90．

又ADB45，

∴ADE是等腰直角三角形，

∴AEAE1，

∴DE2AE2，

∴ABADAEDE12．

【小問2詳解】

解：①證明：由題意知，BABABC，

∴BAABAA，BCABAC．

∴AACAABCAB

11

180ABA180CBA

22

1

180ABACBA

2

18045

135，

∴CAF180AAC45．

②解：ADG是等腰直角三角形．

理由如下：

（方法一）作CNBG交BG于點M，交AB于點N．

∵CGCB，

∴M為BG的中點．

又AABE，

∴CN∥AF，

BNBM

∴1，

ANGM

∴N是AB的中點，

1

∴MN是ABG的中位線，BNAB．

2

∵ABE90CBGBCN，BAECBN90，且ABBC，

∴ABE≌BCN，

11

∴AEBNABAD，

22

即E為AD的中點．

又AGGA，

∴EGAD，

∴DAGEGA90．

同理可證ADA≌BAG，

∴ADAGAG．

∴ADG是等腰直角三角形．

（方法二）設ABG，則CBG90．

∵CGCB，

∴C